Sissejuhatus
Sõlmeteooria sai alguse katsest mõista universumi põhikoostist. 1867. aastal, kui teadlased püüdsid innukalt välja selgitada, mis võiks olla seotud kõigi erinevate aineliikidega, näitas Šoti matemaatik ja füüsik Peter Guthrie Tait oma sõbrale ja kaasmaalasele Sir William Thomsonile suitsurõngaste tekitamise seadet. Thomsonit, kellest hiljem sai lord Kelvin (temperatuuri skaala nimekaim), köitsid sõrmuste võluvad kujundid, nende stabiilsus ja koostoime. Tema inspiratsioon viis ta üllatavale suunale: võib-olla, arvas ta, nii nagu suitsurõngad olid õhus olevad keerised, olid aatomid sõlmitud keerisrõngad helendavas eetris, nähtamatus keskkonnas, mille kaudu valgus levis füüsikute arvates.
Kuigi see viktoriaanliku ajastu idee võib nüüd kõlada naeruväärsena, ei olnud see kergemeelne uurimine. Sellel keeristeteoorial oli seda palju soovitada: sõlmede tohutu mitmekesisus, millest igaüks oli veidi erinev, näis peegeldavat paljude keemiliste elementide erinevaid omadusi. Pöörisrõngaste stabiilsus võib samuti tagada aatomite jaoks vajaliku püsivuse.
Vorteksiteooria sai teadusringkondades tuntuks ja inspireeris Tait alustama kõigi sõlmede tabelite koostamist, luues selle, mida ta lootis võrdväärsena elementide tabeliga. Muidugi ei ole aatomid sõlmed ja eetrit pole olemas. 1880. aastate lõpuks oli Thomson järk-järgult oma keeristeteooriast loobumas, kuid selleks ajaks oli Tait oma sõlmede matemaatiline elegants võlunud ja ta jätkas tabelite koostamist. Selle käigus rajas ta sõlmeteooria matemaatilise valdkonna.
Sõlmed on meile kõigile tuttavad – need hoiavad meie jalanõusid jalas, paadid dokkide külge kinnitatud ja mägironijad allpool asuvatest kividest eemal. Kuid need sõlmed pole just need, mida matemaatikud (sealhulgas Tait) sõlmeks nimetaksid. Kuigi sassis pikendusjuhe võib tunduda sõlmes, on see alati võimalik lahti harutada. Matemaatilise sõlme saamiseks peate ühendama juhtme vabad otsad suletud ahela moodustamiseks.
Kuna sõlme kiud on painduvad nagu nöör, näevad matemaatikud sõlmeteooriat kui sõlme alamvälja. topoloogia, tempermalmist kujundite uurimine. Mõnikord on võimalik sõlme lahti harutada, nii et sellest saab lihtne ring, mida me nimetame "sõlmeks". Kuid sagedamini on sõlme lahti harutamine võimatu.
Sõlmed võivad ka uute sõlmede moodustamiseks kombineerida. Näiteks, kui kombineerida lihtsat sõlme, mida tuntakse trefoilina, selle peegelpildiga, saadakse ruudukujuline sõlm. (Ja kui ühendate kaks identset trefoil-sõlme, moodustate vanaema sõlme.)
Kasutades numbrite maailmast pärit terminoloogiat, väidavad matemaatikud, et kolmiksõlm on algsõlm, ruutsõlm on liitsõlm ja sarnaselt numbriga 1 ei ole sõlme kumbki. Seda analoogiat toetati veelgi 1949. aastal, kui Horst Schubert tõestas, et iga sõlm on esmane või seda saab unikaalselt lagundada algsõlmedeks.
Teine võimalus uute sõlmede loomiseks on põimida kaks või enam sõlme, moodustades lingi. Lihtne näide on Borromeo sõrmused, mis on saanud nime, kuna need on kujutatud Itaalia Borromeo maja vapil.
Thomson ja Tate polnud esimesed, kes sõlmedele matemaatiliselt suhtusid. Juba 1794. aastal kirjutas Carl Friedrich Gauss sõlmedest ja joonistas nende kohta näiteid oma isiklikus märkmikus. Ja Gaussi õpilane Johann Listing kirjutas sõlmedest oma 1847. aasta monograafias Vorstudien zur Topologie (“Preliminary Studies of Topology”) – millest pärineb ka termin topoloogia.
Kuid Tait oli esimene teadlane, kes töötas selle kallal, mis sai sõlmeteoorias põhiprobleemiks: kõigi võimalike sõlmede klassifitseerimise ja tabelite koostamisega. Aastatepikkuse vaevarikka töö käigus, kasutades ainult oma geomeetrilist intuitsiooni, leidis ta ja klassifitseeris ta kõik peamised sõlmed, millel on tasapinnale projitseerituna maksimaalselt seitse ristumist.
19. sajandi lõpus sai Tait teada, et seda probleemi uurisid ka kaks teist inimest – praost Thomas Kirkman ja Ameerika matemaatik Charles Little. Oma ühiste jõupingutustega klassifitseerisid nad kõik peamised sõlmed kuni 10 ristumisega ja paljud neist 11 ristumisega. Hämmastavalt olid nende lauad kuni 10-ni täielikud: nad ei jätnud vahele ühtegi sõlme.
On tähelepanuväärne, et Tait, Kirkman ja Little saavutasid nii palju ilma teoreemide ja tehnikateta, mis avastatakse järgmistel aastatel. Kuid üks asi, mis nende kasuks töötas, oli tõsiasi, et enamik väikseid sõlme on vahelduvad, mis tähendab, et neil on projektsioon, milles ristmikel on järjepidev üle-alla-alla-muster.
Vahelduvatel sõlmedel on omadused, mis muudavad nende klassifitseerimise lihtsamaks kui mittevahelduvatel sõlmedel. Näiteks on keeruline leida sõlme mis tahes projektsiooni jaoks minimaalset ristumise arvu. Kuid Tait, kes arvas aastaid ekslikult, et kõik sõlmed vahelduvad, oletas, kuidas öelda, kas olete selle minimaalse arvu leidnud: kui vahelduval projektsioonil pole ristmikke, mida saaks eemaldada osa sõlmest ümber pöörates, siis peab see olema projektsioon minimaalse ristumiste arvuga.
See ja veel kaks Taiti oletust vahelduvate sõlmede kohta osutusid tõeks. Kuid need kuulsad oletused tõestati alles 1980ndate lõpus ja 90ndate alguses, kasutades matemaatilist tööriista, mille töötas 1984. aastal välja Vaughan Jones, kes võitis oma töö eest sõlmeteooria alal Fieldsi medali.
Kahjuks viivad vahelduvad sõlmed teid ainult nii kaugele. Kui jõuame kaheksa või enama ristumisega sõlmedesse, kasvab mittevahelduvate sõlmede arv kiiresti, muutes Taiti tehnikad vähem kasulikuks.
Esialgne tabel kõigi 10 ristuva sõlme kohta oli täielik, kuid Tait, Kirkman ja Little lugesid topelt. Alles 1970. aastatel märkas Princetonis sõlmeteooriat õppinud jurist Kenneth Perko, et kaks sõlme on teineteise peegelpildid. Nüüd tuntakse neid tema auks Perko paarina.
Viimase sajandi jooksul on matemaatikud leidnud palju nutikaid viise, kuidas teha kindlaks, kas sõlmed on tõesti erinevad. Põhimõtteliselt on idee selles tuvastada invariant — omadus, kogus või algebraline üksus, mis on sõlmega seotud ja mida saab sageli lihtsalt arvutada. (Nendel omadustel on sellised nimed nagu värvitavus, silla number või väänlemine.) Nende siltidega varustatud matemaatikud saavad nüüd hõlpsasti võrrelda kahte sõlme: kui need erinevad mõne atribuudi poolest, siis pole need sama sõlme. Ükski neist omadustest ei ole aga see, mida matemaatikud nimetavad täielikuks invariantiks, mis tähendab, et kahel erineval sõlmel võib olla sama omadus.
Kogu selle keerukuse tõttu ei pruugi olla üllatav, et sõlmede tabelite koostamine veel kestab. Viimati, aastal 2020, Benjamin Burton klassifitseeris kõik peamised sõlmed kuni 19 ülesõitu (neid on ligi 300 miljonit).
Traditsiooniline sõlmeteooria on mõttekas ainult kolmes dimensioonis: kahes dimensioonis on võimalik ainult sõlmekoht ja neljas dimensioonis võimaldab lisaruum sõlmedel end lahti siduda, nii et iga sõlm on sama mis sõlme.
Neljamõõtmelises ruumis saame aga kerasid sõlmida. Et mõista, mida see tähendab, kujutage ette, et lõikate korrapäraste ajavahemike järel tavalist kera. Seda tehes saadakse ringid, nagu laiuskraad. Kui meil oleks aga lisamõõde, saaksime kera sõlmida, nii et viilud, mis on nüüd pigem kolmemõõtmelised kui kaks, võiksid olla sõlmed.
See idee oli ühe suurima hiljutise sõlmeteooria tulemuse taga. 2018. aastal toonane magistrant Lisa Piccirillo lahendas 50 aastat vana küsimuse umbes 11-st ristuvast sõlmest, mille avastas esmakordselt John Conway. Küsimus oli seotud omadusega, mida nimetatakse viiludeks. Nagu nägime, kui lõikame sõlmega kera neljamõõtmeliseks, saame kolmemõõtmelise sõlme või lüli. Mõnikord saame etteantud sõlme ilusast sujuvalt sõlmitud sfäärist, kuid teiste sõlmede jaoks tuleb kera sõlmida ja kortsuda nagu vanapaberitükk. Piccirillo tõestas sisuliselt, et Conway sõlm oli viimast tüüpi. Tehnilises kõnepruugis tõestas ta, et see pole "sujuv viil".
Sõlmeteooria on läbi sajandite läbinud matemaatilise maastiku risti-rästi. See sai alguse matemaatika rakendusvaldkonnast, kus Thomson üritas aine koostise mõistmiseks kasutada sõlmi. Kui see idee hääbus, sai sellest puhta matemaatika valdkond, topoloogia intrigeeriva ja siiani ebapraktilise valdkonna haru. Kuid viimastel aastatel on sõlmeteooriast saanud taas matemaatika rakendusvaldkond, kuna teadlased kasutavad uurimiseks sõlmeteooria ideid. vedeliku dünaamika, elektrodünaamika, sõlmedega molekulid nagu DNA ja nii edasi. Õnneks, kui teadlased tegelesid muude asjade uurimisega, koostasid matemaatikud sõlmede katalooge ja tööriistu nende saladuste lahtiharutamiseks.
