Ο θεωρητικός που βλέπει τα μαθηματικά στην τέχνη, τη μουσική και τη γραφή | Περιοδικό Quanta

Η Σάρα Χαρτ πάντα έβλεπε τους κρυφούς τρόπους με τους οποίους τα μαθηματικά διαπερνούν άλλα πεδία. Ως παιδί, εντυπωσιάστηκε από την πανταχού παρουσία του αριθμού 3 στα παραμύθια της. Η μητέρα της Χαρτ, καθηγήτρια μαθηματικών, την ενθάρρυνε να αναζητά σχέδια, δίνοντάς της μαθηματικά παζλ για να περάσει την ώρα της.

Ο Χαρτ συνέχισε με διδακτορικό στη θεωρία ομάδων το 2000 και αργότερα έγινε καθηγητής στο Birkbeck του Πανεπιστημίου του Λονδίνου. Η έρευνα του Χαρτ διερεύνησε τη δομή των ομάδων Coxeter, πιο γενικές εκδόσεις δομών που καταγράφουν τις συμμετρίες των πολυγώνων και των πρισμάτων. Το 2023 δημοσίευσε Once Upon a Prime, ένα βιβλίο για τους τρόπους με τους οποίους εμφανίζονται τα μαθηματικά στη μυθοπλασία και την ποίηση. «Δεδομένου ότι εμείς οι άνθρωποι είμαστε μέρος του σύμπαντος, είναι φυσικό οι μορφές δημιουργικής μας έκφρασης, μεταξύ αυτών η λογοτεχνία, να εκδηλώνουν επίσης μια κλίση για μοτίβο και δομή», έγραψε ο Χαρτ. «Τα μαθηματικά, λοιπόν, είναι το κλειδί για μια εντελώς διαφορετική οπτική της λογοτεχνίας».

Από το 2020, ο Χαρτ είναι καθηγητής γεωμετρίας στο Gresham College του Λονδίνου. Ο Gresham δεν έχει παραδοσιακά μαθήματα. Αντίθετα, οι καθηγητές του παραδίδουν πολλές δημόσιες διαλέξεις ετησίως. Η Χαρτ είναι η πρώτη γυναίκα που κατείχε ποτέ τη θέση 428 ετών, την οποία κατέλαβε τον 17ο αιώνα ο Ισαάκ Μπάροου, διάσημος για τη διδασκαλία ενός άλλου Ισαάκ (Νεύτωνα). Πιο πρόσφατα, το κατείχε ο Roger Penrose, ένας μαθηματικός που κέρδισε το Νόμπελ Φυσικής 2020. Ο Χαρτ μίλησε με Quanta για το πώς τα μαθηματικά και η τέχνη επηρεάζουν το ένα το άλλο. Η συνέντευξη έχει συμπυκνωθεί και επεξεργαστεί για λόγους σαφήνειας.

Γιατί επιλέξατε να γράψετε το βιβλίο σας για τους δεσμούς μεταξύ μαθηματικών και λογοτεχνίας;

Αυτοί οι σύνδεσμοι είναι λιγότερο διερευνημένοι και λιγότερο γνωστοί από εκείνους μεταξύ μαθηματικών και, ας πούμε, της μουσικής. Οι συνδέσεις μεταξύ μαθηματικών και μουσικής γιορτάζονταν τουλάχιστον από τους Πυθαγόρειους. Ωστόσο, αν και υπήρξε συγγραφική και ακαδημαϊκή έρευνα για συγκεκριμένα βιβλία, συγγραφείς ή είδη, δεν είχα δει ένα βιβλίο για ένα ευρύ κοινό σχετικά με τις ευρύτερες συνδέσεις μεταξύ μαθηματικών και λογοτεχνίας.

Πώς πρέπει να σκέφτονται τα μαθηματικά οι άνθρωποι των τεχνών;

Υπάρχουν πολλά κοινά σημεία μεταξύ των μαθηματικών και, να πω, των άλλων τεχνών. Στη λογοτεχνία, καθώς και στη μουσική και την τέχνη, ποτέ δεν ξεκινάς με τίποτα. Αν είσαι ποιητής, επιλέγεις: Θα έχω ένα χαϊκού με τους πολύ ακριβείς αριθμητικούς περιορισμούς του ή θα γράψω ένα σονέτο που έχει συγκεκριμένο αριθμό γραμμών, συγκεκριμένο σχήμα ομοιοκαταληξίας, συγκεκριμένο μέτρο; Ακόμη και κάτι που δεν έχει σχήμα ομοιοκαταληξίας θα έχει σπασίματα γραμμής, ρυθμό. Θα υπάρχουν περιορισμοί που εμπνέουν τη δημιουργικότητα, που θα σας βοηθήσουν να εστιάσετε.

Στα μαθηματικά έχουμε το ίδιο πράγμα. Έχουμε κάποιους βασικούς κανόνες. Μέσα σε αυτό, μπορούμε να εξερευνήσουμε, να παίξουμε και να αποδείξουμε θεωρήματα. Αυτό που μπορούν να κάνουν τα μαθηματικά για τις τέχνες είναι να βοηθήσουν να βρεθούν νέες δομές, να δείξει ποιες είναι οι δυνατότητες. Πώς θα έμοιαζε ένα μουσικό κομμάτι που δεν έχει υπογραφή-κλειδί; Μπορούμε να σκεφτούμε τους 12 τόνους και να τους τακτοποιήσουμε διαφορετικά, και εδώ είναι όλοι οι τρόποι που μπορείτε να το κάνετε αυτό. Εδώ υπάρχουν διαφορετικοί χρωματικοί συνδυασμοί που μπορείτε να επινοήσετε, εδώ είναι διαφορετικές μορφές ποιητικού μετρητή.

Ποιο είναι ένα παράδειγμα του πώς τα μαθηματικά έχουν επηρεαστεί από τη λογοτεχνία;

Πριν από χιλιάδες χρόνια στην Ινδία, οι ποιητές προσπαθούσαν να σκεφτούν τους πιθανούς μετρητές. Στη σανσκριτική ποίηση, έχετε μακριές και μικρές συλλαβές. Το μακρύ είναι διπλάσιο από το κοντό. Εάν θέλετε να υπολογίσετε πόσα είναι αυτά που χρειάζονται χρόνο τριών, μπορείτε να έχετε σύντομο, σύντομο, σύντομο ή μακρύ, σύντομο ή σύντομο, μακρύ. Υπάρχουν τρεις τρόποι για να κάνετε τρία. Υπάρχουν πέντε τρόποι για να φτιάξετε μια φράση μήκους τεσσάρων. Και υπάρχουν οκτώ τρόποι για να φτιάξετε μια φράση μήκους πέντε. Αυτή η ακολουθία που λαμβάνετε είναι μια όπου κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αναπαράγετε ακριβώς αυτό που σήμερα ονομάζουμε ακολουθία Fibonacci. Αλλά αυτό ήταν αιώνες πριν από τον Φιμπονάτσι.

Τι θα λέγατε για την επιρροή των μαθηματικών στη λογοτεχνία;

Μια αρκετά απλή ακολουθία, αλλά λειτουργεί πολύ, πολύ δυνατά, είναι το βιβλίο της Eleanor Catton Οι Φωτιστές, που κυκλοφόρησε το 2013. Χρησιμοποίησε την ακολουθία που πάει 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Κάθε κεφάλαιο σε αυτό το βιβλίο είναι το μισό από το μήκος του προηγούμενου. Δημιουργεί αυτό το πραγματικά συναρπαστικό αποτέλεσμα, επειδή ο ρυθμός αυξάνεται και οι επιλογές των χαρακτήρων είναι πιο περιορισμένες. Όλα οδεύουν προς το τέλος τους. Στο τέλος, τα κεφάλαια είναι εξαιρετικά σύντομα.

Ένα άλλο παράδειγμα μιας ελαφρώς πιο περίπλοκης μαθηματικής δομής είναι αυτό που ονομάζεται ορθογώνια λατινικά τετράγωνα. Ένα λατινικό τετράγωνο μοιάζει με ένα πλέγμα sudoku. Σε αυτήν την περίπτωση, θα ήταν ένα πλέγμα 10 επί 10. Κάθε αριθμός εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη. Τα ορθογώνια λατινικά τετράγωνα σχηματίζονται με την επικάλυψη δύο λατινικών τετραγώνων, ώστε να υπάρχει ένα ζευγάρι αριθμών σε κάθε διάστημα. Το πλέγμα που σχηματίζεται από τον πρώτο αριθμό σε κάθε ζευγάρι είναι ένα λατινικό τετράγωνο, όπως και το πλέγμα που σχηματίζεται από τον δεύτερο αριθμό σε κάθε ζευγάρι. Επιπλέον, στο πλέγμα των ζευγών, κανένα ζεύγος δεν εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές.

Αυτά είναι πολύ χρήσιμα με όλους τους τρόπους. Μπορείτε να δημιουργήσετε κωδικούς διόρθωσης σφαλμάτων από αυτούς, οι οποίοι είναι χρήσιμοι για την αποστολή μηνυμάτων κατά μήκος ειδών θορυβωδών καναλιών. Αλλά ένα από τα σπουδαία πράγματα για αυτούς τους συγκεκριμένους, το μέγεθος 10, είναι ότι ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο Leonhard Euler, πίστευε ότι δεν μπορούσαν να υπάρχουν. Ήταν μια από τις ελάχιστες φορές που έκανε λάθος. γι' αυτό ήταν τόσο συναρπαστικό. Πολύ καιρό αφότου έκανε αυτή την εικασία ότι αυτά τα πράγματα δεν μπορούσαν να υπάρχουν για συγκεκριμένα μεγέθη, διαψεύστηκε και τετράγωνα αυτού του μεγέθους βρέθηκαν το 1959. Ήταν στο κάλυμμα of Scientific American εκείνη τη χρονιά.

Χρόνια μετά, ένας Γάλλος συγγραφέας, ο Ζωρζ Περέκ, έψαχνε για μια δομή για να χρησιμοποιήσει για το βιβλίο του Life: Εγχειρίδιο χρήστη. Διάλεξε ένα από αυτά τα ορθογώνια λατινικά τετράγωνα. Έστησε το βιβλίο του σε μια πολυκατοικία στο Παρίσι, η οποία είχε 100 δωμάτια, ένα τετράγωνο 10 επί 10. Κάθε κεφάλαιο ήταν σε διαφορετικό δωμάτιο και κάθε κεφάλαιο είχε τη μοναδική του γεύση. Είχε λίστες με 10 πράγματα — διάφορα υφάσματα, χρώματα, τέτοια πράγματα. Κάθε κεφάλαιο θα χρησιμοποιούσε έναν μοναδικό συνδυασμό. Είναι ένας πραγματικά συναρπαστικός τρόπος δομής του βιβλίου.

Σαφώς εκτιμάς το καλό γράψιμο. Πώς πιστεύετε για την ποιότητα της γραφής σε μαθηματικές ερευνητικές εργασίες;

Είναι πολύ μεταβλητό! Ξέρω ότι βραβεύουμε τη συντομία, αλλά νομίζω ότι μερικές φορές αυτό είναι υπερβολικό. Υπάρχουν πάρα πολλά έγγραφα που δεν έχουν χρήσιμα παραδείγματα.

Αυτό που πραγματικά βραβεύουμε είναι ένα έξυπνο επιχείρημα που, επειδή καλύπτει όλες τις περιπτώσεις ταυτόχρονα τόσο έξυπνα, είναι επίσης σύντομο και κομψό. Αυτό δεν είναι το ίδιο με το να στριμώξετε το μακροσκελές επιχείρημά σας σε ένα μικρότερο χώρο από ό,τι χρειάζεται καλύπτοντας τη σελίδα με απόκρυφα σήματα που έχετε δημιουργήσει για να κάνετε τη σημείωση πιο σύντομη, αλλά τα οποία όχι μόνο ο αναγνώστης αλλά πιθανώς και εσείς οι ίδιοι θα πρέπει να ξεσυσκευάσετε επίπονα και πάλι για να καταλάβω τι συμβαίνει.

Δεν σκεφτόμαστε αρκετά τη χρήσιμη σημειογραφία που υπενθυμίζει στον αναγνώστη τι εννοείται. Ο σωστός συμβολισμός μπορεί να μεταμορφώσει απόλυτα ένα κομμάτι των μαθηματικών και μπορεί να δημιουργήσει χώρο και για γενικεύσεις. Σκεφτείτε τη μετάβαση, ιστορικά, από το να γράψετε ένα άγνωστο, το τετράγωνό του και τον κύβο του με τρία διαφορετικά γράμματα, και πόσο πιο πιθανό, ακόμη και δυνατό, είναι να αρχίσετε να σκέφτεστε  πότε θα αρχίσετε να γράφετε και  αντί αυτού.

Βλέπετε την εξέλιξη στους δεσμούς μεταξύ μαθηματικών και τέχνης;

Υπάρχουν συνεχώς νέα πράγματα. Τα φράκταλ ήταν παντού τη δεκαετία του 1990. Σε κάθε τοίχο του φοιτητικού κοιτώνα, υπήρχε μια εικόνα του σετ Mandelbrot ή κάτι τέτοιο. Όλοι είπαν, «Ω, αυτό είναι συναρπαστικό, φράκταλ». Παίρνετε, για παράδειγμα, μουσικούς, συνθέτες, που χρησιμοποιούν φράκταλ ακολουθίες στις συνθέσεις τους.

Όταν ήμουν περίπου 16, υπήρχαν αυτά τα νέα πράγματα που ονομάζονταν αριθμομηχανές γραφικών. Πολύ συναρπαστικό. Και ένας φίλος της μητέρας μου μου έδωσε αυτό το πρόγραμμα που θα μπορούσε να σχεδιάσει ένα σετ Mandelbrot σε έναν από αυτούς τους μικρούς αριθμομηχανές γραφικών. Είχε περίπου, δεν ξέρω, 200 pixel. Προγραμματίζεις αυτό το πράγμα και μετά έπρεπε να το αφήσω για 12 ώρες. Θα σχεδίαζε αυτά τα 200 σημεία στο τέλος του. Έτσι, ακόμη και απλοί μαθητές θα μπορούσαν να ασχοληθούν με αυτό στα τέλη της δεκαετίας του '80 και στις αρχές της δεκαετίας του '90, και να δημιουργήσουν αυτές τις εικόνες για τον εαυτό τους.

Ακόμα και όταν ήσασταν στο σχολείο, σας ενδιέφεραν ήδη πολύ τα σκληροπυρηνικά μαθηματικά, ακούγεται.

 Νομίζω ότι με ενδιέφερε από πριν καν καταλάβω ότι αυτό σήμαινε ότι ήμουν μαθηματικός. Όπως, πάντα έφτιαχνα σχέδια από τότε που ήμουν μικρό παιδί.

Όταν ήμουν πολύ μικρός, το αγαπημένο μου παιχνίδι ήταν μερικά πολύ απλά ξύλινα βαμμένα πλακάκια. Ήρθαν σε όλα τα διαφορετικά χρώματα. Θα τα έφτιαχνα σε μοτίβα, και μετά θα το κοιτούσα περήφανα για μια μέρα περίπου, και μετά θα έφτιαχνα άλλο ένα.

Όταν μεγάλωσα λίγο, έπαιζα με αριθμούς και κοιτούσα μοτίβα. Η μαμά ήταν αυτή που πήγαινα και έλεγα «βαριέμαι». Και μετά έλεγε, «Λοιπόν, μπορείς να βρεις ποιο είναι το σχέδιο του αριθμού των σημείων που χρειάζεσαι για να φτιάξεις ένα τρίγωνο;» ή οτιδήποτε ήταν. Θα με έβαλε να ανακαλύψω ξανά τους τριγωνικούς αριθμούς ή κάτι τέτοιο και θα ήμουν πολύ ενθουσιασμένος.

Φτωχή μάνα μου, ο αριθμός των καταπληκτικών εφευρέσεων με τις οποίες θα πήγαινα στη μητέρα μου. «Έχω αναπτύξει έναν εντελώς νέο τρόπο να κάνω κάτι!» Και έλεγε, «Εντάξει, αυτό είναι πολύ ωραίο. Αλλά, ξέρετε, ο Ντεκάρτ το σκέφτηκε αυτό πριν από αιώνες». Και μετά θα έφευγα. Είχα μια άλλη καταπληκτική ιδέα λίγες μέρες αργότερα. «Αυτό είναι υπέροχο, αγαπητέ. Αλλά οι αρχαίοι Έλληνες το είχαν αυτό».

Θυμάστε κάποιες ιδιαίτερα ικανοποιητικές στιγμές από την καριέρα σας στα μαθηματικά;

Οι στιγμές που τελικά καταλαβαίνεις ποιο είναι το μοτίβο που βλέπεις είναι πάντα ικανοποιητικές, καθώς και όταν σκέφτεσαι πώς να ολοκληρώσεις μια απόδειξη με την οποία παλεύεις. Οι πιο δυνατές μου αναμνήσεις από αυτά τα συναισθήματα απόλαυσης, πιθανώς επειδή ήταν οι πρώτες φορές που τα ένιωθα, είναι από την αρχή της ερευνητικής μου καριέρας. Αλλά εξακολουθεί να είναι ένα υπέροχο συναίσθημα να παίρνεις αυτό το «αχα», όταν τελικά καταλάβεις τι συμβαίνει.

Πολύ νωρίς προσπαθούσα να αποδείξω κάτι για άπειρες ομάδες Coxeter. Είχα επιλύσει μερικές από τις περιπτώσεις και εξετάζοντας τις υπόλοιπες κατέληξα σε μια τεχνική που θα λειτουργούσε εάν ικανοποιούνταν ένα συγκεκριμένο κριτήριο. Μπορείτε να γράψετε αυτές τις σχέσεις σε ένα γράφημα, έτσι άρχισα να συνθέτω μια συλλογή από γραφήματα για τα οποία θα μπορούσε να εφαρμοστεί η τεχνική μου. Αυτό ήταν πάνω από τα Χριστούγεννα ένα χρόνο.

Μετά από λίγο, το σύνολο των εικόνων μου άρχισε να μοιάζει με ένα συγκεκριμένο σύνολο γραφημάτων που καταγράφηκαν σε ένα βιβλίο για τις ομάδες Coxeter που ήταν στο γραφείο μου, και άρχισα να ελπίζω ότι ήταν αυτό ακριβώς το σύνολο γραφημάτων. Αν ήταν, τότε αυτό θα γέμιζε την τρύπα στην απόδειξή μου και το θεώρημά μου θα είχε τελειώσει. Αλλά δεν μπορούσα να το ελέγξω με βεβαιότητα μέχρι να επιστρέψω στο πανεπιστήμιο μετά τα Χριστούγεννα - αυτό ήταν πριν μπορέσετε να Google τα πάντα. Νομίζω ότι η προσμονή να περιμένω για να επιβεβαιώσω την προαίσθησή μου το έκανε ακόμα καλύτερο όταν έφτασα στο βιβλίο και συνέκρινα το χειρόγραφο σύνολο διαγραμμάτων μου με αυτά του βιβλίου, και όντως ταίριαζαν.

Τι πιστεύετε για το ερώτημα εάν τα μαθηματικά δημιουργούνται ή ανακαλύπτονται; Σχεδόν κανείς δεν θα υποστήριζε ότι οποιοσδήποτε από τους μυθιστοριογράφους για τους οποίους γράφετε στο βιβλίο σας «ανακάλυψε» τα μυθιστορήματά του. Είναι αυτή μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ μαθηματικών και λογοτεχνίας ή όχι;

Πιθανότατα να είναι, αν και υπάρχουν ακόμη κάποιες αντηχήσεις.

Το να κάνεις μαθηματικά μοιάζει με ανακάλυψη. Αν εφευρίσκαμε τα μαθηματικά, σίγουρα δεν θα ήταν τόσο δύσκολο να αποδείξουμε πράγματα! Μερικές φορές θέλουμε απεγνωσμένα κάτι να είναι αληθινό, και δεν είναι. Δεν μπορούμε να αποφύγουμε τις συνέπειες της λογικής, υποθέτω.

Όλα είναι σαν ανακάλυψη όταν το κάνεις. Ορισμένες επιλογές αντικατοπτρίζουν αυτό που βιώνουμε στον πραγματικό κόσμο, όπως τα αξιώματα της γεωμετρίας με τα οποία εργαζόμαστε, τα οποία επιλέγονται επειδή φαίνεται να είναι περίπου η πραγματικότητα — αν και ακόμη και εκεί, δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα όπως "σημείο" ή " γραμμή» (επειδή δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε κάτι που δεν καταλαμβάνει χώρο, και μια γραμμή στη γεωμετρία δεν έχει πλάτος και εκτείνεται απείρως μακριά).

Σε κάποιο βαθμό, υπάρχουν παραλληλισμοί σε αυτή τη συνέχεια στη λογοτεχνία. Μόλις ορίσετε τους κανόνες ενός σονέτου, θα δυσκολευτείτε να γράψετε ένα του οποίου η πρώτη γραμμή τελειώνει με «πορτοκαλί» ή «καμινάδα».

Αλλά δεν μπορώ να αντισταθώ στο να μοιραστώ κάτι J.R.R. Ο Τόλκιν είπε για το γράψιμο The Hobbit: «Όλα ξεκίνησαν όταν διάβαζα τα χαρτιά των εξετάσεων για να κερδίσω λίγα επιπλέον χρήματα. … Λοιπόν, μια μέρα έφτασα σε μια κενή σελίδα σε ένα βιβλίο εξετάσεων και το έγραψα. «Σε μια τρύπα στο έδαφος ζούσε ένα χόμπιτ.» Δεν ήξερα περισσότερα για τα πλάσματα από αυτό, και πέρασαν χρόνια πριν μεγαλώσει η ιστορία του. Δεν ξέρω από πού προήλθε η λέξη».

Χόμπιτ — τα δημιούργησε ή τα ανακάλυψε;