Piljardilaudade salapärane matemaatika | Quanta ajakiri

Disney 1959. aasta filmis Donald Mathmagic Land, Donald Duck, mis on inspireeritud jutustaja piljardi geomeetria kirjeldustest, lööb energiliselt löögikuuli, saates selle ümber laua rikošeteerima, enne kui see lõpuks ettenähtud pallid tabab. Donald küsib: "Kuidas teile matemaatika meeldib?"

Kuna ristkülikukujulistel piljardilaudadel on neli seina, mis ristuvad täisnurga all, on piljardi trajektoorid nagu Donaldi omad etteaimatavad ja hästi mõistetavad – isegi kui neid on praktikas raske teostada. Põhiküsimustele piljardipallide võimalike trajektooride kohta teiste hulknurkade (lamedate külgedega kujundid) laudadel ei oska aga uurimismatemaatikud endiselt vastata. Isegi kolmnurgad, kõige lihtsamad hulknurgad, sisaldavad endiselt saladusi.

Kas palli on alati võimalik lüüa nii, et see naaseb samas suunas liikudes oma alguspunkti, luues nn perioodilise orbiidi? Keegi ei tea. Muude, keerulisemate kujundite puhul pole teada, kas palli on võimalik lüüa laua mis tahes punktist laua mõnda teise punkti.

Kuigi need küsimused näivad sobivat täpselt keskkoolis õpetatava geomeetria piiridesse, on nende lahendamise katsed nõudnud, et mõned maailma tuntumad matemaatikud tooksid ideid erinevatest valdkondadest, sealhulgas dünaamilised süsteemid, topoloogia ja diferentsiaalgeomeetria. Nagu kõigi suurte matemaatikaprobleemide puhul, on ka nende probleemide kallal töötamine loonud uut matemaatikat ning toonud tagasi nende teiste valdkondade teadmisi ja täiustanud neid. Kuid hoolimata kõigist nendest jõupingutustest ja kaasaegsete arvutite tehtud teadmistest on need pealtnäha lihtsad probleemid kangekaelselt lahendusele vastu.

Siit saate teada, mida matemaatikud on piljardi kohta õppinud pärast Donald Ducki eepiliselt sassis lööki.

Tavaliselt eeldavad nad, et nende piljardipall on lõpmatult väike, mõõtmeteta punkt ja et see põrkab seintelt tagasi täiusliku sümmeetriaga, väljudes saabumisega sama nurga all, nagu allpool näha.

Ilma hõõrdumiseta liigub pall lõputult, välja arvatud juhul, kui see jõuab nurka, mis peatab palli nagu tasku. Põhjus, miks piljardit on nii raske matemaatiliselt analüüsida, on see, et kahel peaaegu identsel lasul, mis maanduvad kummalgi pool kurvi, võivad olla metsikult erinevad trajektoorid.

Peamine meetod hulknurkse piljardimängu analüüsimiseks on mitte mõelda pallile kui laua äärest põrgatavale pallile, vaid ette kujutada, et iga kord, kui pall vastu seina põrkab, liigub see laua värskesse koopiasse, mis on ümber pööratud. serva, tekitades peegelpildi. See protsess (vaadake allpool), mida nimetatakse piljarditee lahtirullimiseks, võimaldab pallil sirgjoonelist trajektoori jätkata. Kujutades ettekujutatud lauad nende naabritele tagasi, saate taastada palli tegeliku trajektoori. See matemaatiline trikk võimaldab tõestada trajektoori kohta asju, mida muidu oleks keeruline näha.

Näiteks saab seda kasutada selleks, et näidata, miks lihtsatel ristkülikukujulistel tabelitel on lõpmatult palju perioodilisi trajektoore läbi iga punkti. Sarnane argument kehtib iga ristküliku kohta, kuid konkreetsuse huvides kujutage ette lauda, ​​mis on kaks korda laiem kui pikk.

Oletame, et soovite leida perioodilist orbiidi, mis läbib tabeli n korda pikas suunas ja m korda lühikeses suunas. Kuna ristküliku iga peegelpilt vastab seinalt tagasi põrkuvale pallile, peab pall samas suunas liikudes oma alguspunkti naasma, peab selle trajektoor ületama lauda mõlemas suunas paarisarv kordi. Niisiis m ja n peab olema ühtlane. Paigutage ruudustik identsetest ristkülikutest, millest igaüks vaadeldakse naabrite peegelpildina. Joonistage joonelõik algse tabeli punktist koopia identse punktini n lauad eemale pikas suunas ja m lauad eemal lühikeses suunas. Reguleerige algpunkti veidi, kui tee läbib nurka. Siin on näide, kus n = 2 ja m = 6. Tagasi üles voldituna loob tee perioodilise trajektoori, nagu on näidatud rohelisel ristkülikul.

Kolmnurga ebavõrdsus

Kolmnurkade piljard, millel pole ristkülikute kena täisnurkset geomeetriat, on keerulisem. Nagu keskkooli geomeetriast mäletate, on kolmnurki mitut tüüpi: teravkolmnurgad, kus kõik kolm sisenurka on alla 90 kraadi; täisnurksed kolmnurgad, mille nurk on 90 kraadi; ja nürid kolmnurgad, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi.

Piljardilaudadel, mis on kujundatud terava ja täisnurkse kolmnurga kujul, on perioodilised trajektoorid. Kuid keegi ei tea, kas sama kehtib ka nüri kolmnurkade kohta.

Teravkolmnurga perioodilise trajektoori leidmiseks tõmmake risti igast tipust vastasküljele (vaadatuna vasakult allpool). Ühendage punktid, kus tekivad täisnurgad, moodustades kolmnurga, nagu on näha paremal.

See sisse kirjutatud kolmnurk on perioodiline piljardi trajektoor, mida nimetatakse Fagnano orbiidiks ja mis sai nime Giovanni Fagnano järgi, kes 1775. aastal näitas, et sellel kolmnurgal on kõigist sisse kirjutatud kolmnurkadest väikseim ümbermõõt.

1990. aastate alguses Fred Holt Washingtoni Ülikoolis ja Gregory Galperin ja tema kaastöötajad Moskva Riiklikus Ülikoolis iseseisvalt näitas et igal täisnurksel kolmnurgal on perioodilised orbiidid. Üks lihtne viis selle näitamiseks on peegeldada kolmnurka ühe ja seejärel teise jala ümber, nagu allpool näidatud.

Alustage trajektooriga, mis on hüpotenuusiga (kolmnurga pikem külg) täisnurga all. Hüpotenuus ja selle teine ​​peegeldus on paralleelsed, nii et neid ühendav risti asetsev joonelõik vastab trajektoorile, mis põrkub igavesti edasi-tagasi: Pall väljub hüpotenuusist täisnurga all, põrkab mõlemalt jalalt maha, naaseb paremale hüpotenuusile nurga all ja jälgib seejärel oma marsruuti.

Kuid nürid kolmnurgad jäävad saladuseks. Oma 1992. aasta artiklis leidsid Galperin ja tema kaastöötajad mitmesuguseid meetodeid nüri kolmnurkade peegeldamiseks viisil, mis võimaldab teil luua perioodilisi orbiite, kuid meetodid töötasid ainult mõnel erijuhul. Seejärel, 2008. Richard Schwartz Browni ülikoolis näitas, et kõik nürid kolmnurgad koos nurgad 100 kraadi või vähem sisaldavad perioodilist trajektoori. Tema lähenemisviis hõlmas probleemi jagamist mitmeks juhtumiks ja iga juhtumi kontrollimist traditsioonilise matemaatika ja arvutiabi abil. Aastal 2018 Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore ja George Tokarsky Alberta ülikoolis pikendas seda künnist 112.3 kraadini. (Tokarsky ja Marinov oli veetnud üle kümne aasta seda eesmärki jahtima.)

Topoloogiline pööre

On kasutatud teist lähenemist, et näidata, et kui kõik nurgad on ratsionaalsed – see tähendab, et neid saab väljendada murdudena –, peavad veelgi suuremate nurkadega nüri kolmnurgad omama perioodilisi trajektoore. Selle asemel, et lihtsalt kopeerida hulknurka tasasele tasapinnale, kaardistab see lähenemine hulknurkade koopiad topoloogilistele pindadele, sõõrikutele, millel on üks või mitu auku.

Kui peegeldate ristkülikut selle lühikesel küljel ja seejärel peegeldate mõlemat ristkülikut üle nende pikima külje, tehes algsest ristkülikust neli varianti, ning seejärel liimite ülemise ja alumise ning vasaku ja parema külje kokku, olete teinud sõõriku, või torus, nagu allpool näidatud. Piljardi trajektoorid laual vastavad torus olevatele trajektooridele ja vastupidi.

Ühes märgilises 1986. aasta artiklis Howard Masur kasutas seda tehnikat, et näidata, et kõik ratsionaalse nurgaga hulknurksed tabelid on perioodilised orbiidid. Tema lähenemine ei sobinud mitte ainult nüri kolmnurkade, vaid ka palju keerulisemate kujundite puhul: näiteks ebakorrapärased 100-küljelised lauad või hulknurgad, mille seinad on sik- ja sakilised, tekitades nurgad ja nurgad, on perioodiliste orbiididega, kui nurgad on ratsionaalsed.

Mõnevõrra tähelepanuväärne on see, et ühe perioodilise orbiidi olemasolu hulknurgas tähendab lõpmata paljude olemasolu; trajektoori veidi nihutamine annab tulemuseks seotud perioodiliste trajektooride perekonna.

Valgustuse probleem

Nurkadega kujundid tekitavad seotud küsimuse. Selle asemel, et küsida trajektooride kohta, mis naasevad oma alguspunkti, küsib see probleem, kas trajektoorid võivad külastada antud tabeli kõiki punkte. Seda nimetatakse valgustusprobleemiks, sest me võime sellele mõelda, kujutades ette laserkiirt, mis peegeldub piljardilauda ümbritsevatelt peegelseintelt. Küsime, kas konkreetsel tabeli kahel punktil on alati võimalik laserit (ideaalis kui lõpmata õhuke valguskiir) ühest punktist teise valgustada. Teisisõnu, kui asetaksime igas suunas korraga särava lambipirni mingil hetkel lauale, kas see valgustaks terve ruumi?

Probleemi uurimisel on olnud kaks peamist suunda: valgustamatute kujundite leidmine ja suurte kujundite klasside olemasolu tõestamine. Kui veidraid kujundeid, mida ei saa valgustada, saab leida lihtsa matemaatika nutika rakendamisega, on paljude kujundite valgustatuse tõestamine olnud võimalik ainult raskete matemaatiliste masinate abil.

Aastal 1958, Roger Penrose, matemaatik, kes võitis 2020i füüsika Nobeli preemia, leidis kõvera tabeli, milles ükski punkt ühest piirkonnast ei suutnud valgustada ühtegi punkti teises piirkonnas. Aastakümneid ei suutnud keegi välja mõelda polügooni, millel oleks sama omadus. Kuid 1995. aastal kasutas Tokarsky lihtsat fakti kolmnurkade kohta, et luua plokikujuline 26-tahuline hulknurk, millel on kaks punkti, mis on üksteisele kättesaamatud, nagu on näidatud allpool. See tähendab, et ühest punktist tulistatud laserkiir, olenemata selle suunast, ei saa tabada teist punkti.

Põhiidee, mida Tokarsky oma spetsiaalse laua ehitamisel kasutas, oli see, et kui laserkiir algab 45°-45°-90° kolmnurga ühest teravnurgast, ei saa see kunagi sellesse nurka tagasi pöörduda.

Tema sakiline laud on valmistatud 29 sellisest kolmnurgast, mis on paigutatud seda fakti nutikalt ära kasutama. 2019. aastal Amit Wolecki, siis Tel Avivi ülikooli magistrant, rakendas sama tehnikat kuju toota 22 küljega (näidatud allpool), mis ta tõestas, et see oli väikseim võimalik külgede arv kuju jaoks, millel on kaks sisemist punkti, mis üksteist ei valgusta.

Tulemuste tõestamine teises suunas on olnud palju raskem. 2014. aastal sai Stanfordi ülikooli matemaatik Maryam Mirzakhani esimeseks naiseks, kes võita Fieldsi medal, matemaatika prestiižseim auhind, tema töö eest Riemanni pindade mooduliruumide alal – omamoodi üldistus sõõrikutest, mida Masur kasutas, et näidata, et kõigil ratsionaalsete nurkadega hulknurksetel tabelitel on perioodilised orbiidid. 2016. aastal Samuel Lelièvre Pariisi-Saclay ülikoolist, Thierry Monteil Prantsuse Riikliku Teadusuuringute Keskuse ja Barak Weiss Tel Avivi ülikooli teadlane rakendas mitmeid Mirzakhani tulemusi näidata et mis tahes punkt ratsionaalses hulknurgas valgustab kõiki punkte peale lõplike paljude. Võib esineda üksikuid tumedaid laike (nagu Tokarsky ja Wolecki näidetes), kuid mitte tumedaid piirkondi, nagu Penrose'i näites, mille seinad on pigem kõverad kui sirged. sisse Wolecki 2019. aasta artikkel, tugevdas ta seda tulemust, tõestades, et valgustamatute punktide paare on ainult lõplikult palju.

Kahjuks Mirzakhani suri aastal 2017 40-aastaselt pärast võitlust vähiga. Tema töö tundus olevat kaugel piljardisaalides tehtud trikivõtetest. Ja ometi näitab piljardi trajektooride analüüsimine, kuidas isegi kõige abstraktsem matemaatika suudab ühenduda maailmaga, milles me elame.