Ο αριθμός των αποστάσεων που χωρίζουν τα σημεία έχει νέο όριο | Περιοδικό Quanta

Διασκορπίστε τρία σημεία σε ένα επίπεδο και μετά μετρήστε τις αποστάσεις μεταξύ κάθε ζεύγους από αυτά. Κατά πάσα πιθανότητα, θα βρείτε τρεις διαφορετικές αποστάσεις. Αλλά αν τακτοποιήσετε τα σημεία σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, τότε κάθε απόσταση είναι ίδια. Σε ένα αεροπλάνο, αυτό είναι αδύνατο να γίνει με τέσσερα σημεία. Ο μικρότερος αριθμός αποστάσεων που μπορείτε να σχεδιάσετε είναι 2 — οι ακμές και οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου.

Αλλά αν σηκώσετε ένα από τα σημεία από το επίπεδο για να δημιουργήσετε μια πυραμίδα, κάθε πλευρά της οποίας είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, θα έχετε ένα σύνολο τεσσάρων σημείων που χωρίζονται από μια μοναδική απόσταση - το μήκος μιας πλευράς του το τρίγωνο.

Εάν έχετε πολλά σημεία, αυτά τα μοτίβα γίνονται ακόμα πιο έντονα. Εκατό τυχαία διασκορπισμένα σημεία σε ένα επίπεδο είναι πιθανό να ορίσουν 4,950 διακριτές αποστάσεις ανά ζεύγη. Αλλά αν τακτοποιήσετε 100 σημεία σε ένα επίπεδο, τετράγωνο πλέγμα, οποιοδήποτε ζεύγος σημείων θα χωριστεί με μία από τις μόλις 50 πιθανές αποστάσεις. Σηκώστε τα σημεία σε ένα τρισδιάστατο πλέγμα και μπορείτε να μειώσετε αυτόν τον αριθμό ακόμη περισσότερο.

Η απάντηση σε ερωτήσεις σχετικά με τον αριθμό των αποστάσεων μεταξύ των σημείων μπορεί να ακούγεται σαν μια εσωτερική άσκηση. Όμως, στην επί δεκαετίες προσπάθεια επίλυσης τέτοιων προβλημάτων, οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει εργαλεία που έχουν ένα ευρύ φάσμα άλλων εφαρμογών, από τη θεωρία αριθμών έως τη φυσική.

«Όταν οι άνθρωποι προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα», είπε Πάμπλο Σμερκιν του Πανεπιστημίου της Βρετανικής Κολομβίας, «άρχισαν να ανακαλύπτουν συνδέσεις που ήταν εκπληκτικές και απροσδόκητες».

Η τελευταία εξέλιξη ήρθε στα τέλη του περασμένου έτους, όταν μια συνεργασία τεσσάρων μαθηματικών απέδειξε μια νέα σχέση μεταξύ της γεωμετρίας των συνόλων σημείων και των αποστάσεων μεταξύ τους.

Η λίστα των διαφορετικών αποστάσεων που καθορίζονται από ένα σύνολο σημείων ονομάζεται σύνολο αποστάσεων. μετρήστε πόσοι αριθμοί υπάρχουν σε αυτήν τη λίστα και θα λάβετε το μέγεθος του συνόλου απόστασης. Το 1946, ο πολυγραφότατος μαθηματικός Paul Erdős υπέθεσε ότι για μεγάλους αριθμούς σημείων, η απόσταση που τίθεται δεν μπορεί να είναι μικρότερη από αυτή που παίρνετε όταν τακτοποιείτε τα σημεία σε ένα πλέγμα. Το πρόβλημα, αν και απλό στην όψη του, αποδείχθηκε εξαιρετικά βαθύ και δύσκολο. Ακόμη και σε δύο διαστάσεις, δεν έχει ακόμη αποδειχθεί πλήρως, αν και το 2010, δύο μαθηματικοί έφτασε τόσο κοντά ότι πλέον θεωρείται ουσιαστικά διευθετημένο. παραμένει ανοιχτό σε υψηλότερες διαστάσεις.

Εν τω μεταξύ, οι μαθηματικοί διατύπωσαν επίσης νέες εκδοχές της εικασίας. Ένα από τα σημαντικότερα από αυτά προέκυψε σε α χαρτί 1985 by Κένεθ Φάλκονερ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του St. Andrews στη Σκωτία. Ο Falconer αναρωτήθηκε τι μπορεί να ειπωθεί για τις διακριτές αποστάσεις μεταξύ ενός άπειρου αριθμού σημείων.

Εάν έχετε άπειρους πόντους, η απλή καταμέτρηση δεν είναι πλέον πολύ χρήσιμη. Αλλά οι μαθηματικοί έχουν άλλους τρόπους να ορίσουν το μέγεθος. Η εικασία του Falconer θέτει μια σχέση μεταξύ της γεωμετρίας του συνόλου των σημείων — που χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό που ονομάζεται διάσταση φράκταλ — και του μεγέθους του συνόλου της απόστασης, που χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό που ονομάζεται μέτρο.

Η διάσταση φράκταλ ευθυγραμμίζεται με τη συνηθισμένη διαίσθηση σχετικά με τις διαστάσεις. Ακριβώς όπως με την πιο οικεία έννοια της διάστασης, ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει φράκταλ διάσταση 1, ενώ ένα τετράγωνο (με συμπληρωμένο το εσωτερικό του) έχει φράκταλ διάσταση 2. Αλλά αν μια συλλογή σημείων σχηματίζει ένα πιο περίπλοκο φράκταλ μοτίβο — σαν μια καμπύλη όπου μικροσκοπικές στροφές και στροφές συνεχίζουν να εμφανίζονται ανεξάρτητα από το πόσο μακριά κάνετε μεγέθυνση — η φράκταλ διάστασή της μπορεί να μην είναι ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα, η καμπύλη της νιφάδας χιονιού Koch που φαίνεται παρακάτω, η οποία έχει μια ατελείωτη σειρά από όλο και μικρότερα τριγωνικά χτυπήματα, έχει διάσταση περίπου 1.26.

Γενικά, μια άπειρη συλλογή σημείων έχει μια φράκταλ διάσταση που εξαρτάται κατά προσέγγιση από το πόσο διασκορπισμένη είναι. Εάν απλωθεί γύρω από το επίπεδο, η φράκταλ διάστασή του θα είναι κοντά στο 2. Εάν μοιάζει περισσότερο με μια γραμμή, η φράκταλ διάστασή του θα είναι κοντά στο 1. Τα ίδια είδη δομών μπορούν να οριστούν για σύνολα σημείων στον τρισδιάστατο χώρο , ή σε ακόμη μεγαλύτερες διαστάσεις.

Από την άλλη πλευρά της εικασίας του Falconer είναι το μέτρο της απόστασης που έχει καθοριστεί. Το μέτρο είναι ένα είδος μαθηματικής γενίκευσης της έννοιας του μήκους. Ένας απλός αριθμός, ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί ως σημείο σε μια αριθμητική γραμμή, έχει μηδενικό μέτρο. Αλλά ακόμη και άπειρα σύνολα μπορούν να έχουν μηδενικό μέτρο. Για παράδειγμα, οι ακέραιοι αριθμοί είναι τόσο αραιά διασκορπισμένοι μεταξύ των πραγματικών αριθμών που δεν έχουν συλλογικό «μήκος» και έτσι σχηματίζουν ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Από την άλλη πλευρά, οι πραγματικοί αριθμοί μεταξύ, ας πούμε, 3/4 και 1 έχουν μέτρο 1/4, γιατί τόσο είναι το διάστημα.

Το μέτρο δίνει έναν τρόπο να χαρακτηριστεί το μέγεθος του συνόλου των διακριτών αποστάσεων ανάμεσα σε άπειρα πολλά σημεία. Εάν ο αριθμός των αποστάσεων είναι "μικρός", αυτό σημαίνει ότι το σύνολο απόστασης θα έχει μέτρο μηδέν: Υπάρχουν πολλές διπλές αποστάσεις. Εάν, από την άλλη πλευρά, το σύνολο απόστασης έχει μέτρο μεγαλύτερο από το μηδέν, αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές αποστάσεις.

Σε δύο διαστάσεις, ο Falconer απέδειξε ότι κάθε σύνολο σημείων με διάσταση φράκταλ μεγαλύτερη από 1.5 έχει σύνολο απόστασης με μη μηδενικό μέτρο. Αλλά οι μαθηματικοί πίστευαν γρήγορα ότι αυτό ίσχυε για όλα τα σύνολα με διάσταση φράκταλ μεγαλύτερη από 1. «Προσπαθούμε να λύσουμε αυτό το χάσμα 1/2», είπε Yumeng Ou του Πανεπιστημίου της Πενσυλβάνια, ένας από τους συν-συγγραφείς της νέας εργασίας. Επιπλέον, η εικασία του Falconer εκτείνεται σε τρεις ή περισσότερες διαστάσεις: Για σημεία διάσπαρτα σε d-διαστατικό χώρο, δηλώνει ότι αν η φράκταλ διάσταση των σημείων είναι μεγαλύτερη από δ/2, τότε το μέτρο του συνόλου απόστασης πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0.

Το 2018, ο Ου, μαζί με συναδέλφους, έδειξε ότι η εικασία ισχύει σε δύο διαστάσεις για όλα τα σετ με διάσταση φράκταλ μεγαλύτερη από 5/4. Τώρα Ου — μαζί με Xiumin Du του Πανεπιστημίου Northwestern, Ruixiang Zhang του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ και Κέβιν Ρεν του Πανεπιστημίου του Πρίνστον — έχουν αποδείξει ότι σε υψηλότερες διαστάσεις, το όριο για την εξασφάλιση μιας απόστασης με μη μηδενικό μέτρο είναι λίγο μικρότερο από d/2 + 1/4. «Τα όρια σε υψηλότερες διαστάσεις, σε αυτό το έγγραφο, για πρώτη φορά, είναι καλύτερα από ό,τι στη διάσταση 2», είπε ο Shmerkin. (Σε δύο διαστάσεις, το όριο είναι ακριβώς d/2 + 1/4.)

Αυτό το τελευταίο αποτέλεσμα είναι μόλις ένα στο ένα κύμα πρόσφατες προόδους on Εικασία Falconer. Η απόδειξη βελτίωσε τις τεχνικές στην αρμονική ανάλυση - μια φαινομενικά μακρινή περιοχή των μαθηματικών που ασχολείται με την αναπαράσταση αυθαίρετα πολύπλοκων συναρτήσεων από την άποψη των απλών κυμάτων - για να ενισχύσει το όριο. Αλλά μερικές από αυτές τις τεχνικές αναπτύχθηκαν αρχικά για να αντιμετωπιστεί αυτό ακριβώς το ίδιο πρόβλημα.

Αυτή η ερώτηση σχετικά με τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων «χρησιμοποίησε ως παιδική χαρά για μερικές από τις μεγαλύτερες ιδέες στην αρμονική ανάλυση», είπε Άλεξ Ιόσεβιτς του Πανεπιστημίου του Ρότσεστερ.

Αν και έχουν κλείσει μόνο το μισό από το κενό που άφησε ο Falconer στην εργασία του το 1985, οι μαθηματικοί βλέπουν το πρόσφατο κύμα εργασίας ως απόδειξη ότι η πλήρης εικασία μπορεί τελικά να είναι εφικτή. Στο μεταξύ, θα συνεχίσουν να χρησιμοποιούν το πρόβλημα ως πεδίο δοκιμών για τα πιο εξελιγμένα εργαλεία τους.