Effiziente Quantenamplitudenkodierung von Polynomfunktionen

Effiziente Quantenamplitudenkodierung von Polynomfunktionen

Zeitstempel: 21. März 2024, 1:14 Uhr

Javier Gonzalez-Conde1,2, Thomas W. Watts3, Pablo Rodriguez-Grasa1,2,4, und Mikel Sanz1,2,5,6

1Institut für Physikalische Chemie, Universität des Baskenlandes UPV / EHU, Apartado 644, 48080 Bilbao, Spanien
2EHU Quantum Center, Universität des Baskenlandes UPV/EHU, Apartado 644, 48080 Bilbao, Spanien
3School of Applied and Engineering Physics, Cornell University, Ithaca, NY 14853, USA
4TECNALIA, Baskische Forschungs- und Technologieallianz (BRTA), 48160 Derio, Spanien
5IKERBASQUE, Baskische Stiftung für Wissenschaft, Plaza Euskadi 5, 48009, Bilbao, Spanien
6Baskisches Zentrum für Angewandte Mathematik (BCAM), Alameda de Mazarredo, 14, 48009 Bilbao, Spanien

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Abstrakt

Das Laden von Funktionen in Quantencomputer stellt einen wesentlichen Schritt in mehreren Quantenalgorithmen dar, beispielsweise in Quanten-Partialdifferentialgleichungslösern. Daher führt die Ineffizienz dieses Prozesses zu einem großen Engpass bei der Anwendung dieser Algorithmen. Hier präsentieren und vergleichen wir zwei effiziente Methoden zur Amplitudenkodierung realer Polynomfunktionen auf $n$ Qubits. Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung, da jede stetige Funktion in einem geschlossenen Intervall gleichmäßig und mit beliebiger Genauigkeit durch eine Polynomfunktion angenähert werden kann. Der erste Ansatz basiert auf der Matrixproduktzustandsdarstellung (MPS). Wir untersuchen und vergleichen die Näherungen des Zielzustands, wenn die Bindungsdimension als klein angenommen wird. Der zweite Algorithmus kombiniert zwei Unterprogramme. Zunächst kodieren wir die lineare Funktion in die Quantenregister, entweder über ihr MPS oder mit einer flachen Folge mehrfach gesteuerter Gatter, die die Hadamard-Walsh-Reihe der linearen Funktion laden, und wir untersuchen, wie sich das Abschneiden der Hadamard-Walsh-Reihe der linearen Funktion auf die lineare Funktion auswirkt endgültige Treue. Durch die Anwendung der inversen diskreten Hadamard-Walsh-Transformation wird der Zustand, der die Reihenkoeffizienten kodiert, in eine Amplitudenkodierung der linearen Funktion umgewandelt. Daher verwenden wir diese Konstruktion als Baustein, um eine exakte Blockkodierung der Amplituden zu erreichen, die der linearen Funktion auf $k_0$-Qubits entspricht, und wenden die Quanten-Singulärwerttransformation an, die eine Polynomtransformation auf die Blockkodierung der Amplituden implementiert. Diese Einheitlichkeit zusammen mit dem Amplitudenverstärkungsalgorithmus wird es uns ermöglichen, den Quantenzustand vorzubereiten, der die Polynomfunktion auf $k_0$-Qubits codiert. Schließlich füllen wir $n-k_0$ Qubits auf, um eine angenäherte Codierung des Polynoms auf $n$ Qubits zu generieren, und analysieren den Fehler in Abhängigkeit von $k_0$. In diesem Zusammenhang schlägt unsere Methodik eine Methode zur Verbesserung der Stand-of-the-Art-Komplexität durch die Einführung kontrollierbarer Fehler vor.

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Populäre Zusammenfassung

Quantencomputer bieten ein enormes Potenzial für die Bewältigung komplexer Probleme, doch das effiziente Laden einer beliebigen Funktion auf sie bleibt eine entscheidende Herausforderung. Dies ist ein Flaschenhals für viele Quantenalgorithmen, insbesondere in den Bereichen partielle Differentialgleichungen und lineare Systemlöser. Um dieses Problem teilweise anzugehen, stellen wir zwei Methoden zur effizienten Codierung diskretisierter Polynome in die Amplituden eines Quantenzustands in gatterbasierten Quantencomputern vor. Unser Ansatz führt kontrollierbare Fehler ein und erhöht gleichzeitig die Komplexität aktueller Quantenfunktionsladealgorithmen, was vielversprechende Fortschritte im Vergleich zum aktuellen Stand der Technik darstellt.

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[104] Rui Chao, Dawei Ding, Andras Gilyen, Cupjin Huang und Mario Szegedy. „Winkelfindung für die Quantensignalverarbeitung mit Maschinenpräzision“ (2020). arXiv:2003.02831.
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[105] Jeongwan Haah. „Produktzerlegung periodischer Funktionen in der Quantensignalverarbeitung“. Quantum 3, 190 (2019).
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Zitiert von

[1] Arthur G. Rattew und Patrick Rebentrost, „Nichtlineare Transformationen von Quantenamplituden: Exponentielle Verbesserung, Verallgemeinerung und Anwendungen“, arXiv: 2309.09839, (2023).

[2] Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez-Rozas, Enrique Solano und Mikel Sanz, „Effiziente Hamilton-Simulation zur Lösung der Optionspreisdynamik“, Physical Review Research 5 4, 043220 (2023).

[3] Paul Over, Sergio Bengoechea, Thomas Rung, Francesco Clerici, Leonardo Scandurra, Eugene de Villiers und Dieter Jaksch, „Grenzbehandlung für Variationsquantensimulationen partieller Differentialgleichungen auf Quantencomputern“, arXiv: 2402.18619, (2024).

[4] Pablo Rodriguez-Grasa, Ruben Ibarrondo, Javier Gonzalez-Conde, Yue Ban, Patrick Rebentrost und Mikel Sanz, „Quantum Approximated Cloning-Assisted Density Matrix Exponentiation“, arXiv: 2311.11751, (2023).

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