Αναδυόμενη παράλληλη μεταφορά και καμπυλότητα στην ερμιτιανή και μη ερμιτιανή κβαντική μηχανική

Αναδυόμενη παράλληλη μεταφορά και καμπυλότητα στην ερμιτιανή και μη ερμιτιανή κβαντική μηχανική

Χρονική σήμανση: 13 Μαρτίου 2024 7:09 π.μ.

Chia-Yi Ju1,2, Άνταμ Μιράνοβιτς3,4, Γιούε-Ναν Τσεν5,6,7, Guang-Yin Chen8, να Φράνκο Νόρι4,9,10

1Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Πανεπιστήμιο Sun Yat-sen, Kaohsiung 80424, Ταϊβάν
2Κέντρο Θεωρητικής και Υπολογιστικής Φυσικής, Εθνικό Πανεπιστήμιο Sun Yat-sen, Kaohsiung 80424, Ταϊβάν
3Ινστιτούτο Σπιντρονικής και Κβαντικής Πληροφορίας, Σχολή Φυσικής, Πανεπιστήμιο Adam Mickiewicz, 61-614 Poznań, Πολωνία
4Εργαστήριο Θεωρητικής Κβαντικής Φυσικής, Συστάδα για Πρωτοποριακή Έρευνα, RIKEN, Wakoshi, Saitama, 351-0198, Ιαπωνία
5Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Πανεπιστήμιο Cheng Kung, Tainan 70101, Ταϊβάν
6Center for Quantum Frontiers of Research & Technology, NCKU, Tainan 70101, Ταϊβάν
7Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Κέντρο Θεωρητικών Επιστημών, Ταϊπέι 10617, Ταϊβάν
8Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Πανεπιστήμιο Chung Hsing, Taichung 40227, Ταϊβάν
9Quantum Computing Center, RIKEN, Wakoshi, Saitama, 351-0198, Ιαπωνία
10Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν, Ann Arbor, MI 48109-1040, Η.Π.Α.

Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.

Περίληψη

Μελέτες έχουν δείξει ότι οι χώροι Hilbert των μη ερμιτικών συστημάτων απαιτούν μη τετριμμένες μετρήσεις. Εδώ, δείχνουμε πώς οι διαστάσεις της εξέλιξης, εκτός από το χρόνο, μπορούν να προκύψουν φυσικά από έναν γεωμετρικό φορμαλισμό. Συγκεκριμένα, σε αυτόν τον φορμαλισμό, οι Hamiltonians μπορούν να ερμηνευθούν ως τελεστές που μοιάζουν με σύμβολα Christoffel και η εξίσωση Schroedinger ως παράλληλη μεταφορά σε αυτόν τον φορμαλισμό. Στη συνέχεια, εξάγουμε τις εξισώσεις εξέλιξης για τις καταστάσεις και τις μετρήσεις κατά μήκος των αναδυόμενων διαστάσεων και βρίσκουμε ότι η καμπυλότητα της διαστημικής δέσμης Hilbert για οποιοδήποτε δεδομένο κλειστό σύστημα είναι τοπικά επίπεδη. Τέλος, δείχνουμε ότι οι ευαισθησίες πιστότητας και οι καμπυλότητες Berry των καταστάσεων σχετίζονται με αυτές τις αναδυόμενες παράλληλες μεταφορές.

Αναδυόμενη παράλληλη μεταφορά και καμπυλότητα στην Ερμιτιανή και μη Ερμιτική κβαντομηχανική Η νοημοσύνη δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Δημοφιλή περίληψη

Σε αυτή τη μελέτη, δείχνουμε ότι εάν ένα σύστημα εξαρτάται από μια συνεχή παράμετρο, οι κβαντικές καταστάσεις ποικίλλουν ανάλογα με την παράμετρο που περιγράφεται από μια εξίσωση τύπου Schroedinger, η οποία τυπικά μοιάζει με μια παράλληλη εξίσωση μεταφοράς ή εξέλιξης κατά μήκος της διάστασης που περιγράφεται από την παράμετρο. Επιπλέον, εξάγουμε την κυρίαρχη εξίσωση για τη γεωμετρία/μετρική του υποκείμενου χώρου Hilbert κατά μήκος της διάστασης που σχηματίζεται από παραμέτρους. Αντί να ασχολούμαστε αποκλειστικά με μια επίσημη μελέτη των ιδιοτήτων αυτών των αναδυόμενων διαστάσεων, διερευνούμε επίσης τις εφαρμογές τους σε διάφορα πεδία της κβαντικής φυσικής.

► Δεδομένα BibTeX

► Αναφορές

[1] CM Bender and S. Boettcher, Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having $mathcal{PT}$ Symmetry, Phys. Αναθ. Lett. 80, 5243 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.80.5243

[2] CM Bender, Κάνοντας νόημα των μη Ερμιτών Χαμιλτονιανών, Rep. Prog. Phys. 70, 947 (2007).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0034-4885/​70/​6/​R03

[3] KG Makris, R. El-Ganainy, DN Christodoulides, and ZH Musslimani, Beam Dynamics σε $cal{PT}$ Symmetric Optical Lattices, Phys. Αναθ. Lett. 100, 103904 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.100.103904

[4] R. El-Ganainy, KG Makris, M. Khajavikhan, ZH Musslimani, S. Rotter, and DN Christodoulides, Non-Hermitian physics and $cal{PT}$symmetry, Nat. Phys. 14, 11 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nphys4323

[5] A. Mostafazadeh, Pseudo-Hermiticity and generalized $mathcal{PT}$- and $mathcal{CPT}$-symmetries, J. Math. Phys. 44, 974 (2003).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1539304

[6] A. Mostafazadeh, Ψευδοερμιτική αναπαράσταση της κβαντικής μηχανικής, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 7, 1191 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219887810004816

[7] B. Peng, Ş. K. Özdemir, S. Rotter, H. Yilmaz, M. Liertzer, F. Monifi, CM Bender, F. Nori, and L. Yang, Loss-induced suppression and revival of lasing, Science 346, 328 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1258004

[8] H. Jing, Ş. K. Özdemir, X.-Y. Lü, J. Zhang, L. Yang, and F. Nori, $cal{PT}$-Symmetric Phonon Laser, Phys. Αναθ. Lett. 113, 053604 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.113.053604

[9] CM Bender, συμμετρία $cal{PT}$ στην κβαντική φυσική: Από μια μαθηματική περιέργεια στα οπτικά πειράματα, Europhys. News 47, 17 (2016).
https://doi.org/​10.1051/​epn/​2016201

[10] CM Bender, DC Brody και MP Müller, Hamiltonian για τα μηδενικά της συνάρτησης Riemann Zeta, Phys. Αναθ. Lett. 118, 130201 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.118.130201

[11] JL Miller, Εξαιρετικοί πόντοι για εξαιρετικούς αισθητήρες, Phys. Σήμερα 70, 23 (2017).
https://doi.org/​10.1063/​pt.3.3717

[12] D. Leykam, KY Bliokh, C. Huang, Y. Chong, and F. Nori, Edge Modes, Degeneracies, and Topological Numbers in Non-Hermitian Systems, Phys. Αναθ. Lett. 118, 040401 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.118.040401

[13] F. Quijandría, U. Naether, SK Özdemir, F. Nori, and D. Zueco, $cal{PT}$-συμμετρικό κύκλωμα QED, Phys. Α' 97, 053846 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.97.053846

[14] R. El-Ganainy, M. Khajavikhan, DN Christodoulides και Ş. K. Özdemir, The dawn of non-hermitian optics, Commun. Phys. 2, 37 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s42005-019-0130-z

[15] T. Liu, Y.-R. Zhang, Q. Ai, Z. Gong, K. Kawabata, M. Ueda, and F. Nori, Τοπολογικές Φάσεις Δεύτερης Τάξης σε Μη Ερμιτικά Συστήματα, Φυσ. Αναθ. Lett. 122, 076801 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.122.076801

[16] Ζ.-Υ. Ge, Y.-R. Zhang, T. Liu, S.-W. Li, H. Fan και F. Nori, Τοπολογική θεωρία ζωνών για μη-ερμιτικά συστήματα από την εξίσωση Dirac, Phys. Αναθ. Β 100, 054105 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevb.100.054105

[17] M. Parto, YGN Liu, B. Bahari, M. Khajavikhan, and DN Christodoulides, Non-Hermitian and topological photonics: optics at a εξαιρετικό σημείο, P. Soc. Photo-opt. Ins. 10, 403 (2020).
https://doi.org/ 10.1515/nanoph-2020-0434

[18] Y. Ashida, Z. Gong, and M. Ueda, Non-Hermitian physics, Adv. Phys. 69, 249 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 00018732.2021.1876991

[19] M. Cirio, P.-C. Kuo, Υ.-Ν. Chen, F. Nori, and N. Lambert, Κανονική παραγωγή του υπερτελεστή φερμιονικής επιρροής, Phys. Αναθ. Β 105, 035121 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevb.105.035121

[20] EJ Bergholtz, JC Budich και FK Kunst, Εξαιρετική τοπολογία μη-Ερμιτιανών συστημάτων, Rev. Mod. Phys. 93, 015005 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / revmodphys.93.015005

[21] X. Zhang, T. Zhang, Μ.-Η. Lu, και Y.-F. Chen, Μια ανασκόπηση για το μη ερμιτικό αποτέλεσμα του δέρματος, Adva. Phys.: X 7, 2109431 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 23746149.2022.2109431

[22] A. Fring, An Introduction to PT-Symmetric Quantum Mechanics-Time-Dependent Systems, J. Phys.: Conf. Ser. 2448, 012002 (2023).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​2448/​1/​012002

[23] Υ.-Λ. Fang, J.-L. Zhao, D.-X. Chen, Υ.-Η. Zhou, Y. Zhang, Q.-C. Wu, C.-P. Yang και F. Nori, Δυναμική εμπλοκής σε συστήματα αντι-$cal{PT}$-συμμετρικά, Φυσ. Rev. Research 4, 033022 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevresearch.4.033022

[24] Δ.-Χ. Chen, Y. Zhang, J.-L. Zhao, Q.-C. Wu, Y.-L. Fang, C.-P. Yang και F. Nori, Διακρίσεις κβαντικών καταστάσεων σε συμμετρικό σύστημα $cal{PT}$, Phys. Αναθ. Α 106, 022438 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.106.022438

[25] A. Fring και T. Taira, Μη Ερμιτικός κβαντικός επιταχυντής Fermi, Φυσ. Rev. A 108, 10.1103/​physreva.108.012222.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.108.012222

[26] M. Znojil, Διακριτή-συντεταγμένη κρυπτο-Ερμιτιανό κβαντικό σύστημα ελεγχόμενο από χρονικά εξαρτώμενες οριακές συνθήκες Robin, Phys. Scripta 99, 035250 (2024).
https://doi.org/​10.1088/​1402-4896/​ad298b

[27] M. Znojil, Χρονοεξαρτώμενη έκδοση της κρυπτο-Ερμιτικής κβαντικής θεωρίας, Φυσ. Αναθ. Δ 78, 085003 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevD.78.085003

[28] M. Znojil, Three-Hilbert-Space Formulation of Quantum Mechanics, Sym. Integ. Γεωμ.: Μεθ. App. 5, 001 (2009).
https://doi.org/​10.3842/​sigma.2009.001

[29] DC Brody, Biorthogonal quantum mechanics, J. Phys. Α: Μαθηματικά. Θεωρ. 47, 035305 (2013).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​47/​3/​035305

[30] H. Hodaei, AU Hassan, S. Wittek, H. Garcia-Gracia, R. El-Ganainy, DN Christodoulides και M. Khajavikhan, Ενισχυμένη ευαισθησία σε εξαιρετικά σημεία υψηλότερης τάξης, Nature (Λονδίνο) 548, 187 (2017) .
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature23280

[31] KY Bliokh, D. Leykam, M. Lein, and F. Nori, Τοπολογική μη Ερμιτική προέλευση επιφανειακών κυμάτων Maxwell, Nat. Commun. 10, 580 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-019-08397-6

[32] M. Znojil, Passage through εξαιρετικό σημείο: Case study, Proc. Royal Soc. A 476, 20190831 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1098 / rspa.2019.0831

[33] M. Znojil, Paths of unitary access to extreme points, J. Phys.: Conf. Ser. 2038, 012026 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​2038/​1/​012026

[34] CM Bender, J. Brod, A. Refig και ME Reuter, Ο τελεστής $mathcal{C}$ στις $mathcal{PT}$-συμμετρικές κβαντικές θεωρίες, J. Phys A: Math. Gen. 37, 10139 (2004).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​37/​43/​009

[35] A. Mostafazadeh, Χρονοεξαρτώμενοι χώροι Hilbert, γεωμετρικές φάσεις και γενική συνδιακύμανση στην κβαντική μηχανική, Φυσ. Κάτοικος της Λατβίας. A 320, 375 (2004).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2003.12.008

[36] Γ.-Υ. Ju, Α. Miranowicz, F. Minganti, C.-T. Chan, G.-Y. Chen, και F. Nori, Κβαντικός ανελκυστήρας του Αϊνστάιν: Ερμιτιοποίηση μη Ερμιτών Χαμιλτονιανών μέσω του Φορμαλισμού Vielbein, Φυσ. Rev. Research 4, 023070 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevresearch.4.023070

[37] Γ.-Υ. Ju, Α. Miranowicz, G.-Y. Chen, and F. Nori, Non-Hermitian Hamiltonians and no-go theorems in quantum information, Phys. Αναθ. Α 100, 062118 (2019).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.100.062118

[38] CW Misner, KS Thorne και JA Wheeler, Gravitation (Princeton University Press, 2017).
https://doi.org/​10.2307/​j.ctv301gk5

[39] RM Wald, Γενική Σχετικότητα (The University of Chicago Press, 1984).
https: / / doi.org/ 10.7208 / chicago / 9780226870373.001.0001

[40] D. Stoker and SM Carroll, Spacetime and Geometry (Cambridge University Press, 2019).
https: / / doi.org/ 10.1017 / 9781108770385

[41] P. Collier, A Beginner's Guide to Differential Forms (Incomprehensible Books, 2021) σελ. 311–311.
https: / / doi.org/ 10.4324 / 9781003444145-22

[42] T. Needham, Visual Differential Geometry and Forms (Princeton University Press, 2021).
https: / / doi.org/ 10.1515 / 9780691219899

[43] MH Emam, Covariant Physics (Oxford University Press, 2021).
https: / / doi.org/ 10.1093 / oso / 9780198864899.001.0001

[44] JJ Sakurai και J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 2017).
https: / / doi.org/ 10.1017 / 9781108499996

[45] H. Mehri-Dehnavi και A. Mostafazadeh, Γεωμετρική φάση για μη Ερμιτίανους Χαμιλτονιανούς και η ερμηνεία της ολονομίας, J. Math. Phys. 49, 082105 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.2968344

[46] M. Nakahara, Γεωμετρία, Τοπολογία και Φυσική, 2η έκδ. (IOP Publishing, Bristol, 2003) σελ. 244–307.
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781315275826-7

[47] D. Xiao, M.-C. Chang, and Q. Niu, Επιδράσεις φάσης Berry στις ηλεκτρονικές ιδιότητες, Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.82.1959

[48] L. Wang, Y.-H. Liu, J. Imriška, PN Ma και M. Troyer, Fidelity Susceptibility Made Simple: A Unified Quantum Monte Carlo Approach, Phys. Αναθ. Χ 5, 031007 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.5.031007

[49] Υ.-Γ. Tzeng, C.-Y. Ju, G.-Y. Chen και W.-M. Huang, Hunting for the non-ermitian εξαιρετικά σημεία με ευαισθησία πιστότητας, Phys. Rev. Res. 3, 013015 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.013015

[50] Υ.-Τ. Tu, Ι. Jang, Ρ.-Υ. Chang και Y.-C. Tzeng, Γενικές ιδιότητες πιστότητας σε μη ερμιτικά κβαντικά συστήματα με συμμετρία $cal{PT}$, Quantum 7, 960 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2023-03-23-960

[51] C. Nash και S. Sen, Topology and Geometry for Physicists (Dover Pub., Νέα Υόρκη, 2011).
https: / / doi.org/ 10.1142 / 9599

[52] J. Polchinski, Θεωρία Χορδών (Cambridge University Press, 1998).
https: / / doi.org/ 10.1017 / cbo9780511816079

[53] K. Becker, M. Becker, and JH Schwarz, String Theory and M-Theory (Cambridge University Press, 2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / cbo9780511816086

[54] OD Stefano, A. Settineri, V. Macrì, L. Garziano, R. Stassi, S. Savasta, and F. Nori, Resolution of gauge ambiguities in ultrastrong-coupling cavity quantum electrodynamics, Nat. Phys. 15, 803 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0534-4

[55] L. Garziano, A. Settineri, OD Stefano, S. Savasta, and F. Nori, Gauge invariance of the Dicke and Hopfield models, Phys. Αναθ. Α 102, 023718 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.102.023718

[56] A. Settineri, OD Stefano, D. Zueco, S. Hughes, S. Savasta και F. Nori, Ελευθερία μετρητή, κβαντικές μετρήσεις και εξαρτώμενες από το χρόνο αλληλεπιδράσεις στην κοιλότητα QED, Phys. Rev. Research 3, 023079 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevresearch.3.023079

[57] S. Savasta, OD Stefano, A. Settineri, D. Zueco, S. Hughes και F. Nori, Αρχή μετρητή και αναλλοίωτη μέτρηση σε συστήματα δύο επιπέδων, Phys. Αναθ. Α 103, 053703 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.103.053703

[58] W. Salmon, C. Gustin, A. Settineri, OD Stefano, D. Zueco, S. Savasta, F. Nori και S. Hughes, Φάσματα εκπομπής ανεξάρτητα από μετρητή και κβαντικές συσχετίσεις στο καθεστώς υπερισχυρής σύζευξης της κοιλότητας ανοιχτού συστήματος- QED, P. Soc. Photo-opt. Ins. 11, 1573 (2022).
https://doi.org/ 10.1515/nanoph-2021-0718

[59] M. Born και V. Fock, Beweis des Adiabatensatzes, Z. Phys. 51, 165 (1928).
https: / / doi.org/ 10.1007 / bf01343193

[60] MV Berry, Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes, Proc. Royal Soc. London A 392, 45 (1984).
https: / / doi.org/ 10.1142 / 9789813221215_0006

[61] S. Nandy, A. Taraphder και S. Tewari, Θεωρία φάσης Berry του επίπεδου φαινομένου Hall σε τοπολογικούς μονωτές, Sci. Απ. 8, 14983 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41598-018-33258-5

[62] S.-J. Gu, Προσέγγιση πιστότητας στις κβαντικές μεταβάσεις φάσης, International J. Mod. Phys. Β 24, 4371 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1142 / s0217979210056335

[63] T. Kato, Θεωρία διαταραχών για γραμμικούς τελεστές, 2η έκδ., Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (Springer, Βερολίνο, 1976) σελ. 479–515.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-66282-9_9

[64] WD Heiss, Exceptional points of non-hermitian operators, J. Phys A: Math. Γεν. 37, 2455 (2004).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​37/​6/​034

[65] ΜΙΚΡΟ. K. Özdemir, S. Rotter, F. Nori, and L. Yang, Συμμετρία ισοτιμίας-χρόνου και εξαιρετικά σημεία στη φωτονική, Nat. Μητήρ. 18, 783 (2019).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41563-019-0304-9

[66] D. Rattacaso, P. Vitale, and A. Hamma, Quantum geometric tensor away from equilibrium, J. Phys. Commun. 4, 055017 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2399-6528 / ab9505

[67] DZ Freedman, P. van Nieuwenhuizen και S. Ferrara, Πρόοδος προς μια θεωρία της υπερβαρύτητας, Phys. Rev. D 13, 3214 (1976).
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevd.13.3214

[68] P. van Nieuwenhuizen, Supergravity, Phys. Rep. 68, 189 (1981).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0370-1573(81)90157-5

[69] PO Kofman, OV Ivakhnenko, SN Shevchenko και F. Nori, η προσέγγιση της Majorana στις μη αδιαβατικές μεταβάσεις επικυρώνει την προσέγγιση αδιαβατικών παλμών, Sci. Rep. 13, 5053 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41598-023-31084-y

Αναφέρεται από

[1] Ievgen I. Arkhipov, Adam Miranowicz, Fabrizio Minganti, Şahin K. Özdemir και Franco Nori, «Dynamically crossing diabolic points while encircling extreme curves: A programmable symmetric-asymmetric multimode switch». Nature Communications 14, 2076 (2023).

[2] Miloslav Znojil, «Υβριδική μορφή κβαντικής θεωρίας με μη-Ερμιτίανους Χαμιλτονιανούς», Φυσική Γράμματα A 457, 128556 (2023).

[3] Miloslav Znojil, «Μη στάσιμη κβαντική μηχανική στην αναπαράσταση υβριδικής μη ερμιτικής αλληλεπίδρασης», Φυσική Γράμματα A 462, 128655 (2023).

Οι παραπάνω αναφορές είναι από SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2024-03-17 11:23:39). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.

On Η υπηρεσία παραπομπής του Crossref δεν βρέθηκαν δεδομένα σχετικά με την αναφορά έργων (τελευταία προσπάθεια 2024-03-17 11:23:37).

Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους

Σφραγίδα ώρας:

Περισσότερα από Quantum Journal