The Mysterious Math of Billiards Tables | Περιοδικό Quanta

Στην ταινία της Disney του 1959 Ο Ντόναλντ στη Μαθηματική Χώρα, Ντόναλντ Ντακ, εμπνευσμένο από τις περιγραφές του αφηγητή για τη γεωμετρία του μπιλιάρδου, χτυπά δυναμικά τη λευκή μπάλα, στέλνοντάς το ρικοσέ γύρω από το τραπέζι πριν τελικά χτυπήσει τις προβλεπόμενες μπάλες. Ο Ντόναλντ ρωτά: «Πώς σου αρέσει αυτό για τα μαθηματικά;»

Επειδή τα ορθογώνια τραπέζια μπιλιάρδου έχουν τέσσερις τοίχους που συναντώνται σε ορθή γωνία, οι τροχιές του μπιλιάρδου όπως του Donald είναι προβλέψιμες και κατανοητές — ακόμα κι αν είναι δύσκολο να πραγματοποιηθούν στην πράξη. Ωστόσο, οι ερευνητές μαθηματικοί εξακολουθούν να μην μπορούν να απαντήσουν σε βασικές ερωτήσεις σχετικά με τις πιθανές τροχιές των μπάλων του μπιλιάρδου σε τραπέζια σε σχήμα άλλων πολυγώνων (σχήματα με επίπεδες πλευρές). Ακόμη και τα τρίγωνα, τα πιο απλά πολύγωνα, εξακολουθούν να κρύβουν μυστήρια.

Είναι πάντα δυνατό να χτυπήσει μια μπάλα έτσι ώστε να επιστρέψει στην αφετηρία της ταξιδεύοντας προς την ίδια κατεύθυνση, δημιουργώντας μια λεγόμενη περιοδική τροχιά; Κανείς δεν ξέρει. Για άλλα, πιο περίπλοκα σχήματα, είναι άγνωστο εάν είναι δυνατό να χτυπήσετε την μπάλα από οποιοδήποτε σημείο του τραπεζιού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του τραπεζιού.

Αν και αυτές οι ερωτήσεις φαίνεται να ταιριάζουν απόλυτα στα όρια της γεωμετρίας όπως διδάσκεται στο γυμνάσιο, οι προσπάθειες επίλυσής τους απαιτούν από ορισμένους από τους κορυφαίους μαθηματικούς του κόσμου να φέρουν ιδέες από διαφορετικά πεδία, όπως δυναμικά συστήματα, τοπολογία και διαφορική γεωμετρία. Όπως συμβαίνει με κάθε μεγάλο μαθηματικό πρόβλημα, η εργασία σε αυτά τα προβλήματα έχει δημιουργήσει νέα μαθηματικά και έχει ανατροφοδοτήσει και προηγμένη γνώση σε αυτά τα άλλα πεδία. Ωστόσο, παρά όλη αυτή την προσπάθεια και τη διορατικότητα που έχουν επιφέρει οι σύγχρονοι υπολογιστές, αυτά τα φαινομενικά απλά προβλήματα αντιστέκονται πεισματικά στην επίλυση.

Δείτε τι έμαθαν οι μαθηματικοί για το μπιλιάρδο μετά το επικό μπερδεμένο σουτ του Ντόναλντ Ντακ.

Υποθέτουν τυπικά ότι η μπάλα του μπιλιάρδου τους είναι ένα απείρως μικρό, αδιάστατο σημείο και ότι αναπηδά από τους τοίχους με τέλεια συμμετρία, αναχωρώντας στην ίδια γωνία που φτάνει, όπως φαίνεται παρακάτω.

Χωρίς τριβή, η μπάλα ταξιδεύει επ 'αόριστον εκτός και αν φτάσει σε γωνία, η οποία σταματά τη μπάλα σαν τσέπη. Ο λόγος που το μπιλιάρδο είναι τόσο δύσκολο να αναλυθεί μαθηματικά είναι ότι δύο σχεδόν πανομοιότυπες βολές που προσγειώνονται και στις δύο πλευρές μιας γωνίας μπορεί να έχουν τρομερά αποκλίνουσες τροχιές.

Μια βασική μέθοδος για την ανάλυση του πολυγωνικού μπιλιάρδου είναι να μην σκεφτόμαστε ότι η μπάλα αναπηδά από την άκρη του τραπεζιού, αλλά αντίθετα να φανταστεί κανείς ότι κάθε φορά που η μπάλα χτυπά σε έναν τοίχο, συνεχίζει να ταξιδεύει σε ένα νέο αντίγραφο του τραπεζιού που αναποδογυρίζεται από πάνω του. άκρη, δημιουργώντας μια κατοπτρική εικόνα. Αυτή η διαδικασία (βλέπε παρακάτω), που ονομάζεται ξεδίπλωμα της διαδρομής του μπιλιάρδου, επιτρέπει στην μπάλα να συνεχίσει σε μια ευθεία τροχιά. Διπλώνοντας τα φανταστικά τραπέζια πίσω στους γείτονές τους, μπορείτε να ανακτήσετε την πραγματική τροχιά της μπάλας. Αυτό το μαθηματικό τέχνασμα καθιστά δυνατή την απόδειξη πραγμάτων σχετικά με την τροχιά που διαφορετικά θα ήταν δύσκολο να δούμε.

Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει γιατί απλοί ορθογώνιοι πίνακες έχουν άπειρες περιοδικές τροχιές σε κάθε σημείο. Ένα παρόμοιο επιχείρημα ισχύει για οποιοδήποτε ορθογώνιο, αλλά για τη στιβαρότητα, φανταστείτε ένα τραπέζι που είναι διπλάσιο από το μήκος του.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να βρείτε μια περιοδική τροχιά που διασχίζει τον πίνακα n φορές στη μεγάλη κατεύθυνση και m φορές στη σύντομη κατεύθυνση. Δεδομένου ότι κάθε κατοπτρική εικόνα του ορθογωνίου αντιστοιχεί στην αναπήδηση της μπάλας από έναν τοίχο, για να επιστρέψει η μπάλα στην αφετηρία της ταξιδεύοντας προς την ίδια κατεύθυνση, η τροχιά της πρέπει να διασχίζει το τραπέζι ζυγές φορές και προς τις δύο κατευθύνσεις. Έτσι m και n πρέπει να είναι άρτιος. Σχεδιάστε ένα πλέγμα από πανομοιότυπα ορθογώνια, καθένα από τα οποία φαίνεται ως καθρέφτης των γειτόνων του. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα από ένα σημείο του αρχικού πίνακα στο ίδιο σημείο σε ένα αντίγραφο n τραπέζια μακριά στη μεγάλη κατεύθυνση και m τραπέζια μακριά προς τη σύντομη κατεύθυνση. Προσαρμόστε ελαφρά το αρχικό σημείο εάν η διαδρομή περνάει από μια γωνία. Εδώ είναι ένα παράδειγμα όπου n = 2 και m = 6. Όταν διπλωθεί ξανά προς τα πάνω, η διαδρομή παράγει μια περιοδική τροχιά, όπως φαίνεται στο πράσινο ορθογώνιο.

Μια τριγωνική ανισότητα

Το μπιλιάρδο σε τρίγωνα, που δεν έχουν την ωραία ορθογώνια γεωμετρία των ορθογωνίων, είναι πιο περίπλοκο. Όπως ίσως θυμάστε από τη γεωμετρία του γυμνασίου, υπάρχουν πολλά είδη τριγώνων: οξέα τρίγωνα, όπου και οι τρεις εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από 90 μοίρες. ορθογώνια τρίγωνα, τα οποία έχουν γωνία 90 μοιρών. και αμβλεία τρίγωνα, τα οποία έχουν μια γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.

Τα τραπέζια μπιλιάρδου σε σχήμα οξέα και ορθογώνια τρίγωνα έχουν περιοδικές τροχιές. Κανείς όμως δεν ξέρει αν ισχύει το ίδιο και για τα αμβλεία τρίγωνα.

Για να βρείτε μια περιοδική τροχιά σε ένα οξύ τρίγωνο, σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά, όπως φαίνεται στα αριστερά, παρακάτω. Ενώστε τα σημεία όπου εμφανίζονται οι ορθές γωνίες για να σχηματίσετε ένα τρίγωνο, όπως φαίνεται στα δεξιά.

Αυτό το εγγεγραμμένο τρίγωνο είναι μια περιοδική τροχιά μπιλιάρδου που ονομάζεται τροχιά Fagnano, που πήρε το όνομά του από τον Giovanni Fagnano, ο οποίος το 1775 έδειξε ότι αυτό το τρίγωνο έχει τη μικρότερη περίμετρο από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, ο Fred Holt στο Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον και Gregory Galperin και οι συνεργάτες του στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας ανεξάρτητα έδειξε ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει περιοδικές τροχιές. Ένας απλός τρόπος για να το δείξετε αυτό είναι να ανακλάσετε το τρίγωνο γύρω από το ένα πόδι και μετά το άλλο, όπως φαίνεται παρακάτω.

Ξεκινήστε με μια τροχιά που βρίσκεται σε ορθή γωνία με την υποτείνουσα (τη μεγάλη πλευρά του τριγώνου). Η υποτείνουσα και η δεύτερη ανάκλασή της είναι παράλληλες, επομένως ένα κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που τις ενώνει αντιστοιχεί σε μια τροχιά που θα αναπηδά εμπρός και πίσω για πάντα: Η μπάλα φεύγει από την υποτείνουσα σε ορθή γωνία, αναπηδά και από τα δύο πόδια, επιστρέφει στην υποτείνουσα δεξιά γωνία και μετά επαναλαμβάνει τη διαδρομή του.

Αλλά τα αμβλεία τρίγωνα παραμένουν ένα μυστήριο. Στην εργασία τους του 1992, ο Galperin και οι συνεργάτες του βρήκαν μια ποικιλία μεθόδων ανάκλασης αμβλειών τριγώνων με τρόπο που σας επιτρέπει να δημιουργείτε περιοδικές τροχιές, αλλά οι μέθοδοι λειτούργησαν μόνο για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις. Στη συνέχεια, το 2008, Richard Schwartz στο Πανεπιστήμιο Μπράουν έδειξε ότι όλα τα αμβλεία τρίγωνα με γωνίες 100 μοιρών ή μικρότερες περιέχουν μια περιοδική τροχιά. Η προσέγγισή του περιελάμβανε τον διαχωρισμό του προβλήματος σε πολλαπλές περιπτώσεις και την επαλήθευση κάθε περίπτωσης χρησιμοποιώντας παραδοσιακά μαθηματικά και βοήθεια υπολογιστή. Το 2018, οι Jacob Garber, Boyan Marinov, Κένεθ Μουρ και George Tokarsky στο Πανεπιστήμιο της Αλμπέρτα επέκτεινε αυτό το όριο έως 112.3 βαθμούς. (Tokarsky και Marinov είχε περάσει πάνω από μια δεκαετία κυνηγώντας αυτόν τον στόχο.)

Μια Τοπολογική Στροφή

Μια άλλη προσέγγιση έχει χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι εάν όλες οι γωνίες είναι ορθολογικές —δηλαδή μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα— αμβλεία τρίγωνα με ακόμη μεγαλύτερες γωνίες πρέπει να έχουν περιοδικές τροχιές. Αντί απλώς να αντιγράφει ένα πολύγωνο σε επίπεδο επίπεδο, αυτή η προσέγγιση χαρτογραφεί αντίγραφα πολυγώνων σε τοπολογικές επιφάνειες, ντόνατς με μία ή περισσότερες τρύπες σε αυτές.

Αν ανακλάσετε ένα ορθογώνιο στη κοντή του πλευρά και μετά ανακλάσετε και τα δύο ορθογώνια στη μακρύτερη πλευρά τους, δημιουργώντας τέσσερις εκδοχές του αρχικού ορθογωνίου και στη συνέχεια κολλήσετε το πάνω και το κάτω μέρος μαζί και το αριστερό και το δεξί μαζί, θα έχετε φτιάξει ένα ντόνατ. ή torus, όπως φαίνεται παρακάτω. Οι τροχιές του μπιλιάρδου στο τραπέζι αντιστοιχούν σε τροχιές στον τόρο και αντίστροφα.

Σε ένα άρθρο ορόσημο του 1986, Χάουαρντ Μασούρ χρησιμοποίησε αυτή την τεχνική για να δείξει ότι όλοι οι πολυγωνικοί πίνακες με ορθολογικές γωνίες έχουν περιοδικές τροχιές. Η προσέγγισή του λειτούργησε όχι μόνο για αμβλεία τρίγωνα, αλλά για πολύ πιο περίπλοκα σχήματα: Ακανόνιστα τραπέζια 100 όψεων, ας πούμε, ή πολύγωνα των οποίων οι τοίχοι κάνουν ζιγκ και ζακ δημιουργώντας γωνίες και σχισμές, έχουν περιοδικές τροχιές, εφόσον οι γωνίες είναι ορθολογικές.

Κάπως αξιοσημείωτο, η ύπαρξη μιας περιοδικής τροχιάς σε ένα πολύγωνο συνεπάγεται την ύπαρξη άπειρων πολλών. Η μετατόπιση της τροχιάς κατά λίγο θα αποφέρει μια οικογένεια σχετικών περιοδικών τροχιών.

Το πρόβλημα του φωτισμού

Σχήματα με γωνίες και σχισμές γεννούν μια σχετική ερώτηση. Αντί να ρωτά για τροχιές που επιστρέφουν στο σημείο εκκίνησης τους, αυτό το πρόβλημα ρωτά εάν οι τροχιές μπορούν να επισκεφθούν κάθε σημείο σε ένα δεδομένο τραπέζι. Αυτό ονομάζεται πρόβλημα φωτισμού επειδή μπορούμε να το σκεφτούμε φανταζόμενοι μια ακτίνα λέιζερ που αντανακλάται στους τοίχους με καθρέφτη που περικλείουν το τραπέζι του μπιλιάρδου. Ρωτάμε εάν, λαμβάνοντας υπόψη δύο σημεία σε ένα συγκεκριμένο τραπέζι, μπορείτε πάντα να εκπέμπετε ένα λέιζερ (ιδανικό ως μια απείρως λεπτή ακτίνα φωτός) από το ένα σημείο στο άλλο. Για να το θέσω αλλιώς, αν τοποθετούσαμε μια λάμπα, η οποία λάμπει προς όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα, σε κάποιο σημείο του τραπεζιού, θα φώτιζε όλο το δωμάτιο;

Υπήρξαν δύο βασικές γραμμές έρευνας για το πρόβλημα: η εύρεση σχημάτων που δεν μπορούν να φωτιστούν και η απόδειξη ότι μεγάλες κατηγορίες σχημάτων μπορούν να είναι. Ενώ η εύρεση περίεργων σχημάτων που δεν μπορούν να φωτιστούν μπορεί να γίνει μέσω μιας έξυπνης εφαρμογής απλών μαθηματικών, η απόδειξη ότι πολλά σχήματα μπορούν να φωτιστούν ήταν δυνατή μόνο με τη χρήση βαρέων μαθηματικών μηχανημάτων.

Σε 1958, Ρότζερ Πενρόζ, ένας μαθηματικός που κέρδισε το 2020 Βραβείο Νόμπελ στη Φυσική, βρήκε έναν κυρτό πίνακα στον οποίο οποιοδήποτε σημείο σε μια περιοχή δεν μπορούσε να φωτίσει κανένα σημείο σε άλλη περιοχή. Για δεκαετίες, κανείς δεν μπορούσε να βρει ένα πολύγωνο που να είχε την ίδια ιδιότητα. Αλλά το 1995, ο Tokarsky χρησιμοποίησε ένα απλό γεγονός σχετικά με τα τρίγωνα για να δημιουργήσει ένα πολύγωνο 26 πλευρών με φραγμούς με δύο σημεία που είναι αμοιβαία απρόσιτα, όπως φαίνεται παρακάτω. Δηλαδή, μια ακτίνα λέιζερ που πυροβολείται από ένα σημείο, ανεξάρτητα από την κατεύθυνσή της, δεν μπορεί να χτυπήσει το άλλο σημείο.

Η βασική ιδέα που χρησιμοποίησε ο Tokarsky όταν κατασκεύασε το ειδικό τραπέζι του ήταν ότι εάν μια ακτίνα λέιζερ ξεκινά από μια από τις οξείες γωνίες σε ένα τρίγωνο 45°-45°-90°, δεν μπορεί ποτέ να επιστρέψει σε αυτή τη γωνία.

Το οδοντωτό τραπέζι του αποτελείται από 29 τέτοια τρίγωνα, τακτοποιημένα για να κάνουν έξυπνη χρήση αυτού του γεγονότος. Το 2019 Amit Wolecki, τότε μεταπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο του Τελ Αβίβ, εφάρμοσε την ίδια τεχνική σε παράγουν σχήμα με 22 πλευρές (φαίνεται παρακάτω), που απέδειξε ότι ήταν ο μικρότερος δυνατός αριθμός πλευρών για ένα σχήμα που είχε δύο εσωτερικά σημεία που δεν φωτίζονται μεταξύ τους.

Η απόδειξη αποτελεσμάτων προς την άλλη κατεύθυνση ήταν πολύ πιο δύσκολη. Το 2014, η Maryam Mirzakhani, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, έγινε η πρώτη γυναίκα που κερδίσει το μετάλλιο Fields, το πιο διάσημο βραβείο των μαθηματικών, για την εργασία της στους χώρους των μονάδων των επιφανειών Riemann — ένα είδος γενίκευσης των ντόνατς που χρησιμοποιούσε η Masur για να δείξει ότι όλοι οι πολυγωνικοί πίνακες με ορθολογικές γωνίες έχουν περιοδικές τροχιές. Το 2016, Samuel Lelièvre του Πανεπιστημίου Paris-Saclay, Τιερί Μοντείλ του Γαλλικού Εθνικού Κέντρου Επιστημονικής Έρευνας και Μπαράκ Βάις του Πανεπιστημίου του Τελ Αβίβ εφάρμοσε μια σειρά από αποτελέσματα του Μιρζαχανί να δείξω ότι οποιοδήποτε σημείο σε ένα ορθολογικό πολύγωνο φωτίζει όλα τα σημεία εκτός από πεπερασμένα πολλά. Μπορεί να υπάρχουν μεμονωμένες σκοτεινές κηλίδες (όπως στα παραδείγματα του Tokarsky και του Wolecki), αλλά δεν υπάρχουν σκοτεινές περιοχές όπως στο παράδειγμα Penrose, το οποίο έχει καμπυλωτούς τοίχους και όχι ευθύγραμμους. Σε Το άρθρο του Wolecki 2019, ενίσχυσε αυτό το αποτέλεσμα αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ζεύγη μη φωτιζόμενων σημείων.

Δυστυχώς, Ο Μιρζαχανί πέθανε το 2017 σε ηλικία 40 ετών, μετά από αγώνα με τον καρκίνο. Η δουλειά της έμοιαζε πολύ μακριά από βολές με κόλπα σε αίθουσες πισίνας. Και όμως, η ανάλυση των τροχιών του μπιλιάρδου δείχνει πώς ακόμη και τα πιο αφηρημένα μαθηματικά μπορούν να συνδεθούν με τον κόσμο στον οποίο ζούμε.