Den simple geometri, der forudsiger molekylære mosaikker | Quanta Magasinet

En lørdag eftermiddag i efteråret 2021, Silvio Decurtins bladede igennem et papir med en titel, der kunne være hentet fra en tegneserie for teenagere med matematisk tilbøjelighed: "Platon's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation."

Det var ikke den usædvanlige titel, der fangede hans blik, men billederne på den tredje side — geologiske mønstre i alle skalaer fra revnet permafrost til Jordens tektoniske plader. Decurtins, en kemiker ved universitetet i Bern, blev mindet om de materialer, han havde studeret. "Ah! Jeg har også mønstre!” han tænkte. "Det er bare et spørgsmål om skala."

Decurtins' mønstre blev ikke dannet af revner i jorden, men af ​​molekyler: de var mosaiklignende fliser af molekyler i ark, der kun var et molekyle tykke. Disse 2D-materialer kan have særlige og praktiske egenskaber, der afhænger af, hvordan deres molekylære byggesten er arrangeret.

For eksempel er det muligt at arrangere molekyler i 2D-mønstre, der bruger elektroner som beregningsbits eller til at lagre data. Mønstre med mellemrum kan fungere som membraner. Og mønstre, der indeholder metalioner, kan være kraftige katalysatorer.

Det er muligt at bygge disse 2D-materialer atom for atom, men det er dyrt, vanskeligt og tidskrævende. Så mange videnskabsmænd, herunder Decurtins og hans kolleger, ønsker at designe materialer, der samler sig selv. At forudsige, hvordan molekyler selv samles til 2D-ark er en af ​​de store udfordringer inden for materialevidenskab, sagde Johannes Barth, en fysiker ved det tekniske universitet i München.

Det er fordi naturen ikke har været særlig fremtrædende med hendes molekylære designfilosofi. Forecasting af selvsamling er et job for supercomputere, og de tunge programmer, der kræves, kan tage dage eller uger at køre.

Så Decurtins tog kontakt til Gábor Domokos, undersøgelsens første forfatter, en matematiker ved Budapest University of Technology and Economics. Decurtins spekulerede på, om den samme geometri, der beskriver, hvordan planeter sprækker, kunne forklare, hvordan molekyler samles.

I løbet af det næste år brugte Domokos og hans kolleger geometrisk tænkning til at udpakke reglerne for molekylær selvsamling - udtænke en ny måde at begrænse de mosaikker, som molekyler kan danne, ved kun at bruge tessellationens simple geometri.

"I begyndelsen troede de ikke på, at du kan gøre det," sagde Domokos. "De lavede kunstig intelligens, supercomputing og al den slags jazz. Og nu kigger de bare på formler. Og det her er meget afslappende.”

Fra planeter til atomer

 Efter at Decurtins tog kontakt, forsøgte Domokos at sælge ideen til Krisztina Regős, hans kandidatstuderende. Decurtins havde sendt en håndfuld billeder af mønstre i atomskala - fliser af et molekyle, der var blevet designet og syntetiseret af hans kollega Shi-Xia Liu - set gennem øjet af et kraftigt mikroskop. Domokos ønskede at se, om Regős kunne bruge den geometri, han oprindeligt havde udviklet, til at beskrive geologiske brud for at karakterisere mønstrene i Decurtins' billeder.

For at komme i gang behandlede Regős 2D-materialerne som simple polygonale tessellationer - mønstre, der passer sammen uden mellemrum og gentages uendeligt. Derefter, efter Domokos' tilgang, beregnede hun to tal for hvert mønster. Den første var det gennemsnitlige antal hjørner eller hjørner pr. polygon. Den anden var det gennemsnitlige antal polygoner, der omgiver hvert toppunkt.

Tilsammen er disse to gennemsnitsværdier som et mønsters GPS-koordinater. De giver dens placering i et landskab af alle mulige tesseller.

Dette landskab kaldes det symbolske plan. Det er et simpelt 2D-gitter med det gennemsnitlige antal former pr. vertex på x-akse og det gennemsnitlige antal hjørner pr. form på y-akse. Hver tessellation skal plotte til præcis ét punkt i flyet. Et perfekt honeycomb-mønster er for eksempel en tessellation af seks-takkede sekskanter, der mødes i trioer ved hvert toppunkt - et punkt ved (3, 6) i det symbolske plan.

Men de fleste naturlige mosaikker, fra stenrevner til molekylære monolag, er ikke perfekt periodiske tesseller.

For eksempel er cellerne i en ægte voksbikage ikke alle perfekte sekskanter. Bier laver fejl. Men hvor rodet det end kan være, er en honeycomb stadig i gennemsnit en honeycomb. Og i gennemsnit plotter den stadig til et punkt ved (3, 6) i det symbolske plan. I stedet for at være en oversimplifikation er Domokos' metode til at beregne gennemsnit indsigtsfuld, sagde matematikeren Marjorie Senechal fra Smith College, som anmeldte den nye undersøgelse. Ved at smide fejlene ud og behandle mønstre som gennemsnit, afslører det en slags ideel virkelighed, der normalt er begravet under dynger af tilfældigheder.

Men da Regős forsøgte at anvende denne metode på Decurtins' molekylære billeder, løb hun hurtigt ind i problemer. "Jeg begyndte at sætte dem på det symbolske plan," sagde hun, "og så indså jeg, at det kan jeg ikke."

Problemet var skalaen. I modsætning til de geologiske mønstre, Domokos havde arbejdet med før, er de molekylære mosaikker virkelig mønstre inden for mønstre. Set i forskellige forstørrelser har de forskellige geometrier. Regős kunne ikke beskrive de molekylære mosaikker med et enkelt par værdier, fordi mønstrene plottede forskellige punkter på det symbolske plan, afhængigt af et billedes forstørrelse. Det var lidt som at zoome ind på en sekskantet flisebelægning og opdage, at dens grundlæggende byggeklodser virkelig er trekanter.

"Så Kriszti sagde: OK, det er noget rod," sagde Domokos.

Så fandt hun ud af, hvordan hun skulle rydde op i mosaikkerne. I stedet for at tvinge materialernes indlejrede mønstre ind i et enkelt par af gennemsnit, brød hun dem op i tre organisationsniveauer, hver repræsenteret af sit eget punkt på det symbolske plan.

På det laveste niveau kombineres atomerne i hvert molekyle og danner en polygon. Disse molekyler forbindes derefter med hinanden via hydrogenbindinger, hvilket skaber en tessellation af polygoner. Til sidst, på det mest zoomede niveau, krymper individuelle molekyler til punkter, og disse punkter forbindes for at danne en mosaik.

I Regős' nye ramme er hvert niveau repræsenteret som et simpelt net af punkter og linjer - en graf.

At bruge grafteori til at beskrive molekylære mønstre "er meget kraftfuldt," sagde Carlos-Andres Palma, en kemisk fysiker ved det kinesiske videnskabsakademi og Humboldt University of Berlin. Traditionelt klassificerer forskere mønstre baseret på deres symmetrier. Men det afspejler ikke virkelighedens rodet - rigtige nanomaterialer er sjældent perfekt periodiske eller symmetriske, sagde Palma. Så at reducere molekylære mønstre til simple, fleksible grafer "giver os mulighed for at kommunikere med den naturlige verden, efter min mening meget bedre," sagde han.

Forudsigelse af mønstre

Regős og Domokos havde nu en måde at beskrive Decurtins' molekylære mosaikker, et vigtigt skridt i retning af at forudsige, hvordan molekyler kunne samle sig selv.

"Vi er virkelig ret dårlige til at forudsige," sagde Ulrich Aschauer, en beregningsfysiker ved universitetet i Salzburg, der arbejder med selvsamling.

Traditionelt bruger videnskabsmænd en række forskellige metoder til at forudsige, hvordan molekyler vil samle sig selv. Aschauer simulerer, hvordan molekyler interagerer på en overflade. Derefter identificerer han de mønstre, der kræver mindst energi for at dannes, og som burde være størst sandsynlighed for at dukke op. Andre videnskabsmænd screener et stort antal tilfældigt genererede mønstre, eller de træner maskinlæringsalgoritmer til at forudsige selvsamling. Alle disse metoder er beregningsmæssigt dyre - Palma huskede, hvordan en kollega engang simulerede vandmolekyler i årevis, bare for at lave en enkelt forudsigelse om, hvordan vand samler sig selv. Maskinlæringsalgoritmer har også blinde vinkler; de lærer kun, hvad du fodrer dem, sagde Aschauer. Og det er umuligt at kontrollere alle mulige mønstre, så videnskabsmænd må ofte gætte, hvilke der er værd at overveje i første omgang.

"Vores startgæt afgør den sidste ting, vi finder," forklarede Aschauer. "Og det er et kæmpe problem, for hvis jeg ikke har den rigtige intuition til at starte med, ender jeg i det forkerte."

Men Regős og Domokos' geometri var agnostisk. Det behandlede simpelthen molekyler som punkter og bindinger som linjer. Det krævede ikke et startgæt.

Efter at have mødt Aschauer og Decurtins personligt i Schweiz, vendte matematikerne sig endelig til den rodede forretning med at forsøge at forudsige mønstre i stedet for blot at beskrive dem.

Gömböcs og broer

Som det stod, kunne Regős' system begrænse et mønsters midterste organisationsniveau, hvor molekyler er polygoner og hydrogenbindinger er linjer. Men hun kunne ikke arbejde opad fra den molekylære flise for at forudsige den store mosaik. Uden noget til matematisk at forbinde alle tre niveauer, var hendes model som en stige med et manglende trin.

Domokos besluttede, at det var værd at tjekke ind med Kostya Novoselov — en fysiker ved National University of Singapore, der delte en nobelpris til syntetisering af grafen, måske det mest berømte 2D-materiale af alle. De to havde mødt hinanden ved et uheld tidligere samme år, efter at Novoselov havde bestilt et iøjnefaldende antal Gömböcs, nye geometriske former, som Domokos havde opdaget, fra en butik i Budapest.

Med Novoselovs input forfinede Domokos og Regős deres geometriske model. Indtil da havde de kun brugt tre niveauer af organisation: molekylet, mellemskalamønsteret og storskalamønsteret. Novoselov foreslog at tilføje et fjerde niveau - en bro mellem det mellemstore og store niveau. Ligningen, der beskriver denne bro, forbandt geometrien af ​​det mindste og mellemste niveau med det største niveau, den molekylære mosaik.

Med broen på plads kunne holdet nu tage den molekylære flise og arbejde opad for at begrænse dens potentielle storskalamønstre ved hjælp af et simpelt system af fem algebraiske ligninger og uligheder, der kunne passe på bagsiden af ​​en konvolut. I disse matematiske udsagn er variablerne et mønsters koordinater på det symbolske plan, plus nogle udtryk, der beskriver et molekyles struktur. Set som en helhed relaterer systemet hvert organisationsniveau til de andre og til et mønsters koordinater på det symbolske plan.

Plottet på det symbolske plan falder et molekyles mulige arrangementer i stor skala på et lille udsnit af kurven, der definerer alle mulige rumfyldende 2D-molekylære mønstre. Forskerne kunne nu bruge startmolekylet til at begrænse den skive.

Men de var endnu ikke overbevist om, at deres "udsnit" af mulige mønstre var lille nok. Hvis det var for bredt, ville det ikke være en særlig nyttig begrænsning. Da Liu plottede strukturerne af 2D-vandis på det symbolske plan, fandt hun ud af, at de faldt perfekt i de yderste ender af metodens forudsagte rækkevidde. Grænserne kunne ikke forbedres.

"Dette er naturens sprog her," sagde Domokos. "Det var en stor overraskelse for mig."

Vækst og form

Nær afslutningen af ​​projektet, i maj 2022, rejste ungarerne igen til Schweiz. Denne gang overraskede deres kolleger dem med et besøg i mikroskopet, der havde produceret de billeder, de havde arbejdet med - og det var da Regős og Domokos endelig indså, hvad de havde gjort: Ved matematisk at forbinde storskala mosaikker med molekylære bindinger i meget mindre skala havde de fanget noget af det usynlige virvar af interaktioner, der i sidste ende dikterer, hvordan molekylære mønstre dannes. Deres geometri kunne "se" ting, maskinen ikke kunne.

"Det var utroligt," sagde Regős. "Vi gik ned i kælderen og så, at de er ved grænsen af ​​vores videnskab."

At bruge et mikroskop til at forstå selvsamlede mønstre, sagde Novoselov, er som at prøve at forstå græs ved at tage billeder af det fra oven. De billeder fortæller dig meget om græs, "men bestemt ikke alt," sagde han. De afslører lidt om græssets rødder, eller hvordan det vokser. Domokos og Regős' rammer kan ikke se rødderne perfekt, men det tilbyder en helt ny måde at skitsere dem på, ved at forbinde et mønsters molekylære byggesten til den eventuelle mosaik.

"De fortsætter en vidunderlig gammel tradition for at studere forholdet mellem vækst og form," sagde Senechal, "som er virkelig central for at forstå alt i verden omkring os."

Molekylær selvsamling begynder ofte med en lille plet materiale, der vokser til et større mønster. Imidlertid antager den nye matematiske ramme et uendeligt mønster, ikke en endelig patch. At tilpasse arbejdet for at beskrive, hvordan endelige pletter vokser til større mønstre, kunne være et skridt i retning af ægte forudsigelse, sagde Palma. Aschauer sagde, at han planlægger at bruge geometrien som en guide til blindgyder og lovende, men uudforskede hjørner i landskabet af mulige mønstre. Og at bruge det matematiske sprog på det symbolske fly til at træne maskinlæringsmodeller kunne være spændende, tilføjede han.

"Jeg er virkelig fascineret af skønheden ved det," sagde Novoselov. "Med meget lidt - blot en grundlæggende matematisk tilgang, som er virkelig ren geometri, kun grafer i 2D - er du i stand til at forudsige så mange ting."

Matematikken er enkel, sagde Senechal. Men "at se enkelhed," tilføjede hun, "kræver en masse sofistikering."