Πώς τα απλά μαθηματικά κινούν τη βελόνα | Περιοδικό Quanta

Φανταστείτε ότι τρέχετε στο δρόμο με ένα αυτοκίνητο χωρίς οδηγό όταν βλέπετε ένα πρόβλημα μπροστά σας. Ένας οδηγός ντελίβερι της Amazon πήρε το φορτηγό του στα μισά του δρόμου ενός σταθμευμένου φορτηγού UPS πριν συνειδητοποιήσει ότι δεν μπορούσε να περάσει. Τώρα έχουν κολλήσει. Και εσύ το ίδιο.

Ο δρόμος είναι πολύ στενός για να τραβήξετε ένα U-ey, επομένως το αυτοκίνητό σας με βελτιωμένη τεχνητή νοημοσύνη ξεκινά μια στροφή τριών σημείων. Πρώτα, το αυτοκίνητο παίρνει μια καμπυλωτή διαδρομή προς ένα κράσπεδο. Μόλις φτάσει εκεί, κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση και ανεβαίνει στο απέναντι κράσπεδο. Στη συνέχεια, γυρίζει το τιμόνι προς τα πίσω προς την κατεύθυνση της πρώτης καμπύλης διαδρομής, οδηγώντας προς τα εμπρός και μακριά από το εμπόδιο.

Αυτός ο απλός γεωμετρικός αλγόριθμος για ενδιάμεσες στροφές μπορεί να σας βοηθήσει να μετακινηθείτε σε δύσκολες καταστάσεις. (Αν έχετε παρκάρει ποτέ παράλληλα, ξέρετε τι μπορεί να σας κάνει αυτό το τρεμάμενο πέρασμα.)

Υπάρχει ένα διασκεδαστικό μαθηματικό πρόβλημα εδώ σχετικά με το πόσο χώρο χρειάζεστε για να γυρίσετε το αυτοκίνητό σας και οι μαθηματικοί εργάζονται σε μια εξιδανικευμένη εκδοχή του για πάνω από 100 χρόνια. Ξεκίνησε το 1917 όταν ο Ιάπωνας μαθηματικός Sōichi Kakeya έθεσε ένα πρόβλημα που μοιάζει λίγο με την κυκλοφοριακή συμφόρηση. Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια απείρως λεπτή βελόνα μήκους 1. Ποια είναι η περιοχή της μικρότερης περιοχής στην οποία μπορείτε να γυρίσετε τη βελόνα κατά 180 μοίρες και να την επαναφέρετε στην αρχική της θέση; Αυτό είναι γνωστό ως το πρόβλημα της βελόνας του Kakeya και οι μαθηματικοί εξακολουθούν να μελετούν παραλλαγές του. Ας ρίξουμε μια ματιά στην απλή γεωμετρία που κάνει το πρόβλημα της βελόνας του Kakeya τόσο ενδιαφέρον και εκπληκτικό.

Όπως πολλά μαθηματικά προβλήματα, αυτό περιλαμβάνει κάποιες απλοποιητικές υποθέσεις που το καθιστούν λιγότερο ρεαλιστικό αλλά πιο διαχειρίσιμο. Για παράδειγμα, το μήκος και το πλάτος ενός αυτοκινήτου έχουν σημασία όταν οδηγείτε, αλλά θα υποθέσουμε ότι η βελόνα μας έχει μήκος 1 και πλάτος μηδέν. (Αυτό σημαίνει ότι η ίδια η βελόνα έχει ένα εμβαδόν μηδέν, το οποίο παίζει σημαντικό ρόλο στο να μας επιτρέψει να λύσουμε το πρόβλημα.) Επίσης, θα υποθέσουμε ότι η βελόνα, σε αντίθεση με ένα αυτοκίνητο, μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το μπροστινό άκρο της, το πίσω άκρο της , ή οποιοδήποτε σημείο ενδιάμεσα.

Ο στόχος είναι να βρεθεί η μικρότερη περιοχή που επιτρέπει στη βελόνα να στρίβει 180 μοίρες. Το να βρείτε το μικρότερο πράγμα που ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο σύνολο συνθηκών μπορεί να είναι δύσκολο, αλλά ένας καλός τρόπος για να ξεκινήσετε είναι να αναζητήσετε οτιδήποτε ικανοποιεί αυτές τις προϋποθέσεις και να δείτε τι μπορείτε να μάθετε στην πορεία. Για παράδειγμα, μια εύκολη απάντηση είναι απλώς να περιστρέψετε τη βελόνα κατά 180 μοίρες γύρω από το τελικό σημείο της και μετά να την σύρετε ξανά προς τα πάνω. Αυτό επαναφέρει τη βελόνα στην αρχική της θέση, αλλά τώρα δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση, όπως απαιτεί το πρόβλημα της βελόνας του Kakeya.

Η περιοχή που απαιτείται για τη στροφή είναι ένα ημικύκλιο με ακτίνα 1, το οποίο έχει εμβαδόν $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Βρήκαμε λοιπόν μια περιοχή που λειτουργεί.

Μπορούμε να τα καταφέρουμε καλύτερα εκμεταλλευόμενοι την ικανότητα της μαγικής μας μαθηματικής βελόνας να περιστρέφεται γύρω από οποιοδήποτε σημείο. Αντί να το περιστρέψουμε γύρω από το τελικό του σημείο, ας το περιστρέψουμε γύρω από το μέσο του.

Μπορείτε να το ονομάσετε αυτό πυξίδα του Kakeya: Η βελόνα μας ξεκινά προς τα βόρεια, αλλά μετά την περιστροφή βρίσκεται στο ίδιο σημείο αλλά δείχνει νότια. Αυτή η περιοχή είναι ένας κύκλος ακτίνας $latex frac{1}{2}$, επομένως το εμβαδόν της είναι $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Αυτή είναι η μισή έκταση της πρώτης μας περιοχής, επομένως σημειώνουμε πρόοδο.

Πού μετά; Θα μπορούσαμε να εμπνευστούμε από το δίλημμα χωρίς οδηγό-αυτοκίνητο και να σκεφτούμε να χρησιμοποιήσουμε κάτι σαν στροφή τριών σημείων για τη βελόνα. Αυτό στην πραγματικότητα λειτουργεί αρκετά καλά.

Η περιοχή που παρασύρεται από τη βελόνα χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική ονομάζεται δελτοειδής και ικανοποιεί επίσης τις απαιτήσεις του Kakeya. Ο υπολογισμός του εμβαδού του απαιτεί κάτι περισσότερο από τη στοιχειώδη γεωμετρία που συζητάμε εδώ (η γνώση των παραμετρικών καμπυλών βοηθάει), αλλά αποδεικνύεται ότι η περιοχή αυτού του συγκεκριμένου δελτοειδή — εκείνου που σαρώνεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 — είναι ακριβώς $latex frac{pi}{8}$. Τώρα έχουμε μια ακόμη μικρότερη περιοχή στην οποία μπορούμε να γυρίσουμε τη βελόνα του Kakeya και θα μπορούσαμε να σας συγχωρήσουμε που πιστεύετε ότι αυτό είναι το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε. Ο ίδιος ο Kakeya σκέφτηκε ότι μπορεί να ήταν.

Αλλά αυτό το πρόβλημα της βελόνας πήρε μεγάλη τροπή όταν ο Ρώσος μαθηματικός Abram Besicovich ανακάλυψε ότι μπορείτε να τα πάτε απείρως καλύτερα. Βρήκε μια διαδικασία για να μειώσει τα περιττά κομμάτια της περιοχής μέχρι να γίνει όσο μικρό ήθελε.

Η διαδικασία είναι τεχνική και περίπλοκη, αλλά μια στρατηγική που βασίζεται στην ιδέα του Μπεσικόβιτς βασίζεται σε δύο απλές ιδέες. Αρχικά, σκεφτείτε το ορθογώνιο τρίγωνο από κάτω, με ύψος 1 και βάση 2.

Προς το παρόν, θα ξεχάσουμε να γυρίσουμε τη βελόνα εντελώς και θα επικεντρωθούμε σε ένα απλό γεγονός: Εάν τοποθετήσουμε μια βελόνα μήκους 1 στην κορυφή της κορυφής, το τρίγωνο είναι αρκετά μεγάλο για να επιτρέψει στη βελόνα να περιστραφεί πλήρως κατά 90 μοίρες από τη μια πλευρά στην άλλη.

Εφόσον το εμβαδόν του τριγώνου είναι $latex A=frac{1}{2}bh$, αυτό το τρίγωνο έχει εμβαδόν $latex A=frac{1}{2} επί 2 φορές 1 = 1$.

Τώρα, εδώ είναι η πρώτη σημαντική ιδέα: Μπορούμε να μειώσουμε την περιοχή της περιοχής διατηρώντας παράλληλα την περιστροφή 90 μοιρών. Η στρατηγική είναι απλή: Κόβουμε το τρίγωνο στη μέση και μετά πιέζουμε τα δύο μισά μαζί.

Το εμβαδόν αυτού του νέου σχήματος πρέπει να είναι μικρότερο από το αρχικό, επειδή πλέον τμήματα του τριγώνου επικαλύπτονται. Στην πραγματικότητα, είναι εύκολο να υπολογιστεί το εμβαδόν του σχήματος: Είναι μόλις τα τρία τέταρτα του τετραγώνου της πλευράς 1, οπότε το εμβαδόν είναι $latex A = frac{3}{4}$, το οποίο είναι μικρότερο από το εμβαδόν του τρίγωνο με το οποίο ξεκινήσαμε.

Και μπορούμε ακόμα να στρέψουμε τη βελόνα προς όλες τις ίδιες κατευθύνσεις όπως πριν. Υπάρχει μόνο ένα πρόβλημα: Η αρχική γωνία έχει χωριστεί σε δύο κομμάτια, επομένως αυτές οι κατευθύνσεις χωρίζονται πλέον σε δύο ξεχωριστές περιοχές.

Εάν η βελόνα βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της νέας περιοχής, μπορούμε να την περιστρέψουμε κατά 45 μοίρες μεταξύ νότου και νοτιοανατολικού, και αν είναι στα δεξιά μπορούμε να την περιστρέψουμε κατά 45 μοίρες μεταξύ νότου και νοτιοδυτικού, αλλά επειδή τα δύο μέρη χωρίζονται , δεν φαίνεται ότι μπορούμε να το περιστρέψουμε κατά 90 μοίρες όπως μπορούσαμε πριν.

Εδώ μπαίνει η δεύτερη σημαντική ιδέα. Υπάρχει ένας ύπουλος τρόπος για να μεταφέρετε τη βελόνα από τη μια πλευρά στην άλλη που δεν απαιτεί μεγάλη επιφάνεια. Στο σκάκι ίσως γνωρίζετε ότι ο ιππότης κινείται σε σχήμα L. Λοιπόν, η βελόνα μας θα κινηθεί σε σχήμα Ν.

Να πώς γίνεται. Πρώτα, η βελόνα ολισθαίνει προς τα πάνω από τη μία πλευρά του Β. Στη συνέχεια περιστρέφεται ώστε να δείχνει κατά μήκος της διαγώνιας και γλιστράει προς τα κάτω. Στη συνέχεια περιστρέφεται ξανά και τελειώνει το ταξίδι του ολισθαίνοντας προς τα πάνω στην άλλη πλευρά του Β.

Στην αρχή αυτή η κίνηση σε σχήμα Ν μπορεί να μην μοιάζει πολύ, αλλά κάνει κάτι πολύ χρήσιμο. Επιτρέπει στη βελόνα να «πηδά» από τη μια παράλληλη γραμμή στην άλλη, κάτι που θα μας βοηθήσει να μεταφέρουμε τη βελόνα μας από τη μια περιοχή στην άλλη. Το πιο σημαντικό, το κάνει χωρίς να απαιτεί μεγάλη περιοχή. Στην πραγματικότητα, μπορείτε να το κάνετε να απαιτεί όσο λίγη περιοχή θέλετε. Να γιατί.

Θυμηθείτε ότι η βελόνα μας έχει μηδενικό πλάτος. Έτσι, οποιαδήποτε γραμμή κινείται κατά μήκος της βελόνας, προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, θα έχει μηδενική επιφάνεια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή που απαιτείται για να μετακινηθεί η βελόνα προς τα πάνω, προς τα κάτω ή διαγώνια κατά μήκος του σχήματος Ν θα αποτελείται από κομμάτια με μηδενικό εμβαδόν.

Αυτό απλώς αφήνει τις περιστροφές στις γωνίες του σχήματος Ν.

Αυτές οι κινήσεις απαιτούν περιοχή. Μπορείτε να δείτε ένα μικρό τομέα ενός κύκλου σε κάθε γωνία. Αλλά εδώ είναι το ύπουλο μέρος: Μπορείτε να κάνετε αυτές τις περιοχές μικρότερες επιμηκύνοντας το Β.

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου είναι $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, όπου $latex theta$ είναι το μέτρο της γωνίας του τομέα σε μοίρες. Ανεξάρτητα από το πόσο ψηλό είναι το N, η ακτίνα του τομέα θα είναι πάντα 1: Αυτό είναι το μήκος της βελόνας. Αλλά καθώς το Ν ψηλώνει, η γωνία συρρικνώνεται, γεγονός που θα μειώσει την περιοχή του τομέα. Έτσι, μπορείτε να κάνετε την πρόσθετη περιοχή όσο μικρή θέλετε τεντώνοντας το N όσο χρειάζεται.

Θυμηθείτε ότι μπορέσαμε να μειώσουμε την περιοχή της τριγωνικής μας περιοχής χωρίζοντάς την στα δύο και κάνοντας τα κομμάτια να επικαλύπτονται. Το πρόβλημα ήταν ότι αυτό χώρισε τη γωνία των 90 μοιρών σε δύο ξεχωριστά κομμάτια, εμποδίζοντάς μας να περιστρέψουμε τη βελόνα κατά 90 μοίρες. Τώρα μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας ένα κατάλληλο σχήμα Ν για να διασφαλίσουμε ότι η βελόνα έχει μια διαδρομή από τη μια πλευρά στην άλλη.

Σε αυτήν την ενημερωμένη περιοχή, η βελόνα μπορεί ακόμα να περιστρέφεται κατά 90 μοίρες όπως πριν, μόλις τώρα συμβαίνει σε δύο στάδια. Πρώτα, η βελόνα γυρίζει 45 μοίρες και ευθυγραμμίζεται με την κάθετη άκρη στα αριστερά. Στη συνέχεια, κινείται κατά μήκος του σχήματος Ν για να φτάσει στην άλλη πλευρά. Μόλις είναι εκεί, είναι ελεύθερο να στρίψετε τις υπόλοιπες 45 μοίρες.

Αυτό μετακινεί τη βελόνα κατά 90 μοίρες και για να συνεχίσει να περιστρέφεται, απλώς προσθέτετε περιστρεφόμενα αντίγραφα της περιοχής.

Με την προσθήκη των κατάλληλων σχημάτων Ν, η βελόνα μπορεί να πηδήξει από τη μια τριγωνική χερσόνησο στην άλλη, γυρίζοντας λίγο-λίγο μέχρι να φτάσει μέχρι το τέλος, ακριβώς όπως ένα αυτοκίνητο που εκτελεί μια στροφή τριών σημείων.

Υπάρχουν πιο διαβολικά μαθηματικά στις λεπτομέρειες, αλλά αυτές οι δύο ιδέες - ότι μπορούμε να μειώνουμε συνεχώς την περιοχή της αρχικής περιοχής κόβοντάς την και μετακινώντας την γύρω-γύρω, διασφαλίζοντας παράλληλα ότι μπορούμε να πάμε από κομμάτι σε κομμάτι χρησιμοποιώντας τα αυθαίρετα μικρά σχήματα Ν - μας βοηθούν μετακινήστε τη βελόνα σε μια ολοένα συρρικνούμενη περιοχή που μπορεί τελικά να είναι όσο μικρή θέλετε.

Μια πιο τυπική προσέγγιση για την οικοδόμηση αυτού του είδους περιοχής ξεκινά με ισόπλευρα τρίγωνα και χρησιμοποιεί τα "Perron trees", τα οποία είναι έξυπνοι τρόποι για να τεμαχίσετε τα τρίγωνα προς τα επάνω και να τεντώσετε και να σύρετε τα κομμάτια ξανά μαζί. Το αποτέλεσμα είναι αρκετά εντυπωσιακό.

Πρόσφατα, οι μαθηματικοί έχουν σημείωσε πρόοδο σε νέες παραλλαγές αυτού του παλιού προβλήματος, σε υψηλότερες διαστάσεις και με διαφορετικές έννοιες μεγέθους. Πιθανότατα δεν θα δούμε ποτέ ένα αυτοκίνητο με τεχνητή νοημοσύνη να διαγράφει μια στροφή με σημείο βελόνας Kakeya, αλλά μπορούμε ακόμα να εκτιμήσουμε την ομορφιά και την απλότητα του σχεδόν τίποτα.

Ασκήσεις

1. Ποιο είναι το εμβαδόν του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που λειτουργεί ως σετ βελόνων Kakeya;

2. Μπορείτε να κάνετε λίγο καλύτερα από το ισόπλευρο τρίγωνο στην άσκηση 1 χρησιμοποιώντας ένα "τρίγωνο Reuleaux", μια περιοχή που σχηματίζεται από τρεις αλληλοκαλυπτόμενους κυκλικούς τομείς. Ποιο είναι το εμβαδόν του μικρότερου τριγώνου Reuleaux που λειτουργεί;