Εισαγωγή
Το 2012, ο μαθηματικός Shinichi Mochizuki ισχυρίστηκε ότι είχε λύσει το αλφάβητο εικασία, ένα σημαντικό ανοιχτό ερώτημα στη θεωρία αριθμών σχετικά με τη σχέση μεταξύ πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Υπήρχε μόνο ένα πρόβλημα: η απόδειξή του, η οποία ήταν περισσότερες από 500 σελίδες, ήταν εντελώς αδιαπέραστη. Βασίστηκε σε ένα γρύλισμα νέων ορισμών, σημειώσεων και θεωριών που σχεδόν όλοι οι μαθηματικοί ήταν αδύνατο να κατανοήσουν. Χρόνια αργότερα, όταν δύο μαθηματικοί μετέφρασαν μεγάλα μέρη της απόδειξης σε πιο οικείους όρους, έδειξαν αυτό που ο ένας αποκάλεσε «σοβαρό, αδιόρθωτο κενό» στη λογική του — μόνο ο Μοτσιζούκι απέρριψε το επιχείρημά τους με τη βάση ότι απλώς δεν κατάλαβαν το έργο του.
Το περιστατικό εγείρει ένα θεμελιώδες ερώτημα: Τι είναι μια μαθηματική απόδειξη; Τείνουμε να το σκεφτόμαστε ως αποκάλυψη κάποιας αιώνιας αλήθειας, αλλά ίσως γίνεται καλύτερα κατανοητό ως κάτι σαν κοινωνική κατασκευή.
Andrew Granville, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ, το σκέφτεται πολύ πρόσφατα. Αφού επικοινώνησε μαζί του ένας φιλόσοφος για κάποια από τα γραπτά του, «Έπρεπε να σκεφτώ πώς φτάνουμε στις αλήθειες μας», είπε. «Και μόλις αρχίσετε να σπρώχνετε σε αυτή την πόρτα, θα διαπιστώσετε ότι είναι ένα τεράστιο θέμα».
Ο Γκράνβιλ απολάμβανε την αριθμητική από μικρή ηλικία, αλλά ποτέ δεν σκέφτηκε να κάνει καριέρα στην έρευνα στα μαθηματικά, επειδή δεν ήξερε ότι υπήρχε κάτι τέτοιο. «Ο πατέρας μου άφησε το σχολείο στα 14, η μητέρα μου στα 15 ή 16», είπε. «Γεννήθηκαν στην τότε εργατική περιοχή του Λονδίνου και το πανεπιστήμιο ήταν λίγο πιο πέρα από αυτό που έβλεπαν ως δυνατό. Οπότε δεν είχαμε ιδέα».
Μετά την αποφοίτησή του από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, όπου σπούδασε μαθηματικά, άρχισε να προσαρμόζεται Τα χαρτιά της Ρέιτσελ, ένα μυθιστόρημα του Martin Amis, σε σενάριο. Ενώ εργαζόταν και αναζητούσε χρηματοδότηση για το έργο, ήθελε να αποφύγει να πιάσει δουλειά γραφείου — είχε δουλέψει σε μια ασφαλιστική εταιρεία κατά τη διάρκεια ενός έτους με κενό μεταξύ γυμνασίου και κολεγίου και δεν ήθελε να επιστρέψει σε αυτό — «έτσι πήγα στο απολυτήριο», είπε. Η ταινία δεν ξεκίνησε ποτέ (το μυθιστόρημα αργότερα μετατράπηκε ανεξάρτητα σε ταινία), αλλά ο Γκράνβιλ πήρε μεταπτυχιακό στα μαθηματικά και στη συνέχεια μετακόμισε στον Καναδά για να ολοκληρώσει το διδακτορικό του. Δεν κοίταξε ποτέ πίσω.
Εισαγωγή
«Ήταν μια περιπέτεια, πραγματικά», είπε. «Δεν μπήκα πραγματικά να περιμένω πολλά. Δεν ήξερα πραγματικά τι διδακτορικό. ήταν."
Τις δεκαετίες από τότε, έχει συγγράψει περισσότερες από 175 εργασίες, κυρίως στη θεωρία αριθμών. Έγινε επίσης γνωστός για το ότι έγραψε για τα μαθηματικά για ένα δημοφιλές κοινό: Το 2019, συνέγραψε ένα γραφικό μυθιστόρημα για τους πρώτους αριθμούς και τις σχετικές έννοιες με τη μεγαλύτερη αδερφή του, Τζένιφερ, σεναριογράφο. Τον περασμένο μήνα, ένα από τα χαρτιά του σχετικά με το «πώς φτάνουμε στις αλήθειες μας» ήταν δημοσιεύθηκε στο Annals of Mathematics and Philosophy. Και μαζί με άλλους μαθηματικούς, επιστήμονες υπολογιστών και φιλοσόφους, σχεδιάζει να δημοσιεύσει μια συλλογή άρθρων το επόμενο έτος Δελτίο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας για το πώς οι μηχανές μπορούν να αλλάξουν τα μαθηματικά.
Quanta μίλησε με τον Granville για τη φύση της μαθηματικής απόδειξης - από το πώς λειτουργούν οι αποδείξεις στην πράξη έως τις δημοφιλείς παρανοήσεις γι 'αυτές, έως το πώς θα μπορούσε να εξελιχθεί η γραφή αποδείξεων στην εποχή της τεχνητής νοημοσύνης. Η συνέντευξη έχει υποστεί επεξεργασία και συμπύκνωση για λόγους σαφήνειας.
Πρόσφατα δημοσιεύσατε μια εργασία σχετικά με τη φύση της μαθηματικής απόδειξης. Γιατί αποφασίσατε ότι ήταν σημαντικό να γράψετε;
Το πώς οι μαθηματικοί προχωρούν στην έρευνα δεν απεικονίζεται γενικά καλά στα δημοφιλή μέσα. Οι άνθρωποι τείνουν να βλέπουν τα μαθηματικά ως αυτή την καθαρή αναζήτηση, όπου φτάνουμε σε μεγάλες αλήθειες μόνο με την καθαρή σκέψη. Αλλά τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με εικασίες - συχνά λανθασμένες εικασίες. Είναι μια πειραματική διαδικασία. Μαθαίνουμε σταδιακά.
Για παράδειγμα, όταν η υπόθεση Riemann εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε μια εφημερίδα το 1859, ήταν σαν μαγικό: Εδώ είναι αυτή η καταπληκτική εικασία, από το πουθενά. Για 70 χρόνια, οι άνθρωποι μιλούσαν για το τι μπορεί να κάνει ένας μεγάλος στοχαστής μόνο με την καθαρή σκέψη. Τότε ο μαθηματικός Carl Siegel βρήκε τις σημειώσεις του Riemann στα αρχεία του Göttingen. Ο Riemann είχε πραγματικά κάνει σελίδες υπολογισμών των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα Riemann. Τα διάσημα λόγια του Siegel ήταν: «Τόσο για την καθαρή σκέψη και μόνο».
Υπάρχει λοιπόν αυτή η ένταση στον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι γράφουν για τα μαθηματικά — μερικοί φιλόσοφοι και ιστορικοί ειδικότερα. Φαίνεται να πιστεύουν ότι είμαστε ένα αγνό μαγικό πλάσμα, κάποιος μονόκερος της επιστήμης. Αλλά δεν είμαστε, τυπικά. Σπάνια είναι καθαρή σκέψη και μόνο.
Εισαγωγή
Πώς θα χαρακτηρίζατε αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί;
Η κουλτούρα των μαθηματικών έχει να κάνει με την απόδειξη. Καθόμαστε και σκεφτόμαστε, και το 95% αυτού που κάνουμε είναι απόδειξη. Ένα μεγάλο μέρος της κατανόησης που κερδίζουμε είναι να παλεύουμε με αποδείξεις και να ερμηνεύουμε τα ζητήματα που προκύπτουν όταν παλεύουμε με αυτές.
Συχνά σκεφτόμαστε μια απόδειξη ως ένα μαθηματικό επιχείρημα. Μέσα από μια σειρά λογικών βημάτων, καταδεικνύει ότι μια δεδομένη πρόταση είναι αληθής. Αλλά γράφεις ότι αυτό δεν πρέπει να εκλαμβάνεται ως καθαρή, αντικειμενική αλήθεια. Τι εννοείτε με αυτό;
Το κύριο σημείο μιας απόδειξης είναι να πείσει τον αναγνώστη για την αλήθεια ενός ισχυρισμού. Αυτό σημαίνει ότι η επαλήθευση είναι το κλειδί. Το καλύτερο σύστημα επαλήθευσης που έχουμε στα μαθηματικά είναι ότι πολλοί άνθρωποι βλέπουν μια απόδειξη από διαφορετικές οπτικές γωνίες και ταιριάζει καλά σε ένα πλαίσιο που γνωρίζουν και πιστεύουν. Κατά κάποιο τρόπο, δεν λέμε ότι ξέρουμε ότι είναι αλήθεια. Λέμε ότι ελπίζουμε να είναι σωστό, γιατί πολλοί άνθρωποι το έχουν δοκιμάσει από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Οι αποδείξεις γίνονται δεκτές από αυτά τα κοινοτικά πρότυπα.
Έπειτα, υπάρχει αυτή η έννοια της αντικειμενικότητας — του να είσαι σίγουρος ότι αυτό που ισχυρίζεται είναι σωστό, να νιώθεις ότι έχεις μια απόλυτη αλήθεια. Αλλά πώς μπορούμε να καταλάβουμε ότι είμαστε αντικειμενικοί; Είναι δύσκολο να βγάλεις τον εαυτό σου από το πλαίσιο στο οποίο έχεις κάνει μια δήλωση — να έχεις μια προοπτική έξω από το παράδειγμα που έχει τεθεί σε εφαρμογή από την κοινωνία. Αυτό ισχύει τόσο για τις επιστημονικές ιδέες όσο και για οτιδήποτε άλλο.
Μπορεί επίσης να ρωτήσει κανείς τι είναι αντικειμενικά ενδιαφέρον ή σημαντικό στα μαθηματικά. Αλλά και αυτό είναι σαφώς υποκειμενικό. Γιατί θεωρούμε ότι ο Σαίξπηρ είναι καλός συγγραφέας; Ο Σαίξπηρ δεν ήταν τόσο δημοφιλής στην εποχή του όσο σήμερα. Υπάρχουν προφανώς κοινωνικές συμβάσεις γύρω από το τι είναι ενδιαφέρον, τι είναι σημαντικό. Και αυτό εξαρτάται από το τρέχον παράδειγμα.
Εισαγωγή
Στα μαθηματικά, πώς μοιάζει αυτό;
Ένα από τα πιο διάσημα παραδείγματα αλλαγής του παραδείγματος είναι ο λογισμός. Όταν εφευρέθηκε ο λογισμός, περιλάμβανε τη διαίρεση κάτι που πηγαίνει προς το μηδέν με κάτι άλλο που πηγαίνει προς το μηδέν — που οδηγεί στο μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν, το οποίο δεν έχει κανένα νόημα. Αρχικά, ο Newton και ο Leibniz βρήκαν αντικείμενα που ονομάζονταν απειροελάχιστα. Έκανε τις εξισώσεις τους να λειτουργούν, αλλά με τα σημερινά πρότυπα δεν ήταν λογικό ή αυστηρό.
Τώρα έχουμε το σκεύασμα έψιλον-δέλτα, το οποίο εισήχθη στα τέλη του 19ου αιώνα. Αυτή η μοντέρνα διατύπωση είναι τόσο εκπληκτικά, προφανώς καλή για να κατανοήσει σωστά αυτές τις έννοιες που όταν κοιτάς τις παλιές διατυπώσεις, σκέφτεσαι τι σκέφτονταν; Αλλά εκείνη την εποχή, αυτός θεωρούνταν ο μόνος τρόπος που μπορούσες να το κάνεις. Για να είμαστε δίκαιοι με τον Leibniz και τον Newton, πιθανότατα θα τους άρεσε ο σύγχρονος τρόπος. Δεν σκέφτηκαν να το κάνουν, λόγω των παραδειγμάτων της εποχής τους. Οπότε χρειάστηκε πολύς χρόνος για να φτάσω εκεί.
Το πρόβλημα είναι ότι δεν ξέρουμε πότε συμπεριφερόμαστε έτσι. Είμαστε παγιδευμένοι στην κοινωνία στην οποία βρισκόμαστε. Δεν έχουμε εξωτερική προοπτική για να πούμε τι υποθέσεις κάνουμε. Ένας από τους κινδύνους στα μαθηματικά είναι ότι μπορείτε να αντιληφθείτε ότι κάτι δεν είναι σημαντικό επειδή δεν εκφράζεται ή συζητείται εύκολα στη γλώσσα που έχετε επιλέξει να χρησιμοποιήσετε. Δεν σημαίνει ότι έχεις δίκιο.
Μου αρέσει πολύ αυτό το απόφθεγμα του Ντεκάρτ, όπου ουσιαστικά λέει: «Νομίζω ότι ξέρω όλα όσα πρέπει να γνωρίζω για ένα τρίγωνο, αλλά ποιος θα πει ότι ξέρω; Εννοώ, κάποιος στο μέλλον μπορεί να βρει μια ριζικά διαφορετική προοπτική, οδηγώντας σε έναν πολύ καλύτερο τρόπο σκέψης για ένα τρίγωνο». Και νομίζω ότι έχει δίκιο. Το βλέπεις στα μαθηματικά.
Όπως γράψατε στην εργασία σας, μπορείτε να σκεφτείτε μια απόδειξη ως ένα κοινωνικό συμπαγές — ένα είδος αμοιβαίας συμφωνίας μεταξύ του συγγραφέα και της μαθηματικής τους κοινότητας. Έχουμε δει ένα ακραίο παράδειγμα ότι αυτό δεν λειτουργεί, με την ισχυριζόμενη απόδειξη του Mochizuki αλφάβητο εικασία.
Είναι ακραίο, γιατί ο Mochizuki δεν ήθελε να παίξει το παιχνίδι με τον τρόπο που παίζεται. Έχει κάνει αυτή την επιλογή για να είναι σκοτεινή. Όταν οι άνθρωποι κάνουν μεγάλες ανακαλύψεις, με πραγματικά νέες και δύσκολες ιδέες, νιώθω ότι είναι καθήκον τους να προσπαθήσουν να συμπεριλάβουν άλλους ανθρώπους εξηγώντας τις ιδέες τους με όσο το δυνατόν πιο προσιτό τρόπο. Και ήταν περισσότερο σαν, λοιπόν, αν δεν θέλετε να το διαβάσετε όπως το έγραψα, δεν είναι αυτό το πρόβλημά μου. Έχει το δικαίωμα να παίξει το παιχνίδι που θέλει να παίξει. Αλλά δεν έχει να κάνει με την κοινότητα. Δεν έχει να κάνει με τους τρόπους με τους οποίους κάνουμε πρόοδο.
Εισαγωγή
Εάν υπάρχουν αποδείξεις σε κοινωνικό πλαίσιο, πώς έχουν αλλάξει με την πάροδο του χρόνου;
Όλα ξεκινούν από τον Αριστοτέλη. Είπε ότι πρέπει να υπάρχει κάποιο είδος απαγωγικού συστήματος - ότι μπορείτε να αποδείξετε νέα πράγματα μόνο βασίζοντάς τα σε πράγματα που ήδη γνωρίζετε και για τα οποία είστε σίγουροι, επιστρέφοντας σε ορισμένες «πρωτόγονες δηλώσεις» ή αξιώματα.
Τότε λοιπόν το ερώτημα είναι: Ποια είναι αυτά τα βασικά πράγματα που γνωρίζετε ότι είναι αληθινά; Για πολύ καιρό, οι άνθρωποι απλώς έλεγαν, λοιπόν, μια γραμμή είναι μια γραμμή, ένας κύκλος είναι ένας κύκλος. υπάρχουν μερικά πράγματα που είναι απλά και προφανή, και από αυτές πρέπει να ξεκινήσουμε.
Αυτή η προοπτική κράτησε για πάντα. Υπάρχει ακόμα και σήμερα σε μεγάλο βαθμό. Αλλά το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα που αναπτύχθηκε - «μια γραμμή είναι μια γραμμή» - είχε τα προβλήματά του. Υπήρχαν αυτά τα παράδοξα που ανακάλυψε ο Bertrand Russell με βάση την έννοια του συνόλου. Επιπλέον, θα μπορούσε κανείς να παίξει παιχνίδια λέξεων με τη μαθηματική γλώσσα, δημιουργώντας προβληματικές δηλώσεις όπως «αυτή η δήλωση είναι ψευδής» (αν είναι αλήθεια, τότε είναι λάθος· αν είναι λάθος, τότε είναι αλήθεια) που υποδεικνύουν ότι υπήρχαν προβλήματα με το αξιωματικό σύστημα.
Έτσι ο Russell και ο Alfred Whitehead προσπάθησαν να δημιουργήσουν ένα νέο σύστημα μαθηματικών που θα μπορούσε να αποφύγει όλα αυτά τα προβλήματα. Αλλά ήταν τραγελαφικά περίπλοκο και ήταν δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι αυτά ήταν τα σωστά πρωτόγονα για να ξεκινήσετε. Κανείς δεν ήταν άνετος με αυτό. Κάτι σαν να αποδείξουμε 2 + 2 = 4 πήρε τεράστιο χώρο από το σημείο εκκίνησης. Τι νόημα έχει ένα τέτοιο σύστημα;
Τότε ήρθε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ και είχε αυτή την καταπληκτική ιδέα: ότι ίσως δεν θα έπρεπε να πούμε σε κανέναν τι είναι το σωστό να ξεκινήσουμε καθόλου. Αντίθετα, οτιδήποτε λειτουργεί - ένα σημείο εκκίνησης που είναι απλό, συνεκτικό και συνεπές - αξίζει να το εξερευνήσετε. Δεν μπορείτε να συναγάγετε δύο πράγματα από τα αξιώματά σας που έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους και θα πρέπει να μπορείτε να περιγράψετε τα περισσότερα μαθηματικά με βάση τα επιλεγμένα αξιώματα. Αλλά δεν πρέπει a priori να πείτε ποια είναι αυτά.
Αυτό, επίσης, φαίνεται να ταιριάζει στην προηγούμενη συζήτησή μας για την αντικειμενική αλήθεια στα μαθηματικά. Έτσι, στο γύρισμα του 20ου αιώνα, οι μαθηματικοί συνειδητοποιούσαν ότι θα μπορούσε να υπάρχει μια πλειάδα αξιωματικών συστημάτων - ότι ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων δεν θα έπρεπε να εκληφθεί ως καθολική ή αυτονόητη αλήθεια;
Σωστά. Και πρέπει να πω, ότι ο Χίλμπερτ δεν ξεκίνησε να το κάνει αυτό για αφηρημένους λόγους. Τον ενδιέφεραν πολύ διαφορετικές έννοιες της γεωμετρίας: η μη Ευκλείδεια γεωμετρία. Ήταν πολύ αμφιλεγόμενο. Οι άνθρωποι εκείνη την εποχή έλεγαν, αν μου δώσετε αυτόν τον ορισμό μιας γραμμής που περιστρέφεται γύρω από ένα κουτί, γιατί στο καλό να σας ακούσω; Και ο Χίλμπερτ είπε ότι αν μπορούσε να το κάνει συνεπές και συνεπές, θα έπρεπε να ακούσετε, γιατί αυτή μπορεί να είναι μια άλλη γεωμετρία που πρέπει να κατανοήσουμε. Και αυτή η αλλαγή στην άποψη — ότι μπορείτε να επιτρέψετε οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα — δεν ίσχυε μόνο για τη γεωμετρία. ίσχυε για όλα τα μαθηματικά.
Αλλά φυσικά, κάποια πράγματα είναι πιο χρήσιμα από άλλα. Έτσι, οι περισσότεροι από εμάς εργαζόμαστε με τα ίδια 10 αξιώματα, ένα σύστημα που ονομάζεται ZFC.
Πράγμα που οδηγεί στο ερώτημα τι μπορεί και τι δεν μπορεί να συναχθεί από αυτό. Υπάρχουν δηλώσεις, όπως η υπόθεση του συνεχούς, που δεν μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας το ZFC. Πρέπει να υπάρχει ένα 11ο αξίωμα. Και μπορείτε να το επιλύσετε με τον κάθε τρόπο, γιατί μπορείτε να επιλέξετε το αξιωματικό σας σύστημα. Είναι πολύ ωραίο. Συνεχίζουμε με αυτό το είδος πολλαπλότητας. Δεν είναι ξεκάθαρο τι είναι σωστό, τι λάθος. Σύμφωνα με τον Kurt Gödel, πρέπει ακόμα να κάνουμε επιλογές με βάση τη γεύση, και ελπίζουμε να έχουμε καλό γούστο. Πρέπει να κάνουμε πράγματα που έχουν νόημα. Και το κάνουμε.
Μιλώντας για τον Gödel, παίζει πολύ μεγάλο ρόλο και εδώ.
Για να συζητήσετε τα μαθηματικά, χρειάζεστε μια γλώσσα και ένα σύνολο κανόνων που πρέπει να ακολουθήσετε σε αυτήν τη γλώσσα. Στη δεκαετία του 1930, ο Gödel απέδειξε ότι ανεξάρτητα από το πώς επιλέγετε τη γλώσσα σας, υπάρχουν πάντα δηλώσεις σε αυτήν τη γλώσσα που είναι αληθινές, αλλά αυτό δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα αρχικά σας αξιώματα. Στην πραγματικότητα είναι πιο περίπλοκο από αυτό, αλλά παρόλα αυτά, έχετε αμέσως αυτό το φιλοσοφικό δίλημμα: Τι είναι μια αληθινή δήλωση αν δεν μπορείτε να τη δικαιολογήσετε; Είναι τρελό.
Άρα υπάρχει μεγάλο χάος. Είμαστε περιορισμένοι στο τι μπορούμε να κάνουμε.
Οι επαγγελματίες μαθηματικοί σε μεγάλο βαθμό το αγνοούν αυτό. Εστιάζουμε σε αυτό που είναι εφικτό. Όπως θέλει να λέει ο Peter Sarnak, «Είμαστε εργαζόμενοι». Ανεβαίνουμε και προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι μπορούμε.
Εισαγωγή
Τώρα, με τη χρήση όχι μόνο υπολογιστών αλλά ακόμη και τεχνητής νοημοσύνης, πώς αλλάζει η έννοια της απόδειξης;
Μετακομίσαμε σε διαφορετικό μέρος, όπου οι υπολογιστές μπορούν να κάνουν κάποια άγρια πράγματα. Τώρα οι άνθρωποι λένε, ω, έχουμε αυτόν τον υπολογιστή, μπορεί να κάνει πράγματα που οι άνθρωποι δεν μπορούν. Μπορεί όμως; Μπορεί πραγματικά να κάνει πράγματα που οι άνθρωποι δεν μπορούν; Πίσω στη δεκαετία του 1950, ο Alan Turing είπε ότι ένας υπολογιστής έχει σχεδιαστεί για να κάνει ό,τι μπορούν να κάνουν οι άνθρωποι, απλά πιο γρήγορα. Δεν έχουν αλλάξει πολλά.
Για δεκαετίες, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν υπολογιστές — για να κάνουν υπολογισμούς που μπορούν να βοηθήσουν στην κατανόησή τους, για παράδειγμα. Αυτό που μπορεί να κάνει το AI είναι να επαληθεύσει αυτό που πιστεύουμε ότι είναι αλήθεια. Έχουν συμβεί κάποιες τρομερές εξελίξεις με την επαλήθευση απόδειξης. Όπως ο [ο βοηθός αποδείξεων] Lean, που επέτρεψε στους μαθηματικούς να επαληθεύσουν πολλές αποδείξεις, βοηθώντας επίσης τους συγγραφείς να κατανοήσουν καλύτερα τη δουλειά τους, επειδή πρέπει να αναλύσουν μερικές από τις ιδέες τους σε πιο απλά βήματα για να τροφοδοτήσουν τον Lean για επαλήθευση.
Είναι όμως αυτό αλάνθαστο; Είναι μια απόδειξη μια απόδειξη μόνο και μόνο επειδή ο Lean συμφωνεί ότι είναι μια; Κατά κάποιο τρόπο, είναι τόσο καλό όσο και τα άτομα που μετατρέπουν την απόδειξη σε στοιχεία για το Lean. Κάτι που μοιάζει πολύ με το πώς κάνουμε παραδοσιακά μαθηματικά. Επομένως, δεν λέω ότι πιστεύω ότι κάτι σαν τον Lean θα κάνει πολλά λάθη. Απλώς δεν είμαι σίγουρος ότι είναι πιο ασφαλές από τα περισσότερα πράγματα που γίνονται από ανθρώπους.
Φοβάμαι ότι έχω πολύ σκεπτικισμό για τον ρόλο των υπολογιστών. Μπορούν να είναι ένα πολύ πολύτιμο εργαλείο για να διορθώσετε τα πράγματα — ιδιαίτερα για την επαλήθευση των μαθηματικών που στηρίζονται σε μεγάλο βαθμό σε νέους ορισμούς που δεν είναι εύκολο να αναλυθούν με την πρώτη ματιά. Δεν υπάρχει καμία συζήτηση ότι είναι χρήσιμο να έχουμε νέες προοπτικές, νέα εργαλεία και νέα τεχνολογία στο οπλοστάσιό μας. Αλλά αυτό που αποφεύγω είναι η ιδέα ότι τώρα θα έχουμε τέλειες λογικές μηχανές που παράγουν σωστά θεωρήματα.
Πρέπει να αναγνωρίσετε ότι δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι τα πράγματα είναι σωστά με τους υπολογιστές. Το μέλλον μας πρέπει να βασίζεται στην αίσθηση της κοινότητας στην οποία βασιστήκαμε σε όλη την ιστορία της επιστήμης: ότι αναπηδάμε τα πράγματα ο ένας από τον άλλο. Ότι μιλάμε με ανθρώπους που βλέπουν το ίδιο πράγμα από εντελώς διαφορετική οπτική γωνία. Και ούτω καθεξής.
Πού βλέπετε να πηγαίνει αυτό στο μέλλον, όμως, καθώς αυτές οι τεχνολογίες γίνονται πιο εξελιγμένες;
Ίσως θα μπορούσε να βοηθήσει στη δημιουργία μιας απόδειξης. Ίσως σε πέντε χρόνια, θα πω σε ένα μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης όπως το ChatGPT, «Είμαι σίγουρος ότι το έχω δει αυτό κάπου. Θα το τσεκάρεις;» Και θα επανέλθει με μια παρόμοια δήλωση που είναι σωστή.
Και μετά, μόλις γίνει πολύ, πολύ καλός σε αυτό, ίσως θα μπορούσατε να πάτε ένα βήμα παραπέρα και να πείτε, "Δεν ξέρω πώς να το κάνω αυτό, αλλά υπάρχει κάποιος που έχει κάνει κάτι τέτοιο;" Ίσως τελικά ένα μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης θα μπορούσε να βρει έμπειρους τρόπους για να αναζητήσει τη βιβλιογραφία για να χρησιμοποιήσει εργαλεία που έχουν χρησιμοποιηθεί αλλού - με τρόπο που ένας μαθηματικός μπορεί να μην προβλέψει.
Ωστόσο, δεν καταλαβαίνω πώς το ChatGPT μπορεί να υπερβεί ένα ορισμένο επίπεδο για να κάνει αποδείξεις με τρόπο που μας ξεπερνά. Το ChatGPT και άλλα προγράμματα μηχανικής εκμάθησης δεν σκέφτονται. Χρησιμοποιούν συσχετισμούς λέξεων που βασίζονται σε πολλά παραδείγματα. Φαίνεται λοιπόν απίθανο να ξεπεράσουν τα δεδομένα της προπόνησής τους. Αλλά αν αυτό συνέβαινε, τι θα κάνουν οι μαθηματικοί; Πολλά από αυτά που κάνουμε είναι απόδειξη. Αν μας αφαιρέσετε αποδείξεις, δεν είμαι σίγουρος ποιοι θα γίνουμε.
Ανεξάρτητα, όταν σκεφτόμαστε πού θα λάβουμε βοήθεια υπολογιστή, πρέπει να λάβουμε υπόψη όλα τα διδάγματα που έχουμε μάθει από την ανθρώπινη προσπάθεια: τη σημασία της χρήσης διαφορετικών γλωσσών, της συνεργασίας, της μεταφοράς διαφορετικών προοπτικών. Υπάρχει μια ευρωστία, μια υγεία, στον τρόπο με τον οποίο διαφορετικές κοινότητες ενώνονται για να εργαστούν και να κατανοήσουν μια απόδειξη. Αν πρόκειται να έχουμε βοήθεια υπολογιστή στα μαθηματικά, πρέπει να την εμπλουτίσουμε με τον ίδιο τρόπο.
- SEO Powered Content & PR Distribution. Ενισχύστε σήμερα.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Ενδυναμώστε τον εαυτό σας. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Ενισχύθηκε η γνώση. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoESG. Αυτοκίνητο / EVs, Ανθρακας, Cleantech, Ενέργεια, Περιβάλλον, Ηλιακός, Διαχείριση των αποβλήτων. Πρόσβαση εδώ.
- PlatoHealth. Ευφυΐα βιοτεχνολογίας και κλινικών δοκιμών. Πρόσβαση εδώ.
- ChartPrime. Ανεβάστε το Trading Game σας με το ChartPrime. Πρόσβαση εδώ.
- BlockOffsets. Εκσυγχρονισμός της περιβαλλοντικής αντιστάθμισης ιδιοκτησίας. Πρόσβαση εδώ.
- πηγή: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- :έχει
- :είναι
- :δεν
- :που
- ][Π
- $UP
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- Ικανός
- Σχετικα
- ΠΕΡΙΛΗΨΗ
- αποδεκτές
- προσιτός
- Σύμφωνα με
- Λογαριασμός
- αναγνωρίζω
- πραγματικά
- Επιπλέον
- Περιπέτεια
- φοβισμένος
- Μετά το
- την ηλικία του
- Συμφωνία
- AI
- Alan
- Alan Turing
- Όλα
- επιτρέπουν
- επιτρέπεται
- alone
- κατά μήκος
- ήδη
- Επίσης
- πάντοτε
- καταπληκτικό
- Amazon
- Αμερικανικη
- ποσό
- an
- αναλύσει
- και
- Άλλος
- κάθε
- κάποιος
- οτιδήποτε
- Εμφανίστηκε
- εφαρμοσμένος
- Εφαρμογή
- αρχεία
- ΕΙΝΑΙ
- ΠΕΡΙΟΧΗ
- επιχείρημα
- γύρω
- εμπορεύματα
- τεχνητός
- τεχνητή νοημοσύνη
- AS
- βοηθήσει
- Βοήθεια
- Βοηθός
- ενώσεις
- παραδοχές
- At
- ακροατήριο
- συγγραφέας
- συγγραφέας
- συγγραφείς
- αποφύγετε
- μακριά
- πίσω
- βασίζονται
- βασικός
- βάση
- BE
- Αρκούδα
- επειδή
- γίνονται
- ήταν
- είναι
- Πιστεύω
- Bertrand
- ΚΑΛΎΤΕΡΟΣ
- Καλύτερα
- μεταξύ
- Πέρα
- Μεγάλος
- γεννημένος
- Αναπήδηση
- Κουτί
- Διακοπή
- επιτεύγματα
- φέρω
- αλλά
- by
- υπολογισμοί
- που ονομάζεται
- cambridge
- ήρθε
- CAN
- Canada
- δεν μπορώ
- Σταδιοδρομία
- , Καρλ
- μεταφέρουν
- Αιώνας
- ορισμένες
- αλλαγή
- άλλαξε
- αλλαγή
- χαρακτηρίζω
- ChatGPT
- έλεγχος
- επιλογή
- επιλογές
- Επιλέξτε
- επιλέγονται
- Κύκλος
- ισχυρίστηκε
- σαφήνεια
- καθαρός
- σαφώς
- ΣΥΝΑΦΗΣ
- συλλογή
- Κολλέγιο
- Ελάτε
- άνετος
- Κοινοτήτων
- κοινότητα
- συμπαγής
- εταίρα
- πλήρης
- εντελώς
- περίπλοκος
- υπολογιστή
- υπολογιστές
- έννοια
- έννοιες
- εικασία
- Εξετάστε
- θεωρούνται
- συνεπής
- κατασκευάσει
- συμφραζόμενα
- ΣΥΝΕΧΕΙΑ
- Continuum
- αμφιλεγόμενος
- μετατρέψετε
- Δροσερός
- γωνίες
- διορθώσει
- θα μπορούσε να
- Πορεία
- τρελός
- δημιουργία
- δημιουργία
- πλάσμα
- κουλτούρα
- Ρεύμα
- κινδύνους
- ημερομηνία
- Δαβίδ
- δημόσια συζήτηση
- δεκαετίες
- αποφασίζει
- ορισμός
- ορισμοί
- Πτυχίο
- καταδεικνύει
- εξαρτάται
- περιγράφουν
- σχεδιασμένα
- γραφείο
- αναπτύχθηκε
- εξελίξεις
- DID
- διαφορετικές
- δύσκολος
- ανακάλυψαν
- συζητήσουν
- συζήτηση
- συζήτηση
- διαιρούμενο
- do
- κάνει
- Όχι
- πράξη
- γίνεται
- Μην
- Θύρα
- κάτω
- κατά την διάρκεια
- κάθε
- Νωρίτερα
- Νωρίς
- γη
- εύκολα
- εύκολος
- είτε
- αλλιώς
- αλλού
- τέλος
- προσπάθεια
- εμπλουτίζω
- εξισώσεις
- Εποχή
- λάθη
- κατ 'ουσίαν,
- Even
- τελικά
- πάντα
- εξελίσσονται
- παράδειγμα
- παραδείγματα
- υπάρχουν
- αναμένουν
- πειραματικός
- εξηγώντας
- Εξερευνώντας
- εξέφρασε την
- άκρο
- Απέτυχε
- έκθεση
- ψευδής
- οικείος
- πασίγνωστη και
- γρηγορότερα
- αισθάνομαι
- λίγοι
- Ταινία
- Εύρεση
- Όνομα
- ταιριάζουν
- πέντε
- Συγκέντρωση
- ακολουθήστε
- Για
- προβλέπω
- για πάντα
- Βρέθηκαν
- από
- λειτουργία
- θεμελιώδης
- χρηματοδότηση
- περαιτέρω
- μελλοντικός
- Κέρδος
- παιχνίδι
- Games
- χάσμα
- γενικά
- παίρνω
- να πάρει
- Δώστε
- δεδομένου
- Go
- πηγαίνει
- μετάβαση
- καλός
- εξαιρετική
- Έδαφος
- καθοδηγήσει
- είχε
- συμβαίνω
- συνέβη
- Σκληρά
- Έχω
- he
- Υγεία
- βαριά
- βοήθεια
- χρήσιμο
- βοήθεια
- εδώ
- Ψηλά
- του
- ιστορία
- ελπίζω
- Ας ελπίσουμε ότι
- Πως
- Πώς να
- HTTPS
- ανθρώπινος
- Οι άνθρωποι
- i
- ΕΓΩ ΘΑ
- ιδέα
- ιδεών
- if
- αμέσως
- σπουδαιότητα
- σημαντικό
- αδύνατος
- in
- περιστατικό
- περιλαμβάνουν
- Αξιωματούχος
- ανεξάρτητα
- υποδεικνύεται
- αρχικά
- είσοδοι
- παράδειγμα
- αντί
- ασφάλιση
- Νοημοσύνη
- ενδιαφερόμενος
- ενδιαφέρον
- συνέντευξη
- σε
- εισήγαγε
- Επινοηθείσα
- συμμετέχουν
- θέματα
- IT
- ΤΟΥ
- Τζένιφερ
- Δουλειά
- μόλις
- μόνο ένα
- Κλειδί
- Ξέρω
- γνωστός
- Kurt
- Γλώσσα
- Γλώσσες
- large
- σε μεγάλο βαθμό
- Επίθετο
- αργότερα
- που οδηγεί
- Οδηγεί
- ΜΑΘΑΊΝΩ
- μάθει
- μάθηση
- αριστερά
- Μαθήματα
- Επίπεδο
- Μου αρέσει
- συμπαθεί
- Περιωρισμένος
- γραμμή
- λογοτεχνία
- λογική
- λογικός
- Λονδίνο
- Μακριά
- πολύς καιρός
- ματιά
- μοιάζει
- κοίταξε
- Παρτίδα
- αγάπησε
- μηχανή
- μάθηση μηχανής
- μηχανήματα
- που
- περιοδικό
- μαγεία
- Κυρίως
- μεγάλες
- κάνω
- Κατασκευή
- πολοί
- Μάρτιν
- κύριοι
- μαθηματικά
- μαθηματικός
- μαθηματικά
- ύλη
- Ενδέχεται..
- μπορεί
- me
- εννοώ
- νόημα
- μέσα
- Εικόνες / Βίντεο
- ενδέχεται να
- παρανοήσεις
- μοντέλο
- ΜΟΝΤΕΡΝΑ
- Μηνας
- περισσότερο
- Εξάλλου
- πλέον
- ως επί το πλείστον
- μητέρα
- μετακινηθεί
- ταινία
- πολύ
- πρέπει
- αμοιβαίας
- my
- Φύση
- σχεδόν
- Ανάγκη
- ανάγκες
- ποτέ
- Νέα
- νεύτο
- επόμενη
- Όχι.
- Notes
- τίποτα
- Εννοια
- μυθιστόρημα
- τώρα
- αριθμός
- αριθμοί
- σκοπός
- αντικειμενικά
- αντικειμένων
- Εμφανή
- of
- off
- συχνά
- oh
- Παλιά
- on
- μια φορά
- ONE
- αποκλειστικά
- ανοίξτε
- or
- ΑΛΛΑ
- Άλλα
- δικός μας
- έξω
- εκτός
- ξεπερνάει
- επί
- δική
- σελίδες
- Χαρτί
- χαρτιά
- παράδειγμα
- Ειδικότερα
- ιδιαίτερα
- εξαρτήματα
- People
- τέλειος
- ίσως
- προοπτική
- προοπτικές
- Πέτρος
- με έργα φιλοσοφίας
- PHP
- Μέρος
- σχεδιασμό
- Πλάτων
- Πληροφορία δεδομένων Plato
- Πλάτωνα δεδομένα
- Δοκιμάστε να παίξετε
- έπαιξε
- παίζει
- Σημείο
- Δημοφιλής
- δυνατός
- πρακτική
- αρκετά
- Ακμή
- πιθανώς
- Πρόβλημα
- προβλήματα
- διαδικασια μας
- παράγει
- Προγράμματα
- Πρόοδος
- σχέδιο
- απόδειξη
- αποδείξεις
- Αποδείξτε
- αποδείχθηκε
- δημοσιεύει
- δημοσιεύθηκε
- Δραστήριος
- βάζω
- Quantamamagazine
- αναζήτηση
- ερώτηση
- παραθέτω
- ριζικά
- αυξήσεις
- σπανίως
- Διάβασε
- Αναγνώστης
- συνειδητοποιώντας
- πραγματικά
- λόγους
- πρόσφατα
- σχετίζεται με
- σχέση
- βασίζονται
- έρευνα
- απόδοση
- δεξιά
- αυστηρός
- ευρωστία
- Ρόλος
- κανόνες
- Είπε
- ίδιο
- πριόνι
- λένε
- ρητό
- λέει
- Σχολείο
- Επιστήμη
- επιστημονικός
- επιστήμονες
- μηδέν
- Αναζήτηση
- προστατευμένο περιβάλλον
- δείτε
- αναζήτηση
- φαίνομαι
- φαίνεται
- δει
- επιλέγονται
- αίσθηση
- Σειρές
- σειρά
- θα πρέπει να
- ντροπαλός
- Θέαμα
- παρόμοιες
- Απλούς
- απλούστερη
- απλά
- αφού
- αδελφή
- καθίσει
- Σκεπτικισμός
- έμπειρος
- So
- Μ.Κ.Δ
- Κοινωνία
- μερικοί
- κάτι
- κάπου
- εξελιγμένα
- Χώρος
- στάδια
- πρότυπα
- Εκκίνηση
- ξεκίνησε
- Ξεκινήστε
- ξεκινά
- Δήλωση
- δηλώσεις
- Βήμα
- Βήματα
- Ακόμη
- Πάλη
- Παλεύοντας
- μελετημένος
- θέμα
- τέτοιος
- βέβαιος
- σύστημα
- συστήματα
- Πάρτε
- λαμβάνεται
- λήψη
- Συζήτηση
- γεύση
- Τεχνολογίες
- Τεχνολογία
- όροι
- από
- ότι
- Η
- Το μέλλον
- τους
- Τους
- τότε
- θεωρία
- Εκεί.
- Αυτοί
- αυτοί
- πράγμα
- πράγματα
- νομίζω
- στοχαστής
- Σκέψη
- αυτό
- εκείνοι
- αν και?
- σκέψη
- Μέσω
- παντού
- ώρα
- προς την
- σήμερα
- σημερινή
- μαζι
- πολύ
- πήρε
- εργαλείο
- εργαλεία
- προς
- παραδοσιακός
- Εκπαίδευση
- Προσπάθησα
- αληθής
- Αλήθεια
- προσπαθώ
- αναδιάρθρωσης
- ΣΤΡΟΦΗ
- δύο
- συνήθως
- τελικός
- καταλαβαίνω
- κατανόηση
- κατανοητή
- μονόκερος
- Παγκόσμιος
- πανεπιστήμιο
- Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ
- απίθανος
- us
- χρήση
- μεταχειρισμένος
- χρησιμοποιώντας
- Πολύτιμος
- Σταθερή
- Επαλήθευση
- επαληθεύει
- επαληθεύοντας
- πολύ
- θέλω
- ήθελε
- θέλει
- ήταν
- Τρόπος..
- τρόπους
- we
- webp
- ΛΟΙΠΌΝ
- πήγε
- ήταν
- Τι
- Τι είναι
- πότε
- Ποιό
- ενώ
- Ο ΟΠΟΊΟΣ
- WHY
- Άγριος
- θα
- με
- λέξη
- λόγια
- Εργασία
- εργάστηκαν
- εργαζόμενος
- λειτουργεί
- αξία
- θα
- γράφω
- συγγραφέας
- γραφή
- Λανθασμένος
- Έγραψε
- έτος
- χρόνια
- Εσείς
- Σας
- τον εαυτό σας
- zephyrnet
- μηδέν
- Ζέτα