در "غرب وحشی" هندسه، ریاضیدانان کره را دوباره تعریف می کنند | مجله کوانتا

اگر تا به حال در یک بعد از ظهر بارانی در ترافیک گیر کرده اید، احتمالاً قطرات باران را تماشا کرده اید که از شیشه ماشین با یکدیگر مسابقه می دهند. هنگامی که جفت قطرات با هم برخورد می کنند، در یک قطره جدید ادغام می شوند و هویت جداگانه خود را از دست می دهند.

این ادغام امکان پذیر است زیرا قطرات آب تقریباً کروی هستند. وقتی اشکال انعطاف پذیر هستند - مانند قطرات باران - چسباندن یک کره چیزی را تغییر نمی دهد. در حوزه‌های خاصی از ریاضیات، کره‌ای که به یک کره متصل است، همچنان یک کره است، هرچند شاید بزرگ‌تر یا کلفت‌تر باشد. و اگر یک کره روی یک دونات چسبانده شود، شما هنوز یک دونات دارید - با یک تاول. اما اگر دو دونات با هم ادغام شوند، شکلی دو سوراخ ایجاد می کنند. برای ریاضیدانان، این کاملاً چیز دیگری است.

این کیفیت کره ها را به یک مورد آزمایشی حیاتی برای هندسه ها تبدیل می کند. ریاضی‌دانان اغلب می‌توانند درس‌های آموخته شده در مورد کره‌ها را با نگاه کردن به اینکه چه اتفاقی می‌افتد هنگام دوختن این دو به شکل‌های پیچیده‌تر منتقل کنند. در واقع، آن‌ها می‌توانند این تکنیک را برای هر منیفولد به کار ببرند - دسته‌ای از اشیاء ریاضی که شامل اشکال ساده مانند کره‌ها و دونات‌ها و همچنین ساختارهای بی‌نهایت مانند صفحه دو بعدی یا فضای سه‌بعدی است.

کره‌ها به‌ویژه در زیرشاخه‌ای از هندسه که به هندسه تماسی معروف است، اهمیت دارند. در هندسه تماس، هر نقطه روی یک منیفولد سه بعدی - مانند فضای سه بعدی که در آن زندگی می کنیم - با یک صفحه مطابقت دارد. هواپیماها می توانند از نقطه ای به نقطه دیگر کج و بپیچند. اگر آنها این کار را به گونه ای انجام دهند که معیارهای ریاضی خاصی را برآورده کند، کل مجموعه صفحات یک ساختار تماسی نامیده می شود. منیفولد (مانند فضای سه بعدی) همراه با یک ساختار تماسی (همه صفحات) منیفولد تماسی نامیده می شود.

اگرچه ساختارهای تماس ممکن است کمی بیشتر از دکوراسیون به نظر برسد، آنها بینش های اساسی را در مورد منیفولدهایی که در آنها زندگی می کنند و همچنین پیوندهایی با فیزیک به ارمغان می آورند. ریاضیدانان مدرن می توانند از منیفولدهای تماسی برای فرموله مجدد نظریات در مورد چگونگی رفتار نور و نحوه رفتار استفاده کنند. آب جاری می شود از طریق فضا

نتایج در مورد منیفولدهای تماس سه بعدی اغلب به کره برمی گردد. اگر یک کره تماسی را روی منیفولد تماسی دیگری مانند یک دونات سه بعدی بچسبانید، نسخه سه بعدی کره می تواند بخش هایی از ساختار تماس خود را به اتحادیه اهدا کند. اگر می خواهید ثابت کنید که یک دونات می تواند ساختار تماسی داشته باشد که صفحات آن در حین دور زدن سوراخ دونات هزار بار می پیچند، می توانید ابتدا آن ساختار را روی کره بسازید و سپس با بریدن یک سوراخ کوچک به هر دو شکل آن را به دونات اضافه کنید. و آنها را در امتداد لبه ها به هم وصل کنید. ریاضیدانانی که بررسی می کنند کدام ساختارهای تماسی می توانند در یک منیفولد معین وجود داشته باشند، اغلب به این چارچوب تکیه می کنند. جان اتنایر، ریاضیدان موسسه فناوری جورجیا. او گفت: «آنها کارهای زیادی انجام می دهند تا مشکل را به درک آنچه در این کره اتفاق می افتد کاهش دهند.

As جاناتان باودنیک ریاضیدان در دانشگاه رگنسبورگ می گوید: "اگر شما نمی توانید یک کره را درک کنید، من چگونه می توانم چیز دیگری را بفهمم؟"

ما تمایل داریم که کره ها را به عنوان اشکال ساده در نظر بگیریم: آنها فقط تمام نقاطی هستند که فاصله ثابتی از یک نقطه مرکزی دارند. به عنوان مثال می توان به دایره ای که یک بعدی است و همچنین سطح دو بعدی یک توپ معمولی مانند توپ بسکتبال اشاره کرد. اما وقتی ساختارهای تماس را اضافه می‌کنید، کره‌ها می‌توانند پیچیده‌تر از آنچه انتظار دارید بشوند. و همانطور که ریاضیدانان تلاش می‌کنند اقیانوسی از منیفولدهای تماس نابسامان را مرتب کنند، انواع جدیدی از کره‌ها می‌توانند سرنخ‌هایی در مورد آنچه که ممکن است از اعماق صید کنند به آنها بدهد.

در یک مقاله اخیر که به طور اساسی هفته گذشته به روز شد، چهار ریاضیدان - باودن، فابیو جیرونلا, آگوستین مورنو و ژنگی ژو - نوع جدیدی از کره تماس و به همراه آن تعداد بی نهایت منیفولد تماس جدید را کشف کرده اند.

فول کنتاکت اسپورت

به عنوان یک رشته، هندسه تماسی به تدریج در طول قرن ها ظهور کرد. اگرچه ریاضیدانان مدرن که به گذشته نگاه می کنند، نشانه هایی از هندسه تماس را در مطالعه اپتیک در قرن 17 و ترمودینامیک در قرن 19 مشاهده می کنند، فقط در دهه 1950. عبارت بود به گفته این ریاضیدان، "منیفولد تماسی" برای اولین بار در مقاله استفاده شد Hansjörg Geiges' تاریخچه موضوع.

در آن زمان، ریاضیدانان از نمونه هایی از منیفولدهای تماسی آگاه بودند. به دلایل فنی، منیفولدهای تماسی فقط در ابعاد عجیب و غریب هستند. فضای استاندارد سه بعدی دارای ساختار تماسی متشکل از ردیف هایی از صفحات است که به تدریج به سمت جلو متمایل می شوند. این ساختار به طور طبیعی به آنچه ریاضیدانان کره سه بعدی می گویند گسترش می یابد. (این سطح یک توپ چهار بعدی است، دقیقاً همانطور که کره ریاضی دو بعدی سطح یک توپ سه بعدی معمولی است.)

از اواخر دهه 1960، ریاضیدانان شروع به ارائه نمونه های جدیدی از منیفولدهای تماسی کردند. در سال 1968 میخائیل گروموف در یافتن ساختارهای تماسی جدید در منیفولدهای خاص مانند فضای سه بعدی پیشرفت کرد. ژان مارتینه به دنبالش آمد در سال 1971 با نمونه هایی در مورد اشکال به اصطلاح فشرده (که محدود با یک مرز مشخص هستند) مانند کره سه بعدی. در سال 3، رابرت لوتز متوجه شد که چگونه یک ساختار تماسی جدید بر روی هر منیفولد سه بعدی ایجاد کند. ساخت لوتز شامل برش دادن منیفولد تماسی، چرخاندن آن به بالا و دوختن آن به هم بود به گونه‌ای که شکل زیرین را ثابت نگه داشت، اما ساختار تماس را مجبور به پیکربندی جدید کرد. منجر به ایجاد یک ساختار تماس جدید برای فضای بی‌نهایت سه بعدی، کره سه‌بعدی، و هر تعداد از اجسام عجیب‌تر، مانند مکعبی شد که اگر دست خود را از پایین بچسبانید، می‌بینید که از بالا آویزان شده است.

با این حال، این نتایج ریاضیدانان اواخر قرن بیستم را با سؤالات بی‌پاسخ زیادی در مورد منیفولدهای تماس باقی گذاشت. چه نوع ساختارهای تماسی وجود داشت؟ چگونه باید آنها را دسته بندی کرد؟ وقتی ریاضیدانان به موضوعی می‌رسند، همیشه می‌خواهند اشیا را طبقه‌بندی یا درک کنند یاکوف الیاشبرگ، ریاضیدان دانشگاه استنفورد که در توسعه اولیه هندسه تماس موثر بود.

در ابعاد پنج و بالاتر - به یاد داشته باشید، منیفولدهای تماسی فقط می توانند تعداد عجیبی از ابعاد داشته باشند - این سوالات هنوز پاسخ داده نشده اند. در مورد سه بعدی، بسیاری از پیشرفت ها تقریباً به تنهایی توسط الیاشبرگ انجام شد که در دهه 1980 به عنوان یک مهاجر از اتحاد جماهیر شوروی به برکلی، کالیفرنیا وارد شد.

پیچ و تاب و و فریاد

الیشبرگ با سوالی از یکی از آشنایان جدید برکلی به نام ژسوس گونزالو پرز، که در حال مطالعه تکنیک لوتز برای ایجاد منیفولدهای تماسی جدید بود، متوجه شد که تمام منیفولدهای تماس سه بعدی که می‌توانید با استفاده از استراتژی لوتز دریافت کنید، مشترکات خاصی دارند. او در سال 1989 یک مقاله منی این منیفولدها را به تفصیل توصیف می کند. او کلاس جدید منیفولدهای تماسی را به دلیل نحوه چرخش چندین بار صفحات ساختار تماس، فراتر از پیچش مورد نیاز برای واجد شرایط بودن به عنوان یک ساختار تماسی، «پیچیده» نامید. مقاله الیاشبرگ در سال 1989 عملاً به هر سؤالی که ریاضیدانان در مورد منیفولدهای پیچ خورده در سه بعدی داشتند پاسخ داد، اما هر منیفولد تماسی دیگری - که الیاشبرگ آن را «محکم» به دلیل پیچیدگی ساختار تماس آن نامید - بسیار دشوارتر بود.

مورنو، ریاضیدان دانشگاه هایدلبرگ، می گوید: «در حالی که ساختارهای پیچ خورده به وفور وجود دارند، ساختارهای تماسی محکم نادرتر یا حداقل درک آن ضعیف تر است.

اگر منیفولد را به عنوان مرز فضای بزرگتر در نظر بگیریم، یک تمایز بین منیفولدهای تماسی پیچ خورده و تنگ روشن می شود. از آنجایی که منیفولدهای تماسی فرد بعدی هستند، همیشه لبه یک منیفولد زوج را تشکیل می دهند. (به این فکر کنید که چگونه منحنی یک بعدی یک دایره یک دیسک دو بعدی را احاطه کرده است، یا چگونه یک خط نامتناهی صفحه دو بعدی را به دو نیمه جداگانه تقسیم می کند.) هندسه تماسی یک همتای زوج به نام هندسه سمپلتیک دارد. ریاضیدانان می خواستند بدانند که آیا داخل یک منیفولد تماسی - که همیشه یک بعدی است - یک منیفولد ساده را تشکیل می دهد یا نه.

اگر اینطور باشد، منیفولد تماس اصلی «پر کردن» نامیده می‌شود. پر شدن خاصیت خاصی است. نتایج حاصل از الیاشبرگ و گروموف در دهه 1980 و اوایل دهه 1990 حاکی از آن است که منیفولدهای تماسی قابل پر شدن را نمی توان بیش از حد پیچ ​​خورد - آنها باید محکم باشند. اما سناریوی معکوس تیره‌تر بود - آیا منیفولد می‌تواند سفت باشد اما قابل پر کردن نباشد؟

Etnyre گفت: "برای مدت طولانی، این امکان وجود داشت که شاید تنگ بودن واقعاً بازتابی از پر شدن باشد." الیاشبرگ ثابت کرده بود که یک کره سه بعدی فقط یک ساختار تماس محکم دارد که آن هم قابل پر شدن است. اما در سال 2002 همراه با کو هوندا از دانشگاه کالیفرنیا، لس آنجلس، Etnyre نمونه ای پیدا کرد یک منیفولد تماسی سه بعدی که محکم اما غیرقابل پر کردن بود.

در موارد با ابعاد بالاتر، همه چیز نامشخص بود. ما ابزارهای زیادی برای مطالعه ساختارهای تماس در بعد سه داریم و تقریباً هیچ کدام در ابعاد بالا نداریم. و این یک مشکل واقعی است،” Etnyre گفت.

در توپولوژی تماس، ابعاد بالاتر واقعا غرب وحشی است. مردم واقعاً تقریباً چیزی در مورد آنچه اتفاق می‌افتد نمی‌دانند،» هوندا گفت. سوال این بود: آیا منیفولدهای تماسی محکم اما غیرقابل پر شدن در ابعاد بالا وجود دارد؟ و اگر چنین است، چه شکلی هستند؟

نگه داشتن آن سفت

در سال 2013، سه ریاضیدان راهی پیدا کرد برای ایجاد چنین منیفولدهایی، اما اتنیر گفت: "منیفولدهایی که آنها ساختند در واقع بسیار بسیار پیچیده بودند." او افزود، معلوم نیست که آیا این سطح از پیچیدگی ضروری است یا خیر. اگر چنین است، ممکن است هنوز ارتباط نزدیکی بین سفتی و پر شدن منیفولدهای ساده مانند کره وجود داشته باشد.

در سال 2015، باودن، در آن زمان در دانشگاه لودویگ ماکسیمیلیان مونیخ، و دو همکار نشان دادند که منیفولدهای تماسی خاصی را می‌توان با دقت تراشید و با هم وصله کرد تا یک کره تشکیل شود، بدون اینکه ساختارهای تماسی آنها قربانی شود. کار آنها نشان داد که ریاضیدانان نه تنها می‌توانند یک ساختار تماسی را از یک کره به یک منیفولد تماسی پیچیده‌تر - جهت معمول چیزها - منتقل کنند، بلکه می‌توانند با شروع با مثالی پیچیده‌تر، یک ساختار تماس کاملاً جدید روی یک کره ایجاد کنند.

در سال 2019 او شروع به کار با جیرونلا و مورنو کرده بود. آن سال، آنها چاپ مقاله بر اساس تکنیک های چندین ریاضیدان قبلی. سه نمونه از منیفولدهای تماسی پیدا شده‌اند که پرکننده‌های ساده، اما بی‌ثباتی داشتند: پرکننده‌هایی که «پرکننده‌های ضعیف» نامیده می‌شوند، در صورتی که منیفولد تماسی به درستی بهینه‌سازی شود، ناپدید می‌شوند.

پس از شروع همه گیری، آنها شروع به شک کردند که می توانند کره هایی با خواص مورد نظر بسازند. آنها برخی از منیفولدهای تماسی را برداشتند و با دقت آنها را به شکل کروی درآوردند: یک سوراخ در اینجا بریدند، آن را وصله کردند. زمانی که آنها به پایان رسید، آنها مجموعه ای بی نهایت از کره های تنگ اما غیرقابل پر کردن داشتند. و از آنجایی که کره‌ها می‌توانند بخش‌هایی از ساختارهای تماس خود را به منیفولدهای دیگر منتقل کنند، این امر باعث ایجاد منیفولدهای تماسی محکم اما غیرقابل پر شدن از همه اشکال و انواع می‌شود.

این سه نفر پیش نویس اولیه مقاله خود را در اواسط سال 2022 به ژو نشان دادند، به این امید که او برخی از محاسبات آنها را تصحیح کند. ژو قبلاً با مورنو و جیرونلا همکاری کرده بود و با برخی از تکنیک‌هایی که در پیش‌نویس استفاده می‌کردند آشنا بود. ژو، ریاضیدان آکادمی علوم چین، گفت: «من مقاله را خواندم و متوجه شدم که این مقاله پتانسیل بسیار زیادی برای به دست آوردن نتایج قوی‌تر دارد. او پر از ایده های جدید به آنها بازگشت.

این گروه بینش های ژو را در مقاله خود گنجانیدند و چهار نفر آن را در نوامبر 2022 به صورت آنلاین پست کردند. کار آنها نشان می دهد که کره های محکم اما غیرقابل پر شدن در ابعاد پنج به بالا امکان پذیر است و از این نتیجه برای ایجاد نمونه های جدید بسیاری از منیفولدهای تماسی تنگ استفاده می کند. که فقط به طور ضعیفی قابل پر شدن هستند، با اذعان به "پرکردگی ضعیف" ناپایدار مقاله 2019. سپس هفته گذشته آنها مقاله را با یک تعمیم مهم به روز کردند. آنها اکنون قادر به یافتن ساختارهای تماسی محکم و ضعیف برای هر منیفولد با ابعاد هفت یا بالاتر هستند.

حتی با وجود اینکه اثبات آنها تعداد بی نهایت نمونه جدید را نشان می دهد، مطالعه منیفولدهای تماس با ابعاد بالاتر - و حتی کره های با ابعاد بالاتر - تازه شروع شده است.

مورنو گفت: "این به ما نگاهی اجمالی به دنیایی بسیار وحشی و پیچیده می دهد."

در حال حاضر، شما فقط در تلاش برای یافتن هر نمونه ای هستید. شما در حال تلاش برای تشخیص چیزها هستید. شما فقط سعی می کنید حسی از آنچه وجود دارد به دست آورید. و درک چیزهای روی کره نوعی میکروب یا بذری است که ممکن است به شما در درک موقعیت‌های دیگر کمک کند.» ما واقعاً هنوز ابزار لازم برای برداشتن گام بعدی را نداریم.»

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت