La geometría simple que predice mosaicos moleculares | Revista Cuanta

Un sábado por la tarde en el otoño de 2021, Silvio Decurtins estaba hojeando un papel con un título que podría haber sido sacado de un libro de historietas para adolescentes inclinados a las matemáticas: "Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation".

No fue el título inusual lo que le llamó la atención, sino las imágenes de la tercera página: patrones geológicos en todas las escalas, desde el permafrost agrietado hasta las placas tectónicas de la Tierra. Decurtins, químico de la Universidad de Berna, recordó los materiales que había estado estudiando. “¡Ay! ¡También tengo patrones!” el pensó. “Es solo una cuestión de escala”.

Los patrones de Decurtins no estaban formados por grietas en la tierra, sino por moléculas: eran mosaicos de moléculas en láminas de solo una molécula de espesor. Estos materiales 2D pueden tener propiedades peculiares y prácticas que dependen de cómo se organicen sus componentes moleculares.

Por ejemplo, es posible organizar moléculas en patrones 2D que usan electrones como bits computacionales o para almacenar datos. Los patrones con espacios pueden actuar como membranas. Y los patrones que contienen iones metálicos pueden ser poderosos catalizadores.

Es posible construir estos materiales 2D átomo por átomo, pero hacerlo es costoso, difícil y requiere mucho tiempo. Muchos científicos, incluidos Decurtins y sus colegas, quieren diseñar materiales que se ensamblen solos. Predecir cómo las moléculas se autoensamblan en hojas 2D es uno de los grandes desafíos de la ciencia de los materiales, dijo johannes barth, físico de la Universidad Técnica de Munich.

Eso es porque la naturaleza no ha sido especialmente comunicativa con su filosofía de diseño molecular. Pronosticar el autoensamblaje es un trabajo para las supercomputadoras, y los programas pesados ​​necesarios pueden tardar días o semanas en ejecutarse.

Así que Decurtins se puso en contacto con Gabor Domokos, el primer autor del estudio, matemático de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest. Decurtins se preguntó si la misma geometría que describe cómo se fracturan los planetas podría explicar cómo se ensamblan las moléculas.

Durante el año siguiente, Domokos y sus colegas utilizaron el pensamiento geométrico para descifrar las reglas del autoensamblaje molecular: ideando una nueva manera para restringir los mosaicos que pueden formar las moléculas, usando solo la geometría simple de teselación.

“Al principio, no creían que pudieras hacerlo”, dijo Domokos. “Estaban haciendo inteligencia artificial, supercomputación y todo este tipo de jazz. Y ahora solo están mirando fórmulas. Y esto es muy relajante”.

De los planetas a los átomos

 Después de que Decurtins se pusiera en contacto, Domokos trató de vender la idea a Krisztina Regős, su estudiante de posgrado. Decurtins había enviado un puñado de imágenes que mostraban patrones a escala atómica: mosaicos de una molécula que había sido diseñada y sintetizada por su colega. Shi-Xia Liu — visto a través del ojo de un potente microscopio. Domokos quería ver si Regős podía usar la geometría que había desarrollado originalmente para describir fracturas geológicas para caracterizar los patrones en las imágenes de Decurtins.

Para empezar, Regős trató los materiales 2D como teselados poligonales simples: patrones que encajan entre sí sin espacios y se repiten infinitamente. Luego, siguiendo el enfoque de Domokos, calculó dos números para cada patrón. El primero fue el número promedio de vértices o esquinas por polígono. El segundo fue el número promedio de polígonos que rodean cada vértice.

Juntos, esos dos valores promedio son como las coordenadas GPS de un patrón. Dan su ubicación dentro de un paisaje de todas las teselaciones posibles.

Este paisaje se llama el plano simbólico. Es una cuadrícula 2D simple con el número promedio de formas por vértice en el x-eje y el número promedio de vértices por forma en el y-eje. Cada teselación debe trazarse exactamente en un punto dentro del plano. Un patrón de panal perfecto, por ejemplo, es una teselación de hexágonos de seis puntas que se encuentran en tríos en cada vértice, un punto en (3, 6) en el plano simbólico.

Pero la mayoría de los mosaicos naturales, desde grietas en rocas hasta monocapas moleculares, no son teselaciones perfectamente periódicas.

Por ejemplo, las celdas de un panal de cera real no son todas hexágonos perfectos. Las abejas cometen errores. Pero por complicado que sea, un panal sigue siendo, en promedio, un panal. Y, en promedio, sigue trazando un punto en (3, 6) en el plano simbólico. En lugar de ser una simplificación excesiva, el método de cálculo de promedios de Domokos es perspicaz, dijo el matemático. marjorie senechal del Smith College, que revisó el nuevo estudio. Al descartar los errores y tratar los patrones como promedios, revela una especie de realidad ideal que normalmente está enterrada bajo montones de casualidad.

Pero cuando Regős trató de aplicar este método a las imágenes moleculares de Decurtins, rápidamente se metió en problemas. “Empecé a ponerlos en el plano simbólico”, dijo, “y luego me di cuenta de que no puedo”.

El problema era la escala. A diferencia de los patrones geológicos con los que Domokos había trabajado antes, los mosaicos moleculares son en realidad patrones dentro de patrones. Vistos con diferentes aumentos, tienen geometrías diferentes. Regős no pudo describir los mosaicos moleculares con un solo par de valores porque los patrones trazaban diferentes puntos en el plano simbólico, dependiendo de la ampliación de la imagen. Fue un poco como acercar un mosaico hexagonal y descubrir que sus bloques de construcción básicos son en realidad triángulos.

“Entonces Kriszti dijo: OK, esto es un desastre”, dijo Domokos.

Luego descubrió cómo ordenar los mosaicos. En lugar de forzar los patrones anidados de los materiales en un solo par de promedios, los dividió en tres niveles de organización, cada uno representado por su propio punto en el plano simbólico.

En el nivel más bajo, los átomos de cada molécula se combinan para formar un polígono. Esas moléculas luego se conectan entre sí a través de enlaces de hidrógeno, creando una teselación de polígonos. Finalmente, en el nivel más alejado, las moléculas individuales se contraen en puntos, y esos puntos se conectan para formar un mosaico.

En el nuevo marco de Regős, cada nivel se representa como una malla simple de puntos y líneas: un gráfico.

Usar la teoría de grafos para describir patrones moleculares "es muy poderoso", dijo Carlos Andrés Palma, físico químico de la Academia China de Ciencias y la Universidad Humboldt de Berlín. Tradicionalmente, los científicos clasifican los patrones en función de sus simetrías. Pero eso no refleja el desorden de la realidad: los nanomateriales reales rara vez son perfectamente periódicos o simétricos, dijo Palma. Entonces, reducir los patrones moleculares a gráficos simples y flexibles “nos permite comunicarnos con el mundo natural, en mi opinión, mucho mejor”, dijo.

Predicción de patrones

Regős y Domokos ahora tenían una forma de describir los mosaicos moleculares de Decurtins, un paso clave para predecir cómo las moléculas podrían autoensamblarse.

"Somos bastante malos para predecir", dijo Ulrich Aschauer, un físico computacional de la Universidad de Salzburgo que trabaja en el autoensamblaje.

Tradicionalmente, los científicos utilizan una variedad de métodos para predecir cómo se autoensamblarán las moléculas. Aschauer simula cómo interactúan las moléculas en una superficie. Luego identifica los patrones que requieren la menor cantidad de energía para formarse, que deberían ser los más probables de aparecer. Otros científicos analizan una gran cantidad de patrones generados aleatoriamente, o entrenan algoritmos de aprendizaje automático para pronosticar el autoensamblaje. Todos estos métodos son computacionalmente costosos: Palma recordó cómo un colega una vez simuló moléculas de agua durante años, solo para hacer una sola predicción sobre cómo el agua se autoensambla. Los algoritmos de aprendizaje automático también tienen puntos ciegos; solo aprenden lo que les das de comer, dijo Aschauer. Y es imposible verificar todos los patrones posibles, por lo que los científicos a menudo tienen que adivinar cuáles vale la pena considerar en primer lugar.

“Nuestra conjetura inicial determina lo final que encontramos”, explicó Aschauer. “Y es un gran problema porque si no tengo la intuición correcta para empezar, termino equivocada”.

Pero la geometría de Regős y Domokos era agnóstica. Simplemente trató las moléculas como puntos y los enlaces como líneas. No requirió una conjetura inicial.

Después de conocer personalmente a Aschauer y Decurtins en Suiza, los matemáticos finalmente se dedicaron al complicado asunto de tratar de predecir patrones en lugar de simplemente describirlos.

Gömböcs y puentes

Tal como estaba, el sistema de Regős podría restringir el nivel medio de organización de un patrón, en el que las moléculas son polígonos y los enlaces de hidrógeno son líneas. Pero no pudo trabajar hacia arriba desde el mosaico molecular para predecir el mosaico a gran escala. Sin algo que vinculara matemáticamente los tres niveles, su modelo era como una escalera a la que le faltaba un peldaño.

Domokos decidió que valía la pena consultar con Kostya Novoselov — un físico de la Universidad Nacional de Singapur que compartió un premio nobel para sintetizar grafeno, quizás el material 2D más famoso de todos. Los dos se habían conocido accidentalmente a principios de ese año, después de que Novoselov ordenara un número conspicuo de Gömböcs, nuevas formas geométricas que Domokos había descubierto, de una tienda en Budapest.

Con el aporte de Novoselov, Domokos y Regős refinaron su modelo geométrico. Hasta entonces, habían utilizado solo tres niveles de organización: la molécula, el patrón de mediana escala y el patrón de gran escala. Novoselov sugirió agregar un cuarto nivel: un puente entre los niveles mediano y grande. La ecuación que describe este puente vincula la geometría de los niveles más pequeño y medio con el nivel más grande, el mosaico molecular.

Con el puente en su lugar, el equipo ahora podría tomar el mosaico molecular y trabajar hacia arriba para restringir sus patrones potenciales a gran escala utilizando un sistema simple de cinco ecuaciones algebraicas y desigualdades que podrían caber en la parte posterior de un sobre. En estas declaraciones matemáticas, las variables son las coordenadas de un patrón en el plano simbólico, más algunos términos que describen la estructura de una molécula. Tomado como un todo, el sistema relaciona cada nivel de organización con los demás y con las coordenadas de un patrón en el plano simbólico.

Trazados en el plano simbólico, los posibles arreglos a gran escala de una molécula caen en una pequeña porción de la curva que define todos los posibles patrones moleculares 2D que llenan el espacio. Los investigadores ahora podrían usar la molécula inicial para restringir ese corte.

Pero aún no estaban convencidos de que su "porción" de posibles patrones fuera lo suficientemente pequeña. Si fuera demasiado ancho, no sería una restricción muy útil. Cuando Liu trazó las estructuras de hielo de agua 2D en el plano simbólico, descubrió que encajaban perfectamente en los extremos del rango previsto por el método. Los límites no se pueden mejorar.

“Este es el lenguaje de la naturaleza aquí”, dijo Domokos. “Eso fue una gran sorpresa para mí”.

Crecimiento y Forma

Cerca del final del proyecto, en mayo de 2022, los húngaros viajaron nuevamente a Suiza. Esta vez, sus colegas los sorprendieron con una visita al microscopio que había producido las imágenes con las que habían estado trabajando, y fue entonces cuando Regős y Domokos finalmente se dieron cuenta de lo que habían hecho: vincular matemáticamente mosaicos a gran escala con enlaces moleculares. en una escala mucho más pequeña, habían capturado algo de la maraña invisible de interacciones que en última instancia dictan cómo se forman los patrones moleculares. Su geometría podía "ver" cosas que la máquina no podía.

“Fue increíble”, dijo Regős. “Bajamos al sótano y vimos que están en el límite de nuestra ciencia”.

Usar un microscopio para comprender los patrones autoensamblados, dijo Novoselov, es como tratar de comprender la hierba tomándole fotografías desde arriba. Esas imágenes te dicen mucho sobre el césped, “pero definitivamente no todo”, dijo. Revelan poco sobre las raíces de la hierba o cómo crece. El marco de Domokos y Regős no puede ver las raíces a la perfección, pero ofrece una forma completamente nueva de esbozarlas, al vincular los bloques de construcción moleculares de un patrón con el mosaico final.

“Continúan con una maravillosa tradición antigua de estudiar la relación entre el crecimiento y la forma”, dijo Senechal, “que es realmente central para comprender cualquier cosa en el mundo que nos rodea”.

El autoensamblaje molecular a menudo comienza con una pequeña porción de material que crece hasta convertirse en un patrón más grande. Sin embargo, el nuevo marco matemático asume un patrón infinito, no un parche finito. Adaptar el trabajo para describir cómo los parches finitos se convierten en patrones más grandes podría ser un paso hacia una predicción genuina, dijo Palma. Aschauer dijo que planea usar la geometría como una guía para los callejones sin salida y los rincones prometedores pero inexplorados en el paisaje de posibles patrones. Y usar el lenguaje matemático del plano simbólico para entrenar modelos de aprendizaje automático podría ser emocionante, agregó.

“Estoy realmente intrigado por su belleza”, dijo Novoselov. "Con muy poco, solo un enfoque matemático fundamental, que es realmente geometría pura, solo gráficos en 2D, puedes predecir muchas cosas".

La matemática es simple, dijo Senechal. Pero “para ver la simplicidad”, agregó, “se necesita mucha sofisticación”.