Οι μαθηματικοί εξαλείφουν τη μακροχρόνια απειλή για εικασίες κόμπων

Πάνω από 60 χρόνια πριν, ο Ralph Fox έθεσε ένα πρόβλημα σχετικά με τους κόμπους που στοιχειώνουν τους μαθηματικούς μέχρι σήμερα. Η απορία του τώρα συχνά διατυπώνεται ως η «εικασία φέτας-κορδέλας», η οποία υποθέτει ότι δύο φαινομενικά διακριτές ομάδες κόμβων είναι στην πραγματικότητα ίδιες. Με την πρόταση της κομψής απλότητας στον κόσμο των κόμβων, έχει γίνει ένα από τα πιο υψηλού προφίλ προβλήματα στη θεωρία των κόμβων. «Θα σήμαινε ότι ο κόσμος είναι λίγο πιο δομημένος από ό,τι θα περίμενε κανείς διαφορετικά», είπε Αρουνίμα Ρέι, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Max Planck στη Βόννη.

Για δεκαετίες, ένας συγκεκριμένος κόμπος ήταν ύποπτος ότι ήταν μια πιθανή οδός για να διευθετηθεί η εικασία. Ωστόσο σε ένα χαρτί που δημοσιεύτηκε το περασμένο καλοκαίρι, πέντε μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτός ο κόμπος τελικά δεν πρόκειται να λειτουργήσει. Ενώ τα επιχειρήματα που εισήγαγαν θα παρέχουν νέες γνώσεις για μια ευρύτερη κατηγορία κόμβων, η εργασία στο σύνολό της αφήνει τους μαθηματικούς αβέβαιους σχετικά με την εικασία. «Νομίζω ότι υπάρχει πραγματική νόμιμη διαμάχη για το αν θα αποδειχθεί αληθινό ή όχι», είπε Κρίστεν Χέντρικς, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Rutgers.

Η εικασία φέτα-κορδέλα αφορά δύο τύπους κόμβων: κόμπους φέτας και κόμπους κορδέλας. Το να καταλάβουμε ποιοι κόμβοι είναι φέτες είναι «ένα από τα θεμελιώδη ερωτήματα γύρω από τα οποία περιστρέφεται το θέμα μας», είπε Abhishek Mallick, ένας από τους συγγραφείς της νέας εργασίας.

Ένας μαθηματικός κόμπος μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συνηθισμένος βρόχος χορδής. Οι μαθηματικοί αποκαλούν έναν απλό βρόχο χωρίς κόμπο μέσα του "unknot". (Αν και δεν πρόκειται για κόμπο με τη συνηθισμένη έννοια της λέξης, οι μαθηματικοί θεωρούν τον unknot ως το απλούστερο παράδειγμα κόμπου.)

Οι κόμβοι ορίζουν επίσης τα όρια ενός σχήματος που οι μαθηματικοί αποκαλούν δίσκο, παρόλο που δεν μοιάζει πάντα με δίσκο με τη συνηθισμένη έννοια της λέξης. Το απλούστερο παράδειγμα, το unknot, σχηματίζει το όριο ενός κύκλου - έναν «δίσκο» που μοιάζει πράγματι με δίσκο. Αλλά ο βρόχος σχηματίζει το όριο όχι μόνο ενός κύκλου που βρίσκεται επίπεδο σε ένα τραπέζι, αλλά και ενός μπολ — το οποίο εκτείνεται σε τρεις διαστάσεις — που είναι τοποθετημένο ανάποδα στην κορυφή του τραπεζιού. Οι δίσκοι που ορίζουν οι κόμβοι μπορούν να επεκταθούν περαιτέρω από τρεις διαστάσεις σε τέσσερις.

Εάν υπάρχει κόμπος στη χορδή, οι δίσκοι γίνονται πιο περίπλοκοι. Στον τρισδιάστατο χώρο, αυτοί οι δίσκοι έχουν ιδιομορφίες - σημεία όπου έχουν μαθηματικά κακή συμπεριφορά. Οι κόμβοι φέτας είναι εκείνοι για τους οποίους είναι δυνατό — σε τέσσερις διαστάσεις — να βρεθεί ένας δίσκος χωρίς τέτοιες ιδιομορφίες. Οι κόμποι σε φέτες είναι το "το επόμενο καλύτερο πράγμα στο unknot», όπως ο Peter Teichner, επίσης του Ινστιτούτου Max Planck, το έβαλε.

Παρόλα αυτά, οι δίσκοι που οριοθετούνται από κόμπους τομής σε τρεις διαστάσεις μπορεί να είναι άσχημοι και δύσκολο να εργαστούν μαζί τους. Η εικασία slice-ribbon λέει ότι δεν είναι απαραίτητα.

Οι κόμποι κορδέλας είναι οι κόμποι των οποίων οι δίσκοι μοιάζουν με κορδέλες. Σε τρεις διαστάσεις, αυτές οι κορδέλες μπορούν να περάσουν από μόνες τους, ακριβώς όπως μια συνηθισμένη κορδέλα μπορεί να τραβηχτεί μέσα από ένα κοίλωμα στο κέντρο της. Μαθηματικά, μια τέτοια διέλευση ονομάζεται ιδιομορφία κορδέλας. Σε αντίθεση με άλλους τύπους ιδιομορφιών, η ιδιομορφία της κορδέλας μπορεί εύκολα να εξαλειφθεί μετακινώντας σε τέσσερις διαστάσεις. Αυτό διευκολύνει τους μαθηματικούς να δείξουν ότι όλοι οι κόμβοι της κορδέλας είναι κομματιασμένοι.

Το αντίστροφο - ότι κάθε κόμπος φέτας είναι επίσης κορδέλα - είναι η εικασία slice-ribbon, η οποία είναι ένα ανοιχτό ερώτημα για δεκαετίες. (Για να περιπλέκουμε περαιτέρω τα πράγματα, οι κόμβοι φέτας έχουν πολλές σχετικές ταξινομήσεις, όπως «ομαλή φέτα» και «τοπολογικά φέτα». Η εικασία ισχύει μόνο για το είδος κόμπου «ομαλή φέτα», το οποίο συνήθως εννοούν οι μαθηματικοί με τον όρο «φέτα».)

Για να διαψευσθεί η εικασία, αρκεί να βρείτε έναν κόμπο που είναι ομαλά κομμένος, αλλά όχι κορδέλα. Για δεκαετίες, οι μαθηματικοί είχαν το βλέμμα τους σε έναν υποψήφιο: το καλώδιο (2, 1) του κόμπου του σχήματος οκτώ, που φτιάχτηκε περνώντας μια δεύτερη χορδή κατά μήκος ενός κόμπου σχήματος οκτώ και στη συνέχεια συγχωνεύοντας τις δύο χορδές για να γίνει ένας μόνο κόμπος.

Το 1980, ο Akio Kawauchi απέδειξε ότι αυτός ο κόμπος είναι τόσο ορθολογικά όσο και αλγεβρικά τεμαχισμένος, ιδιότητες που μοιάζουν με την ομαλή κοπή, αλλά όχι εντελώς ίδιες. Το 1994, ο Katura Miyazaki απέδειξε ότι δεν είναι κορδέλα, αφήνοντας ένα σασπένς άνοιγμα για τους μαθηματικούς. Εάν το αποτέλεσμα του Kawauchi μπορούσε να ενισχυθεί μόνο με ένα άγγιγμα για να δείξει ότι ο κόμπος είναι ομαλά, θα διέψευδε την εικασία.

Το νέο χαρτί αποδεικνύει ότι ο εν λόγω κόμπος τελικά δεν είναι φέτα, κλείνοντας αυτή την πόρτα.

«Εικασίες με φέτες, συνεχίζουν να είναι δυνατές», είπε ο Hendricks, ο οποίος έχει συνεργαστεί στενά με δύο από τους συγγραφείς της νέας εργασίας. «Αυτό είναι πολύ συναρπαστικό, γιατί οι άνθρωποι προσπαθούσαν να κατανοήσουν αυτό το παράδειγμα για αρκετό καιρό».

Η νέα απόδειξη βασίζεται σε κάτι που ονομάζεται διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα. Μπορείτε να οραματιστείτε ένα διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα σκεπτόμενος μια κούφια σφαίρα, όπως μια μπάλα μπάσκετ. Για να φτιάξετε ένα διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα μιας μπάλας μπάσκετ, κόψτε το από πάνω προς τα κάτω κατά μήκος μιας από τις γραμμές μήκους. Τώρα, τραβήξτε τη μία πλευρά του λάστιχου όπου έχετε κόψει, τεντώνοντάς το κατά μήκος του ισημερινού μέχρι το υλικό να τυλιχτεί μέχρι το τέλος. Μόλις ολοκληρώσετε αυτόν τον μετασχηματισμό, έχετε μια μπάλα μπάσκετ κατασκευασμένη από δύο εναλλάξιμα στρώματα υλικού, εξ ου και το "διπλό κάλυμμα". (Σε αυτό το σενάριο, το λάστιχο μπορεί να τεντωθεί και να στρίψει όπως θέλετε χωρίς να σπάσει ή να τσαλακωθεί.)

Το "διακλαδισμένο" σε "διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα" προέρχεται από μια ιδιορρυθμία του μετασχηματισμού. Εφόσον τεντώσατε οριζόντια, υπάρχει ακόμα μόνο ένα στρώμα στα πάνω και κάτω σημεία της μπάλας, τον βόρειο και τον νότιο πόλο. Αυτά τα σημεία ονομάζονται σημεία διακλάδωσης και η παρουσία τους κάνει το διπλό κάλυμμα σε διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα.

Όταν πρόκειται για κόμπους, το διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα συναρμολογείται με τέτοιο τρόπο ώστε τα σημεία διακλάδωσης να είναι ο ίδιος ο κόμπος: τα σημεία που, όπως ο βόρειος και ο νότιος πόλος του μπάσκετ, καλύπτονται μόνο μία φορά.

«Ιστορικά, η εξέταση των διπλών διακλαδισμένων καλυμμάτων ήταν ένα τυπικό εργαλείο του εμπορίου», είπε Τζένιφερ Χομ, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Τζόρτζια που έχει συνεργαστεί με δύο από τους συγγραφείς της νέας εργασίας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι - όπως μια μπάλα του μπάσκετ περιβάλλει μια μπάλα αέρα - το διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα ενός κόμπου περιβάλλει ένα συγκεκριμένο τετραδιάστατο σχήμα. Εάν οι μαθηματικοί μπορούν να δείξουν ότι το διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα ενός κόμπου δεν περιβάλλει το σωστό σχήμα 4D, μπορούν να αποκλείσουν την πιθανότητα ο κόμπος να είναι κομμένος.

Αλλά αυτό δεν λειτουργεί αρκετά για το καλώδιο (2, 1) του κόμβου του σχήματος οκτώ: Το διακλαδισμένο διπλό κάλυμμά του περιβάλλει τον σωστό τύπο τετραδιάστατου σχήματος. Το να δείξετε ότι το καλώδιο (2, 1) του κόμβου του σχήματος οκτώ δεν είναι κομμένο εξαρτάται από μια συχνά παραβλέπεται συμμετρία του σχήματος.

Όταν τεντώνετε την επιφάνεια μιας μπάλας του μπάσκετ για να σχηματίσετε ένα διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα, μπορείτε να φανταστείτε ότι κάνετε κάτι ανάλογο με την τρισδιάστατη μπάλα αέρα μέσα. Καθώς τραβάτε το λάστιχο γύρω από την μπάλα, απλώς τραβήξτε τον αέρα μαζί της. Ακριβώς όπως τα δύο στρώματα από καουτσούκ είναι εναλλάξιμα, υπάρχουν δύο ημισφαίρια στη σφαίρα αέρα που καταλήγουν και τα δύο στην ίδια θέση. Με άλλα λόγια, η συμμετρία από το εξωτερικό της μπάλας εκτείνεται προς τα μέσα.

Με τον ίδιο τρόπο, οι συμμετρίες στο διακλαδισμένο διπλό κάλυμμα ενός κόμπου φέτας φτάνουν στον 4D χώρο μέσα. Οι μαθηματικοί συνήθως αγνοούν αυτή τη συμμετρία όταν προσπαθούν να δείξουν ότι οι κόμβοι δεν είναι φέτες. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, ήταν απαραίτητο. Αν οι συγγραφείς του νέου έργου μπορούσαν να δείξουν ότι δεν υπήρχε τέτοια συμμετρία, θα μπορούσαν να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι ο κόμπος δεν είναι κομμένος.

«Επειδή η ερώτηση δεν αναφέρεται σε καμία συμμετρία, θα σκεφτόσασταν: Λοιπόν, πώς μπαίνει η συμμετρία στην εικόνα για να πει κάτι σχετικά; Αλλά με κάποιο τρόπο, μαγικά, σε αυτήν την περίπτωση η συμμετρία έρχεται στην εικόνα και σας λύνει το πρόβλημα», είπε ο Mallick, ο οποίος έγραψε τη νέα εργασία με Ίρβινγκ Ντάι του Πανεπιστημίου Stanford, JungHwan Park του Κορεατικού Προηγμένου Ινστιτούτου Επιστήμης και Τεχνολογίας, Matthew Stoffregen του Michigan State University, και Sungkyung Kang του Ινστιτούτου Βασικών Επιστημών στη Νότια Κορέα.

«Ξέραμε ότι αυτή η δομή ήταν εκεί. Αλλά ένας λόγος για τον οποίο οι άνθρωποι δεν το μελετούσαν είναι ότι δεν είχαμε τρόπο να παρακολουθήσουμε αυτή τη δομή», είπε ο Ρέι. "Χρειάζεστε ένα φανταχτερό, υψηλής ισχύος εργαλείο για να το εντοπίσετε."

Για να κάνει το επιχείρημα, η ομάδα χρειάστηκε να χρησιμοποιήσει βαθιά, πολύπλοκα μαθηματικά που σχετίζονται με τον κόμπο και τον περιβάλλοντα χώρο του, βασιζόμενη σε συμμετρίες πιο λεπτές ακόμη και από αυτές του διακλαδισμένου διπλού καλύμματος. Σε δυο προηγούμενα χαρτιάΟι Dai, Mallick και Stoffregen είχαν υπολογίσει μερικές από αυτές τις ιδιότητες. Όταν ο Kang επισκέφτηκε το Stoffregen στην Πολιτεία του Μίσιγκαν το περασμένο καλοκαίρι, το καλώδιο (2, 1) του οκτώ κόμπου ακόμα στο μυαλό του, οι ερευνητές συνειδητοποίησαν γρήγορα ότι αυτοί οι τύποι θα έλυσαν το πρόβλημα της κοπής του. «Υπάρχει μια διαίσθηση, η οποία μου είπε ότι αυτός ο υπολογισμός πρέπει να λειτουργήσει», είπε ο Kang. «Και απλά υπολογίζοντάς το, θα πρέπει να είμαστε σε θέση να λύσουμε αυτό το πρόβλημα αυτή τη στιγμή».

Στα τέλη Ιουλίου, το έγγραφό τους δημοσιεύτηκε στο διαδίκτυο, αποδεικνύοντας ότι ο κόμπος δεν ήταν, στην πραγματικότητα, φέτα. Οι ιδέες στο έγγραφο, είπε ο Park, θα πρέπει να είναι εφαρμόσιμες σε πολλούς κόμβους των οποίων η φέτα αμφισβητείται επί του παρόντος. «Αυτό είναι μόνο η αρχή», είπε. Αν και αυτό το άρθρο εστιάζει σε έναν συγκεκριμένο κόμπο, ο Park είπε ότι τα εργαλεία που ανέπτυξαν θα λειτουργήσουν για πολύ πιο γενικές οικογένειες κόμβων. Η μη κοπή του αρχικού κόμπου, ωστόσο, διασφαλίζει ότι η εικασία φέτα-κορδέλα θα παραμείνει άστατη προς το παρόν.