Ορθοκανονικές Βάσεις Ακραίου Κβαντικού

Αναδημοσίευση από τον Πλάτωνα

Ακολουθούν: 0

Marcin Rudziński^1,2, Adam Burchardt³, να Karol Życzkowski^1,4

¹Σχολή Φυσικής, Αστρονομίας και Εφαρμοσμένης Επιστήμης Υπολογιστών, Jagiellonian University, ul. Łojasiewicza 11, 30-348 Κρακοβία, Πολωνία
²Διδακτορική Σχολή Ακριβών και Φυσικών Επιστημών, Πανεπιστήμιο Jagiellonian, ul. Łojasiewicza 11, 30-348 Κρακοβία, Πολωνία
³QuSoft, CWI και Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ, Επιστημονικό Πάρκο 123, 1098 XG Άμστερνταμ, Ολλανδία
⁴Κέντρο Θεωρητικής Φυσικής, Πολωνική Ακαδημία Επιστημών, Αλ. Lotników 32/46, 02-668 Warszawa, Πολωνία

Βρείτε αυτό το άρθρο ενδιαφέρουσα ή θέλετε να συζητήσετε; Scite ή αφήστε ένα σχόλιο για το SciRate.

Περίληψη

Οι αντισυνεκτικές καταστάσεις Spin απέκτησαν πρόσφατα μεγάλη προσοχή ως οι πιο «κβαντικές» καταστάσεις. Ορισμένες συνεκτικές και αντισυνεκτικές καταστάσεις σπιν είναι γνωστές ως βέλτιστοι κβαντικοί περιστροφικοί αισθητήρες. Σε αυτή την εργασία, εισάγουμε ένα μέτρο κβαντικής ικανότητας για ορθοκανονικές βάσεις καταστάσεων σπιν, που προσδιορίζεται από τη μέση αντισυνοχή των μεμονωμένων διανυσμάτων και την εντροπία Wehrl. Με αυτόν τον τρόπο, εντοπίζουμε τις πιο συνεκτικές και πιο κβαντικές καταστάσεις, οι οποίες οδηγούν σε ορθογώνιες μετρήσεις ακραίου κβαντικού. Οι συμμετρίες τους μπορούν να αποκαλυφθούν χρησιμοποιώντας την αστρική αναπαράσταση Majorana, η οποία παρέχει μια διαισθητική γεωμετρική αναπαράσταση μιας καθαρής κατάστασης από σημεία σε μια σφαίρα. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν οδηγούν σε μέγιστα (ελάχιστα) μπερδεμένες βάσεις στον διαστατικό συμμετρικό υποχώρο $2j+1$ του διαστασιακού χώρου $2^{2j}$ των καταστάσεων πολυμερών συστημάτων που αποτελούνται από $2j$ qubits. Ορισμένες βάσεις που βρέθηκαν είναι ισο-συνεκτικές καθώς αποτελούνται από όλες τις καταστάσεις του ίδιου βαθμού spin-coherence.

Ορθοκανονικές βάσεις ακραίας κβαντικής Νοημοσύνης Δεδομένων PlatoBlockchain. Κάθετη αναζήτηση. Ολα συμπεριλαμβάνονται.

Επιλεγμένη εικόνα: Στην αριστερή εικόνα, η πιο "κβαντική" βάση σε $mathcal{H}_4$ απεικονίζεται χρησιμοποιώντας την αστρική αναπαράσταση. Στα δεξιά, παρουσιάζεται η συνάρτηση Husimi για καταστάσεις στην πιο συνεκτική ("κλασική") βάση εντός $mathcal{H}_4$.

Δημοφιλή περίληψη

Οι ακραίες καταστάσεις, συνεκτικές και αντισυνεκτικές, έχουν πρακτικές εφαρμογές στην κβαντική μετρολογία ως βέλτιστοι περιστροφικοί αισθητήρες. Αυτή η εργασία παρέχει μια φυσική επέκταση προηγούμενων μελετών σχετικά με την αναζήτηση τέτοιων καταστάσεων που προτείνουν βέλτιστες ορθογώνιες μετρήσεις των Lüders και von Neumann της ακραίας συνοχής σπιν. Εισάγουμε το μέτρο $mathcal{B}_t$ ως το εργαλείο για τον χαρακτηρισμό της ποσότητας μιας μέτρησης που δίνεται από μια βάση σε $mathcal{H}_N$. Εκτελείται η αναζήτηση για τις πιο κβαντικές βάσεις για $N=3,4,5$ και $7$. Τα αριθμητικά αποτελέσματα υποδηλώνουν ότι οι λύσεις που λαμβάνονται είναι μοναδικές. Ένα σύνολο υποψηφίων για τις «κλασικές» βάσεις που αποτελούνται από τις πιο συνεκτικές καταστάσεις περιστροφής υποδεικνύεται για $N=3,4,5,6$. Μερικές από τις πιο κβαντικές βάσεις, που αναλύθηκαν στην αστρική αναπαράσταση της Majorana, αποκαλύπτουν συμμετρίες πλατωνικών στερεών. Οι περισσότερες κλασικές βάσεις εμφανίζουν επίσης συμμετρικές δομές. Εξετάσαμε επίσης άλλα μέτρα της ποσότητας των διανυσμάτων που αποτελούν μια δεδομένη βάση. Η βελτιστοποίηση της μέσης εντροπίας Wehrl των $N$ ορθογώνιων διανυσμάτων οδηγεί στις ίδιες βάσεις που διακρίνονται από ακραίες τιμές των ποσοτήτων $mathcal{B}_t$, με μια μοναδική εξαίρεση της κβαντικής βάσης για $N=6$.

► Δεδομένα BibTeX

@article{Rudzinski2024orthonormalbasesof, doi = {10.22331/q-2024-01-25-1234}, url = {https://doi.org/10.22331/q-2024-01-25-1234}, τίτλος βάσης = {Orthono της ακραίας κβαντικότητας}, συγγραφέας = {Rudzi{'{n}}ski, Marcin and Burchardt, Adam and {.{Z}}yczkowski, Karol}, journal = {{Quantum}}, issn = {2521-327X}, εκδότης = {{Verein zur F{“{o}}rderung des Open Access Publizierens in den Quantenwissenschaften}}, τόμος = {8}, σελίδες = {1234}, μήνας = Ιαν, έτος = {2024} }

► Αναφορές

[1] T. Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction, 3rd ed., Cambridge University Press (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9781139061377

[2] D. Chruściński και A. Jamiołkowski, Γεωμετρικές Φάσεις στην Κλασική και Κβαντική Μηχανική, Birkhäuser (2004).
https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8176-0

[3] DA Lee, Γεωμετρική σχετικότητα, American Mathematical Society, Providence (2021).
https: / / doi.org/ 10.1090 / gsm / 201

[4] I. Bengtsson και K. Życzkowski, Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement, 2η έκδ., Cambridge University Press (2017).
https: / / doi.org/ 10.1017 / 9781139207010

[5] M. Lewin, Γεωμετρικές μέθοδοι για μη γραμμικά κβαντικά συστήματα πολλών σωμάτων, J. Functional Analysis 260, 12, (2011).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.jfa.2010.11.017

[6] E. Cohen, H. Larocque, F. Bouchard et al., Γεωμετρική φάση από Aharonov–Bohm to Pancharatnam–Berry και πέρα, Nat. Σεβ. Phys. 1, 437–449 (2019).
https://doi.org/10.1038/s42254-019-0071-1

[7] E. Majorana Atomi orientati in campo magnetico variable, Nuovo Cimento 9, 43-50 (1932).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02960953

[8] R. Barnett, A. Turner, and E. Demler, Ταξινόμηση νέων φάσεων των ατόμων σπινορ, Phys. Αναθ. Lett. 97, 180412 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.97.180412

[9] R. Barnett, A. Turner, and E. Demler, Classifying vortices in $S=3$ Bose-Einstein condensates, Phys. Αναθ. Α 76, 013605 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.76.013605

[10] H. Mäkelä, και K.-A. Suominen, Αδρανείς καταστάσεις συστημάτων spin-s, Φυσ. Αναθ. Lett. 99, 190408 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.99.190408

[11] E. Serrano-Ensástiga, και F. Mireles, Phase characterization of spinor Bose-Einstein condensates: a Majorana stellar αναπαράσταση προσέγγιση, Phys. Κάτοικος της Λατβίας. A 492, 129188 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.physleta.2023.129188

[12] P. Mathonet at al., Equivalment entanglement of $N$-qubit συμμετρικών καταστάσεων, Phys. Αναθ. Α 81, 052315 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.052315

[13] J. Martin, O. Giraud, PA Braun, D. Braun, and T. Bastin, Συμμετρικές καταστάσεις Multiqubit με υψηλή γεωμετρική εμπλοκή, Phys. Αναθ. Α 81, 062347 (2010).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.81.062347

[14] M. Aulbach, DJH Markham, and M. Murao, The maximally entangled symmetric state in terms of the geometric size, New J. Phys. 12, 073025 (2010).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/7/073025

[15] DJH Markham, Εμπλοκή και συμμετρία σε καταστάσεις μετάθεσης-συμμετρίας, Φυσ. Αναθ. Α 83, 042332 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.83.042332

[16] P. Ribeiro και R. Mosseri, Εμπλοκή στον συμμετρικό τομέα των $n$ qubits, Phys. Αναθ. Lett. 106, 180502 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.106.180502

[17] M.Aulbach, Ταξινόμηση εμπλοκής σε συμμετρικές καταστάσεις, Int. J. Quantum Inform. 10, 1230004 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1142 / S0219749912300045

[18] W. Ganczarek, M. Kuś, and K. Życzkowski, Βαρυκεντρικό μέτρο κβαντικής εμπλοκής, Φυσ. Αναθ. Α 85, 032314 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.85.032314

[19] A. Mandilara, T. Coudreau, A. Keller, and P. Milman, Ταξινόμηση εμπλοκής καθαρών συμμετρικών καταστάσεων μέσω συνεκτικών καταστάσεων spin, Phys. Rev. A 90, 050302(R) (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.050302

[20] P. Hyllus, at al., Fisher information and multiparticle entanglement, Phys. Αναθ. Α 85, 022321 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.85.022321

[21] JH Hannay, Η φάση Berry για περιστροφή στην παράσταση Majorana, J. Phys. Α: Μαθηματικά. Gen. 31, L53 (1998).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/31/2/002

[22] P. Bruno, Quantum Geometric Phase in Majorana's Stellar Representation: Mapping on a multi-body Aharonov-Bohm Phase, Phys. Αναθ. Lett. 108, 240402 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.240402

[23] HD Liu, και LB Fu, φάση Berry και κβαντική εμπλοκή στην αστρική αναπαράσταση της Majorana, Phys. Απ. Α 94, 022123 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.94.022123

[24] P. Ribeiro, J. Vidal, and R. Mosseri, Thermodynamical limit of the Lipkin-Meshkov-Glick model, Phys. Αναθ. Lett. 99, 050402 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.99.050402

[25] P. Ribeiro, J. Vidal, and R. Mosseri, Ακριβές φάσμα του μοντέλου Lipkin-Meshkov-Glick στο θερμοδυναμικό όριο και τις διορθώσεις πεπερασμένου μεγέθους, Φυσ. Ε 78, 021106 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.78.021106

[26] J. Zimba, «Anticoherent» περιστροφικές καταστάσεις μέσω της Majorana Representation, Electron. J. Theor. Phys. 3, 143 (2006).
https://api.semanticscholar.org/CorpusID:13938120

[27] D. Baguette, T. Bastin, and J. Martin, Συμμετρικές καταστάσεις Multiqubit με μέγιστες μικτές μειώσεις ενός qubit, Phys. Αναθ. A 90, 032314 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.90.032314

[28] O. Giraud, D. Braun, D. Baguette, T. Bastin, and J. Martin, Tensor αναπαράσταση των καταστάσεων περιστροφής, Phys. Rev. Lett. 114, 080401 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.114.080401

[29] D. Baguette, F. Damanet, O. Giraud, και J. Martin, Anticoherence of spin state with point-group symmetries, Phys. Αναθ. A 92, 052333 (2015).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.92.052333

[30] HD Liu, LB Fu, X. Wang, Προσέγγιση συνεκτικής κατάστασης για την αναπαράσταση Majorana, Commun. Θεωρ. Phys. 67, 611 (2017).
https://doi.org/10.1088/0253-6102/67/6/611

[31] D. Baguette, και J. Martin, Anticoherence μέτρα για καθαρές καταστάσεις περιστροφής, Phys. Α' 96, 032304 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.96.032304

[32] P. Kolenderski και R. Demkowicz-Dobrzański, Βέλτιστη κατάσταση για τη διατήρηση ευθυγραμμισμένων πλαισίων αναφοράς και τα πλατωνικά στερεά, Phys. Αναθ. Α 78, 052333 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.78.052333

[33] C. Chryssomalakos, and H. Hernández-Coronado, Optimal quantum rotosensors, Phys. Απ. Α 95, 052125 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.95.052125

[34] AZ Goldberg και DFV James, Quantum-limited angle Euler μετρήσεις με χρήση αντισυνεκτικών καταστάσεων, Phys. Απ. Α 98, 032113 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.032113

[35] J. Martin, S. Weigert και O. Giraud, Βέλτιστη ανίχνευση περιστροφών γύρω από άγνωστους άξονες από συνεκτικές και αντισυνεκτικές καταστάσεις, Quantum 4, 285 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-06-22-285

[36] J. Crann, DW Kribs, and R. Pereira, Spherical designs and anticoherent spin states, J. Phys. Α: Μαθηματικά. Θεωρ. 43, 255307 (2010).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/25/255307

[37] E. Bannai and M. Tagami, A note on anticoherent spin states, J. Phys. Α: Μαθηματικά. Θεωρ. 44, 342002 (2011).
https://doi.org/10.1088/1751-8113/44/34/342002

[38] M. Wang, and Y. Zhu, Anticoherent spin-2 states and spherical designs, J. Phys. Α: Μαθηματικά. Θεωρ. 55, 425304 (2022).
https://doi.org/10.1088/1751-8121/ac971d

[39] AZ Goldberg, AB Klimov, M.Grassl, G. Leuchs, and LL Sánchez-Soto, Extremal quantum states, AVS Quantum Sci. 2, 044701 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1116 / 5.0025819

[40] AZ Goldberg, M. Grassl, G. Leuchs, and LL Sánchez-Soto, Quantumness πέρα από την εμπλοκή: Η περίπτωση των συμμετρικών καταστάσεων, Phys. Αναθ. Α 105, 022433 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.022433

[41] O. Giraud, P. Braun, and D. Braun, Quantifying quantumness and the quest for Queens of Quantum, New J. Phys. 12, 063005 (2010).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/12/6/063005

[42] R. Delbourgo, Minimal uncertainty states for the rotation group and allied groups, J. Phys. A 10, L233 (1977).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/10/11/012

[43] A. Wehrl, Σχετικά με τη σχέση μεταξύ κλασικής και κβαντομηχανικής εντροπίας, Rep. Math. Phys. 16, 353 (1979).
https://doi.org/10.1016/0034-4877(79)90070-3

[44] EH Lieb, Proof of an entropy conjecture of Wehrl, Commun. Μαθηματικά. Phys. 62, 35 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01940328

[45] CT Lee, Wehrl's entropy of spin states and Lieb's conjecture, J. Phys. A 21, 3749 (1988).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/21/19/013

[46] EH Lieb, και JP Solovej, Απόδειξη μιας εικασίας εντροπίας για συνεκτικές καταστάσεις σπιν του Bloch και τις γενικεύσεις του, Acta Math. 212, 379 (2014).
https://doi.org/10.1007/s11511-014-0113-6

[47] F. Bouchard, at al., Quantum metrology at the limit with extremal Majorana constellations, Optica 4, 1429-1432 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1364 / OPTICA.4.001429

[48] A. Wehrl, Γενικές ιδιότητες της εντροπίας, Rev. Mod. Phys. 50, 221 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.50.221

[49] A. Wehrl, The many facets of entropy, Rep. Math. Phys. 30, 119 (1991).
https://doi.org/10.1016/0034-4877(91)90045-O

[50] S. Gnutzmann και K. Życzkowski, Εντροπίες Renyi-Wehrl ως μέτρα εντοπισμού στο χώρο φάσης, J. Phys. A 34, 10123 (2001).
https://doi.org/10.1088/0305-4470/34/47/317

[51] K. Życzkowski, Localization of eigenstates and mean Wehrl entropy, Physica E 9, 583 (2001).
https://doi.org/10.1016/S1386-9477(00)00266-6

[52] LL Sánchez-Soto, AB Klimov, P. de la Hoz, and G. Leuchs, Quantum versus classical polarization states: when multipoles count, J. Phys. Β 46 104011 (2013).
https://doi.org/10.1088/0953-4075/46/10/104011

[53] A. Tavakoli, και N. Gisin, The Platonic solids and fundamental tests of quantum mechanics, Quantum 4, 293 (2020).
https://doi.org/10.22331/q-2020-07-09-293

[54] H.Ch. Nguyen, S. Designolle, M. Barakat και O. Gühne, Συμμετρίες μεταξύ μετρήσεων στην κβαντική μηχανική, προεκτύπωση arXiv:2003.12553 (2022).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2003.12553
arXiv: 2003.12553

[55] JI Latorre, and G. Sierra, Platonic entanglement, Quantum Inf. Υπολογιστής. 21, 1081 (2021).
https: / / doi.org/ 10.26421 / QIC21.13-14-1

[56] K. Bolonek-Lasoń και P. Kosiński, Groups, Platonic solids and Bell inequalities, Quantum 5, 593 (2021).
https://doi.org/10.22331/q-2021-11-29-593

[57] KF Pál και T. Vértesi, Groups, Platonic Bell inequalities for all dimensions, Quantum 6, 756 (2022).
https://doi.org/10.22331/q-2022-07-07-756

[58] RH Dicke, Συνοχή σε διαδικασίες αυθόρμητης ακτινοβολίας, Φυσ. Rev. 93, 99 (1954).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRev.93.99

[59] V. Karimipour, and L. Memarzadeh, Equientangled bases in arbitrary dimensions Phys. Αναθ. Α 73, 012329 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.73.012329

[60] G. Rajchel, A. Gąsiorowski και K. Życzkowski, Στιβαροί πίνακες Hadamard, μονοιστοχαστικές ακτίνες σε πολύτοπο Birkhoff και ισοπλεγμένες βάσεις σε σύνθετους χώρους Math. Comp. Sci. 12, 473 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s11786-018-0384-y

[61] J. Czartowski, D. Goyeneche, M. Grassl, and K. Życzkowski, Isoentangled αμοιβαία αμερόληπτες βάσεις, συμμετρικές κβαντικές μετρήσεις και σχέδια μικτής κατάστασης, Phys. Αναθ. Lett. 124, 090503 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.090503

[62] F. Del Santo, J. Czartowski, K. Życzkowski, and N. Gisin, Iso-entangled bases and joint measurements, preprint arXiv:2307.06998 (2023).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2307.06998
arXiv: 2307.06998

[63] R. Penrose, On Bell non-locality without probabilities: some curious geometry, Quantum Reflections (2000).

[64] J. Zimba and R. Penrose, On Bell non-locality without probabilities: More curious geometry, Stud. Ιστορ. Phil. Sci. 24, 697 (1993).
https://doi.org/10.1016/0039-3681(93)90061-N

[65] JE Massad, και PK Aravind, The Penrose δωδεκάεδρο που επισκέφτηκε ξανά, Am. J. Physics 67, 631 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1119 / 1.19336

[66] K. Husimi, Some Formal Properties of the Density Matrix, Proc. Phys. Μαθηματικά. Soc. 22, 264 (1940).
https: / / doi.org/ 10.11429 / ppmsj1919.22.4_264

[67] W. Słomczyński και K. Życzkowski, Μέση δυναμική εντροπία κβαντικών χαρτών στις αποκλίσεις της σφαίρας στο ημικλασικό όριο, Φυσ. Αναθ. Lett. 80, 1880 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.80.1880

[68] M. Piotrak, M. Kopciuch, AD Fard, M. Smolis, S. Pustelny, K. Korzekwa, Perfect quantum protractors, preprint arXiv:2310.13045 (2023).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2310.13045
arXiv: 2310.13045

[69] Ιστότοπος NCN Maestro 7 2015/18/A/ST2/00274 https://chaos.if.uj.edu.pl/ karol/Maestro7/files/data3/Numerical_Results.dat.
https://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/Maestro7/files/data3/Numerical_Results.dat

[70] D. Weingarten, Ασυμπτωτική συμπεριφορά ολοκληρωμάτων ομάδας στο όριο της άπειρης κατάταξης, J. Math. Phys. 19, 999 (1978).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.523807

[71] B. Collins και P. Śniady, Integration with Respect to the Haar Measure on Unitary, Orthogonal and Symplectic Group, Commun. Μαθηματικά. Phys. 264, 773 (2006).
https://doi.org/10.1007/s00220-006-1554-3

[72] G. Rajchel, Quantum mappings and designs, PhD Thesis, preprint arXiv:2204.13008 (2022).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2204.13008
arXiv: 2204.13008

[73] D. Martin, and EP Wigner, Group theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra, Academic Press Inc. NY (1959).
https://doi.org/10.1016/b978-0-12-750550-3.x5001-0

Αναφέρεται από

[1] Michał Piotrak, Marek Kopciuch, Arash Dezhang Fard, Magdalena Smolis, Szymon Pustelny και Kamil Korzekwa, «Τέλεια κβαντικά μοιρογνωμόνια». arXiv: 2310.13045, (2023).

[2] Aaron Z. Goldberg, «Συσχετισμοί για υποσύνολα σωματιδίων σε συμμετρικές καταστάσεις: τι κάνουν τα φωτόνια μέσα σε μια δέσμη φωτός όταν τα υπόλοιπα αγνοούνται», arXiv: 2401.05484, (2024).

Οι παραπάνω αναφορές είναι από SAO / NASA ADS (τελευταία ενημέρωση επιτυχώς 2024-01-25 23:58:21). Η λίστα μπορεί να είναι ελλιπής, καθώς δεν παρέχουν όλοι οι εκδότες τα κατάλληλα και πλήρη στοιχεία αναφοράς.

On Η υπηρεσία παραπομπής του Crossref δεν βρέθηκαν δεδομένα σχετικά με την αναφορά έργων (τελευταία προσπάθεια 2024-01-25 23:58:19).

Αυτό το Βιβλίο δημοσιεύεται στο Quantum στο πλαίσιο του Creative Commons Attribution 4.0 Διεθνής (CC BY 4.0) άδεια. Τα πνευματικά δικαιώματα παραμένουν στους κατόχους των πρωτότυπων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας όπως οι δημιουργοί ή τα ιδρύματά τους