Der Theoretiker, der Mathematik in Kunst, Musik und Schreiben sieht | Quanta-Magazin

Sarah Hart hatte schon immer ein Auge dafür, wie die Mathematik im Verborgenen andere Bereiche durchdringt. Als Kind war sie beeindruckt von der Allgegenwärtigkeit der Zahl 3 in ihren Märchen. Harts Mutter, eine Mathematiklehrerin, ermutigte sie, nach Mustern zu suchen, und gab ihr Matherätsel, um sich die Zeit zu vertreiben.

Hart promovierte im Jahr 2000 in Gruppentheorie und wurde später Professor an der Birkbeck University of London. Harts Forschung untersuchte die Struktur von Coxeter-Gruppen, allgemeineren Versionen von Strukturen, die die Symmetrien von Polygonen und Prismen katalogisieren. Im Jahr 2023 veröffentlichte sie Es war einmal eine Prime, ein Buch über die Art und Weise, wie Mathematik in Belletristik und Poesie vorkommt. „Da wir Menschen Teil des Universums sind, ist es nur natürlich, dass unsere Formen des kreativen Ausdrucks, darunter auch die Literatur, auch eine Neigung zu Mustern und Strukturen zeigen“, schrieb Hart. „Mathematik ist also der Schlüssel zu einer völlig anderen Perspektive auf Literatur.“

Seit 2020 ist Hart Professor für Geometrie am Gresham College in London. Gresham hat keine traditionellen Kurse; Stattdessen halten ihre Professoren jeweils mehrere öffentliche Vorlesungen pro Jahr. Hart ist die erste Frau, die diese 428 Jahre alte Position innehatte, die im 17. Jahrhundert von Isaac Barrow innehatte, der dafür bekannt war, einen anderen Isaac (Newton) zu unterrichten. In jüngerer Zeit wurde es von Roger Penrose gehalten, einem Mathematiker, der 2020 den Nobelpreis für Physik erhielt. Hart sprach mit Wie viel darüber, wie Mathematik und Kunst sich gegenseitig beeinflussen. Das Interview wurde aus Gründen der Klarheit gekürzt und bearbeitet.

Warum haben Sie sich entschieden, Ihr Buch über die Verbindungen zwischen Mathematik und Literatur zu schreiben?

Diese Verbindungen sind weniger erforscht und weniger bekannt als die zwischen Mathematik und beispielsweise Musik. Die Verbindung zwischen Mathematik und Musik wird schon seit den Pythagoräern gefeiert. Allerdings gab es zwar Schriften und wissenschaftliche Forschung zu bestimmten Büchern, Autoren oder Genres, aber ich hatte noch kein Buch für ein allgemeines Publikum gesehen, das sich mit den umfassenderen Zusammenhängen zwischen Mathematik und Literatur befasste.

Wie sollten Menschen in den Künsten über Mathematik denken?

Es gibt viele Gemeinsamkeiten zwischen der Mathematik und, sagen wir mal, den anderen Künsten. Sowohl in der Literatur als auch in der Musik und Kunst fängt man nie bei Null an. Wenn Sie ein Dichter sind, entscheiden Sie sich: Werde ich ein Haiku mit sehr präzisen numerischen Einschränkungen haben oder werde ich ein Sonett schreiben, das eine bestimmte Anzahl von Zeilen, ein bestimmtes Reimschema, einen bestimmten Versmaß hat? Sogar etwas, das kein Reimschema hat, wird Zeilenumbrüche und einen Rhythmus haben. Es wird Einschränkungen geben, die die Kreativität anregen und Ihnen helfen, sich zu konzentrieren.

In der Mathematik haben wir dasselbe. Wir haben einige Grundregeln. Darin können wir erforschen, spielen und Theoreme beweisen. Was die Mathematik für die Künste tun kann, ist, neue Strukturen zu finden und die Möglichkeiten aufzuzeigen. Wie würde ein Musikstück aussehen, das keine Tonartvorzeichnung hat? Wir können über die 12 Töne nachdenken und sie anders anordnen, und hier sind alle Möglichkeiten, wie Sie das tun können. Hier sind verschiedene Farbschemata, die Sie entwerfen können, hier sind verschiedene Formen des poetischen Metrums.

Was ist ein Beispiel dafür, wie die Mathematik durch die Literatur beeinflusst wurde?

Vor Tausenden von Jahren versuchten Dichter in Indien, über die möglichen Meter nachzudenken. In der Sanskrit-Dichtung gibt es lange und kurze Silben. Lang ist doppelt so lang wie kurz. Wenn Sie herausfinden möchten, wie viele es gibt, die eine Zeitspanne von drei benötigen, können Sie kurz, kurz, kurz oder lang, kurz oder kurz, lang verwenden. Es gibt drei Möglichkeiten, drei zu machen. Es gibt fünf Möglichkeiten, eine Phrase der Länge vier zu erstellen. Und es gibt acht Möglichkeiten, eine Phrase mit der Länge fünf zu erstellen. Bei dieser Folge handelt es sich um eine Folge, bei der jeder Term die Summe der beiden vorherigen ist. Sie reproduzieren genau das, was wir heute die Fibonacci-Folge nennen. Aber das war Jahrhunderte vor Fibonacci.

Wie wäre es mit dem Einfluss der Mathematik auf die Literatur?

Eine recht einfache Sequenz, die aber sehr, sehr kraftvoll wirkt, ist das Buch von Eleanor Catton Die Leuchten, das 2013 herauskam. Sie verwendete die Reihenfolge 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Jedes Kapitel in diesem Buch ist halb so lang wie das vorherige. Dadurch entsteht dieser wirklich faszinierende Effekt, weil das Tempo zunimmt und die Möglichkeiten der Charaktere immer eingeschränkter werden. Alles rast seinem Ende entgegen. Am Ende sind die Kapitel extrem kurz.

Ein weiteres Beispiel für eine etwas kompliziertere mathematische Struktur sind die sogenannten orthogonalen lateinischen Quadrate. Ein lateinisches Quadrat ähnelt einem Sudoku-Raster. In diesem Fall wäre es ein 10-mal-10-Raster. Jede Zahl kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vor. Orthogonale lateinische Quadrate werden durch Überlagerung zweier lateinischer Quadrate gebildet, sodass in jedem Feld ein Zahlenpaar vorhanden ist. Das durch die erste Zahl in jedem Paar gebildete Gitter ist ein lateinisches Quadrat, ebenso wie das durch die zweite Zahl in jedem Paar gebildete Gitter. Darüber hinaus kommt im Paarraster kein Paar mehr als einmal vor.

Diese sind in vielerlei Hinsicht sehr nützlich. Sie können daraus fehlerkorrigierende Codes erstellen, die zum Senden von Nachrichten über verrauschte Kanäle nützlich sind. Aber das Tolle an diesen besonderen Exemplaren der Größe 10 ist, dass einer der größten Mathematiker aller Zeiten, Leonhard Euler, dachte, sie könnten nicht existieren. Es war eines der wenigen Male, in denen er einen Fehler machte; Deshalb war es so aufregend. Lange nachdem er seine Vermutung aufgestellt hatte, dass diese Dinge für bestimmte Größen nicht existieren könnten, wurde sie widerlegt und 1959 wurden Quadrate dieser Größe gefunden Abdeckung of Scientific American dieses Jahr.

Jahre später suchte der französische Schriftsteller Georges Perec nach einer Struktur für sein Buch Leben: Ein Benutzerhandbuch. Er wählte eines dieser orthogonalen lateinischen Quadrate. Er ließ sein Buch in einem Pariser Wohnblock nieder, der 100 Zimmer hatte, ein 10 x 10 großes Quadrat. Jedes Kapitel befand sich in einem anderen Raum und jedes Kapitel hatte seinen einzigartigen Geschmack. Er hatte Listen mit zehn Dingen – verschiedene Stoffe, Farben, solche Dinge. Jedes Kapitel würde eine einzigartige Kombination verwenden. Es ist eine wirklich faszinierende Art, das Buch zu strukturieren.

Sie legen eindeutig Wert auf gutes Schreiben. Was halten Sie von der Qualität des Schreibens in mathematischen Forschungsarbeiten?

Es ist sehr variabel! Ich weiß, wir legen Wert auf Kürze, aber ich denke, dass das manchmal zu weit geht. Es gibt zu viele Artikel, die keine nützlichen Beispiele enthalten.

Was wir eigentlich schätzen, ist ein geniales Argument, das, weil es alle Fälle auf einmal so geschickt abdeckt, gleichzeitig kurz und elegant ist. Das ist nicht das Gleiche, als würden Sie Ihre lange Argumentation auf einen kleineren Raum als nötig quetschen, indem Sie die Seite mit geheimnisvollen Siegeln bedecken, die Sie erstellt haben, um die Notation kürzer zu machen, die aber nicht nur der Leser, sondern wahrscheinlich auch Sie selbst mühsam auspacken müssen noch einmal, um zu verstehen, was vor sich geht.

Wir denken zu wenig über hilfreiche Notationen nach, die den Leser daran erinnern, was gemeint ist. Die richtige Notation kann ein Stück Mathematik völlig verändern und auch Raum für Verallgemeinerungen schaffen. Denken Sie an den historischen Übergang vom Schreiben eines Unbekannten, seines Quadrats und seines Würfels mit drei verschiedenen Buchstaben, und wie viel wahrscheinlicher und sogar möglich es ist, darüber nachzudenken, wann Sie mit dem Schreiben begonnen haben, und stattdessen.

Sehen Sie eine Entwicklung in den Verbindungen zwischen Mathematik und Kunst?

Es gibt ständig neue Dinge. Fraktale waren in den 1990er Jahren allgegenwärtig. An der Wand jedes Studentenwohnheims hing ein Bild der Mandelbrot-Menge oder so etwas in der Art. Alle sagten: „Oh, das ist aufregend, Fraktale.“ Es gibt zum Beispiel Musiker und Komponisten, die in ihren Kompositionen fraktale Sequenzen verwenden.

Als ich ungefähr 16 war, gab es diese neuen Dinge, die man Grafikrechner nannte. Sehr aufregend. Und ein Freund meiner Mutter gab mir dieses Programm, mit dem man eine Mandelbrot-Menge auf einem dieser kleinen Grafikrechner zeichnen konnte. Es hatte ungefähr, ich weiß nicht, 200 Pixel. Man programmiert das Ding ein, und dann musste ich es 12 Stunden lang stehen lassen. Diese 200 Punkte würden am Ende grafisch dargestellt. So konnten sich Ende der 80er und Anfang der 90er Jahre auch einfache Schulkinder damit auseinandersetzen und diese Bilder selbst produzieren.

Es hört sich so an, als hättest du dich schon zu deiner Schulzeit sehr für Hardcore-Mathe interessiert.

 Ich glaube, ich war schon interessiert, bevor ich überhaupt wusste, dass das bedeutet, dass ich mathematisch begabt bin. Ich habe einfach schon immer Muster angefertigt, als ich ein ganz kleines Kind war.

Als ich ganz klein war, waren ganz einfache bemalte Holzfliesen mein Lieblingsspielzeug. Es gab sie in allen möglichen Farben. Ich machte daraus Muster, schaute sie mir dann etwa einen Tag lang voller Stolz an und fertigte dann noch eins an.

Als ich etwas älter wurde, spielte ich mit Zahlen und schaute mir Muster an. Zu meiner Mutter würde ich gehen und sagen: „Mir ist langweilig.“ Und dann sagte sie: „Kannst du herausfinden, wie die Anzahl der Punkte aussieht, die du brauchst, um ein Dreieck zu bilden?“ oder was auch immer es war. Sie würde mich die Dreieckszahlen oder so etwas wiederentdecken lassen, und ich wäre sehr aufgeregt.

Meine arme Mutter, mit wie vielen tollen Erfindungen ich zu meiner Mutter gehen würde. „Ich habe eine völlig neue Art entwickelt, etwas zu tun!“ Und sie sagte: „Okay, das ist sehr schön. Aber wissen Sie, darüber hat Descartes schon vor Jahrhunderten nachgedacht.“ Und dann ging ich los; Ein paar Tage später kam mir eine weitere tolle Idee. „Das ist schön, Liebes. Aber die alten Griechen hatten das.“

Erinnern Sie sich an besonders befriedigende Momente aus Ihrer Karriere als Mathematikforscher?

Die Momente, in denen Sie endlich verstehen, welches Muster Sie sehen, sind immer befriedigend, ebenso wie die Momente, in denen Sie herausfinden, wie Sie einen Beweis vervollständigen können, mit dem Sie gerungen haben. Meine stärksten Erinnerungen an diese Freudengefühle, wahrscheinlich weil es das erste Mal war, dass ich sie verspürte, stammen aus dem Beginn meiner Forschungskarriere. Aber es ist immer noch ein schönes Gefühl, dieses „Aha“ zu bekommen, wenn man endlich versteht, was vor sich geht.

Schon sehr früh habe ich versucht, etwas über unendliche Coxeter-Gruppen zu beweisen. Ich hatte einige Fälle gelöst, und als ich mir den Rest ansah, kam ich auf eine Technik, die funktionieren würde, wenn ein bestimmtes Kriterium erfüllt wäre. Sie können diese Beziehungen in ein Diagramm schreiben, also begann ich, eine Sammlung von Diagrammen zusammenzustellen, auf die meine Technik angewendet werden könnte. Das war ein Jahr über Weihnachten.

Nach einer Weile begannen meine Bilder wie bestimmte Grafiken auszusehen, die in einem Buch über Coxeter-Gruppen aufgeführt waren, das in meinem Büro lag, und ich begann zu hoffen, dass es genau diese Grafiken waren. Wenn ja, würde das die Lücke in meinem Beweis füllen und mein Satz wäre fertig. Aber ich konnte es erst nach Weihnachten genau überprüfen, als ich wieder an der Universität war – das war, bevor man einfach alles googeln konnte. Ich denke, die Vorfreude darauf, warten zu müssen, um meine Vermutung zu bestätigen, machte es noch besser, als ich zum Buch kam und meine handgeschriebenen Diagramme mit denen im Buch verglich, und sie stimmten tatsächlich überein.

Was denken Sie über die Frage, ob Mathematik erfunden oder entdeckt wird? Fast niemand würde behaupten, dass einer der Schriftsteller, über die Sie in Ihrem Buch schreiben, seine Romane „entdeckt“ hat. Ist das ein grundlegender Unterschied zwischen Mathematik und Literatur oder nicht?

Das ist wahrscheinlich der Fall, obwohl es immer noch einige Resonanzen gibt.

Mathematik zu betreiben fühlt sich wie eine Entdeckung an. Wenn wir die Mathematik erfinden würden, wäre es sicherlich nicht so schwer, Dinge zu beweisen! Manchmal möchten wir unbedingt, dass etwas wahr ist, und das ist nicht der Fall. Ich nehme an, wir können den Konsequenzen der Logik nicht entgehen.

Es fühlt sich alles wie eine Entdeckung an, wenn man es tut. Manche Entscheidungen spiegeln das wider, was wir in der realen Welt erleben, etwa die Axiome der Geometrie, mit denen wir arbeiten. Sie werden gewählt, weil sie in etwa der Wirklichkeit zu entsprechen scheinen – obwohl es selbst dort keinen „Punkt“ oder „Punkt“ gibt. Linie“ (weil wir nichts zeichnen können, was keinen Raum einnimmt, und eine Linie in der Geometrie keine Breite hat und sich unendlich weit erstreckt).

Teilweise gibt es in der Literatur Parallelen zu diesem Kontinuum. Sobald Sie die Regeln eines Sonetts definiert haben, wird es Ihnen schwerfallen, eines zu schreiben, dessen erste Zeile mit „Orange“ oder „Schornstein“ endet.

Aber ich kann nicht widerstehen, etwas zu teilen, J.R.R. Tolkien sagte über das Schreiben The Hobbit: „Alles begann damit, dass ich Prüfungsunterlagen las, um etwas Geld dazuzuverdienen. … Nun, eines Tages stieß ich auf eine leere Seite in einem Prüfungsheft und kritzelte darauf. „In einem Loch im Boden lebte ein Hobbit.“ Mehr wusste ich über die Kreaturen nicht, und es dauerte Jahre, bis seine Geschichte bekannt wurde. Ich weiß nicht, woher das Wort kommt.“

Hobbits – hat er sie erschaffen oder entdeckt?