Introduktion
Knotteteori begyndte som et forsøg på at forstå universets grundlæggende sammensætning. I 1867, da videnskabsmænd ivrigt forsøgte at finde ud af, hvad der muligvis kunne forklare alle de forskellige slags stof, viste den skotske matematiker og fysiker Peter Guthrie Tait sin ven og landsmand Sir William Thomson sin enhed til at generere røgringe. Thomson - senere til at blive Lord Kelvin (navnebror til temperaturskalaen) - blev betaget af ringenes forførende former, deres stabilitet og deres interaktioner. Hans inspiration førte ham i en overraskende retning: Måske, mente han, ligesom røgringene var hvirvler i luften, var atomer sammenknyttede hvirvelringe i den lysende æter, et usynligt medium, hvorigennem, mente fysikerne, lys forplantede sig.
Selvom denne idé fra victoriansk tid nu kan lyde latterlig, var det ikke en useriøs undersøgelse. Denne hvirvelteori havde meget at anbefale den: Den store mangfoldighed af knuder, hver især lidt forskellige, så ud til at afspejle de forskellige egenskaber ved de mange kemiske grundstoffer. Stabiliteten af hvirvelringe kan også give den permanens, som atomer krævede.
Vortex-teorien vandt indpas i det videnskabelige samfund og inspirerede Tait til at begynde at tabulere alle knob, hvilket skabte, hvad han håbede ville svare til en tabel med elementer. Selvfølgelig er atomer ikke knuder, og der er ingen æter. I slutningen af 1880'erne opgav Thomson gradvist sin vortex-teori, men på det tidspunkt var Tait betaget af den matematiske elegance af sine knuder, og han fortsatte sit tabuleringsprojekt. I processen etablerede han det matematiske felt knudeteori.
Vi er alle bekendt med knuder - de holder sko på fødderne, både fastgjort til kajen og bjergbestigere fra klipperne nedenfor. Men disse knuder er ikke præcis, hvad matematikere (inklusive Tait) ville kalde en knude. Selvom en sammenfiltret forlængerledning kan virke knyttet, er det altid muligt at skille den ud. For at få en matematisk knude skal du sætte de frie ender af ledningen sammen for at danne en lukket løkke.
Fordi strengene i en knude er fleksible som snor, betragter matematikere knudeteori som et underfelt af topologi, studiet af formbare former. Nogle gange er det muligt at løse en knude, så den bliver en simpel cirkel, som vi kalder "uknoden". Men oftere er det umuligt at løse en knude.
Knob kan også kombineres for at danne nye knuder. For eksempel, at kombinere en simpel knude kendt som trefoil med sit spejlbillede producerer en firkantet knude. (Og hvis du forbinder to identiske trefoil-knuder, laver du en bedstemor-knude.)
Ved at bruge terminologi fra tallenes verden siger matematikere, at trefoilen er en prime knude, den firkantede knude er sammensat, og ligesom tallet 1, er uknoden ingen af delene. Denne analogi blev yderligere understøttet i 1949, da Horst Schubert beviste, at hver knude enten er prime eller kan dekomponeres unikt til prime knob.
En anden måde at skabe nye knuder på er at flette to eller flere knob sammen og danne et link. Borromeo-ringene, så navngivet, fordi de står på våbenskjoldet til det italienske hus Borromeo, er et simpelt eksempel.
Thomson og Tate var ikke de første til at se knuder på en matematisk måde. Allerede i 1794 skrev Carl Friedrich Gauss om og tegnede eksempler på knuder i sin personlige notesbog. Og Gauss' elev Johann Listing skrev om knob i sin monografi fra 1847 Vorstudien zur Topologie ("Forstudier af topologi") - som også er oprindelsen til termen topologi.
Men Tait var den første lærde, der arbejdede på det, der blev det grundlæggende problem i knudeteorien: klassificeringen og tabuleringen af alle mulige knuder. Gennem mange års omhyggeligt arbejde med kun sin geometriske intuition fandt og klassificerede han alle prime knob, der, når de projiceres på et fly, har højst syv krydsninger.
I slutningen af det 19. århundrede erfarede Tait, at to andre mennesker - pastor Thomas Kirkman og den amerikanske matematiker Charles Little - også studerede dette problem. Med deres kombinerede indsats klassificerede de alle prime knob med op til 10 krydsninger og mange af dem med 11 krydsninger. Utroligt nok var deres borde op til 10 komplette: De savnede ikke nogen knob.
Det er bemærkelsesværdigt, at Tait, Kirkman og Little opnåede så meget uden de teoremer og teknikker, som ville blive opdaget i de kommende år. Men en ting, der virkede til deres fordel, var det faktum, at de fleste små knob er "vekslende", hvilket betyder, at de har en projektion, hvor krydsene udviser et konsekvent over-under-over-under-mønster.
Skiftende knob har egenskaber, der gør dem lettere at klassificere end ikke-vekslende knob. For eksempel er det svært at finde det mindste antal krydsninger for enhver projektion af en knude. Men Tait, som i årevis fejlagtigt antog, at alle knuder var vekslende, formodede en måde at se, om du har fundet det mindste antal: Hvis en vekslende fremspring ikke har nogen krydsninger, der kan fjernes ved at vende en del af knuden, så skal det være fremskrivningen med det mindste antal krydsninger.
Dette og yderligere to af Taits formodninger om skiftende knuder endte med at være sande. Alligevel blev disse berømte formodninger ikke bevist før slutningen af 1980'erne og begyndelsen af 90'erne ved hjælp af et matematisk værktøj udviklet i 1984 af Vaughan Jones, som vandt Fields-medaljen for sit arbejde med knudeteori.
Desværre tager skiftende knuder dig kun så langt. Når vi først kommer i knob med otte eller flere krydsninger, vokser antallet af ikke-vekslende knob hurtigt, hvilket gør Taits teknikker mindre nyttige.
Den originale tabel over alle 10-krydsende knob var komplet, men Tait, Kirkman og Little dobbelttællede. Det var først i 1970'erne, at Kenneth Perko, en advokat, der havde studeret knudeteori på Princeton, bemærkede, at to af knuderne er spejlbilleder af hinanden. De er nu kendt som Perko-parret til hans ære.
I løbet af det sidste århundrede har matematikere fundet mange smarte måder at afgøre, om knuder virkelig er forskellige. Grundlæggende er ideen at identificere en invariant — en egenskab, mængde eller algebraisk enhed, der er forbundet med knuden og ofte kan beregnes enkelt. (Disse egenskaber har navne som farvebarhed, bronummer eller vridning.) Bevæbnet med disse etiketter kan matematikere nu nemt sammenligne to knob: Hvis de adskiller sig i en given egenskab, så er de ikke den samme knude. Ingen af disse egenskaber er dog, hvad matematikere kalder en komplet invariant, hvilket betyder, at to forskellige knob kan have den samme egenskab.
På grund af al denne kompleksitet er det måske ikke nogen overraskelse, at tabuleringen af knob stadig er i gang. Senest, i 2020, Benjamin Burton klassificeret alle prime knob op til 19 krydsninger (hvoraf der er knap 300 mio.).
Traditionel knudeteori giver kun mening i tre dimensioner: I to dimensioner er kun uknoden mulig, og i fire dimensioner giver det ekstra rum knuder mulighed for at løse sig selv, så hver knude er den samme som uknoden.
Men i det firedimensionale rum kan vi knytte sfærer. For at få en fornemmelse af, hvad dette betyder, forestil dig at skære en almindelig kugle i skiver med jævne mellemrum. Hvis du gør det, får du cirkler, som breddegrader. Men hvis vi havde en ekstra dimension, kunne vi knytte kuglen, så skiverne, nu tredimensionelle i stedet for to, kunne være knuder.
Denne idé lå bag et af de største nylige resultater inden for knudeteori. I 2018, daværende kandidatstuderende Lisa Piccirillo afklarede et 50 år gammelt spørgsmål om en 11-krydsende knude først opdaget af John Conway. Spørgsmålet havde at gøre med en egenskab kaldet udsnit. Som vi har set, når vi skærer en knudet kugle i fire dimensioner, får vi en knude eller et led i tre dimensioner. Nogle gange kan vi få en given knude fra en pæn glat knudet kugle, men for andre knob skal kuglen knyttes og krølles sammen som et stykke papir. Piccirillo beviste i det væsentlige, at Conways knude var af sidstnævnte type. I teknisk sprogbrug beviste hun, at det ikke er "glat skive."
Knotteteori har krydset det matematiske landskab gennem århundreder. Det begyndte som et anvendt område af matematik, hvor Thomson forsøgte at bruge knuder til at forstå stoffets sammensætning. Efterhånden som den idé forsvandt, blev det et område af ren matematik, en gren af topologiens spændende og stadig upraktiske domæne. Men i de senere år er knudeteori igen blevet et anvendt område af matematik, da videnskabsmænd bruger ideer fra knudeteori til at undersøge væskedynamik, elektrodynamik, sammenknyttede molekyler såsom DNA og så videre. Heldigvis, mens videnskabsmænd havde travlt med at studere andre ting, byggede matematikere kataloger over knuder og værktøjer til at løse deres hemmeligheder.
