Den enkle geometri bag Brownie-bage-offs og lige områder

Gina, den geometristuderende, blev for sent oppe i går aftes og lavede sine lektier, mens hun så på The Great British Bake Off, så da hun endelig gik i seng, var hendes søvnige sind stadig fuld af cupcakes og kompasser. Dette førte til en højst usædvanlig drøm.

Gina fandt sig selv som dommer for Great Brownie Bake Off på Imaginary University, en skole, hvor eleverne lærer masser af geometri, men meget lidt aritmetik. Hold af Imaginary U-studerende fik til opgave at lave den største brownie, de kunne, og det var op til Gina at bestemme vinderen.

Team Alpha kom først i mål, og de præsenterede stolt deres rektangulære brownie til bedømmelse. Gina trak en lineal frem og målte brownien: Den var 16 centimeter lang og 9 centimeter bred. Team Beta fulgte hurtigt efter med deres firkantede brownie, som målte 12 tommer på hver side. Det var der, problemerne begyndte.

"Vores brownie er meget længere end din," sagde Team Alphas kaptajn. "Vores er klart større, så vi er vinderne!"

"Men den korte side af dit rektangel er meget kortere end siden af ​​vores firkant," sagde en repræsentant fra Team Beta. ”Vores plads er klart større. Vi har vundet!"

Gina fandt det mærkeligt at skændes om dette. "Arealet af den rektangulære brownie er 9 gange 16, hvilket er 144 kvadrattommer," sagde hun. “Arealet af den firkantede brownie er 12 gange 12, hvilket også er 144 kvadrattommer. Brownies har samme størrelse: Det er et slips.”

Begge hold så forundrede ud. "Jeg forstår ikke, hvad du mener med 'tider'," sagde en elev, som aldrig var blevet undervist i multiplikation. "Jeg heller ikke," sagde en anden. En tredje sagde: "Jeg hørte om studerende på Complex College, der målte areal ved hjælp af tal én gang, men hvad betyder det overhovedet?" Imaginary University var virkelig et mærkeligt sted, selvom drømmene går.

Hvad skulle Gina gøre? Hvordan kunne hun overbevise holdene om, at deres brownies havde samme størrelse, hvis de ikke forstod, hvordan man måler areal og ganger tal? Heldigvis havde Gina en genial idé. "Giv mig en kniv," sagde hun.

Gina målte 12 tommer ned ad den lange side af den rektangulære brownie og lavede et snit parallelt med den korte side. Dette forvandlede det store rektangel til to mindre: den ene måler 9 x 12 og den anden 9 x 4. Med tre hurtige snit forvandlede hun 9 x 4 stykkerne til tre mindre 3 x 4 stykker. En smule omarrangering resulterede i hørbare ohs og aahs fra mængden: Gina havde forvandlet rektanglet til en nøjagtig kopi af pladsen.

Begge hold skulle nu blive enige om, at deres brownies havde samme størrelse. Ved at dissekere den ene og omarrangere den til den anden, viste Gina, at de to brownies optog det samme samlede areal. Dissektioner som denne er blevet brugt i geometri i tusinder af år for at vise, at figurer har samme størrelse, og der er mange bemærkelsesværdige resultater om dissektioner og ækvivalens. Selv i dag bruger matematikere stadig dissektion og omarrangering for fuldt ud at forstå, hvornår visse former er ækvivalente, hvilket fører til nogle overraskende nylige resultater.

Du har sikkert set geometriske dissektioner i matematiktimerne, når du udviklede områdeformlerne for grundlæggende former. For eksempel husker du måske, at arealet af et parallelogram er lig med længden af ​​dets basis gange dets højde: Dette skyldes, at et parallelogram kan dissekeres og omarrangeres til et rektangel.

Denne dissektion viser, at arealet af parallelogrammet er lig med arealet af et rektangel med samme base og højde, hvilket, som enhver, der ikke deltog i Imaginary University, ved, er produktet af disse to tal.

Apropos Imaginary U, var Great Brownie Bake Off lige ved at varme op. Team Gamma nærmede sig med en stor trekantet brownie. "Her er vinderen," annoncerede de dristigt. "Begge vores sider er meget længere end de andre."

Gina målte siderne. "Dette har også det samme område!" udbrød hun. "Dette er en retvinklet trekant, og benene måler 18 og 16, og så området er..." Gina holdt en pause og bemærkede de forvirrede blikke på alles ansigter. "Åh, ligegyldigt. Giv mig bare kniven."

Gina skar behændigt fra midtpunktet af hypotenusen til midtpunktet af det længere ben, og roterede derefter den nydannede trekant, så den lavede et perfekt rektangel, når den blev indlejret i det større stykke.

"Det er præcis vores brownie!" råbte Team Alpha. Sikkert nok var det resulterende rektangel 9 gange 16: nøjagtig samme størrelse som deres.

Team Beta havde deres tvivl. "Men hvordan er denne trekant sammenlignet med vores firkant?" spurgte deres teamleder.

Gina var klar til det. "Vi ved allerede, at rektanglet og firkanten har samme størrelse, så ved transitivitet har trekanten og firkanten samme størrelse." Transitivitet er en af ​​lighedens vigtigste egenskaber: Den siger, at hvis a = b , b = c, derefter a = c. Gina fortsatte: "Hvis arealet af den første brownie er lig med arealet af den anden, og arealet af den anden brownie er lig med arealet af den tredje, skal den første og tredje brownie også have lige store arealer."

Men Gina havde det for sjovt med dissektioner til at stoppe der. "Eller vi kunne bare lave nogle flere nedskæringer."

Først roterede Gina rektangelet, der tidligere var en trekant. Så klippede hun det ved at bruge nøjagtigt det samme mønster, som hun havde brugt på Team Alphas rektangel.

Derefter viste hun, hvordan denne nye dissektion af Team Gammas trekant kunne forvandles til Team Betas firkant, præcis som hun havde gjort med Team Alphas rektangel.

I denne situation siger vi, at trekanten og firkanten er "sakskongruente": Du kan forestille dig at bruge en saks til at skære en figur op i endeligt mange stykker, som derefter kan omarrangeres til at danne den anden. I tilfældet med trekanten og firkanten viser brownies præcis, hvordan denne sakskongruens fungerer.

Bemærk, at mønsteret virker i begge retninger: Det kan bruges til at vende trekanten til firkanten eller firkanten til trekanten. Med andre ord er sakskongruens symmetrisk: Hvis form A er sakskongruent med form B, så er form B også sakskongruent med form A.

Faktisk viser ovenstående argument, der involverer trekanten, rektanglet og firkanten, at sakskongruens også er transitiv. Da trekanten er saks kongruent med rektanglet og rektanglet er saks kongruent med firkanten, er trekanten saks kongruent med firkanten. Beviset er i mønstrene: Bare overlæg dem på mellemformen, som det blev gjort med rektanglet ovenfor.

Hvis du skærer trekanten i stykker, der danner rektanglet, og derefter skærer rektanglet op i stykker, der danner firkanten, kan de resulterende stykker bruges til at danne en af ​​de tre former.

Det faktum, at saksekongruens er transitiv, er kernen i et fantastisk resultat: Hvis to polygoner har samme areal, så er de saksekongruente. Det betyder, at givet to polygoner med samme areal, kan du altid skære den ene op i et begrænset antal stykker og omarrangere dem for at lave den anden.

Beviset for dette bemærkelsesværdige teorem er også bemærkelsesværdigt ligetil. Skær først hver polygon i trekanter.

For det andet skal du vende hver trekant til et rektangel, svarende til hvordan Gina omarrangerede den trekantede brownie.

Nu kommer den vanskelige tekniske del: Gør hvert rektangel til et nyt rektangel, der er en enhed bredt.

For at gøre dette skal du begynde at skære stykker af fra rektanglet, der er en enhed brede.

Hvis du kan hugge rektanglet i et integreret antal stykker med bredde 1, er du færdig: Bare stable dem oven på hinanden. Ellers skal du stoppe med at hakke, når det sidste stykke er mellem 1 og 2 enheder bredt, og stable resten oven på hinanden.

Bare rolig, hvis selve rektanglet er mindre end 1 enhed bredt: Skær det bare i halve og brug de to stykker til at lave et nyt rektangel, der er dobbelt så langt og halvt så tykt. Gentag efter behov, indtil du har et rektangel mellem 1 og 2 enheder bredt.

Forestil dig nu, at dette sidste rektangel har højde h og bredde w, med 1 w < 2. Vi skal skære det rektangel op og omarrangere det til et rektangel med bredde 1 og højde h × w. For at gøre dette skal du overlejre h × w rektangel med det ønskede hw × 1 rektangel som dette.

Klip derefter fra hjørne til hjørne langs den stiplede linje, og klip den lille trekant af nederst til højre efter højre kant af hw × 1 rektangel.

Dette skærer h × w rektangel i tre stykker, der kan omarrangeres til en hw × 1 rektangel. (At retfærdiggøre denne sidste dissektion kræver nogle smarte argumenter, der involverer lignende trekanter. Se øvelserne nedenfor for detaljerne).

Til sidst skal du placere dette sidste rektangel oven på stakken, og du har med succes forvandlet denne polygon - i virkeligheden enhver polygon - til et rektangel med bredde 1.

Nu hvis arealet af den oprindelige polygon var A, så skal højden af ​​dette rektangel være A, så hver polygon med areal A er en saks kongruent med et rektangel med bredde 1 og højde A. Det betyder, at hvis to polygoner har areal A, så er de begge sakse kongruente til det samme rektangel, så ved transitivitet er de sakse kongruente med hinanden. Dette viser, at hver polygon med areal A er saks kongruent med hver anden polygon med areal A.

Men selv dette kraftfulde resultat var ikke nok til at fuldføre bedømmelsen af ​​Imaginary University's Brownie Bake Off. Der var stadig én tilmelding tilbage, og ingen var overrasket over, hvad Team Pi dukkede op med.

I det øjeblik Gina så den cirkel komme, vågnede hun koldsved fra sin drøm. Hun vidste, at det var umuligt at skære en cirkel op i endeligt mange stykker og omarrangere dem til en firkant, et rektangel eller en hvilken som helst polygon. I 1964 beviste matematikerne Lester Dubins, Morris Hirsch og Jack Karush, at en cirkel ikke er en saks kongruent med nogen polygon. Ginas drøm var blevet til et geometrisk mareridt.

Men som de altid synes at gøre, forvandlede matematikere denne forhindring til ny matematik. I 1990 beviste Miklós Laczkovich, at det er muligt at skære en cirkel op og omarrangere den til en firkant, så længe du kan bruge uendeligt små, uendeligt adskilte, uendeligt takkede stykker, der umuligt kunne fremstilles med en saks.

Hvor overraskende og spændende Laczkovichs resultat end var, viste det kun, at en sådan nedbrydning er teoretisk mulig. Den forklarede ikke, hvordan man konstruerer stykkerne, kun at de kunne eksistere. Det var her Andras Máthé, Oleg Pikhurko og Jonathan Noel kom ind: I begyndelsen af ​​2022 lagt et papir op hvor de matchede Laczkovichs præstation, men med stykker, der er mulige at visualisere.

Desværre vil du ikke være i stand til at bruge deres resultat til at afregne eventuelle brownie-bage-offs. Saks alene kan ikke producere de 10²⁰⁰ stykker nødvendige i deres nedbrydning. Men det er endnu et skridt fremad i besvarelsen af ​​en lang række spørgsmål, der startede, da Archimedes først opfandt, eller opdagede, $latex pi$. Og det får os til at bevæge os hen imod at opfinde eller opdage ny matematik, som tidligere generationer ikke kunne drømme om.

Øvelser

1. Forklar, hvordan vi ved, at i udledningen af ​​arealformlen for et parallelogram passer den trekant, vi skærer af, perfekt ind i rummet på den anden side af parallelogrammet.

2. Forklar hvorfor enhver trekant kan dissekeres til et rektangel.

For øvelse 3 og 4 skal du overveje diagrammet, der blev brugt til at vise, at en h × w rektangel er saks kongruent med an hw × 1 rektangel med punkter mærket.

3. Forklar hvorfor $latex trekant$ XYQ ligner $latextriangle$ ABX. Hvad gør dette længden af QY?

4. Forklar hvorfor $latex trekant$ PCX er kongruent med $latex trekant$ AZQ.