Die Integralformel für die relative Quantenentropie impliziert eine Ungleichheit bei der Datenverarbeitung

Die Integralformel für die relative Quantenentropie impliziert eine Ungleichheit bei der Datenverarbeitung

Zeitstempel: 7. September 2023, 10:21 Uhr
Die Integralformel für die relative Quantenentropie impliziert eine Ungleichheit bei der Datenverarbeitung. PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertikale Suche. Ai.

Peter E. Frenkel

Eötvös-Universität, Institut für Mathematik, Pázmány Péter sétány 1/C, Budapest, 1117 Ungarn
Rényi-Institut, Budapest, Reáltanoda u. 13-15, 1053 Ungarn

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Abstrakt

Integrale Darstellungen der relativen Quantenentropie sowie der Richtungsableitungen zweiter und höherer Ordnung der von Neumann-Entropie werden erstellt und verwendet, um einfache Beweise für grundlegende, bekannte Datenverarbeitungsungleichungen zu liefern: die Holevo-Grenze für die von einem Quant übertragene Informationsmenge Kommunikationskanal und, viel allgemeiner, die Monotonie der relativen Quantenentropie unter spurenerhaltenden positiven linearen Karten – muss nicht von einer vollständigen Positivität der Karte ausgegangen werden. Letzteres Ergebnis wurde erstmals von Müller-Hermes und Reeb auf der Grundlage der Arbeit von Beigi bewiesen. Für eine einfache Anwendung solcher Monotonien betrachten wir jede „Divergenz“, die bei Quantenmessungen nicht zunimmt, wie etwa die Konkavität der von Neumann-Entropie oder verschiedene bekannte Quantendivergenzen. Ein elegantes Argument von Hiai, Ohya und Tsukada wird verwendet, um zu zeigen, dass das Infimum einer solchen „Divergenz“ auf Paaren von Quantenzuständen mit vorgeschriebenem Spurabstand dasselbe ist wie das entsprechende Infimum auf Paaren binärer klassischer Zustände. Anwendungen der neuen Integralformeln auf das allgemeine Wahrscheinlichkeitsmodell der Informationstheorie und eine verwandte Integralformel für die klassische Rényi-Divergenz werden ebenfalls diskutiert.

Populäre Zusammenfassung

Die 1959 eingeführte Quantenrelative Entropie von Umegaki ist ein grundlegendes Maß für die Unähnlichkeit zweier Quantenzustände. Das Hauptergebnis der Arbeit ist eine neue Integralformel, die die relative Quantenentropie mit den Spurennormen linearer Kombinationen der beiden Zustände in Beziehung setzt. Dies führt zu Integralformeln für die Richtungsableitungen höherer Ordnung der von Neumann-Entropie und zu einem besseren Verständnis von Datenverarbeitungsungleichungen. Es findet auch Anwendung auf das allgemeine probabilistische Modell der Informationstheorie.

Außerdem wird ein binäres Reduktionsprinzip für verallgemeinerte Divergenzen vorgestellt, das insbesondere zu einer verbesserten Untergrenze im Pinsker-Stil für die Holevo-Menge zweier Quantenzustände in Bezug auf ihren Spurabstand führt.

Der Artikel wird bereits in zwei Preprints zitiert, die das Hauptergebnis im Wesentlichen umsetzen:
[Anna Jencová, Wiederherstellbarkeit von Quantenkanälen durch Hypothesentests, arXiv:2303.11707] und [Christoph Hirche, Marco Tomamichel, Quantum Rényi und $f$-Divergenzen aus Integraldarstellungen, arXiv:2306.12343].

► BibTeX-Daten

► Referenzen

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Zitiert von

[1] Anna Jenčová, „Wiederherstellung von Quantenkanälen durch Hypothesentests“, arXiv: 2303.11707, (2023).

[2] Christoph Hirche und Marco Tomamichel, „Quantum Rényi und $f$-Divergenzen aus Integraldarstellungen“, arXiv: 2306.12343, (2023).

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