Matemaatikud kõrvaldavad sõlme oletuste pikaajalise ohu

Üle 60 aasta tagasi esitas Ralph Fox sõlmede probleemi, mis kummitab matemaatikuid tänapäevani. Tema küsimus on nüüd sageli sõnastatud kui "lõigatud lindi oletus", mis eeldab, et kaks näiliselt erinevat sõlmerühma on tegelikult samad. Tänu oma soovitusele elegantsele lihtsusele sõlmemaailmas on sellest saanud üks sõlmeteooria kõige olulisematest probleemidest. "See tähendaks, et maailm on natuke rohkem struktureeritud, kui muidu oodata võiks," ütles Arunima Ray, matemaatik Max Plancki matemaatikainstituudist Bonnis.

Aastakümneid kahtlustati, et üks konkreetne sõlm on võimalik tee oletuse lahendamiseks. Ometi aastal a eelmisel suvel postitatud paber, leidsid viis matemaatikut, et see sõlm ei tööta lõpuks. Kuigi nende esitatud argumendid annavad uusi teadmisi laiemast sõlmeklassist, jätab töö tervikuna matemaatikud oletuste suhtes ebakindlaks. "Ma arvan, et selle üle, kas see osutub tõeks või mitte, on tõeline õigustatud vaidlus," ütles ta. Kristen Hendricks, matemaatik Rutgersi ülikoolist.

Viilu-lindi oletus puudutab kahte tüüpi sõlme: viilusõlmed ja lindisõlmed. Selgitamine, millised sõlmed on viiludeks, on "üks põhiküsimusi, mille ümber meie teema keerleb", ütles. Abhishek Mallick, üks uue artikli autoreid.

Matemaatilist sõlme võib pidada tavaliseks nöörisilmuseks. Matemaatikud nimetavad lihtsat silmust ilma sõlmeta sõlmeks. (Kuigi see pole sõlm selle sõna tavalises tähenduses, peavad matemaatikud sõlme lihtsaimaks sõlme näiteks.)

Sõlmed määratlevad ka kujundi piiri, mida matemaatikud kettaks nimetavad, kuigi see ei näe alati välja ketta moodi selle sõna tavalises tähenduses. Lihtsaim näide, sõlme, moodustab ringi piiri - "ketta", mis näeb tõepoolest välja nagu ketas. Kuid silmus ei piira mitte ainult laual lameda ringi, vaid ka kolmemõõtmelist kaussi, mis on laua peal tagurpidi asetatud. Ketasid, mida sõlmed määratlevad, saab veelgi laiendada kolmest mõõtmest neljaks.

Kui stringis on sõlm, lähevad kettad keerulisemaks. Kolmemõõtmelises ruumis on neil ketastel singulaarsused - punktid, kus nad on matemaatiliselt halvasti käitunud. Lõikesõlmed on need, mille puhul on võimalik – neljamõõtmeliselt – leida selliste singulaarsusteta ketast. Viilude sõlmed on "paremuselt järgmine asi sõlmele,” nagu Peter Teichner, samuti Max Plancki Instituudist, on selle pannud.

Sellele vaatamata võivad kolmemõõtmeliselt viilusõlmedega piiratud kettad olla koledad ja nendega on raske töötada. Lõikeriba oletus ütleb, et need ei pea tingimata olema.

Lindisõlmed on sõlmed, mille kettad meenutavad linte. Kolmemõõtmeliselt võivad need paelad ise läbida, nagu tavalise lindi saab tõmmata läbi selle keskelt tehtud lõhe. Matemaatiliselt nimetatakse sellist läbimist lindi singulaarsuseks. Erinevalt teist tüüpi singulaarsustest saab lindi singulaarsuse hõlpsalt kõrvaldada, liikudes nelja mõõtmesse. Nii on matemaatikutel lihtne näidata, et kõik lindisõlmed on viilutatud.

Vastupidine – et iga viilu sõlm on ühtlasi lint – on viil-lindi oletus, mis on olnud lahtine küsimus aastakümneid. (Asja veelgi keerulisemaks muutmiseks on viilusõlmedel mitu seotud klassifikatsiooni, sealhulgas "sujuv viil" ja "topoloogiliselt viil". Oletus kehtib ainult "sujuva viilu" tüüpi sõlme kohta, mida matemaatikud tavaliselt "viilu" all silmas peavad.)

Oletuse ümberlükkamiseks piisab, kui leida sõlm, mis on sujuvalt viilutatud, kuid mitte lint. Matemaatikud olid aastakümneid silma peal hoidnud kandidaadil: kaheksakujulise sõlme (2, 1) kaablil, mis valmistati teise nööri keermestamise teel piki kaheksakujulist sõlme ja seejärel ühendati need kaks nööri üheks sõlmeks.

1980. aastal tõestas Akio Kawauchi, et see sõlm on nii ratsionaalselt kui ka algebraliselt viil, omadused, mis on sarnased sujuvalt viilutamisega, kuid mitte päris samad. 1994. aastal tõestas Katura Miyazaki, et see pole lint, jättes matemaatikutele pingelise avause. Kui Kawauchi tulemust saaks vaid puudutusega tugevdada, et näidata, et sõlm on sujuvalt lõigatud, lükkaks see oletuse ümber.

Uus paber tõestab, et kõnealune sõlm pole siiski viil, lööb selle ukse kinni.

"Viiluriba oletus, ikka veel tugev," ütles Hendricks, kes on teinud tihedat koostööd kahe uue artikli autoriga. "See on väga põnev, sest inimesed on püüdnud seda näidet mõista üsna pikka aega."

Uus tõestus põhineb sellel, mida nimetatakse hargnenud topeltkaaneks. Saate visualiseerida hargnenud topeltkatte, mõeldes õõnsale kerale, näiteks korvpallile. Korvpalli hargnenud topeltkatte tegemiseks lõigake see piki ühte pikkusjoont ülalt alla lahti. Nüüd tõmmake kummist üks pool, kuhu lõigasite, venitades seda piki ekvaatorit, kuni materjal on täielikult ümber keerdunud. Kui olete selle ümberkujundamise lõpetanud, on teil kahest vahetatavast materjalikihist valmistatud korvpall, seega "topeltkate". (Selle stsenaariumi korral saab kummi venitada ja väänata nii, nagu soovite, ilma et see puruneks või kortsuks.)

"Hargnev" "hargnenud topeltkaanes" tuleneb ümberkujundamise veidrusest. Kuna venitasite horisontaalselt, on palli ülemises ja alumises punktis, põhja- ja lõunapoolusel, ikkagi ainult üks kiht. Neid punkte nimetatakse hargnemispunktideks ja nende olemasolu muudab topeltkatte hargnenud topeltkatteks.

Sõlmedest rääkides on hargnenud topeltkate kokku pandud nii, et hargnemiskohad on sõlm ise: need punktid, mis, nagu korvpalli põhja- ja lõunapoolus, on kaetud vaid korra.

"Ajalooliselt on kaheharuliste kaante vaatamine olnud kaubanduse tavaline tööriist, " ütles Jennifer Hom, Georgia Tehnoloogiainstituudi matemaatik, kes on töötanud koos kahe uue artikli autoriga. Seda seetõttu, et nagu korvpall ümbritseb õhupalli, ümbritseb viilusõlme hargnenud topeltkate teatud neljamõõtmelist kuju. Kui matemaatikud suudavad näidata, et sõlme hargnenud topeltkate ei ümbritse õiget 4D-kuju, võivad nad välistada võimaluse, et sõlm on viil.

Kuid see ei tööta päris kaheksa sõlme (2, 1) kaabli puhul: selle hargnenud topeltkate ümbritseb õiget tüüpi neljamõõtmelist kuju. Näidates, et kaheksakujulise sõlme (2, 1) kaabel ei ole viil, sõltub kuju sageli tähelepanuta jäetud sümmeetriast.

Kui venitate korvpalli pinda, et moodustada hargnenud topeltkate, võite ette kujutada, et teete midagi analoogset selle sees oleva kolmemõõtmelise õhupalliga. Kui tõmbate kummi ümber palli, tõmmake lihtsalt õhku sellega kaasa. Nii nagu kaks kummikihti on omavahel vahetatavad, on õhupallis kaks poolkera, mis mõlemad jõuavad samasse kohta. Teisisõnu, palli väliskülje sümmeetria ulatub sissepoole.

Samamoodi ulatuvad viilusõlme hargnenud topeltkaanel olevad sümmeetriad 4D-ruumi. Matemaatikud eiravad seda sümmeetriat tavaliselt, kui nad üritavad näidata, et sõlmed ei ole viilud. Kuid antud juhul oli see hädavajalik. Kui uue töö autorid suudaksid näidata, et sellist sümmeetriat pole, võiksid nad järeldada, et sõlm ei ole viil.

"Kuna küsimus ei viita ühelegi sümmeetriale, võiksite mõelda: noh, kuidas sümmeetria pildile tuleb, et selle kohta midagi öelda? Kuid kuidagi võluväel tuleb sel juhul sümmeetria pildile ja lahendab teie jaoks probleemi," ütles Mallick, kes on uue artikli autor. Irving Dai Stanfordi ülikoolist, JungHwani pargist Korea teaduse ja tehnoloogia kõrgkoolist, Matthew Stoffregen Michigani osariigi ülikoolist ja Sungkyung Kang Lõuna-Korea alusteaduste instituudis.

"Me teadsime, et see struktuur on olemas. Kuid osa põhjusest, miks inimesed seda ei uurinud, on see, et meil polnud võimalust seda struktuuri jälgida, ”ütles Ray. "Selle tuvastamiseks vajate väljamõeldud suure võimsusega tööriista."

Argumendi esitamiseks pidi meeskond kasutama sügavat ja keerulist matemaatikat, mis oli seotud sõlme ja seda ümbritseva ruumiga, tuginedes sümmeetriatele, mis on peenemad isegi kui hargnenud topeltkatte omad. Kahes varasemad paberid, Dai, Mallick ja Stoffregen olid mõned neist omadustest välja arvutanud. Kui Kang eelmisel suvel külastas Stoffregenit Michigani osariigis, kui kaheksa sõlme (2, 1) kaabel oli tal endiselt meeles, mõistsid teadlased kiiresti, et need valemid lahendavad selle viilutavuse probleemi. "Seal on intuitsioon, mis ütles mulle, et see arvutus peaks toimima," ütles Kang. "Ja lihtsalt selle arvutamisega peaksime suutma selle probleemi juba praegu lahendada."

Juuli lõpus postitati nende paber veebis, mis tõestas, et sõlm ei olnud tegelikult viil. Parki sõnul peaksid paberi ideed olema rakendatavad paljude sõlmede puhul, mille viilutamine on praegu küsitav. "See on alles algus," ütles ta. Kuigi see artikkel keskendub konkreetsele sõlmele, ütles Park, et nende välja töötatud tööriistad töötavad palju üldisemate sõlmeperekondade jaoks. Algse sõlme viilumatus tagab aga selle, et viilu-lindi oletus jääb praegu lahendamata.