1Department of Physics, Duke University, Durham, North Carolina, USA 27708
2Center for Quantum Information and Communication, Ecole polytechnique de Bruxelles, CP 165, Université libre de Bruxelles, 1050 Brussels, Belgium
Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.
Περίληψη
Εξετάζουμε το πρόβλημα της κλασικής επικοινωνίας μιας βολής με τη βοήθεια εμπλοκής. Στο καθεστώς μηδενικού σφάλματος, η εμπλοκή μπορεί να αυξήσει τη χωρητικότητα μηδενικού σφάλματος μίας λήψης μιας οικογένειας κλασικών καναλιών ακολουθώντας τη στρατηγική των Cubitt et al., Phys. Αναθ. Lett. 104, 230503 (2010). Αυτή η στρατηγική χρησιμοποιεί το θεώρημα Kochen-Specker το οποίο είναι εφαρμόσιμο μόνο σε προβολικές μετρήσεις. Ως εκ τούτου, στο καθεστώς θορυβωδών καταστάσεων ή/και μετρήσεων, αυτή η στρατηγική δεν μπορεί να αυξήσει τη χωρητικότητα. Για να αντιμετωπίσουμε γενικά θορυβώδεις καταστάσεις, εξετάζουμε την πιθανότητα επιτυχίας μιας λήψης για την αποστολή ενός σταθερού αριθμού κλασικών μηνυμάτων. Δείχνουμε ότι η πλαισίωση της προετοιμασίας εξουσιοδοτεί το κβαντικό πλεονέκτημα σε αυτήν την εργασία, αυξάνοντας την πιθανότητα επιτυχίας μιας βολής πέρα από το κλασικό μέγιστο. Η θεραπεία μας εκτείνεται πέρα από τους Cubitt et al. και περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το πειραματικά υλοποιημένο πρωτόκολλο των Prevedel et al., Phys. Αναθ. Lett. 106, 110505 (2011). Στη συνέχεια δείχνουμε μια αντιστοίχιση μεταξύ αυτής της εργασίας επικοινωνίας και ενός αντίστοιχου μη τοπικού παιχνιδιού. Αυτή η αντιστοίχιση γενικεύει τη σύνδεση με παιχνίδια ψευδοτηλεπάθειας που σημειώθηκαν προηγουμένως στην περίπτωση μηδενικού σφάλματος. Τέλος, αφού παρακινήσουμε έναν περιορισμό που ονομάζουμε $textit{context-independent guessing}$, δείχνουμε ότι η συμφραζόμενη που μαρτυρείται από ανισότητες μη συμφραζομένων με ισχυρό θόρυβο που ελήφθησαν στο R. Kunjwal, Quantum 4, 219 (2020), είναι επαρκής για την ενίσχυση του πιθανότητα επιτυχίας βολής. Αυτό παρέχει ένα λειτουργικό νόημα σε αυτές τις ανισότητες και τη σχετική αμετάβλητη υπεργραφική, τη σταθμισμένη μέγιστη προβλεψιμότητα, που εισάγεται στο R. Kunjwal, Quantum 3, 184 (2019). Τα αποτελέσματά μας δείχνουν ότι η εργασία της κλασικής κλασικής επικοινωνίας με τη βοήθεια εμπλοκής παρέχει ένα πρόσφορο έδαφος για τη μελέτη της αλληλεπίδρασης του θεωρήματος Kochen-Specker, της συμφραζομένης Spekkens και της μη τοπικότητας Bell.
Προτεινόμενη εικόνα: Απεικόνιση του πρωτοκόλλου κλασικής επικοινωνίας μίας λήψης με υποβοήθηση εμπλοκής.
[Ενσωματωμένο περιεχόμενο]
Δημοφιλή περίληψη
Συγκεκριμένα, μελετάμε το εξής πρόβλημα επικοινωνίας: Η Alice (ο αποστολέας) συνδέεται με τον Bob (τον δέκτη) μέσω ενός θορυβώδους κλασικού καναλιού. Τους επιτρέπεται η πρόσβαση σε κοινή εμπλοκή και μπορούν να εφαρμόσουν τοπικές κβαντικές μετρήσεις. Είναι γνωστό ότι για μια συγκεκριμένη οικογένεια κλασικών καναλιών εμπνευσμένων από το θεώρημα Kochen-Specker, ο αριθμός των μηνυμάτων που μπορούν να σταλούν χωρίς σφάλματα μέσω του κλασικού καναλιού (δηλαδή, η χωρητικότητα μηδενικού σφάλματος μίας λήψης) μπορεί να αυξηθεί με την πρόσβαση στην κοινή διαπλοκή. Αυτό το αποτέλεσμα μηδενικού σφάλματος οφείλεται στους Cubitt et al. [Φυσ. Αναθ. Lett. 104, 230503 (2010)] σχετίζεται επίσης στενά με μη τοπικά παιχνίδια γνωστά ως παιχνίδια ψευδοτηλεπάθειας που παραδέχονται τέλειες στρατηγικές κβαντικής νίκης.
Μελετάμε αυτό το πρόβλημα επικοινωνίας στο θορυβώδες καθεστώς όπου το θεώρημα Kochen-Specker είναι ανεφάρμοστο. Κάνοντάς το αυτό, δείχνουμε τη στενή σύνδεση αυτού του προβλήματος με την εύρωστη από θόρυβο πλαίσιο στη διατύπωση που προτείνεται από τον Spekkens [Phys. Rev. A 71, 052108 (2005)] και με μια οικογένεια μη τοπικών παιχνιδιών εμπνευσμένων από το πρόβλημα επικοινωνίας. Υπό την παραδοχή ότι τα μέρη δεν εμπιστεύονται τις πιθανότητες που σχετίζονται με το κλασικό κανάλι, αλλά εμπιστεύονται μόνο τη πιθανή του δομή (κωδικοποιημένη στο υπεργράφημα καναλιού), δείχνουμε επίσης ότι η εύρωστη από θόρυβο συμφραζόμενη που παρατηρείται από μια αναλλοίωτη υπεργραφική είναι επαρκής για κβαντικό πλεονέκτημα σε αυτή η εργασία. Αυτό παρέχει ένα λειτουργικό νόημα στους μάρτυρες συμφραζομένων που ελήφθησαν στο R. Kunjwal, Quantum 4, 219 (2020).
► Δεδομένα BibTeX
► Αναφορές
[1] JS Bell, On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, Physics 1, 195 (1964).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.195
[2] Ο JF Clauser, ο MA Horne, ο A. Shimony και ο RA Holt, πρότειναν το πείραμα να δοκιμάσουν τις τοπικές θεωρίες κρυφών μεταβλητών, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.23.880
[3] S. Kochen και EP Specker, The Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics, στο The logico-algebraic προσέγγιση to quantum mechanics (Springer, 1975) σελ. 293–328.
https://doi.org/10.1007/978-94-010-1795-4_17
[4] R. Renner and S. Wolf, Quantum pseudo-telepathy and the Kochen-Specker theorem, in International Symposium on Information Theory, 2004. ISIT 2004. Proceedings. (IEEE, 2004) σελ. 322–322.
https: / / doi.org/ 10.1109 / ISIT.2004.1365359
[5] G. Brassard, A. Broadbent, and A. Tapp, Quantum pseudo-telepathy, Foundations of Physics 35, 1877 (2005).
https://doi.org/10.1007/s10701-005-7353-4
[6] TS Cubitt, D. Leung, W. Matthews και A. Winter, Improving Zero-Error Classical Communication with Entanglement, Phys. Αναθ. Lett. 104, 230503 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.104.230503
[7] M. Howard, J. Wallman, V. Veitch, and J. Emerson, Η Contextuality παρέχει τη «μαγεία» για τον κβαντικό υπολογισμό, Nature 510, 351 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature13460
[8] J. Barrett and A. Kent, Non-contextuality, πεπερασμένη μέτρηση ακριβείας και το θεώρημα Kochen-Specker, Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 35, 151 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.shpsb.2003.10.003
[9] A. Winter, Τι αποδεικνύει ή καταρρίπτει μια πειραματική δοκιμή κβαντικής συμφραζομένης;, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 47, 424031 (2014).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/42/424031
[10] R. Kunjwal, Beyond the Cabello-Severini-Winter frame: Makeing sense of contextuality without sharpness of measurements, Quantum 3, 184 (2019).
https://doi.org/10.22331/q-2019-09-09-184
[11] A. Cabello, Τι μαθαίνουμε για την κβαντική θεωρία από την κβαντική συμφραζόμενη Kochen-Specker;, PIRSA 17070034 (2017).
https: / / doi.org/ 10.48660 / 17070034
[12] G. Chiribella και X. Yuan, Η ευκρίνεια μέτρησης περικόπτει την μη τοπικότητα και τη συνάφεια σε κάθε φυσική θεωρία, προεκτύπωση arXiv arXiv:1404.3348 (2014).
https://doi.org/10.48550/arXiv.1404.3348
arXiv: 1404.3348
[13] RW Spekkens, Contextuality για προετοιμασίες, μετασχηματισμούς και μετρήσεις unsharp, Phys. Αναθ. Α 71, 052108 (2005).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.71.052108
[14] MD Mazurek, MF Pusey, R. Kunjwal, KJ Resch, and RW Spekkens, Μια πειραματική δοκιμή της μη συνεκτικότητας χωρίς μη φυσικές εξιδανικεύσεις, Nature Communications 7, 1 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms11780
[15] MF Pusey, L. Del Rio και B. Meyer, Contextuality χωρίς πρόσβαση σε ένα ολοκληρωμένο τομογραφικά σύνολο, arXiv preprint arXiv:1904.08699 (2019).
https://doi.org/10.48550/arXiv.1904.08699
arXiv: 1904.08699
[16] MD Mazurek, MF Pusey, KJ Resch και RW Spekkens, πειραματικά δεσμεύοντας αποκλίσεις από την κβαντική θεωρία στο τοπίο των γενικευμένων πιθανολογικών θεωριών, PRX Quantum 2, 020302 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.020302
[17] R. Kunjwal και RW Spekkens, From the Kochen-Specker Theorem to Noconcontextuality Inequalities without Assuming Determinism, Phys. Αναθ. Lett. 115, 110403 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.115.110403
[18] R. Kunjwal και RW Spekkens, Από τις στατιστικές αποδείξεις του θεωρήματος Kochen-Specker στις ανισότητες μη συμφραζομένων με ισχυρό θόρυβο, Phys. Απ. Α 97, 052110 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.97.052110
[19] RW Spekkens, DH Buzacott, AJ Keehn, B. Toner και GJ Pryde, Προετοιμασία συνάφειας Powers Parity-Oblivious Multiplexing, Phys. Rev. Lett. 102, 010401 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.102.010401
[20] A. Chailloux, I. Kerenidis, S. Kundu, and J. Sikora, Optimal bounds for parity-oblivious random access codes, New Journal of Physics 18, 045003 (2016).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/4/045003
[21] D. Schmid και RW Spekkens, Contextual Advantage for State Discrimination, Phys. Απ. Χ 8, 011015 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.8.011015
[22] D. Saha και A. Chaturvedi, Προετοιμασία συμφραζομένων ως ουσιαστικό χαρακτηριστικό που κρύβει το πλεονέκτημα της κβαντικής επικοινωνίας, Φυσ. Αναθ. Α 100, 022108 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.100.022108
[23] D. Saha, P. Horodecki και M. Pawłowski, Η ανεξάρτητη από το κράτος συμφραζόμενη προωθεί τη μονόδρομη επικοινωνία, New Journal of Physics 21, 093057 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1367-2630 / ab4149
[24] R. Kunjwal, M. Lostaglio και MF Pusey, Ανώμαλες αδύναμες αξίες και συμφραζόμενα: Ρωστότητα, στεγανότητα και φανταστικά μέρη, Φυσ. Αναθ. Α 100, 042116 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.100.042116
[25] M. Lostaglio και G. Senno, Contextual plus for state-dependent cloning, Quantum 4, 258 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-04-27-258
[26] R. Kunjwal, Contextuality πέρα από το θεώρημα Kochen-Specker, arXiv preprint arXiv:1612.07250 (2016).
https://doi.org/10.48550/arXiv.1612.07250
arXiv: 1612.07250
[27] R. Kunjwal, Υπεργραφικό πλαίσιο για μη αναγώγιμες ανισότητες μη συμφραζομένων από λογικές αποδείξεις του θεωρήματος Kochen-Specker, Quantum 4, 219 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-01-10-219
[28] R. Prevedel, Y. Lu, W. Matthews, R. Kaltenbaek και KJ Resch, Entanglement-Enhanced Classical Communication Over a Noisy Classical Channel, Phys. Αναθ. Lett. 106, 110505 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.106.110505
[29] B. Hemenway, CA Miller, Y. Shi, and M. Wootters, Optimal enanglement-assisted one-shot classical communication, Phys. Αναθ. Α 87, 062301 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.87.062301
[30] J. Barrett, Επεξεργασία πληροφοριών σε γενικευμένες πιθανολογικές θεωρίες, Phys. Αναθ. A 75, 032304 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.75.032304
[31] A. Acín, T. Fritz, A. Leverrier και AB Sainz, A Combinatorial Approach to Nonlocality and Contextuality, Communications in Mathematical Physics 334, 533 (2015).
https://doi.org/10.1007/s00220-014-2260-1
[32] RW Spekkens, Η οντολογική ταυτότητα των εμπειρικών αδιάκριτων: Η μεθοδολογική αρχή του Leibniz και η σημασία της στο έργο του Αϊνστάιν, arXiv preprint arXiv:1909.04628 (2019).
https://doi.org/10.48550/arXiv.1909.04628
arXiv: 1909.04628
[33] E. Wolfe, D. Schmid, AB Sainz, R. Kunjwal και RW Spekkens, Quantifying Bell: the Resource Theory of Noclassicality of Common-Cause Boxes, Quantum 4, 280 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-06-08-280
[34] MF Pusey, Ισχυρές ανισότητες μη συμφραζομένων προετοιμασίας στο απλούστερο σενάριο, Φυσ. Απ. Α 98, 022112 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.022112
[35] A. Tavakoli και R. Uola, Η μέτρηση ασυμβατότητας και διεύθυνσης είναι απαραίτητα και επαρκή για τη λειτουργικότητα των συμφραζομένων, Φυσ. Rev. Research 2, 013011 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.013011
[36] MS Leifer και OJE Maroney, Maximally Epistemic Interpretations of the Quantum State and Contextuality, Phys. Αναθ. Lett. 110, 120401 (2013).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.110.120401
[37] LP Hughston, R. Jozsa και WK Wootters, Μια πλήρης ταξινόμηση κβαντικών συνόλων που έχουν δεδομένη μήτρα πυκνότητας, Physics Letters A 183, 14 (1993).
https://doi.org/10.1016/0375-9601(93)90880-9
[38] M. Banik, SS Bhattacharya, SK Choudhary, A. Mukherjee, and A. Roy, Ontological models, προετοιμασία συμφραζομένων και μη τοπικότητα, Foundations of Physics 44, 1230 (2014).
https://doi.org/10.1007/s10701-014-9839-4
[39] P. Heywood και ML Redhead, Nonlocality and the Kochen-Specker paradox, Foundations of Physics 13, 481 (1983).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF00729511
[40] N. Brunner, D. Cavalcanti, S. Pironio, V. Scarani, and S. Wehner, Bell nonlocality, Rev. Mod. Φυσ. 86, 419 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.86.419
[41] S. Popescu και D. Rohrlich, Quantum nonlocality as an axiom, Foundations of Physics 24, 379 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02058098
[42] A. Peres, Two simple proofs of the Kochen-Specker theorem, Journal of Physics A: Mathematical and General 24, L175 (1991).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/24/4/003
[43] A. Peres, Μη συμβατά αποτελέσματα κβαντικών μετρήσεων, Physics Letters A 151, 107 (1990).
https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90172-K
[44] ND Mermin, Κρυφές μεταβλητές και τα δύο θεωρήματα του John Bell, Rev. Mod. Phys. 65, 803 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.65.803
[45] Α. Πέρες, Κβαντική θεωρία: έννοιες και μέθοδοι, Τόμ. 57 (Springer Science & Business Media, 2006).
https://doi.org/10.1007/0-306-47120-5
[46] AA Klyachko, MA Can, S. Binicioğlu και AS Shumovsky, Simple Test for Hidden Variables in Spin-1 Systems, Phys. Αναθ. Lett. 101, 020403 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.020403
[47] S. Uijlen και B. Westerbaan, Ένα σύστημα Kochen-Specker έχει τουλάχιστον 22 διανύσματα, New Generation Computing 34, 3 (2016).
https://doi.org/10.1007/s00354-016-0202-5
[48] F. Arends, Ένα χαμηλότερο όριο στο μέγεθος του μικρότερου διανυσματικού συστήματος Kochen-Specker, Μεταπτυχιακή εργασία, Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης (2009).
http: / / www.cs.ox.ac.uk/ people / joel.ouaknine / download / arends09.pdf
[49] R. Kunjwal, C. Heunen, and T. Fritz, Quantum realization of arbitrary joint measurability structures, Phys. Α' 89, 052126 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.052126
[50] N. Andrejic and R. Kunjwal, Joint measurability structures realizable with qubit memeters: Incompatibility via marginal operation, Phys. Rev. Research 2, 043147 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.2.043147
[51] R. Kunjwal και S. Ghosh, Ελάχιστη εξαρτώμενη από την κατάσταση απόδειξη της συμφραζομένης μέτρησης για ένα qubit, Phys. Α' 89, 042118 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.89.042118
[52] X. Zhan, EG Cavalcanti, J. Li, Z. Bian, Y. Zhang, HM Wiseman και P. Xue, Experimental generalized contextuality with single-photon qubits, Optica 4, 966 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1364 / OPTICA.4.000966
[53] I. Marvian, Μη προσπελάσιμες πληροφορίες σε πιθανολογικά μοντέλα κβαντικών συστημάτων, ανισότητες μη συμφραζομένων και κατώφλια θορύβου για συμφραζόμενα, arXiv preprint arXiv:2003.05984 (2020).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2003.05984
arXiv: 2003.05984
[54] TS Cubitt, D. Leung, W. Matthews και A. Winter, Χωρητικότητα καναλιού μηδενικού σφάλματος και προσομοίωση υποβοηθούμενη από μη τοπικές συσχετίσεις, IEEE Transactions on Information Theory 57, 5509 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1109 / TIT.2011.2159047
[55] CE Shannon, Σημείωση για μερική παραγγελία για κανάλια επικοινωνίας, Πληροφορίες και έλεγχος 1, 390 (1958).
https://doi.org/10.1016/S0019-9958(58)90239-0
[56] D. Schmid, TC Fraser, R. Kunjwal, AB Sainz, E. Wolfe και RW Spekkens, Κατανόηση της αλληλεπίδρασης της εμπλοκής και της μη τοπικότητας: παρακίνηση και ανάπτυξη ενός νέου κλάδου της θεωρίας εμπλοκής, arXiv preprint arXiv:2004.09194 (2020).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2004.09194
arXiv: 2004.09194
[57] L. Hardy, Μη τοπικότητα για δύο σωματίδια χωρίς ανισότητες για όλες σχεδόν τις εμπλεκόμενες καταστάσεις, Φυσ. Αναθ. Lett. 71, 1665 (1993).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.71.1665
[58] A. Cabello, J. Estebaranz, and G. García-Alcaine, Θεώρημα Bell-Kochen-Specker: A proof with 18 vectors, Physics Letters A 212, 183 (1996).
https://doi.org/10.1016/0375-9601(96)00134-X
Αναφέρεται από
[1] Victor Gitton και Mischa P. Woods, «On the system loophole of generalized noncontextuality», arXiv: 2209.04469.
[2] Lorenzo Catani, Matthew Leifer, David Schmid και Robert W. Spekkens, «Γιατί τα φαινόμενα παρεμβολής δεν συλλαμβάνουν την ουσία της κβαντικής θεωρίας», arXiv: 2111.13727.
[3] John H. Selby, Elie Wolfe, David Schmid και Ana Belén Sainz, «Ένα γραμμικό πρόγραμμα ανοιχτού κώδικα για τον έλεγχο της μη κλασικότητας». arXiv: 2204.11905.
[4] David Schmid, Haoxing Du, John H. Selby, and Matthew F. Pusey, “Uniqueness of Noncontextual Models for Stabilizer Subtheories”, Φυσικές επιστολές επισκόπησης 129 12, 120403 (2022).
[5] John H. Selby, David Schmid, Elie Wolfe, Ana Belén Sainz, Ravi Kunjwal και Robert W. Spekkens, «Contextuality χωρίς ασυμβατότητα», arXiv: 2106.09045.
[6] Armin Tavakoli, Emmanuel Zambrini Cruzeiro, Roope Uola και Alastair A. Abbott, "Bounding and Simulation Contextual Correlations in Quantum Theory", PRX Quantum 2 2, 020334 (2021).
[7] John H. Selby, David Schmid, Elie Wolfe, Ana Belén Sainz, Ravi Kunjwal και Robert W. Spekkens, «Προσβάσιμα θραύσματα γενικευμένων πιθανοτικών θεωριών, ισοδυναμία κώνων και εφαρμογές για τη μαρτυρία της μη κλασικότητας». arXiv: 2112.04521.
[8] Lorenzo Catani και Matthew Leifer, «Ένα μαθηματικό πλαίσιο για λειτουργικές λεπτές ρυθμίσεις», arXiv: 2003.10050.
[9] Victoria J Wright και Ravi Kunjwal, «Πλαίσιο σε σύνθετα συστήματα: ο ρόλος της εμπλοκής στο θεώρημα Kochen-Specker», arXiv: 2109.13594.
[10] Anubhav Chaturvedi, Máté Farkas και Victoria J Wright, «Χαρακτηρισμός και δέσμευση του συνόλου των κβαντικών συμπεριφορών σε σενάρια περιβάλλοντος», arXiv: 2010.05853.
[11] Lorenzo Catani, Ricardo Faleiro, Pierre-Emmanuel Emeriau, Shane Mansfield και Anna Pappa, «Σύνδεση παιχνιδιών XOR και XOR*», arXiv: 2210.00397.
Οι παραπάνω αναφορές είναι από SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2022-10-14 04:01:02). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.
On Η υπηρεσία παραπομπής του Crossref δεν βρέθηκαν δεδομένα σχετικά με την αναφορά έργων (τελευταία προσπάθεια 2022-10-14 04:01:00).
Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους
