Billardbordes mystiske matematik | Quanta Magasinet

I Disneys film fra 1959 Donald i Mathmagic Land, Anders And, inspireret af fortællerens beskrivelser af billardens geometri, slår energisk stødbolden, og sender den rikochetterende rundt om bordet, før den endelig rammer de tilsigtede bolde. Anders spørger: "Hvordan kan du lide det til matematik?"

Fordi rektangulære billardborde har fire vægge, der mødes i rette vinkler, er billardbaner som Anders forudsigelige og velforståede - også selvom de er svære at udføre i praksis. Forskningsmatematikere kan dog stadig ikke svare på grundlæggende spørgsmål om de mulige baner for billardkugler på borde i form af andre polygoner (former med flade sider). Selv trekanter, den enkleste af polygoner, rummer stadig mysterier.

Er det altid muligt at ramme en bold, så den vender tilbage til sit udgangspunkt i samme retning og skaber en såkaldt periodisk bane? Ingen ved. For andre, mere komplicerede former, er det uvist, om det er muligt at slå bolden fra et hvilket som helst punkt på bordet til et hvilket som helst andet punkt på bordet.

Selvom disse spørgsmål ser ud til at passe tæt ind i geometriens grænser, som det undervises i i gymnasiet, har forsøg på at løse dem krævet, at nogle af verdens førende matematikere har indbragt ideer fra forskellige områder, herunder dynamiske systemer, topologi og differentialgeometri. Som med ethvert stort matematikproblem, har arbejdet med disse problemer skabt ny matematik og har ført tilbage til og avanceret viden på disse andre områder. Men på trods af al denne indsats og den indsigt, moderne computere har givet, modstår disse tilsyneladende ligefremme problemer stædigt løsning.

Her er, hvad matematikere har lært om billard siden Anders Ands episk sammenfiltrede skud.

De antager typisk, at deres billardkugle er et uendeligt lille, dimensionsløst punkt, og at den hopper af væggene med perfekt symmetri og afgår i samme vinkel, som den ankommer, som det ses nedenfor.

Uden friktion rejser bolden i det uendelige, medmindre den når et hjørne, som stopper bolden som en lomme. Grunden til, at billard er så svært at analysere matematisk er, at to næsten identiske skud, der lander på hver side af et hjørne, kan have vildt divergerende baner.

En nøglemetode til at analysere polygonal billard er ikke at tænke på, at bolden hopper ud over bordets kant, men i stedet at forestille sig, at hver gang bolden rammer en væg, bliver den ved med at rejse ind i en ny kopi af bordet, der vendes over dens. kant, hvilket giver et spejlbillede. Denne proces (se nedenfor), kaldet udfoldelsen af ​​billardbanen, tillader bolden at fortsætte i en lige linje. Ved at folde de forestillede borde tilbage på deres naboer, kan du genvinde boldens faktiske bane. Dette matematiske trick gør det muligt at bevise ting om banen, som ellers ville være udfordrende at se.

For eksempel kan det bruges til at vise, hvorfor simple rektangulære tabeller har uendeligt mange periodiske baner gennem hvert punkt. Et lignende argument gælder for ethvert rektangel, men for konkretheden skal du forestille dig et bord, der er dobbelt så bredt som det er langt.

Antag, at du vil finde en periodisk bane, der krydser tabellen n gange i den lange retning og m gange i den korte retning. Da hvert spejlbillede af rektanglet svarer til, at bolden hopper ud af en væg, skal boldens bane krydse bordet et lige antal gange i begge retninger, for at bolden kan vende tilbage til sit udgangspunkt i den samme retning. Så m , n skal være lige. Læg et gitter af identiske rektangler, hver set som et spejlbillede af sine naboer. Tegn et linjestykke fra et punkt på den originale tabel til det identiske punkt på en kopi n borde væk i den lange retning og m borde væk i den korte retning. Juster det oprindelige punkt lidt, hvis stien går gennem et hjørne. Her er et eksempel hvor n = 2 og m = 6. Når den er foldet op igen, producerer stien en periodisk bane, som vist i det grønne rektangel.

En trekantet ulighed

Billard i trekanter, som ikke har den pæne retvinklede geometri som rektangler, er mere kompliceret. Som du måske husker fra high school geometri, er der flere slags trekanter: spidse trekanter, hvor alle tre indre vinkler er mindre end 90 grader; retvinklede trekanter, som har en 90-graders vinkel; og stumpe trekanter, som har én vinkel, der er mere end 90 grader.

Billardborde formet som spidse og retvinklede trekanter har periodiske baner. Men ingen ved, om det samme gælder for stumpe trekanter.

For at finde en periodisk bane i en spids trekant skal du tegne en vinkelret linje fra hvert hjørne til den modsatte side, som det ses til venstre nedenfor. Forbind de punkter, hvor de rette vinkler opstår, for at danne en trekant, som det ses til højre.

Denne indskrevne trekant er en periodisk billardbane kaldet Fagnano-kredsløbet, opkaldt efter Giovanni Fagnano, som i 1775 viste, at denne trekant har den mindste omkreds af alle indskrevne trekanter.

I begyndelsen af ​​1990'erne, Fred Holt ved University of Washington og Gregory Galperin og hans samarbejdspartnere ved Moscow State University uafhængigt viste at hver retvinklet trekant har periodiske kredsløb. En enkel måde at vise dette på er at reflektere trekanten omkring det ene ben og derefter det andet, som vist nedenfor.

Start med en bane, der er i en ret vinkel på hypotenusen (den lange side af trekanten). Hypotenusen og dens anden refleksion er parallelle, så et vinkelret linjestykke, der forbinder dem, svarer til en bane, der vil hoppe frem og tilbage for evigt: Bolden forlader hypotenusen i en ret vinkel, hopper af begge ben, vender tilbage til hypotenusen til højre. vinkel og går derefter tilbage på sin rute.

Men stumpe trekanter forbliver et mysterium. I deres papir fra 1992 fandt Galperin og hans samarbejdspartnere op med en række forskellige metoder til at reflektere stumpe trekanter på en måde, der lader dig skabe periodiske baner, men metoderne fungerede kun i nogle specielle tilfælde. Så, i 2008, Richard Schwartz ved Brown University viste, at alle stumpe trekanter med vinkler på 100 grader eller mindre indeholde en periodisk bane. Hans tilgang involverede at opdele problemet i flere sager og verificere hver sag ved hjælp af traditionel matematik og computerassistance. I 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore og George Tokarsky ved University of Alberta udvidet denne tærskel til 112.3 grader. (Tokarsky og Marinov havde brugt mere end et årti jagter dette mål.)

En topologisk vending

En anden tilgang er blevet brugt til at vise, at hvis alle vinklerne er rationelle - det vil sige, de kan udtrykkes som brøker - skal stumpe trekanter med endnu større vinkler have periodiske baner. I stedet for blot at kopiere en polygon på et fladt plan, kortlægger denne fremgangsmåde kopier af polygoner på topologiske overflader, donuts med et eller flere huller i dem.

Hvis du reflekterer et rektangel over dets korte side og derefter reflekterer begge rektangler over deres længste side, laver fire versioner af det originale rektangel, og derefter limer toppen og bunden sammen og venstre og højre sammen, vil du have lavet en doughnut, eller torus, som vist nedenfor. Billardbaner på bordet svarer til baner på torus og omvendt.

I en skelsættende artikel fra 1986, Howard Masur brugt denne teknik til at vise, at alle polygonale tabeller med rationelle vinkler har periodiske kredsløb. Hans tilgang fungerede ikke kun for stumpe trekanter, men for langt mere komplicerede former: Uregelmæssige 100-sidede borde, f.eks. eller polygoner, hvis vægge zig og zag skaber krinkelkroge, har periodiske kredsløb, så længe vinklerne er rationelle.

Noget bemærkelsesværdigt indebærer eksistensen af ​​en periodisk bane i en polygon eksistensen af ​​uendeligt mange; at flytte banen med bare en lille smule vil give en familie af relaterede periodiske baner.

Belysningsproblemet

Former med afkroge giver anledning til et relateret spørgsmål. I stedet for at spørge om baner, der vender tilbage til deres udgangspunkt, spørger dette problem, om baner kan besøge hvert punkt på en given tabel. Dette kaldes belysningsproblemet, fordi vi kan tænke over det ved at forestille os en laserstråle, der reflekterer fra spejlede vægge, der omslutter billardbordet. Vi spørger, om du, givet to punkter på et bestemt bord, altid kan skinne en laser (idealiseret som en uendelig tynd lysstråle) fra det ene punkt til det andet. For at sige det på en anden måde, hvis vi placerede en pære, som lyser i alle retninger på én gang, på et tidspunkt på bordet, ville den så lyse hele rummet op?

Der har været to hovedlinjer af forskning i problemet: at finde former, der ikke kan belyses, og at bevise, at store klasser af former kan være det. Mens det at finde ulige figurer, der ikke kan belyses, kan gøres gennem en smart anvendelse af simpel matematik, har det kun været muligt at bevise, at mange figurer kan belyses ved brug af tungt matematisk maskineri.

I 1958, blev Roger Penrose, en matematiker, der fortsatte med at vinde 2020 Nobelprisen i fysik, fandt en buet tabel, hvor ethvert punkt i en region ikke kunne belyse noget punkt i en anden region. I årtier kunne ingen finde på en polygon, der havde den samme egenskab. Men i 1995 brugte Tokarsky en simpel kendsgerning om trekanter til at skabe en blokeret 26-sidet polygon med to punkter, der er gensidigt utilgængelige, vist nedenfor. Det vil sige, at en laserstråle, der er skudt fra et punkt, uanset dens retning, ikke kan ramme det andet punkt.

Den centrale idé, som Tokarsky brugte, da han byggede sit specielle bord, var, at hvis en laserstråle starter ved en af ​​de spidse vinkler i en 45°-45°-90° trekant, kan den aldrig vende tilbage til det hjørne.

Hans takkede bord er lavet af 29 sådanne trekanter, arrangeret for at gøre smart brug af dette faktum. I 2019 Amit Wolecki, dengang en kandidatstuderende ved Tel Aviv University, anvendte denne samme teknik til fremstille en form med 22 sider (vist nedenfor), hvilket han beviste var det mindst mulige antal sider for en form, der havde to indre punkter, der ikke oplyser hinanden.

Det har været meget sværere at bevise resultater i den anden retning. I 2014 blev Maryam Mirzakhani, en matematiker ved Stanford University, den første kvinde til at vinde Fields-medaljen, matematikkens mest prestigefyldte pris, for hendes arbejde med modulrummene på Riemann-overflader - en slags generalisering af de donuts, som Masur brugte til at vise, at alle polygonale tabeller med rationelle vinkler har periodiske kredsløb. I 2016 Samuel Lelièvre fra Paris-Saclay University, Thierry Monteil fra det franske nationale center for videnskabelig forskning og Barak Weiss fra Tel Aviv University anvendte en række af Mirzakhanis resultater at vise at ethvert punkt i en rationel polygon belyser alle punkter undtagen endeligt mange. Der kan være isolerede mørke pletter (som i Tokarskys og Woleckis eksempler), men ingen mørke områder, som der er i Penrose-eksemplet, som har buede vægge snarere end lige. I Woleckis artikel fra 2019, styrkede han dette resultat ved at bevise, at der kun er endeligt mange par uoplysbare punkter.

Desværre, Mirzakhani døde i 2017 i en alder af 40, efter en kamp med kræft. Hendes arbejde virkede langt væk fra trickskud i poolhaller. Og alligevel viser analyse af billardbaner, hvordan selv den mest abstrakte matematik kan forbindes med den verden, vi lever i.