Κλασικές σκιές βασισμένες σε τοπικά μπερδεμένες μετρήσεις

Κλασικές σκιές βασισμένες σε τοπικά μπερδεμένες μετρήσεις

Χρονική σήμανση: 21 Μαρτίου 2024 6:16 π.μ.

Ματέο Ιπολίτη

Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν, Ώστιν, TX 78712, Η.Π.Α.
Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Stanford, Stanford, CA 94305, USA

Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.

Περίληψη

Μελετάμε κλασικά πρωτόκολλα σκιών που βασίζονται σε τυχαιοποιημένες μετρήσεις σε μπερδεμένες βάσεις $n$-qubit, γενικεύοντας το τυχαίο πρωτόκολλο μέτρησης Pauli ($n = 1$). Δείχνουμε ότι οι μπερδεμένες μετρήσεις ($ngeq 2$) επιτρέπουν μη τετριμμένες και δυνητικά επωφελείς συμβιβασμούς στην πολυπλοκότητα του δείγματος της εκμάθησης των τιμών προσδοκίας Pauli. Αυτό φαίνεται ευκρινώς από σκιές που βασίζονται σε μετρήσεις Bell δύο qubit: η κλιμάκωση της πολυπλοκότητας του δείγματος με το βάρος Pauli $k$ βελτιώνεται τετραγωνικά (από $sim 3^k$ σε $sim 3^{k/2}$) για πολλούς χειριστές, ενώ άλλοι είναι αδύνατο να μάθουν. Ο συντονισμός της ποσότητας εμπλοκής στις βάσεις μέτρησης ορίζει μια οικογένεια πρωτοκόλλων που παρεμβάλλονται μεταξύ των σκιών Pauli και Bell, διατηρώντας μερικά από τα οφέλη και των δύο. Για μεγάλα $n$, δείχνουμε ότι οι τυχαιοποιημένες μετρήσεις σε βάσεις GHZ $n$-qubit βελτιώνουν περαιτέρω την καλύτερη κλιμάκωση σε $sim (3/2)^k$, αν και σε ένα όλο και πιο περιορισμένο σύνολο τελεστών. Παρά την απλότητά τους και τις χαμηλότερες απαιτήσεις υλικού, αυτά τα πρωτόκολλα μπορούν να ταιριάζουν ή να ξεπερνούν τις «ρηχές σκιές» που εισήχθησαν πρόσφατα σε ορισμένες πρακτικά σχετικές εργασίες εκτίμησης Pauli.

Κλασικές σκιές βασισμένες σε τοπικά μπερδεμένες μετρήσεις PlatoBlockchain Data Intelligence. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Προτεινόμενη εικόνα: Αριστερά: ένα κύκλωμα που υλοποιεί τοπικά μπερδεμένες μετρήσεις. Δεξιά: διαμερισμός ενός πίνακα qubit σε μπερδεμένα ζεύγη, που διευκολύνει την εκμάθηση της τιμής προσδοκίας ορισμένων τελεστών (πράσινο) αλλά όχι άλλων (κόκκινο).

► Δεδομένα BibTeX

► Αναφορές

[1] Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng και John Preskill. «Πρόβλεψη πολλών ιδιοτήτων ενός κβαντικού συστήματος από πολύ λίγες μετρήσεις». Nature Physics 16, 1050–1057 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-020-0932-7

[2] Andreas Elben, Steven T. Flammia, Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng, John Preskill, Benoit Vermersch και Peter Zoller. «Η εργαλειοθήκη τυχαιοποιημένης μέτρησης». Nature Reviews Physics 5, 9–24 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-022-00535-2

[3] Charles Hadfield, Sergey Bravyi, Rudy Raymond και Antonio Mezzacapo. «Μετρήσεις κβαντικών Χαμιλτονιανών με τοπικά προκατειλημμένες κλασικές σκιές» (2020). arXiv:2006.15788.
arXiv: 2006.15788

[4] Senrui Chen, Wenjun Yu, Pei Zeng και Steven T. Flammia. «Εκτίμηση ισχυρής σκιάς». PRX Quantum 2, 030348 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.030348

[5] Atithi Acharya, Siddhartha Saha και Anirvan M. Sengupta. «Σιώδης τομογραφία βασισμένη σε πληροφοριακά πλήρη θετική μέτρηση με τιμή χειριστή». Φυσική Ανασκόπηση A 104, 052418 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.104.052418

[6] GI Struchalin, Ya. A. Zagorovskii, EV Kovlakov, SS Straupe και SP Kulik. «Πειραματική εκτίμηση των ιδιοτήτων κβαντικής κατάστασης από κλασικές σκιές». PRX Quantum 2, 010307 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.010307

[7] Ryan Levy, Di Luo και Bryan K. Clark. «Κλασικές σκιές για κβαντική τομογραφία διεργασίας σε βραχυπρόθεσμους κβαντικούς υπολογιστές». Physical Review Research 6, 013029 (2024).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.6.013029

[8] Jonathan Kunjummen, Minh C. Tran, Daniel Carney και Jacob M. Taylor. «Σιώδης τομογραφία κβαντικών καναλιών». Φυσική Ανασκόπηση A 107, 042403 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.107.042403

[9] Hsin-Yuan Huang. «Εκμάθηση κβαντικών καταστάσεων από τις κλασικές σκιές τους». Nature Reviews Physics 4, 81–81 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00411-5

[10] Kianna Wan, William J. Huggins, Joonho Lee και Ryan Babbush. “Matchgate Shadows for Fermionic Quantum Simulation”. Communications in Mathematical Physics 404, 629–700 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00220-023-04844-0

[11] Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh, Roy J. Garcia και Arthur Jaffe. «Κλασικές σκιές με αμετάβλητα ενιαία σύνολα Pauli». npj Quantum Information 10, 1–7 (2024).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41534-023-00801-w

[12] H. Chau Nguyen, Jan Lennart Bonsel, Jonathan Steinberg και Otfried Guhne. «Βελτιστοποίηση της σκιάς τομογραφίας με γενικευμένες μετρήσεις». Physical Review Letters 129, 220502 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.129.220502

[13] Dax Enshan Koh και Sabee Grewal. «Κλασικές σκιές με θόρυβο». Quantum 6, 776 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-08-16-776

[14] Daniel Grier, Hakop Pashayan και Luke Schaeffer. «Δείγμα-βέλτιστες κλασικές σκιές για καθαρές καταστάσεις» (2022). arXiv:2211.11810.
arXiv: 2211.11810

[15] Simon Becker, Nilanjana Datta, Ludovico Lami και Cambyse Rouze. «Κλασική σκιώδης τομογραφία για κβαντικά συστήματα συνεχών μεταβλητών» (2022). arXiv:2211.07578.
arXiv: 2211.07578

[16] Alireza Seif, Ze-Pei Cian, Sisi Zhou, Senrui Chen και Liang Jiang. «Shadow Distillation: Quantum Error Metigation with Classical Shadows for Near-Term Quantum Processors». PRX Quantum 4, 010303 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.010303

[17] Katherine Van Kirk, Jordan Cotler, Hsin-Yuan Huang και Mikhail D. Lukin. «Αποτελεσματική εκμάθηση υλικού κβαντικών καταστάσεων πολλών σωμάτων» (2022). arXiv:2212.06084.
arXiv: 2212.06084

[18] Frank Arute, Kunal Arya, Ryan Babbush, Dave Bacon, Joseph C. Bardin, Rami Barends, Rupak Biswas, Sergio Boixo, κ.ά. «Κβαντική υπεροχή χρησιμοποιώντας προγραμματιζόμενο υπεραγώγιμο επεξεργαστή». Nature 574, 505–510 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-019-1666-5

[19] Ehud Altman, Kenneth R. Brown, Giuseppe Carleo, Lincoln D. Carr, Eugene Demler, Cheng Chin, Brian DeMarco, Sophia E. Economou, κ.ά. «Quantum Simulators: Architectures and Opportunities». PRX Quantum 2, 017003 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.017003

[20] Sepehr Ebadi, Tout T. Wang, Harry Levine, Alexander Keesling, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, Dolev Bluvstein, Rhine Samajdar, κ.ά. «Κβαντικές φάσεις της ύλης σε έναν προγραμματιζόμενο κβαντικό προσομοιωτή 256 ατόμων». Nature 595, 227–232 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03582-4

[21] Xiao Mi, Pedram Roushan, Chris Quintana, Salvatore Mandra, Jeffrey Marshall, Charles Neill, Frank Arute, Kunal Arya, κ.ά. «Ανακαίνιση πληροφοριών σε κβαντικά κυκλώματα». Science 374, 1479–1483 (2021).
https://doi.org/ 10.1126/science.abg5029

[22] Tiff Brydges, Andreas Elben, Petar Jurcevic, Benoit Vermersch, Christine Maier, Ben P. Lanyon, Peter Zoller, Rainer Blatt, κ.ά. «Διερεύνηση της εντροπίας εμπλοκής Renyi μέσω τυχαιοποιημένων μετρήσεων». Science 364, 260–263 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.aau4963

[23] A. Elben, B. Vermersch, CF Roos και P. Zoller. «Στατιστικές συσχετίσεις μεταξύ τοπικά τυχαιοποιημένων μετρήσεων: Μια εργαλειοθήκη για την ανίχνευση εμπλοκής σε κβαντικές καταστάσεις πολλών σωμάτων». Phys. Α' 99, 052323 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.99.052323

[24] Ahmed A. Akhtar, Hong-Ye Hu και Yi-Zhuang You. «Κλιμακόμενη και ευέλικτη κλασική τομογραφία σκιών με δίκτυα τανυστών». Quantum 7, 1026 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-06-01-1026

[25] Christian Bertoni, Jonas Haferkamp, ​​Marcel Hinsche, Marios Ioannou, Jens Eisert, και Hakop Pashayan. «Ρηχές σκιές: Εκτίμηση προσδοκιών χρησιμοποιώντας τυχαία κυκλώματα Clifford χαμηλού βάθους» (2022). arXiv:2209.12924.
arXiv: 2209.12924

[26] Mirko Arienzo, Markus Heinrich, Ingo Roth και Martin Kliesch. «Αναλυτικές εκφράσεις κλειστής μορφής για εκτίμηση σκιών με κυκλώματα πλινθοδομής». Quantum Information and Computation 23, 961 (2023).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC23.11-12-5

[27] Οι Matteo Ippoliti, Yaodong Li, Tibor Rakovszky και Vedika Khemani. «Χαλάρωση χειριστή και το βέλτιστο βάθος των κλασικών σκιών». Physical Review Letters 130, 230403 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.130.230403

[28] Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng και John Preskill. «Αποτελεσματική εκτίμηση παρατηρήσιμων στοιχείων Pauli με δερματοπάθεια». Physical Review Letters 127, 030503 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.030503

[29] Jutho Haegeman, David Perez-Garcia, Ignacio Cirac και Norbert Schuch. «Παράμετρος παραγγελίας για φάσεις που προστατεύονται από συμμετρία σε μία διάσταση». Physical Review Letters 109, 050402 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.109.050402

[30] H. Bombin. “An Introduction to Topological Quantum Codes” (2013). arXiv: 1311.0277.
arXiv: 1311.0277

[31] DJ Thouless. «Ανταλλαγή σε στερεά 3He and the Heisenberg Hamiltonian». Proceedings of the Physical Society 86, 893 (1965).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0370-1328/​86/​5/​301

[32] Alexander Altland και Ben D. Simons. «Θεωρία Πεδίου Συμπυκνωμένης Ύλης». Cambridge University Press. Cambridge (2010). 2η έκδοση.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511789984

[33] Οι Debanjan Chowdhury, Suvrat Raju, Subir Sachdev, Ajay Singh και Philipp Strack. «Συσχετιστές πολλαπλών σημείων των θεωριών σύμμορφου πεδίου: Επιπτώσεις για την κβαντική κρίσιμη μεταφορά». Φυσική Επιθεώρηση Β 87, 085138 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.87.085138

[34] I. Kukuljan, S. Sotiriadis, and G. Takacs. «Συναρτήσεις συσχέτισης του μοντέλου κβαντικού sine-gordon εντός και εκτός ισορροπίας». Phys. Αναθ. Lett. 121, 110402 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.110402

[35] Fabian B. Kugler, Seung-Sup B. Lee και Jan von Delft. «Συναρτήσεις συσχέτισης πολλαπλών σημείων: Φασματική αναπαράσταση και αριθμητική αξιολόγηση». Phys. Απ. Χ 11, 041006 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041006

[36] Hong-Ye Hu, Soonwon Choi και Yi-Zhuang You. «Κλασική σκιώδης τομογραφία με τοπικά κρυπτογραφημένη κβαντική δυναμική». Physical Review Research 5, 023027 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.5.023027

[37] Yi-Zhuang You και Yingfei Gu. «Χαρακτηριστικά εμπλοκής της τυχαίας δυναμικής του Χαμιλτονίου». Φυσική Επιθεώρηση Β 98, 014309 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.98.014309

[38] Wei-Ting Kuo, AA Akhtar, Daniel P. Arovas και Yi-Zhuang You. "Markovian Entanglement Dynamics under Locally Scrambled Quantum Evolution". Φυσική Επιθεώρηση Β 101, 224202 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.101.224202

[39] Matteo Ippoliti και Vedika Khemani. «Μεταβάσεις ικανότητας εκμάθησης στην παρακολουθούμενη κβαντική δυναμική μέσω των κλασικών σκιών του κρυφακού» (2023). arXiv:2307.15011.
arXiv: 2307.15011

[40] Peter Shor και Raymond Laflamme. «Κβαντικό ανάλογο των ταυτοτήτων MacWilliams για την κλασική θεωρία κωδικοποίησης». Physical Review Letters 78, 1600–1602 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.78.1600

[41] ChunJun Cao, Michael J. Gullans, Brad Lackey και Zitao Wang. «Quantum Lego Expansion Pack: Enumerators from Tensor Networks» (2023). arXiv: 2308.05152.
arXiv: 2308.05152

[42] Daniel Miller, Daniel Loss, Ivano Tavernelli, Hermann Kampermann, Dagmar Bruss και Nikolai Wyderka. «Κατανομές Shor-Laflamme των καταστάσεων γραφημάτων και η ευρωστία του θορύβου της εμπλοκής». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 56, 335303 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​ace8d4

[43] Ikko Hamamura και Takashi Imamichi. «Αποτελεσματική αξιολόγηση κβαντικών παρατηρήσιμων στοιχείων με χρήση μπερδεμένων μετρήσεων». npj Quantum Information 6, 1–8 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-020-0284-2

[44] Ruho Kondo, Yuki Sato, Satoshi Koide, Seiji Kajita και Hideki Takamatsu. «Υπολογιστικά αποτελεσματική κβαντική προσδοκία με εκτεταμένες μετρήσεις κουδουνιού». Quantum 6, 688 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-04-13-688

[45] Francisco Escudero, David Fernandez-Fernandez, Gabriel Jauma, Guillermo F. ​​Penas και Luciano Pereira. «Αποτελεσματικές εμπλοκές μετρήσεις υλικού για μεταβλητούς κβαντικούς αλγόριθμους». Εφαρμογή φυσικής αναθεώρησης 20, 034044 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.20.034044

[46] Zhang Jiang, Amir Kalev, Wojciech Mruczkiewicz και Hartmut Neven. «Βέλτιστη χαρτογράφηση από φερμιόνιο σε qubit μέσω τριαδικών δέντρων με εφαρμογές στη μάθηση μειωμένων κβαντικών καταστάσεων». Quantum 4, 276 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-06-04-276

[47] Ρούμπεν Βερέσεν. «Όλα είναι ένα κβαντικό μοντέλο Ising» (2023). arXiv:2301.11917.
arXiv: 2301.11917

[48] Τσαρλς Χάντφιλντ. «Adaptive Pauli Shadows for Energy Estimation» (2021). arXiv:2105.12207.
arXiv: 2105.12207

[49] Stefan Hillmich, Charles Hadfield, Rudy Raymond, Antonio Mezzacapo και Robert Wille. «Διαγράμματα απόφασης για κβαντικές μετρήσεις με ρηχά κυκλώματα». Το 2021 IEEE International Conference on Quantum Computing and Engineering (QCE). Σελίδες 24–34. (2021).
https: / / doi.org/ 10.1109 / QCE52317.2021.00018

[50] Tzu-Ching Yen, Aadithya Ganeshram και Artur F. Izmaylov. «Ντετερμινιστικές βελτιώσεις των κβαντικών μετρήσεων με ομαδοποίηση συμβατών τελεστών, μη τοπικούς μετασχηματισμούς και εκτιμήσεις συνδιακύμανσης». npj Quantum Information 9, 1–7 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41534-023-00683-y

[51] Bujiao Wu, Jinzhao Sun, Qi Huang και Xiao Yuan. «Μέτρηση επικαλυπτόμενης ομαδοποίησης: Ένα ενοποιημένο πλαίσιο για τη μέτρηση κβαντικών καταστάσεων». Quantum 7, 896 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-01-13-896

[52] Minh C. Tran, Daniel K. Mark, Wen Wei Ho και Soonwon Choi. «Μέτρηση αυθαίρετων φυσικών ιδιοτήτων σε αναλογική κβαντική προσομοίωση». Physical Review X 13, 011049 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.13.011049

[53] Max McGinley και Michele Fava. “Shadow Tomography from Emergent State Designs in Analog Quantum Simulators”. Physical Review Letters 131, 160601 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.131.160601

[54] Joonhee Choi, Adam L. Shaw, Ivaylo S. Madjarov, Xin Xie, Ran Finkelstein, Jacob P. Covey, Jordan S. Cotler, Daniel K. Mark, et al. «Προετοιμασία τυχαίων καταστάσεων και συγκριτική αξιολόγηση με το κβαντικό χάος πολλών σωμάτων». Nature 613, 468–473 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-022-05442-1

[55] Jordan S. Cotler, Daniel K. Mark, Hsin-Yuan Huang, Felipe Hernandez, Joonhee Choi, Adam L. Shaw, Manuel Endres και Soonwon Choi. «Σχέδια αναδυόμενης κβαντικής κατάστασης από μεμονωμένες κυματικές συναρτήσεις πολλών σωμάτων». PRX Quantum 4, 010311 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.010311

[56] Wen Wei Ho και Soonwon Choi. "Ακριβή σχέδια αναδυόμενης κβαντικής κατάστασης από την Quantum Chaotic Dynamics". Physical Review Letters 128, 060601 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.128.060601

[57] Pieter W. Claeys και Austen Lamacraft. «Σχέδια αναδυόμενης κβαντικής κατάστασης και διμονάδα στη δυναμική διπλής μονάδας κυκλώματος». Quantum 6, 738 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-06-15-738

[58] Ο Matteo Ippoliti και ο Wen Wei Ho. «Dynamical Purification and the Emergence of Quantum State Designs from the Projected Ensemble». PRX Quantum 4, 030322 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.030322

[59] Ο Matteo Ippoliti και ο Wen Wei Ho. «Επιλύσιμο μοντέλο βαθιάς θερμοποίησης με διακριτούς χρόνους σχεδιασμού». Quantum 6, 886 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-12-29-886

[60] Pieter W. Claeys. «Καθολικότητα σε κβαντικά στιγμιότυπα». Quantum Views 7, 71 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​qv-2023-01-27-71

Αναφέρεται από

[1] Benoît Vermersch, Marko Ljubotina, J. Ignacio Cirac, Peter Zoller, Maksym Serbyn και Lorenzo Piroli, «Εντροπίες πολλών σωμάτων και εμπλοκή από πολυωνυμικές τοπικές μετρήσεις». arXiv: 2311.08108, (2023).

[2] Matteo Ippoliti και Vedika Khemani, «Μεταβάσεις ικανότητας εκμάθησης στην παρακολουθούμενη κβαντική δυναμική μέσω των κλασικών σκιών του κρυφακού», arXiv: 2307.15011, (2023).

[3] Bujiao Wu και Dax Enshan Koh, «Κλασσικές φερμιονικές σκιές με ελαττωμένο σφάλμα σε θορυβώδεις κβαντικές συσκευές», arXiv: 2310.12726, (2023).

[4] Dominik Šafránek και Dario Rosa, «Μέτρηση ενέργειας με τη μέτρηση οποιουδήποτε άλλου παρατηρήσιμου», Physical Review Α 108 2, 022208 (2023).

[5] Arkopal Dutt, William Kirby, Rudy Raymond, Charles Hadfield, Sarah Sheldon, Isaac L. Chuang και Antonio Mezzacapo, «Practical Benchmarking of Randomized Measurement Methods for Quantum Chemistry Hamiltonians». arXiv: 2312.07497, (2023).

[6] Tianren Gu, Xiao Yuan και Bujiao Wu, «Αποτελεσματικά σχήματα μέτρησης για μποσονικά συστήματα», Κβαντική επιστήμη και τεχνολογία 8 4, 045008 (2023).

[7] Yuxuan Du, Yibo Yang, Tongliang Liu, Zhouchen Lin, Bernard Ghanem και Dacheng Tao, «ShadowNet for Data-Centric Quantum System Learning», arXiv: 2308.11290, (2023).

Οι παραπάνω αναφορές είναι από SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2024-03-23 10:25:55). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.

On Η υπηρεσία παραπομπής του Crossref δεν βρέθηκαν δεδομένα σχετικά με την αναφορά έργων (τελευταία προσπάθεια 2024-03-23 10:25:53).

Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους

Σφραγίδα ώρας:

Περισσότερα από Quantum Journal