Esimese kursuse lõpetaja leiab paradoksaalse numbrikomplekti | Quanta ajakiri

Matemaatikud rõõmustavad, kui tõestavad, et näiliselt võimatud asjad on olemas. Nii on lugu a uus tõestus postitas märtsis veebis Cédric Pilatte, Oxfordi ülikooli esimese aasta magistrant.

Pilatte tõestas, et on võimalik luua komplekt — arvude kogum —, mis rahuldab kahte näiliselt kokkusobimatut omadust. Esimene on see, et komplektis olevad kaks numbripaari ei anna sama summat. Näiteks liitke kokku kaks numbrit {1, 3, 5, 11} ja saate alati kordumatu numbri. Selliseid väikeseid "Sidoni" komplekte on lihtne konstrueerida, kuid elementide arvu suurenedes suureneb ka summade kokkulangemise tõenäosus, mis hävitab komplekti sidonlikkuse.

Teine nõue on, et komplekt peab olema väga suur. See peab olema lõpmatu ja teil peaks olema võimalik genereerida mis tahes piisavalt suur arv, liites komplektis kokku kuni kolm arvu. See omadus, mis muudab komplekti "asümptootiliseks järgu 3 aluseks", nõuab suurt ja tihedat arvude komplekti. "Nad tõmbavad vastassuundades," ütles Pilatte. "Sidoni komplektid peavad olema väikesed ja asümptootilised alused peavad olema suured. Ei olnud ilmselge, et see võiks toimida."

Küsimus, kas selline komplekt on olemas, on püsinud aastakümneid, sellest ajast peale poseeriti viljakas Ungari matemaatik Paul Erdős ja kaks kaastöötajat 1993. aastal. Erdősi vaimustus Sidoni komplektidest tuleneb vestlusest 1932. aastal nende leiutaja Simon Sidoniga, kes tol ajal oli huvitatud nende komplektide kasvutempo mõistmisest. (Erdős kirjeldas hiljem Sidonit kui "hullumat kui keskmine matemaatik", mida ta pidas peaaegu kindlasti komplimendiks.)

Sidoni komplektid tekivad erinevates matemaatilistes kontekstides, sealhulgas arvuteoorias, kombinatoorikas, harmooniliste analüüsis ja krüptograafias, kuid lihtne küsimus, kui suureks need võivad kujuneda, on olnud kestev mõistatus, mille üle Erdős mõtiskles suure osa oma karjäärist. Erdős mõistis varakult, et Sidoni komplekte on äärmiselt raske mõõta. 1941. aastal tema ja veel üks matemaatik tõestatud et suurim võimalik Sidoni hulk, mille kõik liikmed on väiksemad kui mõni täisarv N peab olema väiksem kui ruutjuur N pluss termin, mis kasvab võrdeliselt neljanda juurega N. (1969. aastaks näitas Bernt Lindström, et see on väiksem kui $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1 $, ja 2021. aastal näitas veel üks rühm matemaatikuid pingutas köidet kuni $latex sqrt{N}+0.998 korda sqrt[4]{N}$.) Sidoni hulgad, teisisõnu, peavad olema hõredad.

Ammu on teada, et Sidoni hulk ei saa olla 2. järgu asümptootiline alus, kus iga täisarvu saab väljendada maksimaalselt kahe arvu summana. (Näiteks paaritud arvud moodustavad 2. järjekorra aluse.) Nagu Pilatte selgitas, on seda nii lihtne näidata, et matemaatikud ei vaevunud seda kirja panema: "Et järjekord 2 on võimatu, teati ilmselt palju varem, kui see kirjanduses selgesõnaliselt kirjas oli." Ta selgitas, et selle põhjuseks on asjaolu, et "Sidoni järjestused ei saa ületada teatud tihedust, samas kui 2. järgu asümptootilised alused on alati sellest lävest tihedamad, nii et kaks omadust ei saa korraga kehtida."

Üldiselt arvati, et Sidoni komplektist saab konstrueerida 3. järku asümptootilise aluse, kuid selle tõestamine oli teine ​​asi. "Inimesed uskusid, et see peaks tõsi olema," ütles Pilatte'i nõunik James Maynard. "Kuid meie kasutatavate tehnikatega oli raskusi."

Mõningaid edusamme oli tehtud enne, kui Pilatte väljakutse vastu võttis. 2010. aastal Ungari matemaatik Sándor Kiss näitas et Sidoni hulk võib olla 5. järgu asümptootiline alus – mis tähendab, et iga piisavalt suure täisarvu saab kirjutada maksimaalselt viie hulga elemendi summana – ning 2013. aastal Kiss ja kaks tema kolleegi tõestatud oletus asümptootilise järjestuse aluse kohta 4. Kaks aastat hiljem Hispaania matemaatik Javier Cilleruelo võttis need tulemused samm edasi, tõestades, et on võimalik konstrueerida Sidoni hulk, mis on asümptootiline alus järjekorras 3 + e, mis tähendab, et mis tahes piisavalt suur täisarv N võib kirjutada Sidoni hulga nelja liikme summana, kusjuures üks neist on väiksem kui N^e meelevaldselt väikese positiivse jaoks e.

Need leiud saadi, kasutades Erdősi algatatud tõenäosusliku meetodi variatsioone, mis hõlmab juhusliku täisarvude komplekti genereerimist ja selle pisut kohandamist, et luua komplekt, mis vastab mõlemale omadusele.

Pilatte mõistis, et tõenäosuslik meetod oli viidud nii kaugele kui võimalik. "Tõenäosuslikke meetodeid kasutades saate järjekorra 4 aluse, kuid järjekorra 3 alust ei saa," ütles ta. "See lihtsalt ebaõnnestub."

Seega võttis Pilatte teistsuguse käigu, pöördudes selle asemel protseduuri poole, mis kasutab Sidoni komplektide ehitusplokkidena algarvude logaritme. Töötanud välja Ungari arvuteoreetik Imre Ruzsa ja Cilleruelo, annab see lähenemisviis suuremad ja tihedamad Sidoni komplektid kui tõenäosuslik meetod, mida Pilatte vajas madala järjekorra aluse loomiseks, mis järgis ka Sidoni omadust. Kuid meetod nõudis algarvudega rajatist, millest puudusid isegi maailma parimad eksperdid. "Teil on vaja algarvude mõistmist, mis ületab kõik, mis meil on," ütles Pilatte. "Seega ei olnud hea."

Lahenduse otsimine viis Pilatte'i ootamatus suunas, eemaldudes aditiivsest arvuteooriast ja algebralise geomeetria maailma, mis on matemaatika haru, mis uurib geomeetriliste kujundite, nagu kõverate ja pindade ning neid defineerivate võrrandite vahelisi seoseid. Kasutades Cilleruelo ideed, alustas Pilatte numbrite asendamisega polünoomidega, mis muutis probleemi kohe paremini käsitletavaks.

Polünoom on algebraline avaldis, mis koosneb liikmete summast, millest igaüks on konstantse koefitsiendi ja ühe või mitme muutuja korrutis, mis on tõstetud mittenegatiivsete täisarvudeni. Mõisteid saab kombineerida liitmise, lahutamise ja korrutamise abil. Näiteks 3x² + 22x + 35 on kolmeliikmeline polünoom. Polünoomi faktoriseerimine tähendab selle jagamist teiste, lihtsamate polünoomide korrutisteks. Selles näites on 3x² + 22x + 35 = (x + 5) (3x + 7). Redutseerimata polünoom – selline, mida ei saa faktoritesse arvestada – on algarvu analoog.

Täisarvude vahetamine muutujate ja koefitsientide vastu võib tunduda kummaline, kuid neil on rohkem ühist, kui arvate. "Selgub, et polünoomid käituvad väga sarnaselt täisarvudega," ütles Pilatte'i Oxfordi kolleeg. Thomas Bloom. "Ma saan neid liita, lahutada, korrutada, jagada." Ja mõnes mõttes mõistavad matemaatikud polünoome palju paremini kui numbreid. "Kõik need asjad, mis koos algarvudega kõlavad meile ulmekirjana, on polünoomimaailmas teada," ütles Maynard.

Kasutades hiljutine tulemus Columbia ülikooli matemaatiku poolt Will Sawin taandamatute polünoomide jaotuse kohta aritmeetilises progressioonis suutis Pilatte konstrueerida hulga, millel oli täpselt õige hulk juhuslikkust ja õige arvude tihedus, et täita Erdősi piiranguid.

"Ma olin ülimalt õnnelik," ütles Pilatte. "Ma ühinen siinsete inimeste grupiga, kes on Erdőse probleemi lahendanud, ja see on lõbus."

Kuid kõige rohkem rõõmustab teda üllatav viis, kuidas ta lahenduseni jõudis. "On lahe, et neid väga sügavaid algebralise geomeetria tehnikaid saab kasutada ka selle lihtsa ja konkreetse numbrikomplekti puudutava küsimuse jaoks," ütles ta.

Erdősi ülesannetel on kummaline oskus leida seoseid väidetavalt mitteseotud matemaatikaharude vahel ja matemaatikute avastused, mille nad neile vastata püüdes teevad, on sageli tähendusrikkamad kui vastused ise. "Nad on petlikud, kui sügavad nad on, ja Cédrici lahendus on selle suurepärane näide," ütles Bloom. "Olen kindel, et Erdős oleks vaimustuses olnud."

Parandus: Juuni 5, 2023
See artikkel tõi algselt näite Siidoni komplektist, mis tegelikult ei ole Sidoni komplekt. See näide on eemaldatud.