Introducción
En 2012, el matemático Shinichi Mochizuki afirmó haber resuelto el abecedario Conjetura, una importante pregunta abierta en la teoría de números sobre la relación entre la suma y la multiplicación. Sólo había un problema: su prueba, de más de 500 páginas, era completamente impenetrable. Se basaba en una maraña de nuevas definiciones, notaciones y teorías que a casi todos los matemáticos les resultaba imposible encontrar sentido. Años más tarde, cuando dos matemáticos tradujeron gran parte de la demostración a términos más familiares, señalaron lo que uno llamó “unbrecha grave e irreparable”en su lógica, solo para que Mochizuki rechazara su argumento basándose en que simplemente no habían entendido su trabajo.
El incidente plantea una pregunta fundamental: ¿Qué es una prueba matemática? Tendemos a pensar en ello como una revelación de alguna verdad eterna, pero quizás sea mejor entenderlo como una especie de construcción social.
andres granville, matemático de la Universidad de Montreal, ha estado pensando mucho en esto últimamente. Después de que un filósofo se pusiera en contacto conmigo sobre algunos de sus escritos, “me puse a pensar en cómo llegamos a nuestras verdades”, dijo. "Y una vez que empiezas a empujar esa puerta, descubres que es un tema muy amplio".
Granville disfrutó de la aritmética desde una edad temprana, pero nunca consideró una carrera en la investigación matemática porque no sabía que tal cosa existía. “Mi padre dejó la escuela a los 14 años, mi madre a los 15 o 16”, dijo. “Nacieron en lo que entonces era el área de clase trabajadora de Londres, y la universidad estaba más allá de lo que consideraban posible. Así que no teníamos ni idea”.
Después de graduarse en la Universidad de Cambridge, donde estudió matemáticas, comenzó a adaptarse Los papeles de Rachel, una novela de Martin Amis, en un guión. Mientras trabajaba en el proyecto y buscaba financiación para él, quería evitar aceptar un trabajo de escritorio (había trabajado en una compañía de seguros durante un año sabático entre la escuela secundaria y la universidad y no quería volver a hacerlo) “así que fui a la escuela de posgrado”, dijo. La película nunca despegó (la novela se convirtió más tarde en una película de forma independiente), pero Granville obtuvo una maestría en matemáticas y luego se mudó a Canadá para completar su doctorado. Nunca miró hacia atrás.
Introducción
"Fue una verdadera aventura", dijo. “Realmente no esperaba mucho. Realmente no sabía lo que era un doctorado. era."
En las décadas posteriores, ha sido autor de más de 175 artículos, la mayoría sobre teoría de números. También se hizo conocido por escribir sobre matemáticas para una audiencia popular: en 2019, fue coautor de un novela gráfica sobre números primos y conceptos relacionados con su hermana mayor, Jennifer, guionista. El mes pasado, uno de sus artículos sobre “cómo llegamos a nuestras verdades” fue publicado en los Anales de Matemáticas y Filosofía. Y junto con otros matemáticos, informáticos y filósofos, tiene previsto publicar una colección de artículos en la edición del año que viene. Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas sobre cómo las máquinas podrían cambiar las matemáticas.
¿Cuánto habló con Granville sobre la naturaleza de la prueba matemática, desde cómo funcionan las pruebas en la práctica hasta los conceptos erróneos populares sobre ellas y cómo podría evolucionar la redacción de pruebas en la era de la inteligencia artificial. La entrevista ha sido editada y condensada para mayor claridad.
Recientemente publicó un artículo sobre la naturaleza de la demostración matemática. ¿Por qué decidiste que era importante escribir sobre esto?
La forma en que los matemáticos realizan investigaciones generalmente no se describe bien en los medios populares. La gente tiende a ver las matemáticas como una búsqueda pura, en la que llegamos a grandes verdades únicamente mediante el pensamiento puro. Pero las matemáticas se tratan de conjeturas, a menudo conjeturas erróneas. Es un proceso experimental. Aprendemos por etapas.
Por ejemplo, cuando la hipótesis de Riemann apareció por primera vez en un artículo en 1859, fue como magia: aquí tenemos esta asombrosa conjetura, surgida de la nada. Durante 70 años, la gente habló de lo que un gran pensador puede hacer únicamente con el pensamiento puro. Luego, el matemático Carl Siegel encontró las notas de Riemann en los archivos de Gotinga. De hecho, Riemann había escrito páginas de cálculos de ceros de la función zeta de Riemann. Las famosas palabras de Siegel fueron: "Esto basta para el pensamiento puro".
De modo que existe esta tensión en la forma en que la gente escribe sobre matemáticas, en particular algunos filósofos e historiadores. Parecen pensar que somos una criatura puramente mágica, un unicornio de la ciencia. Pero normalmente no lo somos. Rara vez es solo pensamiento puro.
Introducción
¿Cómo caracterizarías lo que hacen los matemáticos?
La cultura de las matemáticas tiene que ver con la prueba. Nos sentamos y pensamos, y el 95% de lo que hacemos es prueba. Gran parte de la comprensión que obtenemos proviene de luchar con pruebas e interpretar los problemas que surgen cuando luchamos con ellas.
A menudo pensamos en una prueba como un argumento matemático. A través de una serie de pasos lógicos, demuestra que una afirmación determinada es verdadera. Pero usted escribe que esto no debe confundirse con la verdad pura y objetiva. ¿Qué quieres decir con eso?
El objetivo principal de una prueba es persuadir al lector de la verdad de una afirmación. Eso significa que la verificación es clave. El mejor sistema de verificación que tenemos en matemáticas es que mucha gente mira una prueba desde diferentes perspectivas y encaja bien en un contexto que conocen y creen. En cierto sentido, no estamos diciendo que sepamos que sea verdad. Decimos que esperamos que sea correcto, porque mucha gente lo ha probado desde diferentes perspectivas. Las pruebas son aceptadas según estos estándares comunitarios.
Luego está esta noción de objetividad: de estar seguro de que lo que se afirma es correcto, de sentir que se tiene una verdad fundamental. Pero ¿cómo podemos saber que estamos siendo objetivos? Es difícil salir del contexto en el que has hecho una declaración, tener una perspectiva fuera del paradigma establecido por la sociedad. Esto es tan cierto para las ideas científicas como para cualquier otra cosa.
También podemos preguntarnos qué es objetivamente interesante o importante en matemáticas. Pero esto también es claramente subjetivo. ¿Por qué consideramos que Shakespeare es un buen escritor? Shakespeare no era tan popular en su época como lo es hoy. Obviamente existen convenciones sociales en torno a lo que es interesante y lo que es importante. Y eso depende del paradigma actual.
Introducción
En matemáticas, ¿cómo se ve eso?
Uno de los ejemplos más famosos de cambio de paradigma es el cálculo. Cuando se inventó el cálculo, implicó dividir algo que va hacia cero por algo que va hacia cero, lo que lleva a cero dividido por cero, lo cual no tiene ningún significado. Inicialmente, a Newton y Leibniz se les ocurrieron objetos llamados infinitesimales. Hizo que sus ecuaciones funcionaran, pero según los estándares actuales no era sensato ni riguroso.
Ahora tenemos la formulación épsilon-delta, que se introdujo a finales del siglo XIX. Esta formulación moderna es tan asombrosa y obviamente buena para entender bien estos conceptos que cuando miras las formulaciones antiguas, te preguntas: ¿en qué estaban pensando? Pero en ese momento, se consideraba que esa era la única manera de hacerlo. Para ser justos con Leibniz y Newton, probablemente les hubiera encantado la forma moderna. No pensaron en hacerlo, por los paradigmas de su época. Así que tomó muchísimo tiempo llegar allí.
El problema es que no sabemos cuándo nos estamos comportando así. Estamos atrapados en la sociedad en la que vivimos. No tenemos una perspectiva externa para decir qué suposiciones estamos haciendo. Uno de los peligros de las matemáticas es que puedes concebir algo como si no fuera importante porque no es fácil de expresar o discutir en el lenguaje que has elegido utilizar. No significa que tengas razón.
Me gusta mucho esta cita de Descartes, donde básicamente dice: “Creo que sé todo lo que hay que saber sobre un triángulo, pero ¿quién puede decir que lo sé? Quiero decir, a alguien en el futuro se le podría ocurrir una perspectiva radicalmente diferente, que conduzca a una manera mucho mejor de pensar sobre un triángulo”. Y creo que tiene razón. Eso lo ves en matemáticas.
Como escribió en su artículo, puede pensar en una prueba como un pacto social: una especie de acuerdo mutuo entre el autor y su comunidad matemática. Hemos visto un ejemplo extremo de que esto no funciona, con la supuesta prueba de Mochizuki de la abecedario conjetura.
Es extremo, porque Mochizuki no quería jugar como se juega. Ha tomado esta decisión para ser oscura. Cuando las personas logran grandes avances, con ideas realmente nuevas y difíciles, creo que les corresponde intentar incluir a otras personas explicando sus ideas de la manera más accesible posible. Y él dijo más bien, bueno, si no quieres leerlo como lo escribí, ese no es mi problema. Tiene derecho a jugar el juego que quiera jugar. Pero no tiene nada que ver con la comunidad. No tiene nada que ver con la forma en que avanzamos.
Introducción
Si las pruebas existen en un contexto social, ¿cómo han cambiado con el tiempo?
Todo comienza con Aristóteles. Dijo que es necesario que haya algún tipo de sistema deductivo: que sólo se pueden probar cosas nuevas basándolas en cosas que ya se saben y de las que se está seguro, volviendo a ciertas “declaraciones primitivas” o axiomas.
Entonces la pregunta es: ¿Cuáles son esas cosas básicas que sabes que son ciertas? Durante mucho tiempo, la gente simplemente decía, bueno, una línea es una línea, un círculo es un círculo; Hay algunas cosas que son simples y obvias, y esas deberían ser las suposiciones desde las que partimos.
Esa perspectiva ha durado para siempre. Todavía existe hoy en gran medida. Pero el sistema axiomático euclidiano que se desarrolló (“una línea es una línea”) tuvo sus problemas. Existieron estas paradojas descubiertas por Bertrand Russell basándose en la noción de conjunto. Además, se podrían jugar juegos de palabras con el lenguaje matemático, creando afirmaciones problemáticas como “esta afirmación es falsa” (si es verdadera, entonces es falsa; si es falsa, entonces es verdadera) que indicaban que había problemas con el sistema axiomático.
Entonces Russell y Alfred Whitehead intentaron crear un nuevo sistema de matemáticas que pudiera evitar todos estos problemas. Pero era ridículamente complicado y costaba creer que éstos fueran los primitivos correctos para empezar. Nadie se sentía cómodo con eso. Algo así como demostrar que 2 + 2 = 4 requirió una gran cantidad de espacio desde el punto de partida. ¿Cuál es el punto de tal sistema?
Entonces apareció David Hilbert y tuvo esta idea asombrosa: que tal vez no deberíamos decirle a nadie qué es lo correcto para empezar. En cambio, vale la pena explorar cualquier cosa que funcione (un punto de partida que sea simple, coherente y consistente). No puedes deducir dos cosas de tus axiomas que se contradigan entre sí, y deberías poder describir la mayor parte de las matemáticas en términos de los axiomas seleccionados. Pero no deberías decir a priori cuáles son.
Esto también parece encajar en nuestra discusión anterior sobre la verdad objetiva en matemáticas. Entonces, a principios del siglo XX, los matemáticos se estaban dando cuenta de que podía haber una pluralidad de sistemas axiomáticos: ¿que un conjunto determinado de axiomas no debería tomarse como una verdad universal o evidente por sí misma?
Bien. Y debo decir que Hilbert no empezó a hacer esto por razones abstractas. Estaba muy interesado en diferentes nociones de geometría: la geometría no euclidiana. Fue muy controvertido. La gente en ese momento decía: si me das esta definición de una línea que rodea las esquinas de una caja, ¿por qué debería escucharte? Y Hilbert dijo que si podía hacerlo coherente y consistente, deberíamos escuchar, porque ésta puede ser otra geometría que necesitamos entender. Y este cambio de punto de vista (que se puede permitir cualquier sistema axiomático) no se aplica sólo a la geometría; se aplica a todas las matemáticas.
Pero claro, algunas cosas son más útiles que otras. Entonces la mayoría de nosotros trabajamos con los mismos 10 axiomas, un sistema llamado ZFC.
Lo que lleva a la pregunta de qué se puede y qué no se puede deducir de ello. Hay afirmaciones, como la hipótesis del continuo, que no se pueden probar utilizando ZFC. Debe haber un undécimo axioma. Y puedes resolverlo de cualquier manera, porque puedes elegir tu sistema axiomático. Es genial. Seguimos con esta especie de pluralidad. No está claro qué está bien y qué está mal. Según Kurt Gödel, todavía tenemos que tomar decisiones basadas en el gusto y, con suerte, tendremos buen gusto. Deberíamos hacer cosas que tengan sentido. Y lo hacemos.
Hablando de Gödel, aquí también juega un papel bastante importante.
Para hablar de matemáticas, se necesita un idioma y un conjunto de reglas a seguir en ese idioma. En la década de 1930, Gödel demostró que no importa cómo se seleccione el idioma, siempre hay afirmaciones en ese idioma que son verdaderas pero que no se pueden demostrar a partir de los axiomas iniciales. En realidad, es más complicado que eso, pero aún así, inmediatamente surge este dilema filosófico: ¿Qué es una afirmación verdadera si no se puede justificar? Es una locura.
Entonces hay un gran lío. Estamos limitados en lo que podemos hacer.
Los matemáticos profesionales ignoran en gran medida esto. Nos centramos en lo que es factible. Como le gusta decir a Peter Sarnak: "Somos gente trabajadora". Nos ponemos manos a la obra y tratamos de demostrar lo que podemos.
Introducción
Ahora, con el uso no sólo de computadoras sino también de inteligencia artificial, ¿cómo está cambiando la noción de prueba?
Nos hemos mudado a un lugar diferente, donde las computadoras pueden hacer cosas locas. Ahora la gente dice, oh, tenemos esta computadora, puede hacer cosas que la gente no puede. ¿Pero puede ser así? ¿Puede realmente hacer cosas que la gente no puede? En la década de 1950, Alan Turing dijo que una computadora está diseñada para hacer lo que los humanos pueden hacer, sólo que más rápido. No ha cambiado mucho.
Durante décadas, los matemáticos han estado utilizando computadoras, por ejemplo, para realizar cálculos que puedan ayudar a guiar su comprensión. Lo que la IA puede hacer como novedad es verificar lo que creemos que es cierto. Se han producido algunos avances fantásticos con la verificación de pruebas. Como [el asistente de pruebas] Lean, que ha permitido a los matemáticos verificar muchas pruebas, al mismo tiempo que ha ayudado a los autores a comprender mejor su propio trabajo, porque tienen que dividir algunas de sus ideas en pasos más simples para alimentar Lean para su verificación.
¿Pero es esto infalible? ¿Es una prueba una prueba sólo porque Lean está de acuerdo en que lo es? En cierto modo, es tan bueno como las personas que convierten las pruebas en insumos para Lean. Lo cual se parece mucho a cómo hacemos las matemáticas tradicionales. Así que no estoy diciendo que crea que algo como Lean vaya a cometer muchos errores. Simplemente no estoy seguro de que sea más seguro que la mayoría de las cosas que hacen los humanos.
Me temo que tengo mucho escepticismo sobre el papel de las computadoras. Pueden ser una herramienta muy valiosa para hacer las cosas bien, particularmente para verificar matemáticas que se basan en gran medida en nuevas definiciones que no son fáciles de analizar a primera vista. No hay duda de que es útil tener nuevas perspectivas, nuevas herramientas y nueva tecnología en nuestro arsenal. Pero lo que evito es el concepto de que ahora vamos a tener máquinas lógicas perfectas que producirán teoremas correctos.
Debe reconocer que no podemos estar seguros de que todo esté bien con las computadoras. Nuestro futuro tiene que depender del sentido de comunidad en el que hemos confiado a lo largo de la historia de la ciencia: que intercambiamos cosas unos con otros. Que hablamos con gente que mira lo mismo desde una perspectiva completamente diferente. Etcétera.
¿Hacia dónde cree que irá esto en el futuro, a medida que estas tecnologías se vuelvan más sofisticadas?
Quizás podría ayudar a crear una prueba. Quizás dentro de cinco años le diga a un modelo de IA como ChatGPT: “Estoy bastante seguro de haber visto esto en alguna parte. ¿Lo comprobarías? Y volverá con una declaración similar que es correcta.
Y luego, una vez que se vuelve muy, muy bueno en eso, tal vez puedas ir un paso más allá y decir: "No sé cómo hacer esto, pero ¿hay alguien que haya hecho algo como esto?". Quizás eventualmente un modelo de IA pueda encontrar formas hábiles de buscar en la literatura para aplicar herramientas que se han utilizado en otros lugares, de una manera que un matemático no podría prever.
Sin embargo, no entiendo cómo ChatGPT puede ir más allá de cierto nivel para hacer pruebas de una manera que nos supera. ChatGPT y otros programas de aprendizaje automático no piensan. Están usando asociaciones de palabras basadas en muchos ejemplos. Por lo que parece poco probable que trasciendan sus datos de entrenamiento. Pero si eso sucediera, ¿qué harían los matemáticos? Gran parte de lo que hacemos es prueba. Si nos quitas las pruebas, no estoy seguro de en quiénes nos convertiremos.
De todos modos, cuando pensamos en dónde vamos a llevar la asistencia informática, debemos tener en cuenta todas las lecciones que hemos aprendido del esfuerzo humano: la importancia de utilizar diferentes lenguajes, trabajar juntos y adoptar diferentes perspectivas. Hay solidez y salud en la forma en que diferentes comunidades se unen para trabajar y comprender una prueba. Si vamos a tener asistencia informática en matemáticas, necesitamos enriquecerla de la misma manera.
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- Fuente: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
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