Elliptiske kurver giver deres hemmeligheder i et nyt talsystem | Quanta Magasinet

Mange komplicerede fremskridt inden for forskningsmatematik er ansporet af et ønske om at forstå nogle af de enkleste spørgsmål om tal. Hvordan er primtal fordelt i heltal? Er der perfekte terninger (som 8 = 2³ eller 27 = 3³) der kan skrives som summen af ​​to andre terninger? Mere generelt vil matematikere måske løse en ligning. Men det er ofte umuligt at gøre det ved at pille ved selve ligningen. I stedet finder matematikere måder at forbinde løsningerne med vildt abstrakte strukturer, hvis kompleksitet koder for deres hemmeligheder.

I løbet af de sidste mange årtier har en af ​​de mest spændende forskningslinjer i matematik fulgt denne form. Det har involveret forståelse af forholdet mellem visse former for polynomieligninger kaldet elliptiske kurver og mere esoteriske objekter kaldet modulære former, som brød frem i matematik i 1994, da Andrew Wiles brugte dem til at bevise Fermats sidste sætning, blandt de mest berømte resultater i det 20. århundrede. matematik.

Den sidste januar, Ana Caraiani af Imperial College London og University of Bonn og James Newton fra University of Oxford åbnede en ny forskningsåre på dette område da de beviste at et forhold Wiles havde etableret mellem elliptiske kurver og modulære former, gælder også for nogle matematiske objekter kaldet imaginære kvadratiske felter.

Wiles beviste, at visse former for elliptiske kurver er modulære - hvilket betyder, at der er en bestemt modulær form, der svarer til hver kurve - når de to variable og to koefficienter, der er involveret i at definere kurven, alle er rationelle tal, værdier, der kan skrives som brøker. Efter hans arbejde forsøgte matematikere at etablere modularitet i en bredere vifte af sammenhænge. I 2001 beviste fire matematikere, at alle elliptiske kurver er modulære over de rationelle tal (hvorimod Wiles kun havde bevist dette for nogle kurver). I 2013 har tre matematikere inkl Samir Siksek fra University of Warwick bevist, at elliptiske kurver også er modulære over rigtige kvadratiske felter  (det betyder, at variablerne og koefficienterne er taget fra et talsystem kaldet et reelt kvadratisk felt).

Efterhånden som fremskridtene steg, forblev et bestemt mål uden for rækkevidde: at bevise, at elliptiske kurver er modulære over imaginære kvadratiske felter.

Kvadratiske felter er et matematisk springbræt mellem de rationelle tal og de reelle tal, som inkluderer alle mulige decimaltal, selv dem med uendelige mønstre til højre for decimaltegnet, som aldrig gentages. (Dette inkluderer alle de irrationelle tal, såsom $latex sqrt{2}$ eller $latex pi $.)

Kvadratiske felter vælger et heltal - f.eks. 5 - og inkluderer alle tallene på formen $latex a + bsqrt{5}$ hvor a , b er begge rationelle tal. Hvis det pågældende heltal er positivt, er det resulterende kvadratiske felt en delmængde af de reelle tal, så det er kendt som et reelt kvadratisk felt.

Hvad med elliptiske kurver, der er defineret over imaginære kvadratiske felter - dem, der er dannet ved at tage kvadratroden af ​​et negativt tal?

Det er det problem, Caraiani og Newton tacklede.

For hundreder af år siden definerede matematikere kvadratroden af ​​negative tal på en ligetil måde: De gav et navn, i, til kvadratroden af ​​−1. Så er kvadratroden af ​​ethvert andet negativt tal lige i gange kvadratroden af ​​det tilsvarende positive tal. Så $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Imaginære tal spiller en afgørende rolle i matematik, fordi de for mange problemer er nemmere at arbejde med end reelle tal.

Men at bevise, at elliptiske kurver er modulære over imaginære kvadratiske felter, har længe været uden for rækkevidde, fordi teknikkerne til at bevise modularitet over rigtige kvadratiske felter ikke virker.

Caraiani og Newton opnåede modularitet - for alle elliptiske kurver over omkring halvdelen af ​​alle imaginære kvadratiske felter - ved at finde ud af, hvordan man tilpasser en proces til at bevise modularitet, som er pioneret af Wiles og andre, til elliptiske kurver over imaginære kvadratiske felter.

"Det var her, Caraianis og Newtons smukke arbejde kom ind. De forbedrede det andet trin af Wiles," sagde Chandrashekhar Khare fra University of California, Los Angeles.

Værket er en teknisk præstation i sig selv, og det åbner døren til at gøre fremskridt på nogle af de vigtigste spørgsmål i matematik i imaginære omgivelser.

Matchmaker, Matchmaker

Matematikere har bekymret sig om løsningerne til polynomieligninger - kombinationer af variable hævet til konstante potenser - siden i det mindste de gamle grækere. Ligningerne kommer i uendelige varianter, opnået ved at justere mængden af ​​variabler, disse variables koefficienter og de potenser, de er hævet til. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ er blot et eksempel.

Elliptiske kurver er polynomielle ligninger, der er på det optimale hårdhedsniveau til matematisk undersøgelse. Der er et ryddeligt (og undervist bredt) formel til at finde løsninger til kvadratiske polynomier i én variabel, hvor den højeste potens er 2, men der er ingen sådan formel for løsninger til polynomier, hvor den højeste potens er 5 eller derover. Tilføjelse af flere variabler gør generelt også tingene mere komplicerede. Men elliptiske kurver, som har to variable og hvis højeste potens er 3, som $latex (y^2=x^3+1)$, er udfordrende nok til at inspirere til opfindelser uden at være så hårde, at de føles håbløse.

Et af de grundlæggende spørgsmål om en elliptisk kurve er, om der er endeligt eller uendeligt mange rationelle par, der løser det. Nogle elliptiske kurver har uendeligt mange rationelle løsninger, andre har uendeligt mange, og nogle har slet ingen.

"De har denne slags sjove mellemliggende adfærd," sagde Caraiani.

Hvis du får udleveret en tilfældig elliptisk kurve, er det ikke umiddelbart indlysende, hvilken kategori den falder ind under. Men det er muligt at afkode det ved at parre det med et matchende objekt kaldet en modulær form, hvis egenskaber afslører svaret.

Catch Me a Modular Form

Modulære former er funktioner studeret i analyse, en avanceret form for calculus. De er meget symmetrisk og kan ofte oversættes - flyttes til venstre eller højre - uden at miste deres udseende. På denne måde har de funktioner til fælles med andre meget symmetriske funktioner, såsom sinusfunktionen, selvom de er mindre ligetil at skrive ned eller visualisere.

Hver modulær form kommer med koefficienter. Du kan skrive dem ned og lave en række tal. Disse tal har meget flotte egenskaber og virker langt fra tilfældige. De mystificerede matematikere begyndende i det tidlige 20. århundrede, da det matematiske geni Srinivasan Ramanujan begyndte at opfatte, at mønstrene i koefficienterne for en modulær form er forklaret ved, at hver modulær form er knyttet til en anden slags objekt kaldet en Galois-repræsentation . Senere arbejde bekræftede linket.

Elliptiske kurver har også Galois-repræsentationer, og efter Ramanujans arbejde syntes det muligt, at Galois-repræsentationer kunne interpoleres mellem elliptiske kurver og modulære former: Start med den ene, identificer dens Galois-repræsentation, find den anden.

"Du tænker lidt: Elliptiske kurver, objekter fra geometri, har Galois-repræsentationer, og modulære former har Galois-repræsentationer - er der et match?" sagde Siksek.

I slutningen af ​​1950'erne foreslog Yutaka Taniyama og Goro Shimura, at der er en perfekt 1-til-1-matchning mellem visse modulære former og elliptiske kurver. Det næste årti byggede Robert Langlands videre på denne idé i konstruktionen af ​​hans ekspansivt Langlands-program, som er blevet et af de mest vidtrækkende og konsekvensmæssige forskningsprogrammer i matematik.

Hvis 1-til-1 korrespondancen er sand, ville det give matematikere et kraftfuldt sæt værktøjer til at forstå løsningerne på elliptiske kurver. For eksempel er der en slags numerisk værdi forbundet med hver modulær form. Et af matematikkens vigtigste åbne problemer (beviser, at det kommer med en million dollar præmie) — Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen — foreslår, at hvis denne værdi er nul, så har den elliptiske kurve, der er knyttet til den modulære form, uendeligt mange rationelle løsninger, og hvis den ikke er nul, har den elliptiske kurve uendeligt mange rationelle løsninger.

Men før noget lignende kan tackles, skal matematikere vide, at korrespondancen holder: Giv mig en elliptisk kurve, og jeg kan give dig dens matchende modulære form. At bevise dette er, hvad mange matematikere, fra Wiles til Caraiani og Newton, har været i gang med i løbet af de sidste par årtier.

Se din bog igennem

Forud for Wiles' arbejde var det lykkedes matematikere at bevise en retning af korrespondancen: I nogle tilfælde kunne de starte med en modulær form og finde dens matchende elliptiske kurve. Men at gå i den anden retning - hvilket er, hvad matematikere mener, når de taler om, at elliptiske kurver er modulære - var sværere, og Wiles var den første til at opnå det.

"Tidligere vidste folk, hvordan man gik fra en modulær form til en elliptisk under visse omstændigheder, men denne tilbagegående retning fra elliptisk til modulær var den, som Wiles motiverede," sagde Khare.

Wiles beviste modularitet for nogle slags elliptiske kurver med koefficienter, der er rationelle tal. Det i sig selv var nok til at bevise Fermats sidste sætning som en selvmodsigelse. (Wiles beviste, at hvis Fermats sidste sætning var falsk, ville det antyde eksistensen af ​​en elliptisk kurve, som tidligere arbejde havde fastslået, ikke kan eksistere. Derfor skal Fermats sidste sætning være sand).

Da matematikere udvidede Wiles' arbejde med elliptiske kurver, fulgte de den samme metode, som han havde brugt til at bevise sit oprindelige resultat.

Efter succeserne med at generalisere resultatet til rationelle tal og rationelle kvadratiske felter, var den åbenlyse næste udvidelse til imaginære kvadratiske felter.

"Der er kun to ting, der kan ske: Feltet er enten ægte eller imaginært," sagde Caraiani. "Den virkelige sag var allerede forstået, så det er naturligt at gå til den imaginære sag."

Imaginære kvadratiske felter har de samme grundlæggende aritmetiske egenskaber som de rationelle og de reelle tal, men Wiles' metode kunne ikke transplanteres der nær så let. Der er mange grunde til hvorfor, men især modulære former over imaginære kvadratiske felter er meget mindre symmetriske end de er over rationalerne og realerne. Denne relative mangel på symmetri gør det sværere at definere deres Galois-repræsentationer, som er nøglen til at etablere et match med en elliptisk kurve.

I årevis efter Wiles' Fermat-bevis, "var tilfældet med imaginære kvadratiske felter stadig ud over, hvad der var muligt," sagde Khare. Men i løbet af det sidste årti beredte en række fremskridt vejen for Caraiani og Newtons arbejde.

Bring mig en ring (eller bedre endnu, en mark)

Det første trin i Wiles' metode var at etablere et omtrentligt match mellem elliptiske kurver og modulære former. De to er forbundet via Galois-repræsentationer, der er kodet i en række tal, der kommer unikt på begge sider af parringen.

I sidste ende vil du vise, at tallene, der definerer Galois-repræsentationerne, matcher nøjagtigt, men i dette første trin er det nok at vise, at de adskiller sig med en vis konsistent fejlmargin. For eksempel kan du bevise, at en række tal stemmer overens, hvis du kan tilføje eller trække multipla af 3 fra for at komme fra hvert tal til dets tilsvarende tal. I dette lys passer (4, 7, 2) med (1, 4, 5) eller med (7, 10, 8), men ikke med (2, 8, 3). Du kan også sige, at de matcher, hvis de adskiller sig med multipla af 5, 11 eller et hvilket som helst primtal (af tekniske, men vigtige årsager skal fejlmarginen altid være primtal). A 2019 papir by Patrick Allen, Khare og Jack thorne givet denne form for fodfæste på problemet.

"De beviste teoremer, som giver dig et sted at starte," sagde Newton.

Omkring samme tid, som 2019-opgaven var i gang, arbejdede en gruppe på 10 matematikere på at lave yderligere trin i Wiles' metodearbejde for imaginære kvadratiske felter. Samarbejdet startede i løbet af en uge tilbragt på Institute for Advanced Study og omfattede Allen og Thorne - medforfattere til 2019-papiret - samt Caraiani og Newton.

Gruppens første mål var at fastslå, at de Galois-repræsentationer, der kommer fra modulære former, har en vis form for intern konsistens. Denne egenskab - som er en forudsætning for at matche dem med Galois-repræsentationerne, der kommer fra elliptiske kurver - kaldes lokal-global kompatibilitet.

10-personers samarbejdet formået at gøre dette i nogle særlige tilfælde, men ikke de fleste. Da samarbejdet sluttede, besluttede Caraiani og Newton at fortsætte med at arbejde sammen for at se, om de kunne gøre mere.

"Vi var i London på samme tid, og vi nød at tale med hinanden om ting, der dukkede op på det 10-forfatter-projekt," sagde Caraiani. "Vi vidste, hvad der var problemerne, hvad der var forhindringerne for at gå videre."

Nat efter nat i mørket 

Kort efter at de begyndte at arbejde på egen hånd, landede Caraiani og Newton på en strategi for at gå ud over det arbejde, de havde startet med den større gruppe. Det virkede åbenlyst ikke forkert, men de anede heller ikke, om det virkelig ville virke.

"Vi startede med denne optimistiske idé om, at tingene ville løse sig, at vi kunne bevise noget, der var lidt stærkere end dette 10-forfatterpapir, og til sidst gjorde vi det," sagde Newton.

Caraiani og Newton arbejdede på denne idé i to år, og ved udgangen af ​​2021 havde deres optimisme givet pote: De havde forbedret det lokalt-globale kompatibilitetsresultat lavet af teamet på 10 forfattere. De beskriver hvordan i et langt, teknisk afsnit, der omfatter første halvdel af deres afsluttende papir, som er på mere end 100 sider.

"Vi vidste, at når vi først havde fået dette tekniske stykke på plads, ville modularitet være i spil," sagde Caraiani.

Det første trin i Wiles' metode var at etablere en slags omtrentlig modularitet. Det andet trin var det lokal-globale kompatibilitetsresultat. Det tredje trin var at tage deres viden om, at mindst et lille antal kurver er modulære, og udnytte det til at bevise, at mange kurver er modulære. Dette træk var muligt på grund af det, der kaldes en modularitetsløftesætning.

"Det giver dig mulighed for at sprede modularitet rundt," sagde Newton. "Hvis du kender modulariteten af ​​noget, giver dette løfte [af] ting dig mulighed for at redde modulariteten af ​​mange andre ting. Du udbreder på en måde denne modularitetsegenskab på en eller anden fin måde."

En mageløs kamp

Anvendelse af løfteteoremet gjorde det muligt for Caraiani og Newton at bevise modulariteten af ​​uendeligt mange elliptiske kurver, men der var stadig nogle hjørnetilfælde, de ikke kunne få. Disse var en håndfuld familier af elliptiske kurver med unikke egenskaber, der gjorde dem utilgængelige for løftesætningen.

Men fordi der var så få af dem, kunne Caraiani og Newton angribe dem i hånden - ved at beregne deres Galois-repræsentationer en efter en for at prøve at skabe et match.

"Der havde vi det sjovt med at beregne mange og mange punkter på nogle kurver," sagde Caraiani.

Indsatsen var succesfuld, op til et punkt. Caraiani og Newton formåede i sidste ende at bevise, at alle elliptiske kurver er modulære over omkring halvdelen af ​​de imaginære kvadratiske felter, inklusive de felter, der er dannet ved at kombinere de rationelle tal med kvadratroden af ​​−1, −2, −3 eller −5. For andre imaginære kvadratiske felter var de i stand til at bevise modularitet for mange, men ikke alle, elliptiske kurver. (Modulariteten af ​​holdouts forbliver et åbent spørgsmål.)

Deres resultat giver et grundlag for at undersøge nogle af de samme grundlæggende spørgsmål om elliptiske kurver over imaginære kvadratiske felter, som matematikere forfølger over rationalerne og realerne. Dette inkluderer den imaginære version af Fermats sidste sætning - selvom der skal lægges yderligere grundlag, før det er tilgængeligt - og den imaginære version af Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen.

Men hvis matematikere gør fremskridt på begge steder, vil Caraiani ikke være en del af det - i hvert fald ikke lige nu. Efter års arbejde med elliptiske kurvers modularitet er hun klar til at prøve noget andet.

"Hvis jeg får et resultat i én retning, kan jeg ikke altid lide at fortsætte med kun at arbejde i den retning," sagde hun. "Så nu har jeg skiftet mine interesser til noget med en lidt mere geometrisk smag."

Rettelse: Juli 6, 2023
Denne artikel sagde oprindeligt, at der ikke er nogen generel formel for løsningerne af en polynomialligning, hvis højeste eksponent er 4 eller derover. Det korrekte tal er 5. Artiklen er blevet rettet.