Doppelklammer-Quantenalgorithmen zur Diagonalisierung

Doppelklammer-Quantenalgorithmen zur Diagonalisierung

Zeitstempel: 9. April 2024, 9:33 Uhr

Marek Gluza

School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, 21 Nanyang Link, 637371 Singapur, Republik Singapur

Findest du dieses Paper interessant oder möchtest du darüber diskutieren? Scite oder hinterlasse einen Kommentar zu SciRate.

Abstrakt

Diese Arbeit schlägt Doppelklammer-Iterationen als Rahmen für die Erlangung diagonalisierender Quantenschaltungen vor. Ihre Implementierung auf einem Quantencomputer besteht aus der Verschachtelung von durch den Eingabe-Hamiltonoperator erzeugten Entwicklungen mit diagonalen Entwicklungen, die variierend gewählt werden können. Es sind keine Qubit-Overheads oder Controlled-Unitary-Operationen erforderlich, aber die Methode ist rekursiv, wodurch die Schaltungstiefe exponentiell mit der Anzahl der Rekursionsschritte wächst. Um kurzfristige Implementierungen realisierbar zu machen, umfasst der Vorschlag die Optimierung diagonaler Evolutionsgeneratoren und der Rekursionsschrittdauern. Tatsächlich zeigen numerische Beispiele dank dieser Zahlen, dass die Ausdruckskraft von Doppelklammeriterationen ausreicht, um Eigenzustände relevanter Quantenmodelle mit wenigen Rekursionsschritten zu approximieren. Im Vergleich zur Brute-Force-Optimierung unstrukturierter Schaltkreise unterliegen Iterationen mit doppelter Klammer nicht den gleichen Einschränkungen der Trainierbarkeit. Darüber hinaus sind sie aufgrund der geringeren Implementierungskosten als für die Quantenphasenschätzung erforderlich für kurzfristige Quantencomputerexperimente besser geeignet. Im weiteren Sinne eröffnet diese Arbeit einen Weg zur Konstruktion zielgerichteter Quantenalgorithmen auf der Grundlage sogenannter Doppelklammerflüsse auch für Aufgaben, die sich von der Diagonalisierung unterscheiden, und erweitert so das Quantencomputer-Toolkit, das auf praktische physikalische Probleme ausgerichtet ist.

Doppelte Klammer-Quantenalgorithmen zur Diagonalisierung PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertikale Suche. Ai.

Ausgewähltes Bild: Pseudocode der Diagonalisierungsgleichungen, die zu Schaltkreisen führen, die die Approximation von Eigenzuständen ermöglichen.

Populäre Zusammenfassung

Eine Methode zur Vorbereitung von Zuständen komplizierter Materialien auf einem Quantencomputer.

► BibTeX-Daten

► Referenzen

[1] Kishor Bharti, Alba Cervera-Lierta, Thi Ha Kyaw, Tobias Haug, Sumner Alperin-Lea, Abhinav Anand, Matthias Degroote, Hermanni Heimonen, Jakob S. Kottmann, Tim Menke, Wai-Keong Mok, Sukin Sim, Leong-Chuan Kwek, und Alán Aspuru-Guzik. "Rauschende Quantenalgorithmen im mittleren Maßstab". Rev. Mod. Phys. 94, 015004 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.94.015004

[2] Lennart Bittel und Martin Kliesch. „Das Training von Variationsquantenalgorithmen ist np-schwer.“ Physik. Rev. Lett. 127, 120502 (2021).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.127.120502

[3] Daniel Stilck Franca und Raul Garcia-Patron. „Einschränkungen von Optimierungsalgorithmen auf verrauschten Quantengeräten“. Nature Physics 17, 1221–1227 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-021-01356-3

[4] Cornelius Lanczos. „Eine Iterationsmethode zur Lösung des Eigenwertproblems linearer Differential- und Integraloperatoren“. Journal of Research des National Bureau of Standards 45 (1950).
https: // doi.org/ 10.6028 / jres.045.026

[5] Mario Motta, Chong Sun, Adrian TK Tan, Matthew J O'Rourke, Erika Ye, Austin J Minnich, Fernando GSL Brandao und Garnet Kin Chan. „Bestimmung von Eigenzuständen und thermischen Zuständen auf einem Quantencomputer mithilfe der imaginären Quantenzeitentwicklung“. Nature Physics 16, 205–210 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0704-4

[6] Christian Kokail, Christine Maier, Rick van Bijnen, Tiff Brydges, Manoj K. Joshi, Petar Jurcevic, Christine A. Muschik, Pietro Silvi, Rainer Blatt, Christian F. Roos, et al. „Selbstverifizierende Variationsquantensimulation von Gittermodellen“. Natur 569, 355–360 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-019-1177-4

[7] Stanisław D. Głazek und Kenneth G. Wilson. „Renormalisierung der Hamiltonianer“. Physik. Rev. D 48, 5863–5872 (1993).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevD.48.5863

[8] Stanislaw D. Glazek und Kenneth G. Wilson. „Störende Renormierungsgruppe für Hamiltonianer“. Physik. Rev. D 49, 4214–4218 (1994).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevD.49.4214

[9] Franz Wegner. „Strömungsgleichungen für Hamiltonianer“. Annalen der Physik 506, 77–91 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1002 / andp.19945060203

[10] S Kehrein. „Der Strömungsgleichungsansatz für Vielteilchensysteme“. Springer Tracts Mod. Physik. 217, 1–170 (2006).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​3-540-34068-8

[11] Franz Wegner. „Strömungsgleichungen und Normalordnung: eine Übersicht“. Journal of Physics A: Mathematical and General 39, 8221 (2006).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​39/​25/​s29

[12] Percy Deift, Tara Nanda und Carlos Tomei. „Gewöhnliche Differentialgleichungen und das symmetrische Eigenwertproblem“. SIAM Journal on Numerical Analysis 20, 1–22 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 0720001

[13] RW Brockett. „Dynamische Systeme, die Listen sortieren, Matrizen diagonalisieren und lineare Programmierprobleme lösen“. Lineare Algebra und ihre Anwendungen 146, 79–91 (1991).

[14] Moody T. Chu. „Zur kontinuierlichen Realisierung iterativer Prozesse“. SIAM Review 30, 375–387 (1988). URL: http://www.jstor.org/​stable/​2030697.
http: // www.jstor.org/stable/2030697

[15] Uwe Helmke und John B. Moore. „Optimierung und dynamische Systeme“. Springer London. (1994).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4471-3467-1

[16] Andrew M. Childs und Yuan Su. „Annähernd optimale Gittersimulation durch Produktformeln“. Physik. Rev. Lett. 123, 050503 (2019).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.123.050503

[17] Esteban A. Martinez, Christine A. Muschik, Philipp Schindler, Daniel Nigg, Alexander Erhard, Markus Heyl, Philipp Hauke, Marcello Dalmonte, Thomas Monz, Peter Zoller, et al. „Echtzeitdynamik von Gittereichtheorien mit einem Quantencomputer mit wenigen Qubits“. Natur 534, 516–519 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature18318

[18] Frank Arute, Kunal Arya, Ryan Babbush, Dave Bacon, Joseph C. Bardin, Rami Barends, Sergio Boixo, Michael Broughton, Bob B. Buckley, et al. „Hartree-fock über einen supraleitenden Qubit-Quantencomputer“. Science 369, 1084–1089 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.abb9811

[19] Frank HB Somhorst, Reinier van der Meer, Malaquias Correa Anguita, Riko Schadow, Henk J Snijders, Michiel de Goede, Ben Kassenberg, Pim Venderbosch, Caterina Taballione, JP Epping, et al. „Quantensimulation der Thermodynamik in einem integrierten quantenphotonischen Prozessor“. Naturkommunikation 14, 3895 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-023-38413-9

[20] Jeongrak Son, Marek Gluza, Ryuji Takagi und Nelly HY Ng. „Quantendynamische Programmierung“ (2024). arXiv:2403.09187.
arXiv: 2403.09187

[21] Alexander Streltsov, Gerardo Adesso und Martin B. Plenio. „Kolloquium: Quantenkohärenz als Ressource“. Rev. Mod. Physik. 89, 041003 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.89.041003

[22] Stavros Efthymiou, Sergi Ramos-Calderer, Carlos Bravo-Prieto, Adrián Pérez-Salinas, Diego García-Martín, Artur Garcia-Saez, José Ignacio Latorre und Stefano Carrazza. „Qibo: ein Framework für die Quantensimulation mit Hardwarebeschleunigung“. Quantenwissenschaft und -technologie 7, 015018 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​ac39f5

[23] Michael A. Nielsen und Isaac L. Chuang. „Quantenberechnung und Quanteninformation“. Cambridge University Press. (2010).

[24] JB Moore, RE Mahony und U Helmke. „Numerische Gradientenalgorithmen für Eigenwert- und Singularwertberechnungen“. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 15, 881–902 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1137 / S0036141092229732

[25] R. Brockett. „Dynamische Systeme, die Listen sortieren, lineare Programmierprobleme lösen und symmetrische Matrizen diagonalisieren“. In Proc. 1988 IEEE-Konferenz über Entscheidung und Kontrolle, Linear Algebra Appl. Band 146, Seiten 79–91. (1991).

[26] R. Brockett. „Dynamische Systeme, die Listen sortieren, Matrizen diagonalisieren und lineare Programmierprobleme lösen“. Lineare Algebra und ihre Anwendungen 146, 79–91 (1991).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(91)90021-N

[27] Steven Thomas Smith. „Geometrische Optimierungsmethoden für adaptive Filterung“. Harvard Universität. (1993).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1305.1886

[28] Christopher M. Dawson und Michael A. Nielsen. „Der Solovay-Kitaev-Algorithmus“. Quantum Information & Computation 6, 81–95 (2006).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0505030
arXiv: quant-ph / 0505030

[29] Yu-An Chen, Andrew M. Childs, Mohammad Hafezi, Zhang Jiang, Hwanmun Kim und Yijia Xu. „Effiziente Produktformeln für Kommutatoren und Anwendungen zur Quantensimulation“. Physik. Rev. Res. 4, 013191 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.4.013191

[30] Dave Wecker, Bela Bauer, Bryan K. Clark, Matthew B. Hastings und Matthias Troyer. „Gate-Count-Schätzungen zur Durchführung der Quantenchemie auf kleinen Quantencomputern“. Physik. Rev. A 90, 022305 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.022305

[31] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe und Shuchen Zhu. „Theorie des Traberfehlers mit Kommutator-Skalierung“. Phys. Rev. X 11, 011020 (2021).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevX.11.011020

[32] Dominic W. Berry, Andrew M. Childs, Richard Cleve, Robin Kothari und Rolando D. Somma. "Simulation der Hamilton-Dynamik mit einer abgeschnittenen Taylor-Reihe". Phys. Rev. Lett. 114, 090502 (2015).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.114.090502

[33] Guang Hao Low und Isaac L. Chuang. „Hamiltonsche Simulation durch Qubitisierung“. Quantum 3, 163 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2019-07-12-163

[34] John Watrous. „Theorie der Quanteninformation“. Cambridge University Press. (2018).
https: / / doi.org/ 10.1017 / 9781316848142

[35] Pierre Pfeuty. „Das eindimensionale Ising-Modell mit einem transversalen Feld“. Ann. Physik. 57, 79 – 90 (1970).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0003-4916(70)90270-8

[36] Lin Lin und Yu Tong. "Nahezu optimale Grundzustandsvorbereitung". Quantum 4, 372 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-12-14-372

[37] Andrew M. Childs und Robin Kothari. „Einschränkungen bei der Simulation nicht-sparser Hamiltonianer“. Quantum Information & Computation 10, 669–684 (2010).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC10.7-8

[38] Matthew B. Hastings. „Über Lieb-Robinson-Grenzen für den Doppelklammerfluss“ (2022). arXiv:2201.07141.
arXiv: 2201.07141

[39] Yich Huang. "Universelle Eigenzustandsverschränkung chaotischer lokaler Hamiltonianer". Kernphysik B 938, 594–604 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.nuclphysb.2018.09.013

[40] Elliott H. Lieb und Derek W. Robinson. „Die endliche Gruppengeschwindigkeit von Quantenspinsystemen“. In der statistischen Mechanik. Seiten 425–431. Springer (1972).

[41] Bruno Nachtergaele, Robert Sims und Amanda Young. „Quasi-Lokalitätsgrenzen für Quantengittersysteme. ich. Lieb-Robinson-Grenzen, quasi-lokale Karten und spektrale Flussautomorphismen“. Journal of Mathematical Physics 60, 061101 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.5095769

[42] Tomotaka Kuwahara und Keiji Saito. „Eigenzustandsthermalisierung aus der Clustereigenschaft der Korrelation“. Physik. Rev. Lett. 124, 200604 (2020).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.124.200604

[43] Fernando GSL Brandao, Elizabeth Crosson, M Burak Sahinoglu und John Bowen. „Quantenfehlerkorrekturcodes in Eigenzuständen translatorischer Spinketten“. Physik. Rev. Lett. 123, 110502 (2019).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.123.110502

[44] Álvaro M. Alhambra, Jonathon Riddell und Luis Pedro García-Pintos. „Zeitliche Entwicklung von Korrelationsfunktionen in Quanten-Vielteilchensystemen“. Physik. Rev. Lett. 124, 110605 (2020).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.124.110605

[45] Michael M. Wolf, Frank Verstraete, Matthew B. Hastings und J. Ignacio Cirac. „Flächengesetze in Quantensystemen: Gegenseitige Information und Korrelationen“. Physik. Rev. Lett. 100, 070502 (2008).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.100.070502

[46] David Pekker, Bryan K. Clark, Vadim Oganesyan und Gil Refael. „Fixpunkte von Wegner-Wilson-Strömungen und Vielkörperlokalisierung“. Physik. Rev. Lett. 119, 075701 (2017).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.119.075701

[47] Steven J. Thomson und Marco Schirò. „Lokale Integrale der Bewegung in quasiperiodischen lokalisierten Vielteilchensystemen“. SciPost Phys. 14, 125 (2023).
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.14.5.125

[48] Ryan LaRose, Arkin Tikku, Étude O'Neel-Judy, Lukasz Cincio und Patrick J Coles. „Variative Quantenzustandsdiagonalisierung“. npj Quantum Information 5, 1–10 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-019-0167-6

[49] Jinfeng Zeng, Chenfeng Cao, Chao Zhang, Pengxiang Xu und Bei Zeng. „Ein Variationsquantenalgorithmus für die hamiltonsche Diagonalisierung“. Quantenwissenschaft und -technologie 6, 045009 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​ac11a7

[50] Benjamin Commeau, Marco Cerezo, Zoë Holmes, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles und Andrew Sornborger. „Variationelle Hamiltonsche Diagonalisierung für dynamische Quantensimulation“ (2020). arXiv:2009.02559.
arXiv: 2009.02559

[51] Cristina Cirstoiu, Zoe Holmes, Joseph Iosue, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles und Andrew Sornborger. „Variationeller schneller Vorlauf für die Quantensimulation über die Kohärenzzeit hinaus“. npj Quantum Information 6, 82 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-020-00302-0

[52] Joe Gibbs, Kaitlin Gili, Zoë Holmes, Benjamin Commeau, Andrew Arrasmith, Lukasz Cincio, Patrick J Coles und Andrew Sornborger. „Langzeitsimulationen für feste Eingabezustände auf Quantenhardware“. npj Quantum Information 8, 135 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-022-00625-0

[53] Roeland Wiersema und Nathan Killoran. „Optimierung von Quantenschaltungen mit Riemannschem Gradientenfluss“. Physik. Rev. A 107, 062421 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.107.062421

[54] Emanuel Knill, Gerardo Ortiz und Rolando D. Somma. „Optimale Quantenmessungen von Erwartungswerten von Observablen“. Physik. Rev. A 75, 012328 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.75.012328

[55] David Poulin und Pawel Wocjan. „Probenahme aus dem thermischen Quanten-Gibbs-Zustand und Auswertung von Partitionsfunktionen mit einem Quantencomputer“. Physik. Rev. Lett. 103, 220502 (2009).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.103.220502

[56] Kristan Temme, Tobias J. Osborne, Karl G. Vollbrecht, David Poulin und Frank Verstraete. „Quantenmetropolen-Sampling“. Natur 471, 87–90 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature09770

[57] Yimin Ge, Jordi Tura und J. Ignacio Cirac. „Schnellere Grundzustandsvorbereitung und hochpräzise Bodenenergieschätzung mit weniger Qubits“. Zeitschrift für Mathematische Physik 60, 022202 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.5027484

[58] András Gilyén, Yuan Su, Guang Hao Low und Nathan Wiebe. "Quanten-Singulärwert-Transformation und darüber hinaus: Exponentielle Verbesserungen für die Quantenmatrix-Arithmetik". In Proceedings of the 51st Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing. Seiten 193–204. (2019).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3313276.3316366

[59] Kok Chuan Tan, Dhiman Bowmick und Pinaki Sengupta. „Quantenstochastische Reihenerweiterungsmethoden“ (2020). arXiv:2010.00949.
arXiv: 2010.00949

[60] Yulong Dong, Lin Lin und Yu Tong. „Grundzustandsvorbereitung und Energieschätzung auf frühen fehlertoleranten Quantencomputern mittels Quanteneigenwerttransformation einheitlicher Matrizen“ (2022). arXiv:2204.05955.
arXiv: 2204.0595

[61] Lin Lin und Yu Tong. "Heisenberg-begrenzte Grundzustandsenergieschätzung für frühe fehlertolerante Quantencomputer". PRX Quantum 3, 010318 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.3.010318

[62] Ethan N. Epperly, Lin Lin und Yuji Nakatsukasa. „Eine Theorie der Quanten-Unterraumdiagonalisierung“ (2021). arXiv:2110.07492.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1361-6455/​ac44e0
arXiv: 2110.07492

[63] Ein Yu Kitaev. „Quantenmessungen und das abelsche Stabilisatorproblem“ (1995). arXiv:quant-ph/9511026.
arXiv: quant-ph / 9511026

[64] Lin Lin. „Vorlesungsskript zu Quantenalgorithmen für wissenschaftliche Berechnungen“ (2022). arXiv:2201.08309.
arXiv: 2201.08309

[65] Gilles Brassard, Peter Hoyer, Michele Mosca und Alain Tapp. „Quantenamplitudenverstärkung und -schätzung“. Zeitgenössische Mathematik 305, 53–74 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1090 / conm / 305/05215

[66] Robert M. Parrish und Peter L. McMahon. „Quantenfilterdiagonalisierung: Quanteneigenzerlegung ohne vollständige Quantenphasenschätzung“ (2019). arXiv:1909.08925.
arXiv: 1909.08925

[67] Nicholas H. Stair, Renke Huang und Francesco A. Evangelista. „Ein Multireferenz-Quanten-Krylov-Algorithmus für stark korrelierte Elektronen“. Journal of Chemical Theory and Computation 16, 2236–2245 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1021 / acs.jctc.9b01125

[68] Gene Golub und William Kahan. „Berechnung der Singulärwerte und der Pseudoinversen einer Matrix“. Zeitschrift der Society for Industrial and Applied Mathematics, Reihe B: Numerical Analysis 2, 205–224 (1965).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 0702016

[69] RW Brockett. „Kleinste-Quadrate-Matching-Probleme“. Lineare Algebra und ihre Anwendungen 122–124, 761–777 (1989).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0024-3795(89)90675-7

[70] Roger W. Brockett. „Glatte dynamische Systeme, die arithmetische und logische Operationen realisieren“. Drei Jahrzehnte mathematische Systemtheorie: Eine Sammlung von Umfragen anlässlich des 50. Geburtstags von Jan C. Willems, Seiten 19–30 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BFb0008457

[71] Anthony M. Bloch. „Ein vollständig integrierbares Hamilton-System im Zusammenhang mit der Linienanpassung in komplexen Vektorräumen“. Stier. Amer. Mathematik. Soc. (1985).

[72] Anthony Bloch. „Schätzung, Hauptkomponenten und hamiltonsche Systeme“. Systems & Control Letters 6, 103–108 (1985).

[73] Anthony M. Bloch. „Steilster Abstieg, lineare Programmierung und Hamilton-Flüsse“. Zeitgenössisch Mathematik. AMS 114, 77–88 (1990).
https: / / doi.org/ 10.1090 / conm / 114

[74] Anthony M. Bloch, Roger W. Brockett und Tudor S. Ratiu. „Vollständig integrierbare Gradientenflüsse“. Communications in Mathematical Physics 147, 57–74 (1992).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02099528

[75] Nic Ezzell, Bibek Pokharel, Lina Tewala, Gregory Quiroz und Daniel A Lidar. „Dynamische Entkopplung für supraleitende Qubits: eine Leistungsumfrage“ (2022). arXiv:2207.03670.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.20.064027
arXiv: 2207.03670

[76] Rajendra Bhatia. „Matrixanalyse“. Band 169. Springer Science & Business Media. (1996).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-1-4612-0653-8

[77] Steven T. Flammia und Yi-Kai Liu. „Direkte Wiedergabetreueschätzung aus wenigen Pauli-Messungen“. Physik. Rev. Lett. 106, 230501 (2011).
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevLett.106.230501

[78] Marek Gluza. URL: github.com/​marekgluza/​double_bracket_flow_as_a_diagonalization_quantum_algorithm.
https://​/​github.com/​marekgluza/​double_bracket_flow_as_a_diagonalization_quantum_algorithm

[79] „Wissenschaftliches Zusammenwirken“. URL: Scientific-Conduct.github.io.
https: // science-conduct.github.io

[80] Morris W. Hirsch, Stephen Smale und Robert L. Devaney. „Differentialgleichungen, dynamische Systeme und eine Einführung in das Chaos“. Akademische Presse. (2012).

Zitiert von

[1] Jeongrak Son, Marek Gluza, Ryuji Takagi und Nelly HY Ng, „Quantum Dynamic Programming“, arXiv: 2403.09187, (2024).

[2] Michael Kreshchuk, James P. Vary und Peter J. Love, „Simulating Scattering of Composite Particles“, arXiv: 2310.13742, (2023).

Die obigen Zitate stammen von SAO / NASA ADS (Zuletzt erfolgreich aktualisiert am 2024, 04:10:01 Uhr). Die Liste ist möglicherweise unvollständig, da nicht alle Verlage geeignete und vollständige Zitationsdaten bereitstellen.

On Der von Crossref zitierte Dienst Es wurden keine Daten zum Zitieren von Werken gefunden (letzter Versuch 2024-04-10 01:36:16).

Dieses Papier ist in Quantum unter dem veröffentlicht Creative Commons Namensnennung 4.0 International (CC BY 4.0) Lizenz. Das Copyright verbleibt bei den ursprünglichen Copyright-Inhabern wie den Autoren oder deren Institutionen.

Zeitstempel:

Mehr von Quantenjournal