Matematikere fjerner langvarig trussel mod knudeformodninger

For over 60 år siden stillede Ralph Fox et problem om knuder, der hjemsøger matematikere den dag i dag. Hans spørgsmål er nu ofte formuleret som "slice-ribbon-formodningen", som hævder, at to tilsyneladende adskilte grupper af knob faktisk er ens. Med sit forslag om elegant enkelhed inden for knudernes verden er det blevet et af de mest profilerede problemer inden for knudeteori. "Det ville betyde, at verden er en smule mere struktureret, end du ellers kunne forvente," sagde Arunima Ray, en matematiker ved Max Planck Institute for Mathematics i Bonn.

I årtier var en bestemt knude mistænkt for at være en mulig vej til at afgøre formodningen. Endnu i en papir udsendt sidste sommer, fandt fem matematikere ud af, at denne knude alligevel ikke kommer til at fungere. Mens de argumenter, de introducerede, vil give ny indsigt i en bredere klasse af knob, efterlader værket som helhed matematikere usikre på formodningen. "Jeg tror, ​​der er faktisk legitim kontrovers om, hvorvidt det vil vise sig at være sandt eller ej," sagde Kristen Hendricks, en matematiker ved Rutgers University.

Skivebåndsformodningen vedrører to typer knuder: skiveknuder og båndknuder. At finde ud af hvilke knob der er skive er "et af de grundlæggende spørgsmål, som vores emne kredser om," sagde Abhishek Mallick, en af ​​forfatterne til det nye papir.

En matematisk knude kan opfattes som en almindelig løkke af snor. Matematikere kalder en simpel løkke uden en knude for "uknoden". (Selvom dette ikke er en knude i ordets almindelige forstand, tænker matematikere på uknoden som det enkleste eksempel på en knude.)

Knob definerer også grænsen for en form, som matematikere kalder en skive, selvom den ikke altid ser skiveagtig ud i ordets almindelige betydning. Det enkleste eksempel, uknoden, danner grænsen for en cirkel - en "skive", der faktisk ligner en skive. Men løkken danner grænsen ikke kun for en cirkel, der ligger fladt på et bord, men også af en skål - som strækker sig ind i tre dimensioner - der er lagt på hovedet oven på bordet. De skiver, som knuder definerer, kan udvides yderligere fra tre dimensioner til fire.

Hvis der er en knude i snoren, bliver diskene mere komplicerede. I tredimensionelt rum har disse diske singulariteter - punkter, hvor de er matematisk dårligt opførte. Skiveknuder er dem, for hvilke det er muligt - i fire dimensioner - at finde en disk uden sådanne singulariteter. Skiveknuder er "næstbedste ting til det uknude,« som Peter Teichner, også fra Max Planck Institute, har sagt det.

På trods af det kan skiverne afgrænset af skiveknuder i tre dimensioner være grimme og svære at arbejde med. Skivebåndsformodningen siger, at de ikke nødvendigvis behøver at være det.

Båndknuder er knuder, hvis skiver ligner bånd. I tre dimensioner kan disse bånd passere gennem sig selv, ligesom et almindeligt bånd kan trækkes gennem en flænge ned langs midten. Matematisk kaldes en sådan pass-through en båndsingularitet. I modsætning til andre typer singulariteter kan båndsingulariteten let elimineres ved at flytte ind i fire dimensioner. Dette gør det nemt for matematikere at vise, at alle båndknuder er skiver.

Det modsatte - at hver skiveknude også er bånd - er skivebåndsformodningen, som har været et åbent spørgsmål i årtier. (For at komplicere sagen yderligere har skiveknuder adskillige relaterede klassifikationer, herunder "glat skive" og "topologisk skive." Formodningen gælder kun for knude af "glat skive", hvilket matematikere normalt mener med "skive."

For at modbevise formodningen er det tilstrækkeligt at finde en knude, der er glat skive, men ikke bånd. I årtier havde matematikere øje på en kandidat: (2, 1) kablet til ottetalsknuten, lavet ved at trække en anden streng langs en ottetalsknude og derefter slå de to strenge sammen til en enkelt knude.

I 1980 beviste Akio Kawauchi, at denne knude er både rationelt og algebraisk skive, egenskaber, der ligner en jævn skive, men ikke helt den samme. I 1994 beviste Katura Miyazaki, at det ikke er et bånd, hvilket efterlod en spændende åbning for matematikere. Hvis Kawauchis resultat kunne forstærkes blot et tryk for at vise, at knuden er jævnt skåret, ville det modbevise formodningen.

Det nye papir beviser, at den pågældende knude trods alt ikke er en skive, og smækker denne dør.

"Slice-ribbon formodning, still going strong," sagde Hendricks, som har arbejdet tæt sammen med to af forfatterne til det nye papir. "Det er meget spændende, for folk har forsøgt at forstå dette eksempel i ret lang tid."

Det nye bevis er baseret på noget, der kaldes et forgrenet dobbeltdæksel. Du kan visualisere et forgrenet dobbeltdæksel ved at tænke på en hul kugle, som en basketball. For at lave et forgrenet dobbeltdæksel af en basketball skal du skære den op fra top til bund langs en af ​​længdelinjerne. Træk nu i den ene side af gummiet, hvor du har skåret, og stræk det langs ækvator, indtil materialet vikler sig hele vejen rundt. Når du er færdig med denne transformation, har du en basketball lavet af to udskiftelige lag materiale, deraf "dobbeltcoveret". (I dette scenarie kan gummiet strækkes og vrides, som du vil uden at gå i stykker eller krølle.)

Det "forgrenede" i "forgrenet dobbeltdæksel" kommer fra en særhed ved transformationen. Da du strakte dig vandret, er der stadig kun ét lag ved det øverste og nederste punkt på bolden, nord- og sydpolen. Disse punkter kaldes forgreningspunkter, og deres tilstedeværelse gør dobbeltdækslet til et forgrenet dobbeltdæksel.

Når det kommer til knob, er det forgrenede dobbeltdæksel samlet på en sådan måde, at grenpunkterne er selve knuden: de spidser, der ligesom basketballens nord- og sydpol kun er dækket én gang.

"Historisk set har det været et standardværktøj i branchen at se på dobbeltforgrenede dæksler," sagde Jennifer Hom, en matematiker ved Georgia Institute of Technology, som har arbejdet med to af forfatterne til det nye papir. Dette skyldes - ligesom en basketball omgiver en luftkugle - det forgrenede dobbeltdæksel af en skiveknude omgiver en bestemt firedimensionel form. Hvis matematikere kan vise, at en knudes forgrenede dobbeltdæksel ikke omgiver den rigtige 4D-form, kan de udelukke muligheden for, at knuden er skive.

Men dette virker ikke helt for (2, 1) kablet til ottetalsknuten: Dets forgrenede dobbeltdæksel omgiver den rigtige type firedimensionel form. At vise, at kablet (2, 1) i ottetalsknuten ikke er en skive, afhænger af en ofte overset symmetri i formen.

Når du strækker overfladen af ​​en basketball for at danne et forgrenet dobbeltdæksel, kan du forestille dig at gøre noget analogt med den tredimensionelle luftkugle indeni. Mens du trækker gummiet rundt om bolden, trækker du bare luften med den. Ligesom de to lag gummi er udskiftelige, er der to halvkugler i luftkuglen, som begge ender det samme sted. Med andre ord strækker symmetrien fra ydersiden af ​​bolden sig til indersiden.

På samme måde når symmetrierne på det forgrenede dobbeltdæksel af en skiveknude ind i 4D-rummet indeni. Matematikere ser normalt bort fra denne symmetri, når de forsøger at vise, at knuder ikke er skiver. Men i dette tilfælde var det essentielt. Hvis forfatterne til det nye værk kunne vise, at der ikke var en sådan symmetri, ville de kunne konkludere, at knuden ikke er en skive.

“Fordi spørgsmålet ikke refererer til nogen symmetri, skulle man tænke: Nå, hvordan kommer symmetrien ind i billedet for at sige noget om det? Men på en eller anden måde, magisk, i dette tilfælde kommer symmetrien til billedet og løser problemet for dig,” sagde Mallick, der har skrevet det nye papir med Irving Dai fra Stanford University, JungHwan Park ved Korea Advanced Institute of Science and Technology, Matthew Stoffregen fra Michigan State University, og Sungkyung Kang fra Institute for Basic Science i Sydkorea.

"Vi vidste, at den struktur var der. Men en del af grunden til, at folk ikke studerede det, er, at vi ikke havde nogen måde at holde styr på den struktur,” sagde Ray. "Du har brug for et fancy, kraftfuldt værktøj for at opdage det."

For at argumentere, måtte holdet bruge dyb, kompliceret matematik relateret til knuden og dens omgivende rum, idet de stolede på symmetrier, der var mere subtile, selv end dem i det forgrenede dobbeltdæksel. I to tidligere papirer, Dai, Mallick og Stoffregen havde beregnet nogle af disse egenskaber. Da Kang aflagde et besøg hos Stoffregen i Michigan State sidste sommer, hvor kablet (2, 1) til ottetals-knuden stadig var i hans sind, indså forskerne hurtigt, at disse formler ville løse problemet med dens snit. "Der er en intuition, som fortalte mig, at denne beregning burde virke," sagde Kang. "Og ved blot at beregne det, burde vi være i stand til at løse dette problem lige nu."

I slutningen af ​​juli blev deres papir lagt ud på nettet, hvilket beviste, at knuden i virkeligheden ikke var en skive. Idéerne i papiret, sagde Park, burde være anvendelige på mange knob, hvis udsnit i øjeblikket er i tvivl. "Dette er kun begyndelsen," sagde han. Selvom dette papir fokuserer på en bestemt knude, sagde Park, at de værktøjer, de udviklede, vil fungere for langt mere generelle knudefamilier. Den oprindelige knudes manglende udskæring sikrer dog, at formodningen om skivebåndet forbliver uafklaret indtil videre.