Los matemáticos eliminan la amenaza de larga data de la conjetura del nudo

Hace más de 60 años, Ralph Fox planteó un problema sobre los nudos que persigue a los matemáticos hasta el día de hoy. su pregunta ahora a menudo se formula como la "conjetura de la rebanada-cinta", que postula que dos grupos de nudos aparentemente distintos son en realidad el mismo. Con su sugerencia de elegante simplicidad dentro del mundo de los nudos, se ha convertido en uno de los problemas de más alto perfil en la teoría de nudos. “Significaría que el mundo está un poco más estructurado de lo que cabría esperar”, dijo. Rayo Arunima, matemático del Instituto Max Planck de Matemáticas de Bonn.

Durante décadas, se sospechó que un nudo en particular era una posible ruta para resolver la conjetura. Sin embargo, en un artículo publicado el verano pasado, cinco matemáticos descubrieron que este nudo no va a funcionar después de todo. Si bien los argumentos que introdujeron proporcionarán nuevos conocimientos sobre una clase más amplia de nudos, el trabajo en su conjunto deja a los matemáticos inseguros acerca de la conjetura. “Creo que existe una controversia legítima real sobre si resultará ser cierto o no”, dijo kristen hendricks, matemático de la Universidad de Rutgers.

La conjetura de corte-cinta se refiere a dos tipos de nudos: nudos de corte y nudos de cinta. Averiguar qué nudos se cortan es “una de las cuestiones fundamentales en torno a las que gira nuestro tema”, dijo Abhishek Mallick, uno de los autores del nuevo artículo.

Se puede pensar en un nudo matemático como un lazo ordinario de cuerda. Los matemáticos llaman a un lazo simple sin un nudo el "desnudo". (Aunque esto no es un nudo en el sentido ordinario de la palabra, los matemáticos piensan que el desanudado es el ejemplo más simple de un nudo).

Los nudos también definen el límite de una forma que los matemáticos llaman disco, aunque no siempre se ve como un disco en el sentido ordinario de la palabra. El ejemplo más simple, el desanudado, forma el límite de un círculo, un "disco" que sí parece un disco. Pero el lazo forma el límite no solo de un círculo que se encuentra plano sobre una mesa, sino también de un tazón, que se extiende en tres dimensiones, que se coloca boca abajo sobre la mesa. Los discos que definen los nudos pueden extenderse aún más de tres dimensiones a cuatro.

Si hay un nudo en la cuerda, los discos se complican más. En el espacio tridimensional, esos discos tienen singularidades, puntos en los que matemáticamente se comportan mal. Los nudos de corte son aquellos para los que es posible, en cuatro dimensiones, encontrar un disco sin tales singularidades. Los nudos de corte son los “siguiente mejor cosa hasta el desanudado”, como Peter Teichner, también del Instituto Max Planck, lo ha puesto.

A pesar de eso, los discos delimitados por nudos de corte en tres dimensiones pueden ser feos y difíciles de trabajar. La conjetura de la rebanada-cinta dice que no necesariamente tienen que serlo.

Los nudos de cinta son nudos cuyos discos se asemejan a cintas. En tres dimensiones, estas cintas pueden pasar a través de sí mismas, del mismo modo que una cinta normal puede pasar a través de un corte practicado en su centro. Matemáticamente, tal paso se llama singularidad de cinta. A diferencia de otros tipos de singularidades, la singularidad de la cinta se puede eliminar fácilmente moviéndose a cuatro dimensiones. Esto facilita a los matemáticos demostrar que todos los nudos de la cinta están cortados.

Lo contrario, que cada nudo de rebanada también es una cinta, es la conjetura de la cinta de rebanada, que ha sido una pregunta abierta durante décadas. (Para complicar aún más las cosas, los nudos de corte tienen varias clasificaciones relacionadas, que incluyen "corte suave" y "corte topológico". La conjetura se aplica solo al tipo de nudo "corte suave", que es lo que los matemáticos suelen querer decir con "corte").

Para refutar la conjetura, basta con encontrar un nudo que se corte suavemente, pero que no sea una cinta. Durante décadas, los matemáticos tenían el ojo puesto en un candidato: el cable (2, 1) del nudo en forma de ocho, hecho al enhebrar una segunda cuerda a lo largo de un nudo en forma de ocho y luego fusionar las dos cuerdas para hacer un solo nudo.

En 1980, Akio Kawauchi demostró que este nudo es un corte tanto racional como algebraico, propiedades que son similares a las de un corte suave, pero no del todo iguales. En 1994, Katura Miyazaki demostró que no es una cinta, dejando una apertura llena de suspenso para los matemáticos. Si el resultado de Kawauchi pudiera fortalecerse solo un poco para mostrar que el nudo se corta suavemente, se desmentiría la conjetura.

El nuevo artículo demuestra que el nudo en cuestión no se corta después de todo, cerrando la puerta de un portazo.

“La conjetura de la cinta cortada sigue siendo fuerte”, dijo Hendricks, quien ha trabajado en estrecha colaboración con dos de los autores del nuevo artículo. “Eso es muy emocionante, porque la gente ha tratado de entender este ejemplo durante mucho tiempo”.

La nueva prueba se basa en algo llamado doble cubierta ramificada. Puedes visualizar una cubierta doble ramificada pensando en una esfera hueca, como una pelota de baloncesto. Para hacer una cubierta doble ramificada de una pelota de baloncesto, ábrela de arriba a abajo a lo largo de una de las líneas de longitud. Ahora, tire de un lado de la goma donde ha cortado, estirándola a lo largo del ecuador hasta que el material se envuelva por completo. Una vez que haya terminado esta transformación, tiene una pelota de baloncesto hecha de dos capas intercambiables de material, de ahí la "doble cubierta". (En este escenario, la goma se puede estirar y torcer como quieras sin romperse ni arrugarse).

El "ramificado" en "doble cubierta ramificada" proviene de un capricho de la transformación. Como estiraste horizontalmente, todavía hay solo una capa en los puntos superior e inferior de la pelota, los polos norte y sur. Estos puntos se denominan puntos de ramificación, y su presencia convierte la doble cubierta en una doble cubierta ramificada.

En el caso de los nudos, la doble cubierta ramificada se ensambla de tal manera que los puntos de ramificación son el propio nudo: los puntos que, como los polos norte y sur de la pelota de baloncesto, solo se cubren una vez.

“Históricamente, mirar cubiertas de doble rama ha sido una herramienta estándar del oficio”, dijo jennifer hom, un matemático del Instituto de Tecnología de Georgia que ha trabajado con dos de los autores del nuevo artículo. Esto se debe a que, al igual que una pelota de baloncesto rodea una pelota de aire, la doble cubierta ramificada de un nudo de corte rodea una determinada forma de cuatro dimensiones. Si los matemáticos pueden demostrar que la doble cubierta ramificada de un nudo no rodea la forma 4D correcta, pueden descartar la posibilidad de que el nudo sea un corte.

Pero esto no funciona del todo para el cable (2, 1) del nudo en forma de ocho: su cubierta doble ramificada rodea el tipo correcto de forma de cuatro dimensiones. Demostrar que el cable (2, 1) del nudo en forma de ocho no está cortado depende de una simetría de la forma que a menudo se pasa por alto.

Cuando estiras la superficie de una pelota de baloncesto para formar una cubierta doble ramificada, puedes imaginarte haciendo algo similar a la pelota de aire tridimensional en el interior. A medida que tiras de la goma alrededor de la pelota, tira del aire junto con ella. Así como las dos capas de goma son intercambiables, hay dos hemisferios en la bola de aire que terminan en el mismo lugar. En otras palabras, la simetría desde el exterior de la pelota se extiende hacia el interior.

De la misma manera, las simetrías en la cubierta doble ramificada de un nudo rebanado alcanzan el espacio 4D interior. Los matemáticos suelen pasar por alto esta simetría cuando intentan demostrar que los nudos no se cortan. Pero en este caso, era fundamental. Si los autores del nuevo trabajo pudieran demostrar que no había tal simetría, podrían concluir que el nudo no está cortado.

“Debido a que la pregunta no se refiere a ninguna simetría, uno pensaría: Bueno, ¿cómo entra en escena la simetría para decir algo al respecto? Pero de alguna manera, mágicamente, en este caso la simetría entra en escena y resuelve el problema”, dijo Mallick, autor del nuevo artículo con irving dai de la Universidad de Stanford, Parque JungHwan del Instituto Avanzado de Ciencia y Tecnología de Corea, Mateo Stoffregen de la Universidad Estatal de Michigan, y Sung Kyung Kang del Instituto de Ciencias Básicas de Corea del Sur.

“Sabíamos que esa estructura estaba ahí. Pero parte de la razón por la que la gente no lo estaba estudiando es que no teníamos forma de hacer un seguimiento de esa estructura”, dijo Ray. “Se necesita una herramienta elegante y de alta potencia para detectar eso”.

Para hacer el argumento, el equipo tuvo que usar matemáticas profundas y complicadas relacionadas con el nudo y el espacio que lo rodea, basándose en simetrías más sutiles incluso que las de la cubierta doble ramificada. En dos papeles anteriores, Dai, Mallick y Stoffregen habían calculado algunas de estas propiedades. Cuando Kang visitó Stoffregen en Michigan State el verano pasado, con el cable (2, 1) del nudo en forma de ocho todavía en su mente, los investigadores rápidamente se dieron cuenta de que esas fórmulas resolverían el problema de su división. “Hay una intuición que me dijo que este cálculo debería funcionar”, dijo Kang. “Y con solo calcularlo, deberíamos poder resolver este problema ahora mismo”.

A fines de julio, su artículo se publicó en línea, lo que demuestra que el nudo no era, de hecho, un corte. Las ideas en el documento, dijo Park, deberían ser aplicables a muchos nudos cuya división está actualmente en duda. “Esto es solo el comienzo”, dijo. Aunque este documento se centra en un nudo en particular, Park dijo que las herramientas que desarrollaron funcionarán para familias de nudos mucho más generales. Sin embargo, la falta de rebanado del nudo original asegura que la conjetura de corte-cinta permanecerá sin resolver por ahora.