Εισαγωγή
Η ιδέα του άπειρου είναι πιθανώς τόσο παλιά όσο και οι ίδιοι οι αριθμοί, και ανάγεται όταν οι άνθρωποι συνειδητοποίησαν για πρώτη φορά ότι μπορούσαν να συνεχίσουν να μετρούν για πάντα. Αλλά παρόλο που έχουμε ένα σημάδι για το άπειρο και μπορούμε να αναφερθούμε στην έννοια σε περιστασιακή συνομιλία, το άπειρο παραμένει βαθιά μυστηριώδες, ακόμη και για τους μαθηματικούς. Σε αυτό το επεισόδιο, ο Steven Strogatz συνομιλεί με τον συνάδελφό του μαθηματικό Ο Γιάννης Μουρ του Πανεπιστημίου Cornell για το πώς ένα άπειρο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα άλλο (και αν μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει ένα ενδιάμεσο άπειρο μεταξύ τους). Συζητούν επίσης πώς οι φυσικοί και οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν το άπειρο διαφορετικά και τη σημασία του άπειρου στην ίδια τη βάση των μαθηματικών.
Ακούστε Apple Podcasts, Spotify, Podcasts Google, Ράπτων, Συντονιστείτε ή την αγαπημένη σας εφαρμογή podcasting, ή μπορείτε μεταδώστε το από Quanta.
Αντίγραφο
Στίβεν Στροτζάτζ (00:03): Είμαι ο Steve Strogatz, και αυτό είναι The Joy of Why, ένα podcast από Quanta Magazine που σας οδηγεί σε μερικές από τις μεγαλύτερες αναπάντητα ερωτήματα στα μαθηματικά και τις επιστήμες σήμερα.
(00:13) Σε αυτό το επεισόδιο, θα συζητήσουμε το άπειρο. Κανείς δεν ξέρει πραγματικά από πού προήλθε η ιδέα του άπειρου, αλλά πρέπει να είναι πολύ αρχαία — τόσο παλιά όσο οι ελπίδες και οι φόβοι των ανθρώπων για πράγματα που θα μπορούσαν να διαρκέσουν για πάντα. Κάποια από αυτά είναι τρομακτικά, σαν απύθμενο λάκκο, και μερικά από αυτά είναι ανεβαστικά, σαν ατελείωτη αγάπη. Στα μαθηματικά, η ιδέα του άπειρου είναι πιθανώς τόσο παλιά όσο και οι ίδιοι οι αριθμοί. Μόλις οι άνθρωποι συνειδητοποίησαν ότι μπορούσαν απλώς να συνεχίσουν να μετρούν για πάντα - 1, 2, 3 και ούτω καθεξής. Αλλά παρόλο που το άπειρο είναι μια πολύ παλιά ιδέα, παραμένει βαθιά μυστηριώδης. Οι άνθρωποι ξύνουν τα κεφάλια τους για το άπειρο χιλιάδες χρόνια τώρα, τουλάχιστον από τον Ζήνωνα και τον Αριστοτέλη στην αρχαία Ελλάδα.
(00:57) Αλλά πώς αντιλαμβάνονται οι μαθηματικοί το άπειρο σήμερα; Υπάρχουν διαφορετικά μεγέθη του άπειρου; Είναι χρήσιμο το άπειρο στους μαθηματικούς; Και αν ναι, πώς ακριβώς; Και τι σχέση έχουν όλα αυτά με τα θεμέλια των ίδιων των μαθηματικών;
(01:14) Μαζί μου σήμερα για να συζητήσουμε το άπειρο είναι ο Justin Moore, καθηγητής μαθηματικών στο Cornell. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα περιλαμβάνουν τη θεωρία συνόλων, τη μαθηματική λογική και την άπειρη συνδυαστική και τις εφαρμογές τους σε άλλα πεδία των μαθηματικών, όπως η τοπολογία, η συναρτησιακή ανάλυση και η άλγεβρα. Καλώς ήρθες Τζάστιν.
Ο Γιάννης Μουρ (01:33): Γεια σου, Στιβ. Ευχαριστώ που με έχεις.
Strogatz (01:35): Ναι, είμαι πολύ ενθουσιασμένος που θα σας μιλήσω. Θα πρέπει να πω, ίσως για πλήρη αποκάλυψη, ο Justin είναι φίλος και συνάδελφός μου στο τμήμα μαθηματικών στο Cornell. Εντάξει, λοιπόν, πηγαίνουμε στο να σκεφτόμαστε το άπειρο όπως το σκέφτονται οι μαθηματικοί. Στην πραγματικότητα, ίσως πριν βουτήξουμε στο κομμάτι των μαθηματικών, ας μιλήσουμε για λίγο για τον πραγματικό κόσμο, γιατί δεν θα είμαστε εκεί για πολύ. Τώρα, έχω δίκιο, ότι κάποτε εκπαιδευτήκατε στον κόσμο της φυσικής;
Moore (02:02): Ναι, ήταν μια διπλή μάθημα φυσικής με μαθηματικά, όταν ήμουν προπτυχιακός. Κάπως κάηκα με τη φυσική. Ξεκίνησα να προτιμώ τη φυσική και επίσης να ενδιαφέρομαι κάπως για τα μαθηματικά περισσότερο ψυχαγωγικά. Και στη συνέχεια, κατά κάποιο τρόπο, κατά τη διάρκεια του, με ενδιέφερε περισσότερο τα μαθηματικά και η φυσική.
Strogatz (02:18): Εντάξει. Λοιπόν, τι γίνεται με τη φυσική του απείρου; Έχει καν νόημα; Υπάρχει κάποιο άπειρο πράγμα στον πραγματικό κόσμο που γνωρίζουμε;
Moore (02:26): Ξέρεις αυτό το βίντεο, Οι δυνάμεις του 10, που δημιουργήθηκε από τον Charles και τον Ray Eames; Όπου βασικά κάθε — νομίζω ότι είναι κάθε 10 δευτερόλεπτα, είστε κατά 10 μικρότερη δύναμη. Λοιπόν, στην αρχή, νομίζω ότι μια ισχύς 10 μεγαλύτερη. Κάνεις σμίκρυνση. Και μετά κάθε 10 δευτερόλεπτα, είστε κατά 10 μικρότερη δύναμη και πηγαίνετε από τη μεγαλύτερη κλίμακα του σύμπαντος στη μικρότερη κλίμακα υποατομικών σωματιδίων. Ξέρετε, αυτό έγινε πίσω, θέλω να πω, στα τέλη της δεκαετίας του '70 ή στις αρχές του '80. Και νομίζω ότι η κατανόησή μας για ορισμένα πράγματα έχει εξελιχθεί λίγο από τότε, αλλά όχι τρομερά. Αλλά εννοώ, το θέμα είναι ότι υπάρχουν περίπου 40 δυνάμεις του 10 που χωρίζουν τη μικρότερη κλίμακα μήκους από τη μεγαλύτερη κλίμακα μήκους, και ίσως μπορείτε να είστε γενναιόδωροι και να ρίξετε πολλές επιπλέον δυνάμεις του 10, για καλό μέτρο. Αλλά είναι δίκαιο να πούμε ότι δεν υπάρχει τίποτα που μπορείτε να μετρήσετε στη φυσική που να είναι μεγαλύτερο από, ξέρετε, 10100 ή 10200 ή κατι τετοιο.
(03:22) Και ίσως η αντίληψή μας ότι τα πράγματα είναι συνεχή — συνεχής κίνηση ή οτιδήποτε άλλο— ίσως όλα αυτά να είναι απλώς μια ψευδαίσθηση. Ίσως όλα να είναι πραγματικά κοκκώδη και πεπερασμένα. Αλλά αυτό που είναι αλήθεια είναι ότι σίγουρα οι φυσικοί έχουν ανακαλύψει πολλά για τον κόσμο στον οποίο ζούμε, με το να φαντάζονται ότι τα πράγματα είναι ομαλά και συνεχόμενα και ότι το άπειρο έχει νόημα. Όταν πηγαίνετε στα μέρη της φυσικής όπου δεν έχουν ακόμη επισημοποιήσει τα πράγματα, πολλά από τα ζητήματα που έχουν οι μαθηματικοί με αυτό συνοψίζονται στους φυσικούς είναι να αντιμετωπίζουν το άπειρο με διάφορους τρόπους καβαλάρης και να αφαιρούν τα άπειρα από τα άπειρα , και ίσως να μην είναι τόσο υπεύθυνοι για αυτό όσο θα ήθελε ένας μαθηματικός. Δεν νομίζω ότι αυτή είναι πραγματικά μια αμφιλεγόμενη δήλωση. Νομίζω ότι ένας φυσικός θα το έκανε - οι περισσότεροι φυσικοί πιθανότατα θα το έκαναν - εννοώ, εντάξει, ίσως θα ήξερες καλύτερα. Αλλά πιστεύω ότι οι περισσότεροι φυσικοί θα έλεγαν ότι αυτή είναι μια αρκετά σωστή δήλωση.
Strogatz (04:20): Λοιπόν, όσον αφορά τη δική σας προσωπική ιστορία - υπόσχομαι ότι δεν θα πάω πολύ βαθιά για να σας φέρω σε δύσκολη θέση σε αυτό - αλλά τι ήταν αυτό που σας τράβηξε στο άπειρο; Ήταν κατά κάποιο τρόπο ότι η φυσική ένιωθε πολύ μικρή για εσάς; Ή απλά σας αρέσει η αυστηρότητα των μαθηματικών, ή…;
Moore (04:33): Εννοώ, νομίζω ότι ενδιαφερόμουν για τα μαθηματικά ως σύνολο και μεγάλωσα από τη φυσική προτού ενδιαφερθώ ειδικά για τη θεωρία συνόλων. Κατά ειρωνικό τρόπο, ήταν επειδή εγώ — καλά, αν παρακολουθήσεις ένα μάθημα φυσικής, κάποια στιγμή, καταλήγεις να είσαι αρκετά γρήγορος και χαλαρός με τα μαθηματικά. Και είτε είσαι εντάξει με αυτό, είτε δεν είσαι. Ήμουν ένας από τους ανθρώπους που δεν ήταν εντάξει με αυτό.
Strogatz (04:56): Εεε. Και ήμουν ένας που ήταν εντάξει, και εξακολουθώ να το κάνω. Ξέρεις, εννοώ, αυτά τα πράγματα δεν με έχουν ανησυχήσει πολύ, αν και σέβομαι τη φροντίδα που — την πνευματική ακεραιότητα που έχουν οι καθαροί μαθηματικοί, ξέρετε, ανησυχούν για αυτά τα πράγματα.
(05:11): Εντάξει, ας υποθέσουμε ότι ήμουν απλά, δεν ξέρω, σαν περίεργος έφηβος και δεν ξέρω καν τι είναι το άπειρο. Τι θα έλεγες ότι είναι; Πρέπει να το σκεφτώ ως πολύ μεγάλο νούμερο; Είναι κάποιο σύμβολο; Είναι ακίνητο; Ποιος είναι ένας καλός τρόπος να σκεφτείς τι είναι το άπειρο;
Moore (05:26): Ναι, εννοώ, υποθέτω ότι είναι — μπορεί να είναι ένα εξιδανικευμένο σημείο στο τέλος της γραμμής, εντάξει; Μπορεί να είναι επίσημο σύμβολο. Ξέρετε, μπορείτε να το σκεφτείτε κάπως έτσι… ένα επίσημο σύμβολο με την ίδια έννοια όπως ας πούμε, εισάγουμε το -1, σωστά; Και θυμάμαι όταν ήμουν μικρός, ότι οι δάσκαλοι δεν ήταν πρόθυμοι να ξεκαθαρίσουν αν ήταν ασφαλές να μιλάμε για αρνητικούς αριθμούς. Και, σωστά, αυτό ακούγεται ανόητο εκ των υστέρων, αλλά σε κάποιο επίπεδο, σωστά, υπάρχει το -1 στον πραγματικό κόσμο; Αλλά μπορείτε να το χειριστείτε επίσημα και μπορείτε να χειριστείτε επίσημα το άπειρο σε κάποιο επίπεδο, αλλά πρέπει ίσως να επιδείξετε λίγη περισσότερη προσοχή. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το άπειρο ως μέσο για να ποσοτικοποιήσετε πόσα υπάρχουν από κάτι. Και αυτό ανοίγει περισσότερες πόρτες εκεί, γιατί μπορείς να μιλήσεις ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα, μερικά από τα οποία είναι μεγαλύτερα από άλλα.
Strogatz (06:15): Εντάξει. Εντάξει. Λοιπόν, αναφέρατε αυτή τη λέξη "σετ", και σίγουρα θα μιλήσουμε πολύ για σετ σήμερα. Είπα ότι τα ενδιαφέροντά σας περιλαμβάνουν τη θεωρία συνόλων. Θέλετε να πείτε περισσότερα σχετικά με το τι εννοείτε ως σύνολο;
Moore (06:26): Υποθέτω… Η απάντηση είναι και ναι και όχι. Οπότε νομίζω ότι είναι εντάξει να πετάς από το κάθισμα του παντελονιού σου και να το βλέπεις απλά, ξέρεις, μια απροσδιόριστη έννοια και να τη χρησιμοποιείς κάπως διαισθητικά. Αλλά χρησιμοποιήθηκε επίσης ως μηχανισμός για να παρέχει τα θεμέλια για τα μαθηματικά, όταν οι άνθρωποι συνειδητοποίησαν ότι έπρεπε να έχουμε κάποια, να κάνουμε κάποια προσεκτική βάση του τι είναι τα μαθηματικά.
Strogatz (06:49): Αχχ. Αυτό είναι ενδιαφέρον. Επειδή εγώ — όπως, σαν μικρά παιδιά, μαθαίνουμε να μετράμε στα δάχτυλά μας, ή οι γονείς μας πιθανώς αρχίζουν να λένε λέξεις και μετά μπορεί να δείχνουν τα πράγματα και να πουν, «1, 2, 3…» Και μάθαμε ήχους — παιδιά έτσι όταν είναι πολύ λίγα, το ξέρω, σωστά; Θέλω να πω, αν έχετε μικρά παιδιά μόνοι σας ή συγγενείς. Άρα υπάρχει και αυτή η πλευρά των πραγμάτων. Και νομίζω ότι οι περισσότεροι άνθρωποι θα φαντάζονταν ότι οι αριθμοί είναι το θεμέλιο των μαθηματικών. Αλλά λέτε, και νομίζω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί θα συμφωνούσαν, ότι υπάρχει κάτι ακόμα πιο βαθύ από τους αριθμούς, που είναι αυτή η έννοια των συνόλων, σωστά;
Moore (07:22): Νομίζω ότι η έννοια του "σετ" προέκυψε ως θεμελιώδης έννοια επειδή είναι τόσο βασική και τόσο πρωτόγονη. Και αν θέλετε, αν θέλετε να έχετε κάτι να χρησιμοποιήσετε ως ύφασμα για τα μαθηματικά, θέλετε να ξεκινήσετε με κάτι όπου οι βασικές του ιδιότητες φαίνονται πολύ πρωτόγονες και μετά να ξεκινήσετε από εκεί. Και τότε η ιδέα είναι ότι στη συνέχεια χρησιμοποιείτε σύνολα για να κωδικοποιήσετε πράγματα όπως τους αριθμούς μέτρησης, και πράγματα όπως τους ρητούς αριθμούς και τους πραγματικούς αριθμούς, και ούτω καθεξής. Και μετά από εκεί, κάθε είδους άλλες πιο περίπλοκες μαθηματικές κατασκευές, όπως πολλαπλές, ή, ή οτιδήποτε άλλο.
Strogatz (07:57): Έτσι μπορώ να θυμηθώ, σε α Οδός Σουσάμι επεισόδιο που έβλεπα με τα παιδιά μου. Ήταν σε μια ταινία? Νομίζω ότι ήταν. Ότι υπάρχει ένας χαρακτήρας που παρήγγειλε ψάρια για ένα δωμάτιο γεμάτο πεινασμένους πιγκουίνους. Και ζήτησε από τους πιγκουίνους να φωνάξουν και, και λένε, «Ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι». Και τότε ο σερβιτόρος φωνάζει στην κουζίνα, «Ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι, ψάρι». Και τότε κάποιος άλλος λέει, «Όχι, το έκανες λάθος». Και κάποιος άλλος λέει, "Λοιπόν, γιατί δεν είπες ότι παράγγειλαν έξι ψάρια;" Αλλά κάνει το νόημα ότι αυτή η ιδέα ενός είδους έρχεται μετά από αυτή τη συλλογή αντικειμένων ψαριών. Και τότε ένας άλλος χαρακτήρας ξαφνιάζεται και λέει: «Λειτουργεί για μπουζί; Και ρολά κανέλας;»
Moore (08:42): Θέλω να πω, σκέφτομαι επίσης, απλά αν σε ενδιαφέρει να προσπαθήσεις να καταλάβεις, μπορείς να το αποδείξεις αυτό; Ή μπορείς να το αποδείξεις; Και προσπαθείτε να ορίσετε τους κανόνες για το πώς θα αποδείξετε τα πράγματα ή οτιδήποτε άλλο, θα θέλατε οι βασικές αρχές να είναι όσο το δυνατόν απλούστερες. Και έτσι, αντί να προσπαθήσετε να γράψετε κανόνες για το πώς λειτουργεί η αριθμητική, ξεκινάτε γράφοντας απλούστερους κανόνες για πιο απλά πράγματα και στη συνέχεια χτίζετε την αριθμητική από αυτά τα πιο βασικά δομικά στοιχεία.
Strogatz (09:08): Εντάξει. Λοιπόν, και αυτό μου θυμίζει επίσης τα «Νέα Μαθηματικά», όταν ως παιδί στη δεκαετία του '60, μαθαίναμε για διασταυρώσεις και διαγράμματα Venn και ενώσεις, σωστά; Αυτή ήταν η αρχή της θεωρίας συνόλων. Μας το δίδασκαν στη - δεν θυμάμαι - ήταν δεύτερη ή τρίτη δημοτικού. οι γονείς μου δεν ήξεραν γιατί. Αλλά, υποθέτω, ήταν μαθηματικοί του τύπου σας ή άλλοι που πίστευαν ότι τα παιδιά πρέπει να μάθουν σύνολα, είτε πριν είτε την ίδια στιγμή που μαθαίνουν για την αριθμητική.
Moore (09:33): Ναι, τα περισσότερα από αυτά που μελετούν οι άνθρωποι στη θεωρία συνόλων, εννοώ, αυτές τις μέρες είναι πραγματικά το πώς λειτουργούν τα άπειρα σύνολα. Επειδή η διαίσθησή μας για τα άπειρα σύνολα δεν είναι τόσο καλή όσο η διαίσθησή μας για τα πεπερασμένα σύνολα. Και νομίζω ότι αυτός είναι ένας μεγάλος λόγος για τον οποίο η προσπάθεια για τα θεμέλια ήταν εκεί. Ήταν εν μέρει επειδή θα θέλαμε να γράψουμε, εντάξει, ποιες είμαστε αρκετά βέβαιοι ότι πρέπει να είναι οι ιδιότητες των άπειρων συνόλων και των συνόλων γενικά, και στη συνέχεια να προσπαθήσουμε να αναπτύξουμε τι ισχύει για τα άπειρα σύνολα από εκεί;
Strogatz (10:03): Εντάξει, γιατί δεν έχουμε μερικά παραδείγματα; Μπορείτε να μου πείτε μερικά παραδείγματα πραγμάτων που είναι άπειρα σύνολα;
Moore (10:08): Λοιπόν, όπως και οι φυσικοί αριθμοί. Όπως λέγατε — όπως 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και ούτω καθεξής — αλλά και πράγματα όπως οι ορθολογικοί αριθμοί. Ξέρετε, τα κλάσματα σαν δύο φυσικούς αριθμούς ο ένας πάνω στον άλλο ή ίσως ένα αρνητικό κλάσμα. Αλλά υπάρχουν επίσης πράγματα όπως οι πραγματικοί αριθμοί, όπου — ξέρετε, οτιδήποτε μπορείτε να εκφράσετε με δεκαδικό, συμπεριλαμβανομένων πραγμάτων όπως π και e.
Strogatz (10:28): Μμ-χμμ. Άρα θα μπορούσαν να έχουν άπειρα ψηφία μετά την υποδιαστολή.
Moore (10:32): Ναι, ναι, άπειρα ψηφία. Δεν χρειάζεται να επαναληφθούν.
Strogatz (10:35): Αχχ. Και τι γίνεται με πράγματα όπως σχήματα ή σημεία ή γεωμετρικά πράγματα, όχι μόνο αριθμητικά πράγματα;
Moore (10:41): Ναι, μπορείτε να μιλήσετε και για συλλογές γεωμετρικών σχημάτων.
Strogatz (10:45): Εντάξει, λοιπόν, αυτό είναι ένα ωραίο χαρακτηριστικό των συνόλων: ότι μπορούμε, με σύνολα, να ενοποιήσουμε ή τουλάχιστον να έχουμε μια κοινή γλώσσα για να μιλάμε για την αριθμητική, τη γεωμετρία,… .
Moore (10:54): Σωστά.
Strogatz (10:55): Υποθέτω ότι θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για ένα σύνολο συναρτήσεων, αν παρακολουθούσαμε ένα μάθημα προλογισμού. Ξέρετε, όπως το σύνολο του συνόλου των συνεχών συναρτήσεων, αν ήμασταν σε μια πορεία λογισμού.
Moore (11:04): Σίγουρα. Ναι.
Strogatz (11:05): Ή οτιδήποτε άλλο. Ναι, λοιπόν, αυτό μας δίνει μια κοινή γλώσσα για όλα τα διαφορετικά μέρη των μαθηματικών.
Moore (11:09): Σωστά.
Strogatz (11:10): Και — αλλά είναι μια σχετικά νέα ιδέα ως θεμέλιο των μαθηματικών όσον αφορά τη συνολική ιστορία των μαθηματικών, δεν θα λέγατε;
Moore (11:16): Ναι, εννοώ, εγώ… Λοιπόν, τα σύγχρονα μαθηματικά όπως τα ξέρουμε, είναι περίπου μεταξύ 100 και 150 ετών. Αλλά συνήθως το συνδέω - το πρώτο μέρος του περασμένου αιώνα ήταν όταν, στην πραγματικότητα, αρχίσαμε να βλέπουμε όλα τα κύρια μέρη των μαθηματικών όπως τα ξέρουμε σήμερα να αρχίζουν να αναπτύσσονται και να γίνονται πραγματικά ξεχωριστά δικά τους θέματα. Και αυτό ήταν επίσης περίπου την ίδια στιγμή που ο [Bertrand]Russell ανακάλυψε το παράδοξό του, το οποίο πυροδότησε την ανάγκη για κάποιου είδους αυστηρά θεμέλια για τα μαθηματικά.
Strogatz (11:49): Α, αχ. Θα πρέπει να αναφέρουμε - ναι. Έτσι, ο Μπέρτραντ Ράσελ, για τον οποίο μιλάμε τώρα, είναι συχνά πιο γνωστός ως φιλόσοφος ή ειρηνιστής, και όμως ήταν πολύ δυνατός μαθηματικός και λογικός, κάποιος που ενδιαφέρεται για τη λογική ως μέρος των μαθηματικών.
Moore: Ναι ναι.
Strogatz (12:04): Λοιπόν, όπως λέτε, ήταν ένας από τους ανθρώπους που βοήθησαν να γίνει πραγματικά η θεωρία συνόλων. Και ακόμη και πριν από αυτόν, ήταν αυτός ο κύριος, Γκέοργκ Κάντορ, για τον οποίο θα μιλήσουμε αρκετά, στη Γερμανία στα τέλη του 1800.
(12:17): Εντάξει, πώς στα μαθηματικά, ας πούμε, χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί το άπειρο; Αναφέρατε πόσο χρήσιμο μπορεί να είναι. Πού χρησιμοποιείται;
Moore (12:27): Ναι, λοιπόν, σε μια τάξη λογισμών, είναι ένα χρήσιμο σύμβολο για την εκτέλεση ορισμένων υπολογισμών. Μιλώντας για το πώς συμπεριφέρεται μια συνάρτηση καθώς η είσοδος γίνεται πολύ μεγάλη. Μπορείτε να μιλήσετε για το όριο στο άπειρο, ή για αναλογίες ποσοτήτων καθώς ένας αριθμός πηγαίνει στο μηδέν ή στο άπειρο ή κάτι τέτοιο. Αυτή είναι μια έννοια του άπειρου που είναι κάπως με την πρώτη έννοια που ανέφερα, όπου βλέπετε το άπειρο ως ένα εξιδανικευμένο σημείο στο τέλος της γραμμής.
(12:53) Αλλά μπορείτε επίσης να μιλήσετε για αυτό ως — ξέρετε, μπορείτε, μπορείτε να μιλήσετε για την καταμέτρηση του αριθμού των στοιχείων κάποιας συλλογής ή κάποιου συνόλου, και την παρακολούθηση είτε του πεπερασμένου αριθμού στοιχείων που έχει ή ίσως, αν έχει άπειρα πολλά στοιχεία, προσπαθώντας να διακρίνει τα διαφορετικά μεγέθη του άπειρου. Εννοώ ότι όλοι καταλαβαίνουν —ή προσποιούνται ότι καταλαβαίνουν— τη διάκριση ανάμεσα στο να είσαι πεπερασμένος και στο άπειρο. Και πιστεύω Η εντυπωσιακή ανακάλυψη του Κάντορ ήταν ότι μπορείτε, για ένα άπειρο σύνολο, μπορείτε να κάνετε περαιτέρω διακρίσεις. Μπορείτε να διακρίνετε ότι είναι αυτό που λέγεται μετρήσιμο και στη συνέχεια αυτό που ονομάζεται μη μετρήσιμο. Ή ακόμα και γενικά, υψηλότεροι αμέτρητοι καρδινάλιοι από τις διακρίσεις μεταξύ διαφορετικών αμέτρητων καρδιναλίων.
Strogatz (13:34): Λοιπόν εντάξει, πάμε εκεί. Επειδή αυτό είναι, αυτό μας μεταφέρει πραγματικά στην καρδιά του θέματός μας. Νομίζω ότι ο μέσος άνθρωπος που ακούει τη λέξη «μετρήσιμο» για πρώτη φορά μπορεί να σκεφτεί ότι σημαίνει κυριολεκτικά μετρήσιμο, όπως κάτι που έχει 10. Ξέρετε, αν υπάρχουν 10 μπουζί στο τραπέζι, θα μπορούσα να τα μετρήσω — 1, 2, 3 , έως 10. Αλλά εσείς και άλλοι μαθηματικοί χρησιμοποιείτε το countable για να σημαίνει κάτι λίγο διαφορετικό από αυτό.
Moore (13:56): Σημαίνει απλώς ότι μπορείτε να αντιστοιχίσετε έναν φυσικό αριθμό σε κάθε στοιχείο του συνόλου, έτσι ώστε κανένας φυσικός αριθμός να χρησιμοποιηθεί δύο φορές.
Strogatz (13:56): Άρα κάτι μπορεί να είναι μετρήσιμο και άπειρο.
Moore (13:57): Και άπειρο. Άρα οι φυσικοί αριθμοί είναι προφανώς μετρήσιμοι γιατί μετρούν τον εαυτό τους. Αλλά ίσως λίγο λιγότερο προφανές είναι ότι οι ακέραιοι, συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών των φυσικών αριθμών, είναι μετρήσιμοι.
Strogatz (14:18): Ας μιλήσουμε λοιπόν για αυτό για λίγο. Έτσι, αν κάποιος δεν το έχει σκεφτεί αυτό πριν, είναι ενδιαφέρον. Επειδή όπως — έτσι είπατε, θα λάβετε υπόψη όλους τους αριθμούς, όλους τους θετικούς ακέραιους, όλους τους αρνητικούς ακέραιους και το μηδέν.
Moore (14:29): Ναι.
Strogatz (14:30): Και μπορείς να το κάνεις λάθος. Όπως αν ξεκινούσατε από το μηδέν και αρχίζατε να μετράτε προς τα δεξιά και πηγαίνετε 0, 1, 2, 3, δεν θα επιστρέψατε ποτέ στους αρνητικούς αριθμούς. Και έτσι τότε θα είχατε αποτύχει να μετρήσετε όλους τους ακέραιους αριθμούς.
Moore (14:41): Ναι.
Strogatz: Αλλά τι πρέπει να κάνετε αντ 'αυτού;
Moore: Αυτό που μπορείτε να κάνετε είναι, μπορείτε να μετρήσετε, ξέρετε, 0, 1, -1 και μετά 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Και αν τα απαριθμήσεις με αυτόν τον τρόπο, τότε τελικά απαριθμείς τα πάντα.
Strogatz (14:55): Πανέμορφο. Έτσι, αυτό το ζιγκ-ζαγκ επιχείρημα όπου πηδάτε πέρα δώθε μεταξύ των θετικών και των αρνητικών είναι ένας ωραίος, οργανωμένος, συστηματικός τρόπος για να δείξετε ότι αν σκεφτείτε κάποιον ακέραιο, τελικά θα είναι στη λίστα.
Moore: Ναι. Ναι.
Strogatz(15:07): Άρα είναι υπέροχο. Λοιπόν ΟΚ, άρα οι ακέραιοι αριθμοί είναι μετρήσιμοι. Ο Κάντορ ανακάλυψε επίσης ότι κάποια άλλα πράγματα ήταν μετρήσιμα - δεν ξέρω αν εξεπλάγη, αλλά πολλοί από εμάς εκπλήσσονται όταν το μαθαίνουμε για πρώτη φορά. Σαν, σαν τι;
Moore (15:21): Ναι, νομίζω ότι δύο καλά παραδείγματα που προκαλούν έκπληξη είναι το — πρώτο, τα λογικά. Άρα η συλλογή όλων των κλασμάτων δύο ακεραίων είναι μετρήσιμη. Αυτό είναι πραγματικά πολύ εύκολο να το δεις όταν το σκέφτεσαι, γιατί μπορείς απλά να απαριθμήσεις όλα τα κλάσματα με παρονομαστή 1 — ή αριθμητή και παρονομαστή το πολύ 1. Και μετά, το πολύ 2, το πολύ 3, το πολύ 4 Και σε κάθε στάδιο, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά κλάσματα όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι τουλάχιστον σε μέγεθος το πολύ n. Και τότε μπορείτε να εξαντλήσετε όλα τα λογικά με αυτόν τον τρόπο.
Strogatz (15:55): Λοιπόν, αν διάλεγα τον αριθμό n ως 3, λέτε ότι θα μπορούσα να έχω έναν αριθμό όπως 1/2 ή 2/1 ή 0/3, επειδή αθροίζονται ο αριθμητής συν παρονομαστής έως 3;
Moore (16:06): Ναι. Ένα άλλο, το οποίο είναι, πάλι, κάπως εκπληκτικό, είναι αν λάβετε τον αριθμό των λέξεων που μπορείτε να γράψετε στο λατινικό αλφάβητο ή οποιοδήποτε αλφάβητο θέλετε. Υπάρχουν το πολύ μετρήσιμα πολλές πεπερασμένες λέξεις ή πεπερασμένες σειρές συμβόλων που προέρχονται από αυτό το αλφάβητο. Αν σκέφτεστε όλες τις λέξεις ή όλες τις προτάσεις, όλα τα κομμάτια της λογοτεχνίας, αν θέλετε —
Strogatz: Ωχ.
Moore (16:30): — οτιδήποτε όχι μόνο υπάρχει τώρα αλλά θα μπορούσε ενδεχομένως να υπάρξει κάποια στιγμή στο μέλλον. Ξέρετε, βάζετε αυτούς τους άπειρους πιθήκους στη γραφομηχανή και κοιτάτε ποιες είναι οι εξόδους που θα μπορούσαν να δημιουργήσουν σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Όλα αυτά είναι απλώς ένα μετρήσιμο σύνολο.
Strogatz (16:44): Ουάου. Δηλαδή όλα τα πιθανά βιβλία σε όλα, ας πούμε, στα λατινικά, σε όλες τις πιθανές γλώσσες που γνωρίζουμε;
Moore (16:50): Σε όλες τις πιθανές γλώσσες. Ναι. Θέλω να πω, αν θέλετε, μπορείτε να έχετε ένα μετρήσιμο αλφάβητο αν θέλετε. Αυτό δεν κάνει τίποτα μεγαλύτερο.
Strogatz (16:56): Τόσο μετρήσιμο θα φαινόταν σαν ένα πολύ μεγάλο άπειρο. Και ακόμη -
Moore (16:59): Ναι. Το πρώτο που προκαλεί έκπληξη είναι ότι εκείνα τα σύνολα που φαίνονται να είναι μεγαλύτερα από τους φυσικούς αριθμούς έχουν στην πραγματικότητα το ίδιο μέγεθος με τους φυσικούς αριθμούς. Είναι μετρήσιμα. Αλλά υπάρχει και η άλλη έκπληξη, που είναι ότι οι πραγματικοί αριθμοί, το σύνολο των δεκαδικών αριθμών, είναι αμέτρητοι.
Strogatz (17:13): Υπάρχει λοιπόν αυτό το αξιοσημείωτο σημείο που αναφέρατε ότι μπορεί να υπάρχουν σύνολα που δεν είναι μετρήσιμα. Και υποθέτω, ίσως το πιο απλό παράδειγμα θα ήταν: Σκεφτείτε μια γραμμή που πηγαίνει στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις. Έτσι σαν μια απείρως μακριά, ευθεία γραμμή. Η πραγματική γραμμή όπως θα την λέγαμε. Αυτό είναι αμέτρητο.
Moore (17:32): Σωστά. Εάν, εάν μου δώσετε μια λίστα, μια υποτιθέμενη λίστα με όλα τα στοιχεία σε αυτήν τη γραμμή, υπάρχει μια διαδικασία που ονομάζεται διαγώνιο όρισμα, το οποίο σας επιτρέπει να δημιουργήσετε ένα νέο σημείο που βρίσκεται στη γραμμή, αλλά όχι στη λίστα σας. Αυτή ήταν η περίφημη ανακάλυψη του Κάντορ.
Strogatz (17:49): Λοιπόν, αυτή ήταν μια πραγματικά εντελώς εκπληκτική ανακάλυψη, υποθέτω εκείνη τη στιγμή, σωστά; Ότι τώρα ξαφνικά μπορούσες να μιλήσεις για δύο άπειρα σύνολα και να τα συγκρίνεις.
Moore (17:58): Ναι, ναι. Και η διάκριση μεταξύ αριθμήσιμου και αμέτρητου είναι πολύ χρήσιμη στα μαθηματικά. Βασικά, μετρήσιμα σύνολα, μπορείτε ακόμα να μιλήσετε για αθροίσματα που είναι μετρήσιμα άπειρου μήκους. Αυτό είναι κάτι που διδάσκεται στο τέλος ενός προτύπου - τέλος ενός μαθήματος λογισμού δεύτερου εξαμήνου. Ενώ τα αθροίσματα πάνω από μη μετρήσιμα σύνολα έχουν λιγότερο νόημα, ή τουλάχιστον πρέπει να τα ορίσετε με πιο λεπτό τρόπο. Τούτου λεχθέντος, κάτι περισσότερο στη γραμμή ενός ολοκληρώματος ή κάτι τέτοιο.
Strogatz (18:30): Εντάξει, τώρα που έχουμε αυτή τη διάκριση μετρήσιμων, όπως οι ακέραιοι αριθμοί — 1, 2, 3, 4, 5 — και αμέτρητοι, όπως τα σημεία σε μια ευθεία. Υπάρχει μια άλλη ερώτηση που πιστεύω ότι θα ήταν καλό αν μπορούσαμε να αφιερώσουμε λίγο χρόνο σε αυτό. Ονομάζεται υπόθεση συνεχούς. Θα μπορούσατε, θα μπορούσατε να μας πείτε τι είναι αυτό;
Moore (18:50): Ναι. Έτσι ο Κάντορ αναρωτήθηκε: Υπάρχει, υπάρχει κάτι ανάμεσα; Μπορείτε — ξέρετε, οι φυσικοί αριθμοί βρίσκονται μέσα στους πραγματικούς αριθμούς και οι φυσικοί αριθμοί είναι μετρήσιμοι. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι αμέτρητοι και μεγαλύτεροι από τους φυσικούς αριθμούς. Υπάρχει ένα σύνολο πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτερο από τους φυσικούς αριθμούς, αλλά μικρότερο από το —
Strogatz (19:10): Μικρότερο με αυτή την έννοια της μέτρησης.
Moore (19:12): — μικρότερο από τη γραμμή; Υπάρχει ένα σύνολο σημείων σε αυτή την ευθεία, στην αριθμητική ευθεία, που είναι μεγαλύτερο από τους φυσικούς αριθμούς, μεγαλύτερο από τους ορθολογικούς, αλλά μικρότερο από την ίδια την ολόκληρη ευθεία; Ο ισχυρισμός ότι δεν υπάρχει τέτοιο ενδιάμεσο σύνολο ονομάζεται υπόθεση συνεχούς. Και αυτό ήταν το πρώτο πρόβλημα του Χίλμπερτ, αν η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθής ή ψευδής δήλωση.
Strogatz (19:35): Ωχ, λοιπόν, ο Χίλμπερτ ήταν ένας σπουδαίος μαθηματικός σε αυτό - ίσως λίγο αργότερα, αλλά όχι πολύ αργότερα. Και το έτος - τι ήταν, 1900 περίπου, νομίζω - ανακοίνωσε ή έδωσε μια λίστα με αυτά που πίστευε ότι ήταν μερικά από τα μεγαλύτερα προβλήματα για το μέλλον, στο σημείο που έπρεπε να εργαστούν μαθηματικοί του 20ού αιώνα. Και νομίζω ότι αυτή ήταν η νούμερο ένα ερώτηση στη λίστα του;
Moore (19:58): Ναι, αυτή ήταν η νούμερο ένα ερώτηση.
Strogatz (20:00): Ουάου. Ήταν λοιπόν μεγάλο να το σκεφτώ αυτό. Ο Κάντορ, λέτε, το ονόμασε υπόθεση. Σκέφτηκε ότι θα αποδεικνυόταν αλήθεια.
Moore: Ναι.
Strogatz (20:07): Ότι δεν υπήρχε άπειρο σάντουιτς ανάμεσα σε αυτά τα δύο που γνώριζε ήδη
Moore (20:11): Ναι. Και το θέμα είναι ότι επιβιώνει από τη δοκιμασία της αναζήτησης αντιπαραδειγμάτων. Εννοώ, εάν αρχίσετε να κοιτάζετε όλα τα σύνολα των real, τα υποσύνολα της γραμμής που μπορείτε να γράψετε μια περιγραφή ή που μπορείτε να κατασκευάσετε με κάποιο τρόπο. Αυτό το δοκίμασε. Και απέδειξε, εννοώ, καλά, έδειξε ότι δεν υπάρχουν αντιπαραδείγματα. Υπάρχουν ακόμη και θεωρήματα από νωρίς που λένε ότι σύνολα αυτού ή εκείνου του τύπου δεν μπορούν να είναι αντιπαραδείγματα.
Strogatz (20:40): Είναι καταπληκτικό. Επιτρέψτε μου να βεβαιωθώ ότι θα το πάρω αυτό. Δεν έχω ακούσει ποτέ αυτή τη δήλωση: Το γεγονός και μόνο ότι μερικά από αυτά μπορούν να περιγραφούν τα κάνει, κατά μία έννοια, όχι αρκετά καλά.
Moore (20:49): Για παράδειγμα, ένα σετ που είναι κλειστό έχει όλα τα οριακά του σημεία. Ο Κάντορ απέδειξε ότι αυτό δεν μπορεί να είναι αντίθετο παράδειγμα. Είναι είτε μετρήσιμο είτε έχει το ίδιο μέγεθος με το πραγματικό.
Strogatz (21:00): Οπότε αν υπάρχει αντιπαράδειγμα, πρέπει να είναι απερίγραπτο.
Moore (21:04): Ναι, πρέπει να είναι περίπλοκο.
Strogatz (21:06): Ουάου. Αλλά φυσικά, είναι πιθανό να υπάρχει ένα, απλώς θα ήταν κάτι πραγματικά παράξενο.
Moore (21:12): Ναι. Έτσι, αυτό μας φέρνει σε κάτι που επιστρέφει σε αυτό το θεμελιώδες ερώτημα. Ξέρετε, εκείνη την εποχή άρχιζαν να προσπαθούν να επισημοποιήσουν ποια ήταν τα αξιώματα για τα μαθηματικά. Και λίγο αργότερα, γύρω στη δεκαετία του 1930, ο [Kurt] Gödel απέδειξε ότι στην πραγματικότητα κάθε είδους κατανοητό σύστημα αξιωμάτων που μπορεί να έχετε που επιτυγχάνει τον μέτριο στόχο της επισημοποίησης της αριθμητικής στους φυσικούς αριθμούς, είναι αναγκαστικά ατελές. Υπάρχουν δηλώσεις που δεν μπορείτε να αποδείξετε από αυτό το σύστημα αξιωμάτων και δεν μπορείτε να τις αντικρούσετε από τα αξιώματα, χρησιμοποιώντας τυπικές πεπερασμένες αποδείξεις.
(21:52) Και αυτό ήταν, νομίζω, αρκετά σοκαριστικό. Επειδή σας λέει ότι ο στόχος να προσπαθήσετε με κάποιο τρόπο αλγοριθμικά να λύσετε όλα τα προβλήματά σας στα μαθηματικά και να δημιουργήσετε κάποιο είδος αλγοριθμικής βάσης, κάποια πλήρη θεμελίωση των μαθηματικών είναι, κατά κάποια έννοια, καταδικασμένος. Ή τουλάχιστον πρέπει να διέπεται από κάποια ανώτερη διαίσθηση πέρα από απλώς — δεν ξέρω — αυτό που ήταν διαθέσιμο εκείνη την εποχή.
(22:16) Και αυτό που απέδειξε ο Γκέντελ — ένα από τα πράγματα που απέδειξε αργότερα ήταν ότι μία από τις δηλώσεις που δεν μπορείτε να αποδείξετε ή να αντικρούσετε είναι η δήλωση ότι το αξιωματικό σας σύστημα είναι εξαρχής συνεπές. Ότι δεν οδηγεί σε αντιφάσεις. Αυτή η δήλωση μπορεί να κωδικοποιηθεί ως ένα είδος δήλωσης για τη θεωρία αριθμών, για την αριθμητική στους φυσικούς αριθμούς, αλλά όχι με έναν ιδιαίτερα φυσικό τρόπο. Αν πάτε και μιλήσετε με έναν από τους θεωρητικούς αριθμών στο τμήμα, δεν θα το θεωρούσαν πρόβλημα ή δήλωση της θεωρίας αριθμών, παρόλο που τεχνικά είναι. Και έτσι ήταν - ένα ερώτημα που είχε μείνει από την εποχή του Γκέντελ ήταν αν η υπόθεση του συνεχούς - ή αν υπάρχει κάποια άλλη φυσική μαθηματική πρόταση, η οποία είναι αδιευκρίνιστη με βάση το σύστημα αξιωμάτων στο οποίο εργαζόμασταν.
Strogatz (23:02): Υπάρχει λοιπόν αυτή η έννοια των αξιωμάτων. Μάλλον θα πρέπει να προσπαθήσουμε να θυμηθούμε πώς μοιάζουν. Διότι αν κάνουμε πολύ προσεκτικά μαθηματικά, πρέπει να θέσουμε ορισμένους ορισμούς, αλλά και ορισμένα πράγματα που θεωρούμε — δεν ξέρω γιατί δεν θέλω να πω "θεωρούμε δεδομένο", αλλά ότι δεχόμαστε ως θεμέλιο.
Moore (23:19): Ναι, ναι. Αυτό είναι, εννοώ, αυτό είναι κάτι που έκαναν οι Έλληνες, που ήταν, ξέρετε — ένα από τα επιτεύγματα στην επισημοποίηση της γεωμετρίας — ήταν, αντί να προσπαθήσουμε να ορίσουμε τι είναι γεωμετρία, να το δούμε ως εξής: πρόκειται να γράψει μερικούς απροσδιόριστους όρους και στη συνέχεια να γράψει τους κανόνες ή τα αξιώματα που διέπουν τον τρόπο συμπεριφοράς αυτών των ακαθόριστων όρων. Για αυτούς, ήταν πράγματα όπως ένα σημείο και μια γραμμή. Και όταν ένα σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή, αυτές είναι οι απροσδιόριστες έννοιες. Και όταν ένα σημείο βρίσκεται ανάμεσα σε δύο άλλα σημεία σε μια γραμμή, αυτές είναι απροσδιόριστες έννοιες. Και μετά γράφετε ένα σύνολο αξιωμάτων που διέπουν τον τρόπο λειτουργίας αυτών των εννοιών. Και αν το έχετε κάνει σωστά, τότε όλοι συμφωνούν ότι αυτές οι ιδιότητες ισχύουν προφανώς για αυτά, αυτά τα πράγματα. Και επομένως, αυτά τα αξιώματα είναι πράγματα που είναι κάπως αυτονόητα αληθινά.
(23:19) Λοιπόν, για τη γεωμετρία, ξέρετε, υπάρχει αυτό το περίφημο παράλληλο αξίωμα, το οποίο — δεν θα μπορούσατε να το αντλήσετε από τα άλλα. Και ήταν κάπως επαναστατικό, όταν ανακαλύφθηκε ότι μπορείτε πραγματικά να κατασκευάσετε μοντέλα γεωμετρίας που να ικανοποιούν όλα τα αξιώματα αλλά όχι το παράλληλο αξίωμα. Και επομένως, το παράλληλο αξίωμα δεν αποδεικνύεται από τα άλλα αξιώματα. Έτσι, κατά κάποια έννοια, αυτό που είχε κάνει ο Gödel ήταν να αναπτύξει μια μέθοδο για να το κάνει αυτό, αλλά στο επίπεδο των μοντέλων των μαθηματικών, ή τουλάχιστον μοντέλων αυτού του συστήματος αξιωμάτων που έχουμε για τα μαθηματικά.
Strogatz (24:45): Αχα, αυτός είναι ένας ενδιαφέρον τρόπος να το πω. Έτσι, όπως, όπου έχουμε την Ευκλείδεια γεωμετρία και μετά έχουμε επίσης αυτές τις πιο νεωτεριστικές μη Ευκλείδειες γεωμετρίες που, ως γνωστόν, ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε στη γενική σχετικότητα, αλλά συνηθίζονται και σε άλλα μέρη. Και είναι λογικά εξίσου καλοί με την Ευκλείδεια γεωμετρία. Αλλά τώρα, αντί να μιλάτε απλώς για γεωμετρία, λέτε ότι είναι σαν να μπορούσαμε να έχουμε την παραδοσιακή — καλά, δεν είμαι σίγουρος ποιες είναι οι λέξεις. Ποιο είναι το ανάλογο της Ευκλείδειας γεωμετρίας; Υπάρχουν παραδοσιακά μαθηματικά;
Moore (25:16): Αυτή είναι μια ανοιχτή ερώτηση. Αυτό εννοώ, εννοώ — νομίζω ότι είναι εν μέρει μια φιλοσοφική ερώτηση. Ίσως είναι μια κοινωνιολογική ερώτηση, γιατί είναι θέμα του τι είναι μαθηματικά, σωστά; Επιστρέφει σε αυτό το βασικό ερώτημα. Και νομίζω ότι τα αξιώματα που έχουμε τα αξιώματα ZFC τα οποία αναπτύχθηκαν πριν από 100 χρόνια, είναι αυτά που γενικά συμφωνούμε ότι αυτά είναι αλήθεια, ή αυτά είναι, αυτά είναι ιδιότητες που θα έπρεπε να έχει το "σύνολο", αλλά δεν είναι πλήρης.
Strogatz (25:44): Λοιπόν, περιμένετε, ας τα αποσυσκευάσουμε όλα αυτά. Αυτό ακούγεται καλό. Λοιπόν ZFC, γιατί δεν ξεκινάμε με αυτό; Αυτά είναι τα ονόματα κάποιων ανθρώπων και ένα πράγμα.
Moore (25:51): Ναι, ναι. "Θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkelμε κάτι που ονομάζεται «αξίωμα της επιλογής». Ναι.
Strogatz (25:55): Εντάξει. Και έτσι αυτοί είναι κανόνες του παιχνιδιού που είναι ευρέως αποδεκτοί.
Moore (25:59): Ναι, είναι μια λίστα αξιωμάτων που είναι — είναι μάλλον μακρά, αλλά όχι τόσο μεγάλη. Πράγματα όπως, εάν έχετε δύο σετ, υπάρχει ένα σύνολο που έχει και τα δύο ως στοιχεία, τα στοιχεία τους. Το αξίωμα του ζευγαρώματος, ότι μπορείτε να πάρετε την ένωση μιας συλλογής συνόλων, και αυτό είναι ένα σύνολο. Και ούτω καθεξής.
Strogatz (26:15): Εντάξει. Υπάρχει λοιπόν ο τρόπος ZFC να κάνουμε τη θεωρία συνόλων, και αυτός, λέτε, προτείνεται σε μια συγκεκριμένη στιγμή και αρέσει στους ανθρώπους, αλλά μετά είπατε ότι δεν είναι πλήρης;
Moore (26:26): Ναι. Άρα είναι κάτι που μπορείς να γράψεις. Ένας αλγόριθμος υπολογιστή για τη λίστα των αξιωμάτων. Είναι ένα άπειρο σύνολο αξιωμάτων. Αλλά με εξαίρεση δύο ειδών συστάδες αξιωμάτων, είναι πεπερασμένο. Εάν δεν δίνετε προσοχή, θα νομίζατε ότι αυτά, καθεμία από αυτές τις άλλες ομάδες αξιωμάτων είναι μεμονωμένα αξιώματα. Αλλά στην πραγματικότητα είναι μια άπειρη οικογένεια αξιωμάτων. Μπορείτε να δημιουργήσετε ένα πρόγραμμα υπολογιστή που θα αποκαλύψει όλα τα αξιώματα. Τείνουμε να πιστεύουμε ότι το ZFC είναι συνεπές επειδή δεν έχουμε ανακαλύψει αντιφάσεις. Εάν πιστεύετε ότι, τότε με το θεώρημα της μη πληρότητας του Gödel, το ZFC δεν πρόκειται να μπορέσει να αποδείξει ότι είναι συνεπές.
(27:03) Και έτσι υπάρχουν δηλώσεις, όπως η συνέπεια της ZFC, που η ZFC δεν μπορεί να αποδείξει. Αυτό είναι ένα ενδιαφέρον σημείο. Γιατί και πάλι πιστεύουμε ότι η ZFC είναι συνεπής. Και αυτός είναι, εννοώ, ένας από τους λόγους που, εννοώ… Οι περισσότεροι μαθηματικοί, που θα δουλέψουν βασίζεται στην πίστη ότι το CFC είναι συνεπές. Σωστά? Αλλά αυτό είναι κάτι που θεωρούμε αληθινή δήλωση. Αλλά δεν είναι κάτι που η ίδια η ZFC αρκεί να αποδείξει.
Strogatz (27:27): Απλώς σκέφτομαι. Στην πορεία εδώ, αναφέραμε τον Gödel. Δεν ξέρω ότι είπαμε ποιος είναι. Θέλετε να μας πείτε εν συντομία;
Moore (27:34) Ναι, ήταν. Εννοώ, ήταν κάπως επαναστατικός λογικός. Αυτό, το θεώρημα της μη πληρότητας ήταν ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματά του. Και το άλλο σημαντικό επίτευγμά του ήταν να δείξει ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί χρησιμοποιώντας τα αξιώματα ZFC.
Strogatz (27:49): Μερικοί τον θεωρούν ως τον μεγαλύτερο λογικό μετά τον Αριστοτέλη. Και ο Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν φίλος και συνάδελφός του στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών, είπε ότι του άρεσε να έχει το προνόμιο να πηγαίνει με τα πόδια για να εργαστεί μαζί του Κρτ Γκόντελ. Εννοώ, ήταν στην ίδια πνευματική ένωση με τον Αϊνστάιν. Αν δεν έχετε ακούσει γι 'αυτόν, σας συνιστώ να δείτε ένα βιβλίο για αυτόν που ονομάζεται Ταξίδι στην άκρη της λογικής. Ένα υπέροχο βιβλίο για τη ζωή του Γκέντελ. Αλλά εντάξει, έτσι είναι, σωστά, άρα είναι ένας λογικός στα μέσα του 20ού αιώνα, στις αρχές του 20ού αιώνα. Και λέτε ότι το απέδειξε - καλά, πείτε το ξανά για την υπόθεση του συνεχούς;
Moore (28:23): Μέσα σε οποιοδήποτε μοντέλο της θεωρίας συνόλων, κατασκεύασε ένα μικρότερο μοντέλο θεωρίας συνόλων που ικανοποιεί την υπόθεση του συνεχούς. Και έτσι αυτό που δείχνει είναι ότι δεν μπορείτε να διαψεύσετε την υπόθεση του συνεχούς μέσα στα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Από ένα μοντέλο θεωρίας συνόλων, εάν έχετε ένα, τότε μπορώ να δημιουργήσω ένα νέο, το οποίο ικανοποιεί την υπόθεση του συνεχούς.
Strogatz (28:43): Βλέπω. Έτσι, θα μπορούσαν να υπάρχουν εκδόσεις της θεωρίας συνόλων, κάπως μικρότερες εκδόσεις, που είναι ακόμα επαρκείς για να κάνουμε αριθμητική, το θεωρώ.
Moore: Ναι.
Strogatz (28:51): Αλλά στην οποία, εντάξει, η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθινή, όπως μάντεψε ο Cantor.
Moore: Ναι.
Strogatz (28:56): Και μετά. Αλλά τότε — υπάρχει ένα μεγάλο «αλλά» σε αυτή την ιστορία.
Moore (28:59): Ναι. Τόσα πολλά χρόνια μετά, [Πωλ] Κοέν ανέπτυξε μια τεχνική που ονομάζεται εξαναγκασμός που του επέτρεψε να διευρύνει μοντέλα της θεωρίας συνόλων. Και χρησιμοποιώντας αυτό, απέδειξε ότι δεν μπορείς να αποδείξεις την υπόθεση του συνεχούς. Εκτός από την τεχνική του μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι δεν μπορείτε να το διαψεύσετε. Αυτή, ναι, αυτή η τεχνική που ονομάζεται εξαναγκασμός είναι πραγματικά, είναι πολύ ισχυρή. Επιβολή και η τεχνική της οικοδόμησης ενός μικρότερου μοντέλου μέσα στο μοντέλο της θεωρίας συνόλων. Αυτά είναι το είδος των δύο εργαλείων που έχουμε για τη δημιουργία νέων μοντέλων της θεωρίας συνόλων από παλιά μοντέλα της θεωρίας συνόλων.
Moore (29:32): Επιστρέφοντας στην αναλογία της γεωμετρίας. Εννοώ, ακόμη και αυτά τα μοντέλα του υπερβολικού επιπέδου, που ήταν τα μη-ευκλείδεια μοντέλα γεωμετρίας - αυτά τα ίδια ξεκινούν παίρνοντας το Ευκλείδειο επίπεδο ή ένα υποσύνολο του και χτίζοντας το μοντέλο της γεωμετρίας όπως τα σημεία και οι γραμμές εκεί. Τα σημεία είναι απλώς συνηθισμένα σημεία σε αυτόν τον δίσκο. Και στις γραμμές υπάρχουν κύκλοι, συγκεκριμένοι κύκλοι στην αρχική γεωμετρία. Το σημείο που προσπαθώ να κάνω είναι ότι αυτό είναι ένα είδος γόνιμο πράγμα που κάνετε στα μαθηματικά. Συχνά ξεκινάτε με κάποια δομή που ικανοποιεί το σύστημα αξιωμάτων σας, όπως μια γεωμετρία που ικανοποιεί τα αξιώματα της γεωμετρίας σας, και την χειρίζεστε με κάποιο τρόπο και παράγετε ένα νέο πράγμα, το οποίο ίσως ικανοποιεί ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων. Αυτό έκαναν ο Cohen και ο Gödel, ήταν ότι έπαιρναν ένα μοντέλο των αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων - και επομένως, κατά κάποιο τρόπο, ένα μοντέλο μαθηματικών - και το χειρίζονταν χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές για να παράγουν νέα μοντέλα, τα οποία ικανοποιούσαν είτε το Η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθής ή ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι ψευδής.
Strogatz (30:36): Λοιπόν, αυτό είναι πραγματικά εκπληκτικό για μένα, και είμαι βέβαιος για πολλούς ανθρώπους ότι, ξέρετε… Όπως, ο Πλάτων έχει αυτή τη φιλοσοφία ότι, ότι υπάρχουν ορισμένες ιδανικές μορφές εκεί έξω και αλήθειες που — ίσως μπορούμε Δεν τους βλέπω εδώ στη Γη, αλλά σε κάποιο πλατωνικό βασίλειο, η αλήθεια τους υπάρχει.
Moore: Ναι ναι.
Strogatz (30:57): Και θα νιώθατε ότι υπάρχουν οι πραγματικοί αριθμοί, είτε τα ανθρώπινα όντα τους σκέφτονται είτε όχι, και ότι η υπόθεση του συνεχούς είτε ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς είτε δεν είναι. Μα μου λες;
Moore (31:09): Λοιπόν, εννοώ, ναι, υπάρχουν διαφορετικές σχολές σκέψης σε αυτό. Εννοώ, δεν μπορούσες — μπορείς να το δεις ως, υπάρχει αυτό το πράγμα που νομίζω ότι λέγεται, αυτή η γενική άποψη του πολυσύμπαντος, που δεν υπάρχει τίποτα περισσότερο που μπορείς να πεις. Υπάρχουν μόνο όλα αυτά τα μοντέλα της θεωρίας συνόλων. Και το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσπαθήσουμε να καταλάβουμε τι ισχύει σε καθένα από αυτά και να κινηθούμε ανάμεσά τους. Και αυτή είναι μια πολύ μη πλατωνική θεώρηση των πραγμάτων, ένα είδος φορμαλιστικής θεώρησης των πραγμάτων. Μπορείτε επίσης να έχετε την άποψη ότι υπάρχει κάποιο ίσως προτιμώμενο μοντέλο της θεωρίας συνόλων. Δηλαδή, ξέρετε, η πραγματικότητα στην οποία ζούμε, και όλα αυτά τα άλλα μοντέλα, είναι μοντέλα των αξιωμάτων, αλλά δεν είναι στην πραγματικότητα αυτό που προσπαθούμε να περιγράψουμε με τα αξιώματα. Νομίζω ότι η αναλογία με τη γεωμετρία είναι κάπως ενδεικτική εκεί, σωστά; Εννοώ, μπορείτε να δημιουργήσετε πολλά διαφορετικά μοντέλα γεωμετρίας. Αλλά εξακολουθούμε να ζούμε σε έναν φυσικό κόσμο που έχει μια γεωμετρία και ίσως αυτή είναι η γεωμετρία που μας ενδιαφέρει περισσότερο.
Strogatz (32:03): Βλέπω. Έτσι, με τον ίδιο τρόπο που θα μπορούσαμε να δώσουμε στην Ευκλείδεια γεωμετρία κάποια προτιμώμενη κατάσταση επειδή είναι αυτή που έχουμε συνηθίσει. Είναι αυτό που υπάρχει εδώ και πολύ καιρό, γιατί είναι κάπως το πιο εύκολο και προφανές, αλλά εξακολουθούμε να πιστεύουμε ότι αυτά τα άλλα είναι καλά και έχουν τους τομείς τους όπου είναι χρήσιμοι και ενδιαφέροντες.
Moore (32:20): Αλλά ίσως αυτό που αξίζει να επισημάνουμε και εκεί, είναι ότι ακόμη και η κατανόησή μας — Λοιπόν, πρώτον, δεν είμαι σίγουρος ότι ζούμε σε μια ευκλείδεια γεωμετρία. Αλλά υπάρχει, υπάρχει μια ερώτηση σχετικά με αυτό. Αλλά ακόμη και η κατανόησή μας για τον φυσικό κόσμο εμπλουτίζεται πολύ με την κατανόηση όλων αυτών των άλλων γεωμετριών, αυτής της δωρεάν εξερεύνησης άλλων μοντέλων γεωμετρίας. Και το ίδιο ισχύει και με τη θεωρία συνόλων. Νομίζω, ακόμη και αν στο μέλλον καταλήξουμε σε κάποια συναίνεση ως προς το ποιο είναι ένα νέο αξίωμα για τη θεωρία συνόλων, η άφιξη σε αυτόν τον προορισμό είναι κάτι που σίγουρα δεν θα ήταν δυνατό χωρίς όλη αυτή την εξερεύνηση που συμβαίνει εκ των προτέρων.
Strogatz (33:00): Τι θα σήμαινε η απόδειξη ή η απόρριψη της υπόθεσης του συνεχούς; Για καθένα από αυτά τα στρατόπεδα; Τι διακυβεύεται;
Moore (33:08): Ναι, αυτό είναι — Εντάξει, οπότε νομίζω ότι το στρατόπεδο που υιοθετεί αυτό το είδος της άποψης «όλων των κόσμων» θα έλεγε ότι αυτή είναι μια ερώτηση χωρίς νόημα. Ότι οι Cohen και Gödel και οι τεχνικές τους για τη δημιουργία πολλών μοντέλων της θεωρίας συνόλων είναι κάπως το τέλος της συζήτησης. Και ξέρετε, θα δημιουργήσουμε πολλά νέα μοντέλα θεωρίας συνόλων, ίσως, αλλά ποτέ δεν πρόκειται να έχουμε μια τελική απάντηση για να πούμε ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθινή ή ψευδής. Οι άνθρωποι που πιστεύουν ότι υπάρχει κάποιο είδος αλήθειας ή ψεύδους σε αυτή τη δήλωση, πιθανότατα θα προσπαθούσαν να βρουν κάποιο νέο αξίωμα και πιθανώς κάποια ευρετική αιτιολόγηση για το γιατί αυτό το αξίωμα πρέπει να είναι αληθές - είτε μια ευρετική είτε ίσως μια πραγματιστική αιτιολόγηση γιατί είναι αλήθεια. Και μετά από τη στιγμή που υποστηρίξετε ότι αυτό το αξίωμα πρέπει να γίνει αποδεκτό, ότι ενσωματώνει κατά κάποιο τρόπο κάποια διαίσθηση που έχουμε για τα μαθηματικά ή τα σύνολα, τότε εάν αυτό το αξίωμα αποδείξει ή καταρρίψει επίσης την υπόθεση του συνεχούς με μια τυπική έννοια της λέξης, τότε θα δείτε ότι το CH είναι αληθές ή λάθος.
Strogatz (34:12): Κάπως έτσι βρισκόμαστε τώρα. Ότι πραγματικά υπάρχουν αυτά τα δύο στρατόπεδα αυτή τη στιγμή.
Moore (34:16): Ναι, ως ένα βαθμό. Έχει περάσει τόσος καιρός από τότε που αποδείχτηκε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να αποφασιστεί με βάση τα αξιώματα, που νομίζω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί έχουν κάπως συνηθίσει στο γεγονός ότι ίσως αυτό είναι το περισσότερο που μπορείτε να πείτε. Και νομίζω ότι θα ήταν καταπληκτικό σε αυτό το σημείο εάν οι μαθηματικοί στο σύνολό τους μπορούσαν να συγκεντρώσουν κάποιο νέο ευρετικό που, ξέρετε, όλοι θα μπορούσαν να συμφωνήσουν ότι θα έπρεπε να είναι αληθινό. Και ίσως αυτό να μην συμβεί ποτέ. Ίσως, ίσως η κοινότητα να έχει πάρα πολλές διαφορετικές απόψεις. Για να είμαι δίκαιος, το πιστεύω — νομίζω ότι είναι κάπως συναινετική, αλλά όχι καθολική άποψη, ότι το ZFC είναι το σύνολο των αληθινών αξιωμάτων για τα μαθηματικά. Σίγουρα υπάρχουν άνθρωποι που πιστεύουν ότι οτιδήποτε άπειρο απλά δεν υπάρχει. Και δεν έχει νόημα να το συζητάμε και δεν πρέπει να το συζητάμε.
Strogatz (35:05): Λοιπόν, αυτή είναι μια διαχρονική παράδοση. Δηλαδή, αυτό είναι — ο Αριστοτέλης μας έλεγε να προσέχουμε το άπειρο. Και σε όλη την ιστορία των μαθηματικών, άνθρωποι ακόμη και εξίσου σπουδαίοι [Καρλ Φρίντριχ] Γκάους ήταν πολύ προσεκτικοί σχετικά με αυτήν την έννοια του ολοκληρωμένου άπειρου, κάτι που μας άνοιξε ο Cantor αυτό το κουτί με σκουλήκια. Αλλά δεν ξέρω ότι είναι σκουλήκια. Φαίνεται ότι είναι — ξέρεις, ποιο είναι το κακό; Είναι ότι αφήνουμε τη φαντασία μας και ανακαλύπτουμε πολλά ενδιαφέροντα πράγματα.
(35:30) Αλλά έχω μια ερώτηση. Ως κάποιος που δεν είναι θεωρητικός συνόλων, δεν θέλω να το ρωτήσω με αγενή τρόπο. Αλλά μπορεί να ακούγεται λίγο αγενές, το οποίο — ξέρετε πού πάω, σωστά; Πώς με επηρεάζει αυτό; Τα υπόλοιπα μαθηματικά αισθάνονται τις δονήσεις που συμβαίνουν στη θεωρία συνόλων; Ή είμαστε κάπως απομονωμένοι από αυτό που κάνετε;
Moore (35:49): Αυτή είναι μια καλή ερώτηση. Νομίζω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν συναντούν ποτέ μια δήλωση που δεν μπορεί να αποδειχθεί ούτε να διαψευσθεί μέσα στο συνηθισμένο σύστημα αξιωμάτων για τα μαθηματικά στο ZFC. Και οι θεωρητικοί των συνόλων ανακάλυψαν ως ένα βαθμό μια εξήγηση γι' αυτό. Υπάρχει ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων που είναι μεγαλύτερο από το αρχικό μοντέλο του Γκέντελ αλλά μικρότερο από το σύμπαν όλων των συνόλων που ονομάζεται μοντέλο στερεάς βάσης. [Ρόμπερτ] Σολοβάι ανακαλύφθηκε γύρω από την εποχή του έργου του Κοέν. Και η αξιοσημείωτη ανακάλυψη είναι ότι αυτό το μοντέλο - αυτό που ισχύει σε αυτό δεν μπορεί να επηρεαστεί από την επιβολή. Και επομένως, ουσιαστικά, εάν μπορείτε να διατυπώσετε κάτι για το τι είναι αλήθεια σε αυτό το μοντέλο ή ψευδές σε αυτό το μοντέλο, είναι κάτι που είναι σε μεγάλο βαθμό απρόσβλητο στο φαινόμενο της ανεξαρτησίας.
(36:35) Το αδιέξοδο είναι ότι αυτό το μοντέλο της θεωρίας συνόλων δεν είναι — δεν ικανοποιεί το αξίωμα της επιλογής. Έτσι, το αξίωμα της επιλογής είναι - αυτό είναι ένα άλλο κουτάκι σκουληκιών εδώ. Αλλά ένας από τους λόγους για τους οποίους το αξίωμα επιλογής είναι διαφορετικό από τα άλλα αξιώματα είναι ότι δεν είναι εποικοδομητικό. Όλα τα άλλα αξιώματα σας λένε ότι κάποιο σύνολο για το οποίο έχετε μια περιγραφή είναι, στην πραγματικότητα, ένα σύνολο. Έτσι ακριβώς λειτουργούν τα αξιώματα. Αλλά το αξίωμα της επιλογής σάς λέει ότι, δεδομένης μιας συλλογής συνόλων που δεν είναι κενά, μπορείτε να επιλέξετε κάτι από καθένα από αυτά — άρα επιλογή — αλλά δεν σας λέει πώς θα κάνετε την επιλογή. Αυτό ήταν ένα αξίωμα που, αφενός, μας επέτρεπε να κατασκευάσουμε κάθε είδους παράξενα, παράδοξα πράγματα. Ξέρεις, υποθέτω, στο γήπεδο πριν από 100 περίπου χρόνια, σαν μη μετρήσιμα σύνολα, ό,τι κι αν είναι αυτό. Υπάρχει αυτή η περίφημη αποσύνθεση της σφαίρας, αυτή Παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι, ότι -
Strogatz (37:29): Ω, αυτό είναι ενδιαφέρον.
Moore (37:32): — θα μπορούσατε να κόψετε τη σφαίρα σε πεπερασμένα πολλά κομμάτια και μετά να τα συναρμολογήσετε ξανά σε δύο σφαίρες που έχουν τις ίδιες διαστάσεις με την αρχική σφαίρα. Και τώρα ο λόγος για τον οποίο αυτό είναι παράλογο είναι ότι θα πρέπει να μπορείτε να εκχωρήσετε μια μάζα σε καθένα από τα — ξέρετε, στην αρχική σφαίρα, και μετά να αντιστοιχίσετε μια μάζα σε όλα αυτά τα κομμάτια στα οποία μπορείτε να την κόψετε, και θα πρέπει να προστεθεί στην αρχική μάζα. Και μετά, όταν τα αναδιατάξετε, αυτή η διαδικασία δεν πρέπει να αλλάξει τη μάζα. Αλλά κατά κάποιο τρόπο, όταν τα συναρμολογείτε ξανά, έχετε τη διπλάσια μάζα από αυτήν που ξεκινήσατε. Τώρα, το σημείο σε αυτό το επιχείρημα - όπου τα πράγματα πάνε στραβά είναι αυτό το κόψιμο της σφαίρας που σας επιτρέπει να κάνετε το αξίωμα της επιλογής είναι τόσο κακό που δεν μπορείτε να εκχωρήσετε μάζες σε αυτά τα κομμάτια που έχετε.
(38:11) Τώρα, αυτή η παράδοξη συμπεριφορά έκανε τους ανθρώπους να πιστεύουν ότι το αξίωμα της επιλογής είναι κατά κάποιο τρόπο ίσως προβληματικό. Ίσως είναι, θα οδηγήσει σε κάποιου είδους παράδοξο μέσα στα ίδια τα μαθηματικά. Και επομένως, το αξίωμα της επιλογής δεν πρέπει να γίνει αποδεκτό. Ένα από τα πράγματα που απέδειξε ο Gödel την ίδια στιγμή που απέδειξε ότι δεν μπορείτε να διαψεύσετε την υπόθεση του συνεχούς, είναι ότι είναι επίσης ασφαλές να υποθέσουμε το αξίωμα της επιλογής. Δηλαδή, εάν τα αξιώματα του ZFC χωρίς το αξίωμα της επιλογής είναι συνεπή, τότε το ίδιο ισχύει και για το σύνολο των αξιωμάτων του ZFC με το αξίωμα της επιλογής. Σου δίνει πολλά περίεργα, εξωτικά πράγματα, ίσως, αλλά από θεμελιώδη άποψη, δεν μολύνει το νερό.
(38:51) Λίγο αργότερα, ανακαλύφθηκε αυτό το πράγμα που ονομάζεται λήμμα του Zorn, το οποίο αποδείχθηκε ότι ήταν ισοδύναμο με το αξίωμα της επιλογής. Και είναι πραγματικά πολύ καρποφόρο για την ανάπτυξη πολλών διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών. Είναι κάτι που — το μαθαίνεις αν είσαι προχωρημένος προπτυχιακός ή αν είσαι μεταπτυχιακός φοιτητής στα μαθηματικά. Είναι κατά κάποιο τρόπο μέρος της απαιτούμενης μάθησης για ένα μεταπτυχιακό στα μαθηματικά. Και λόγω αυτής της ακραίας χρησιμότητας, είναι κάτι που απλώς δεχόμαστε αυτές τις μέρες. Νομίζω ότι οι περισσότεροι μαθηματικοί δεν αισθάνονται άνετα να εργάζονται χωρίς το αξίωμα της επιλογής, μόνο και μόνο επειδή σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να το χρησιμοποιούν χωρίς καν να το γνωρίζουν.
(39:31) Νομίζω λοιπόν ότι αυτό είναι επίσης ένα παράδειγμα για το πώς θα μπορούσαμε να διευθετήσουμε την υπόθεση του συνεχούς. Είναι ότι ανακαλύπτουμε κάποιο αξίωμα στο μέλλον, το οποίο είναι τόσο χρήσιμο για την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών, που απλώς θεωρούμε αυτό το αξίωμα ως αληθινό ως ένα βαθμό. Αυτό συνέβη με το λήμμα του Ζορν. Και με το αξίωμα της επιλογής, δεν ήταν κάτι που αρχικά θεωρήθηκε αληθινό. Στην πραγματικότητα, αρχικά θεωρήθηκε κάπως με κάποιο σκεπτικισμό.
Strogatz (39:56): Αλλά επιτρέψτε μου να δω αν μπορώ, αφού το κάνει… Μιλάμε τώρα πολύ για το αξίωμα της επιλογής: Η σχέση του με την υπόθεση του συνεχούς. Υπάρχει κάποιος εύστοχος τρόπος να πούμε τι είναι αυτό;
Moore (40:06): Ξέρετε, το αξίωμα της επιλογής και η υπόθεση του συνεχούς έχουν μια περίεργη σχέση γιατί… Εντάξει, η υπόθεση του συνεχούς, από την άποψη ενός θεωρητικού συνόλου, σας επιτρέπει να κατασκευάσετε πολλά εξωτικά πράγματα . Σας επιτρέπει να κάνετε μια απείρως μεγάλη, ακόμη και αμέτρητα μεγάλη κατασκευή, όπου κάνετε τα πάντα με έναν πολύ ελεγχόμενο τρόπο, έναν αλγοριθμικό τρόπο. Και χτίζοντας κάποιο περίεργο αντικείμενο όπου έχετε διατηρήσει πολύ έλεγχο στην πορεία. Ελλείψει του αξιώματος της επιλογής, της υπόθεσης του συνεχούς, όπως το ανέφερα αρχικά, ότι δεν υπάρχει σύνολο κανόνων που να είναι ενδιάμεσο, αυτό είναι κάτι που δεν έχει το ίδιο δάγκωμα σαν να ισχύει το αξίωμα της επιλογής. Και ο λόγος για αυτό είναι ότι, για παράδειγμα, ελλείψει του αξιώματος της επιλογής, μπορείτε να μιλήσετε για ακόμη ισχυρότερες εκδοχές της υπόθεσης του συνεχούς. Όπως, κάθε υποσύνολο αυτής της αριθμητικής γραμμής, η πραγματική αριθμητική γραμμή, είναι είτε μετρήσιμο, είτε υπάρχει ένα αντίγραφο του συνόλου Cantor που ζει μέσα σε αυτό. Όπως, υπάρχει ένα είδος δέντρου σημείων, ένα δυαδικό δέντρο σημείων που βρίσκεται μέσα στο σετ σας. Και αυτός είναι ένας πολύ συγκεκριμένος τρόπος να πούμε ότι έχει το ίδιο μέγεθος με τους πραγματικούς αριθμούς.
Strogatz (41:14): Επομένως, για τους υπόλοιπους από εμάς στα μαθηματικά εκτός της θεωρίας συνόλων, θα πρέπει να χάνουμε τον ύπνο λόγω της —ό,τι φαίνεται——είδος απροσδιόριστης κατάστασης τη στιγμή της υπόθεσης του συνεχούς; Μας λένε ότι δεν μπορεί να αποφασιστεί στο τυπικό μοντέλο της θεωρίας συνόλων. Ξέρεις, έχει σημασία; Επηρεάζει τα υπόλοιπα μαθηματικά;
Moore (41:35): Η απάντηση είναι κυρίως όχι. Αλλά δεν είναι εντελώς γνωστό. Η υπόθεση του συνεχούς. Είναι αλήθεια στο Μοντέλο Solovay, για παράδειγμα: Κάθε σύνολο πραγματικών είναι είτε μετρήσιμο είτε υπάρχει ένα κλειστό σύνολο πραγματικών εντός του που είναι αμέτρητο και δεν έχει μεμονωμένα σημεία. Αλλά υπάρχουν δηλώσεις που εμφανίζονται στα μαθηματικά, ερωτήσεις που εμφανίζονται φυσικά, κάπως οργανικά σε άλλα πεδία, όπου αποδεικνύεται ότι εξαρτώνται είτε από την υπόθεση του συνεχούς είτε από κάτι άλλο, το οποίο είναι ανεξάρτητο από τα αξιώματα του ZFC. Ένα παράδειγμα αυτού είναι κάτι που ονομάζεται μεσαίο όριο, το οποίο είναι μια συσκευή που είναι χρήσιμη στις πιθανότητες και ορισμένα μέρη της πιθανότητας για τη λήψη ορίων των πραγμάτων και τη διατήρηση ότι τα πράγματα είναι μετρήσιμα. Τα μεσαία όρια είναι κάτι που μπορείτε να κατασκευάσετε χρησιμοποιώντας την υπόθεση του συνεχούς, αλλά δεν είναι κάτι που μπορείτε να δημιουργήσετε στο ZFC.
Strogatz (42:27): Αυτό με κάνει χαρούμενο, πρέπει να πω. Θέλω να πιστεύω ότι τα μαθηματικά είναι ένας μεγάλος ιστός. Και αυτό, όπως υπάρχει ένα παλιό ρητό, «Κανένας άνθρωπος δεν είναι νησί», από όποιον, δεν ξέρω. Αλλά ούτως ή άλλως, δεν θέλω κανένα μέρος των μαθηματικών να είναι νησί. Δεν θα ήθελα λοιπόν να σκεφτώ ότι η θεωρία συνόλων είναι κατά κάποιο τρόπο - εννοώ, κανείς δεν θα έλεγε ότι είναι, αλλά ακόμα και το μέρος που περιέχει την υπόθεση του συνεχούς, δεν θέλω να χωριστεί από τη μεγάλη ήπειρο. Και ακούγεται ότι δεν είναι.
Moore (42:52): Σωστά. Εάν πάρετε ένα διάστημα Hilbert και κοιτάξετε τους οριοθετημένους τελεστές και τους συμπαγείς τελεστές, αυτοί είναι καλά μελετημένες άλγεβρες αντικειμένων που μελετώνται στα μαθηματικά. Μπορείτε να πάρετε ένα πηλίκο από αυτά. Η μελέτη αυτού που ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμού αυτού είναι κάτι για το οποίο μπορεί να ρωτήσει ένας μαθηματικός. Και πράγματι, Μπράουν, Ντάγκλας και Φίλμορ ρώτησε για αυτό στη δεκαετία του 1970. Και είναι γνωστό ότι το αν η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθής ή ψευδής σχετίζεται με το αν υπάρχουν πολύ περίπλοκοι αυτομορφισμοί αυτής της άλγεβρας ή όχι. Αυτό είναι κάτι που είναι, ξέρετε, ένα τυπικό αντικείμενο σε ένα μάθημα λειτουργικής ανάλυσης που θα διδάσκατε σε μεταπτυχιακό επίπεδο. Και αυτές είναι πολύ, πολύ βασικές ιδιότητες αυτού του αντικειμένου.
(43:34) Αλλά το θέμα είναι ότι αυτό είναι κάτι που είναι εκ πρώτης όψεως — αυτό δεν είναι πρόβλημα στη θεωρία συνόλων. Διαφορετικοί θεωρητικοί συνόλων έχουν διαφορετικές αντιλήψεις σχετικά με το γιατί το θέμα είναι σημαντικό. Αλλά για μένα, αυτός είναι ο λόγος που το θέμα είναι — για ποιον λόγο είναι σημαντικό. Είναι ότι παίζει αυτό το μοναδικό ρόλο να μπορεί να σας ενημερώνει όταν κάνετε μια ερώτηση που μπορεί να μην είναι αποφασιστική, με βάση τα αξιώματα. Επειδή δεν θέλετε να μελετάτε αυτό το πρόβλημα που δεν μπορείτε να αποφασίσετε χωρίς καμία επιτυχία για χρόνια και χρόνια και χρόνια. Και αν κάποιος μπορεί να σας πει ότι, «Λοιπόν, δεν πρόκειται ποτέ να βρείτε μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, επειδή δεν μπορείτε ούτε να το αποδείξετε ούτε να το διαψεύσετε», σωστά; Αυτό είναι καλό να το ξέρεις.
Strogatz (44:13): Εντάξει. Λοιπόν, για μένα αυτό είναι ένα πολύ ενθαρρυντικό μήνυμα που δίνεις, Τζάστιν, αυτό — Τζον Ντόν! Αυτό είναι το όνομα που έψαχνα, John Donne. Και ας το πούμε αυτό με τον σύγχρονο τρόπο: Κανένας άνθρωπος δεν είναι νησί. Και το ίδιο με κανένα μέρος των μαθηματικών. Υπάρχει — ακόμη και τα πιο εσωτερικά φαινομενικά πράγματα στα εξωτερικά όρια της θεωρίας συνόλων εξακολουθούν να συνδέονται με πολύ προσγειωμένα μέρη των μαθηματικών, κατά πάσα πιθανότητα, στη συναρτησιακή ανάλυση που βασίζεται στην κβαντική θεωρία. Λοιπόν, αυτά είναι νέα για μένα, και θέλω απλώς να σας ευχαριστήσω που μας διαφωτίσατε. Αυτό ήταν διασκεδαστικό. Ευχαριστώ.
Moore (44:46): Ευχαριστώ που με έχετε.
Αναγγέλων (44:46): Εξερευνήστε περισσότερα μαθηματικά μυστήρια στο Quanta βιβλίο Η πρωταρχική συνωμοσία αριθμών, που δημοσιεύτηκε από το The MIT Press, διαθέσιμο τώρα στο Amazon.com, Barnesandnoble.com, ή το τοπικό σας βιβλιοπωλείο. Επίσης, φροντίστε να ενημερώσετε τους φίλους σας για αυτό το podcast και να μας δώσετε μια θετική κριτική ή να ακολουθήσετε όπου ακούτε. Βοηθά τους ανθρώπους να βρουν The Joy of Why.
Strogatz (45: 12): The Joy of Why είναι ένα podcast από Quanta Magazine, μια εκδοτικά ανεξάρτητη έκδοση που υποστηρίζεται από το Ίδρυμα Simons. Οι αποφάσεις χρηματοδότησης από το Ίδρυμα Simons δεν επηρεάζουν την επιλογή των θεμάτων, των προσκεκλημένων ή άλλων συντακτικών αποφάσεων σε αυτό το podcast ή σε Quanta Magazine. The Joy of Why Παράγεται από τη Susan Valot και την Polly Stryker. Οι συντάκτες μας είναι οι John Rennie και Thomas Lin, με την υποστήριξη των Matt Carlstrom, Annie Melcher και Zach Savitsky. Η θεματική μας μουσική συντέθηκε από τον Richie Johnson, ενώ ο Julian Lin επινόησε το όνομα του podcast. Το καλλιτεχνικό επεισόδιο είναι του Peter Greenwood και το λογότυπό μας είναι του Jaki King. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στον Burt Odom-Reed στο Cornell Broadcast Studios. Είμαι ο οικοδεσπότης σας Steve Strogatz. Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή σχόλια για εμάς, στείλτε μας email στο Ευχαριστώ που άκουσες.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- Minting the Future με την Adryenn Ashley. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :έχει
- :είναι
- ][Π
- $UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Ικανός
- Σχετικα
- σχετικά με αυτό
- Απόλυτος
- AC
- Αποδέχομαι
- επίτευξη
- επιτεύγματα
- πραγματικά
- προηγμένες
- επηρεάζουν
- Μετά το
- αλγόριθμος
- αλγοριθμικός
- αλγοριθμικά
- Όλα
- επιτρέπει
- κατά μήκος
- Αλφάβητο
- ήδη
- Αν και
- καταπληκτικό
- ποσό
- ανάλυση
- Αρχαίος
- και
- ανακοίνωσε
- Άλλος
- απάντηση
- κάθε
- app
- Apple
- εφαρμογές
- ΕΙΝΑΙ
- Υποστηρίζουν
- επιχείρημα
- γύρω
- φθάνουν
- Τέχνη
- AS
- Συνεργάτης
- At
- προσοχή
- διαθέσιμος
- μέσος
- πίσω
- Κακός
- βάση
- βασίζονται
- βασικός
- Βασικα
- BE
- όμορφη
- επειδή
- γίνονται
- γίνεται
- ήταν
- πριν
- Αρχή
- είναι
- Πιστεύω
- Berkeley
- Bertrand
- ΚΑΛΎΤΕΡΟΣ
- Καλύτερα
- μεταξύ
- Πέρα
- Μεγάλος
- μεγαλύτερος
- Μεγαλύτερη
- Κομμάτι
- Μπλοκ
- βιβλίο
- Βιβλία
- υποκαταστήματα
- εν συντομία
- Φέρνει
- αναμετάδοση
- χτίζω
- Κτίριο
- καίγονται
- by
- υπολογισμοί
- κλήση
- που ονομάζεται
- κλήσεις
- cambridge
- Στρατόπεδο
- CAN
- δεν μπορώ
- ο οποίος
- προσεκτικός
- , Καρλ
- περιπτώσεις
- ανέμελος
- πάλη
- Αιώνας
- ορισμένες
- σίγουρα
- αλλαγή
- χαρακτήρας
- Κάρολος
- επιλογή
- κύκλους
- τάξη
- καθαρός
- κλειστό
- συνάδελφος
- συλλογή
- συλλογές
- Ελάτε
- άνετος
- ερχομός
- σχόλια
- Κοινός
- κοινότητα
- συγκρίνουν
- πλήρης
- Ολοκληρώθηκε το
- περίπλοκος
- συγκείμενο
- υπολογιστή
- έννοια
- έννοιες
- Ομοφωνία
- Εξετάστε
- συνεπής
- κατασκευάσει
- δόμηση
- εποικοδομητικός
- Περιέχει
- ήπειρος
- συνεχής
- Continuum
- έλεγχος
- ελέγχεται
- αμφιλεγόμενος
- Συνομιλία
- θα μπορούσε να
- μετρητής
- Πορεία
- δημιουργήθηκε
- περίεργος
- Τομή
- τομή
- Ημ.
- αποφασίζει
- αποφάσεις
- βαθύς
- βαθύτερη
- Πτυχίο
- Τμήμα
- εξαρτώμενος
- περιγράφουν
- περιγραφή
- προορισμός
- ανάπτυξη
- αναπτύχθηκε
- ανάπτυξη
- συσκευή
- διαγράμματα
- DID
- διαφορετικές
- ψηφία
- Διαστάσεις
- αποκάλυψη
- ανακαλύπτουν
- ανακάλυψαν
- ανακαλύπτοντας
- ανακάλυψη
- συζητήσουν
- συζητώντας
- συζήτηση
- διακριτή
- διακρίνω
- Όχι
- πράξη
- domains
- Μην
- Καταδικασμένος
- πόρτες
- διπλασιαστεί
- κάτω
- αυτοκίνητο
- κάθε
- Νωρίς
- γη
- πιο εύκολη
- άκρη
- Σύνταξης
- είτε
- στοιχείο
- στοιχεία
- ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ
- Ατελείωτη
- αρκετά
- εμπλουτισμένος
- εξ ολοκλήρου
- Ισοδύναμος
- κατ 'ουσίαν,
- Even
- τελικά
- Κάθε
- όλοι
- πάντα
- εξελίχθηκε
- ακριβώς
- παράδειγμα
- παραδείγματα
- Εκτός
- εξαίρεση
- ενθουσιασμένοι
- έκθεμα
- υπάρχει
- Εξωτικός
- εξήγηση
- εξερεύνηση
- διερευνήσει
- ρητή
- επιπλέον
- άκρο
- ύφασμα
- Πρόσωπο
- Απέτυχε
- έκθεση
- αρκετά
- πίστη
- οικογένεια
- πασίγνωστη και
- περίφημα
- FAST
- Αγαπημένα
- τους φόβους
- Χαρακτηριστικό
- σύντροφος
- λίγοι
- Πεδία
- τελικός
- Εύρεση
- Όνομα
- πρώτη φορά
- Ψάρι
- ακολουθήστε
- Για
- για πάντα
- επίσημος
- Επίσημα
- μορφές
- Θεμέλιο
- Ιδρύματα
- κλάσμα
- Δωρεάν
- φίλος
- φίλους
- από
- πλήρη
- διασκέδαση
- λειτουργία
- λειτουργικός
- λειτουργίες
- χρηματοδότηση
- περαιτέρω
- μελλοντικός
- παιχνίδι
- General
- γενικά
- παράγουν
- γενεά
- γενναιόδωρος
- Germany
- παίρνω
- να πάρει
- Δώστε
- δεδομένου
- δίνει
- Δίνοντας
- Go
- γκολ
- πηγαίνει
- μετάβαση
- καλός
- βαθμός
- αποφοιτήσουν
- χορηγείται
- εξαιρετική
- μεγαλύτερη
- σε μεγάλο βαθμό
- Ελλάδα
- Greenwood
- Group
- μαντέψατε
- επισκέπτες
- χέρι
- συμβαίνω
- συνέβη
- Συμβαίνει
- ευτυχισμένος
- Έχω
- που έχει
- he
- κεφαλές
- ακούσει
- ακοή
- Καρδιά
- βοήθησε
- χρήσιμο
- βοηθά
- εδώ
- υψηλότερο
- ύστερη γνώση
- ιστορία
- ελπίζει
- οικοδεσπότης
- Πως
- HTTPS
- ανθρώπινος
- Πεινασμένος
- i
- ιδέα
- ιδανικό
- Ψευδαίσθηση
- φαντασία
- σπουδαιότητα
- σημαντικό
- in
- Σε άλλες
- περιλαμβάνουν
- Συμπεριλαμβανομένου
- ανεξαρτησία
- ανεξάρτητος
- Άπειρος
- Άπειρο
- επιρροή
- επηρεάζονται
- αρχικά
- εισαγωγή
- παράδειγμα
- αντί
- Ινστιτούτο
- ολοκλήρωμα
- ακεραιότητα
- διανοούμενος
- ενδιαφερόμενος
- ενδιαφέρον
- συμφέροντα
- εισαγάγει
- Ειρωνικώς
- νησί
- απομονωμένος
- θέματα
- IT
- ΤΟΥ
- εαυτό
- Γιάννης
- Johnson
- ενώνει
- Justin
- Διατήρηση
- τήρηση
- Παιδί
- παιδιά
- Είδος
- βασιλιάς
- Ξέρω
- Γνωρίζοντας
- γνωστός
- Γλώσσα
- Γλώσσες
- large
- σε μεγάλο βαθμό
- μεγαλύτερος
- μεγαλύτερη
- Επίθετο
- Αργά
- Latin
- οδηγήσει
- Λιγκ
- ΜΑΘΑΊΝΩ
- μάθει
- μάθηση
- Led
- λεμμά
- Μήκος
- αφήνοντας
- Επίπεδο
- ζωή
- Μου αρέσει
- LIMIT
- όρια
- γραμμή
- γραμμές
- συνδέονται
- Λιστα
- Ακούγοντας
- λογοτεχνία
- λίγο
- ζω
- ζωές
- τοπικός
- λογότυπο
- Μακριά
- ματιά
- μοιάζει
- κοιτάζοντας
- να χάσει
- Παρτίδα
- αγάπη
- αγάπησε
- που
- περιοδικό
- Η διατήρηση
- μεγάλες
- κάνω
- ΚΑΝΕΙ
- άνδρας
- χειραγώγηση
- πολοί
- πολλοί άνθρωποι
- Μάζα
- μάζες
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- μαθηματικά
- ύλη
- νόημα
- μέσα
- μέτρο
- μηχανισμός
- που αναφέρθηκαν
- μήνυμα
- μέθοδος
- Στα μέσα
- ενδέχεται να
- MIT
- μοντέλο
- μοντέλα
- ΜΟΝΤΕΡΝΑ
- στιγμή
- περισσότερο
- πλέον
- κίνηση
- μετακινήσετε
- ταινία
- πολυσύμπαν
- Μουσική
- μυστηριώδης
- όνομα
- ονόματα
- Φυσικό
- αναγκαίως
- Ανάγκη
- αρνητικός
- κανενα απο τα δυο
- Νέα
- νέα
- Εννοια
- αριθμός
- αριθμοί
- αντικείμενο
- αντικειμένων
- Εμφανή
- of
- πολλάκις
- Παλιά
- on
- ONE
- ανοίξτε
- άνοιξε
- ανοίγει
- φορείς
- συνήθης
- οργανικά
- Οργανωμένος
- πρωτότυπο
- αρχικά
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- δικός μας
- εκτός
- επί
- φόρμες
- δική
- αντιστοίχιση
- Παράδοξο
- Παράλληλο
- γονείς
- μέρος
- ιδιαίτερα
- εξαρτήματα
- Παύλος
- πληρώνουν
- Πιγκουίνοι
- People
- των ανθρώπων
- ίσως
- person
- προσωπικός
- Πέτρος
- φαινόμενο
- με έργα φιλοσοφίας
- φυσικός
- Φυσική
- κομμάτια
- Μέρος
- Μέρη
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- σας παρακαλούμε
- συν
- το podcast
- Podcasting
- Σημείο
- Απόψεις
- σημεία
- θετικός
- δυνατός
- ενδεχομένως
- δύναμη
- ισχυρός
- αρμοδιότητες
- πραγματιστική
- προτιμάται
- τύπος
- αρκετά
- Ακμή
- πρωτόγονος
- αρχές
- πιθανώς
- Πρόβλημα
- προβλήματα
- διαδικασια μας
- παράγει
- Παράγεται
- Δάσκαλος
- Πρόγραμμα
- υπόσχεση
- αποδείξεις
- ιδιότητες
- περιουσία
- προτείνεται
- προστατεύονται
- ευαπόδεικτος
- Αποδείξτε
- αποδείχθηκε
- αποδεικνύει
- παρέχουν
- Δημοσίευση
- δημοσιεύθηκε
- βάζω
- Quantamamagazine
- Quantum
- ερώτηση
- Ερωτήσεις
- συσπειρώσει
- μάλλον
- Ορθολογική
- RAY
- Φτάνει
- πραγματικός
- πραγματικό κόσμο
- Πραγματικότητα
- συνειδητοποίησα
- βασίλειο
- λόγος
- λόγους
- συνιστώ
- σχετίζεται με
- σχέση
- σχέση
- σχετικά
- συγγενείς
- λείψανα
- αξιοσημείωτος
- θυμάμαι
- επαναλαμβάνω
- απαιτείται
- έρευνα
- σεβασμός
- ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ
- ανασκόπηση
- επαναστατικός
- αυστηρός
- ROBERT
- Ρόλος
- Κυλιομένος
- ρολά
- Δωμάτιο
- κανόνες
- ένα ασφαλές
- Είπε
- ίδιο
- ικανοποιημένοι
- λέει
- Κλίμακα
- Σχολεία
- Επιστήμη
- Δεύτερος
- δευτερόλεπτα
- φαίνεται
- επιλογή
- αίσθηση
- ξεχωριστό
- σειρά
- Σέτς
- εγκατασταθούν
- Πάγια
- διάφοροι
- σχήματα
- θα πρέπει να
- δείχνουν
- παρουσιάζεται
- Δείχνει
- πλευρά
- υπογράψουν
- Απλούς
- αφού
- ενιαίας
- ΕΞΙ
- Μέγεθος
- μεγέθη
- Σκεπτικισμός
- ύπνος
- small
- μικρότερος
- So
- στέρεο
- λύση
- μερικοί
- Κάποιος
- κάτι
- κάπως
- κάπου
- Χώρος
- Σπινθήρας
- ειδική
- ειδικά
- δαπανήσει
- Spotify
- Στάδιο
- στοίχημα
- πρότυπο
- Εκκίνηση
- ξεκίνησε
- Ξεκινήστε
- δήλωσε
- Δήλωση
- δηλώσεις
- Κατάσταση
- Ο Steve
- Ακόμη
- Ιστορία
- ευθεία
- ισχυρός
- ισχυρότερη
- δομή
- Φοιτητής
- μελετημένος
- στούντιο
- Μελέτη
- μελετώντας
- θέμα
- επιτυχία
- τέτοιος
- επαρκής
- υποστηριζόνται!
- ασφαλώς
- έκπληξη
- έκπληκτος
- εκπληκτικός
- Susan
- σύμβολο
- σύστημα
- τραπέζι
- Πάρτε
- παίρνει
- λήψη
- Συζήτηση
- ομιλία
- δασκάλους
- Διδασκαλία
- τεχνικές
- έφηβος
- λέει
- όροι
- δοκιμή
- Ευχαριστώ
- ότι
- Η
- Το μέλλον
- Η γραμμή
- ο κόσμος
- τους
- Τους
- θέμα
- τους
- Εκεί.
- επομένως
- Αυτοί
- πράγμα
- πράγματα
- Σκέψη
- Τρίτος
- σκέψη
- χιλιάδες
- Μέσω
- παντού
- ώρα
- προς την
- σήμερα
- πολύ
- εργαλεία
- Θέματα
- ΣΥΝΟΛΙΚΑ
- τροχιά
- παραδοσιακός
- παραδοσιακός
- εκπαιδευμένο
- θεραπεία
- τρομερά
- αληθής
- Αλήθεια
- ΣΤΡΟΦΗ
- Γύρισε
- Δυο φορές
- Απροσδιόριστος
- υπό
- καταλαβαίνω
- κατανόηση
- καταλαβαίνει
- ένωση
- Ενώσεις
- μοναδικός
- Παγκόσμιος
- Σύμπαν
- πανεπιστήμιο
- us
- χρήση
- μεταχειρισμένος
- συνήθως
- χρησιμότητα
- αξία
- διάφορα
- Δες
- απόψεις
- περιμένετε
- περπάτημα
- στερούμενος
- Δες
- Νερό
- Τρόπος..
- τρόπους
- ιστός
- webp
- καλωσόρισμα
- ΛΟΙΠΌΝ
- Τι
- Τι είναι
- αν
- Ποιό
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- Οποιοσδήποτε
- ολόκληρο
- ευρέως
- θα
- πρόθυμος
- με
- εντός
- χωρίς
- λέξη
- λόγια
- Εργασία
- εργαζόμενος
- λειτουργεί
- κόσμος
- σκώληκες
- ανήσυχος
- αξία
- θα
- γράφω
- γραφή
- Λανθασμένος
- έτος
- χρόνια
- Εσείς
- Σας
- τον εαυτό σας
- zephyrnet
- μηδέν
- ζουμ