به فرم‌های مدولار، «عملیات بنیادی پنجم» ریاضیات نگاه کنید | مجله کوانتا

مارتین آیشلر، ریاضیدان آلمانی، ظاهراً گفت: «پنج عمل اساسی در ریاضیات وجود دارد. "جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و اشکال مدولار."

البته بخشی از شوخی این است که یکی از آنها شبیه بقیه نیست. فرم‌های مدولار توابع بسیار پیچیده‌تر و معمایی‌تر هستند و دانش‌آموزان معمولاً تا مقطع کارشناسی ارشد با آن‌ها مواجه نمی‌شوند. اما «احتمالاً حوزه‌های کمتری از ریاضیات وجود دارد که برنامه‌های کاربردی ندارند تا جایی که دارند». دون زاگر، ریاضیدان مؤسسه ریاضیات ماکس پلانک در بن آلمان. هر هفته، مقالات جدید دامنه خود را به نظریه اعداد، هندسه، ترکیبات، توپولوژی، رمزنگاری و حتی نظریه ریسمان گسترش می دهند.

آنها اغلب به‌عنوان توابعی توصیف می‌شوند که تقارن‌هایی را برآورده می‌کنند که آنقدر برجسته و دقیق هستند که ممکن نیست. ویژگی هایی که با این تقارن ها همراه است، فرم های مدولار را بسیار قدرتمند می کند. این چیزی است که آنها را به بازیگران کلیدی در اثبات تاریخی آخرین قضیه فرما در سال 1994 تبدیل کرد. این چیزی است که آنها را در مرکز قرار داده است کارهای جدیدتر روی بسته بندی کروی. و این همان چیزی است که اکنون آنها را برای توسعه مداوم "نظریه ریاضی همه چیز" به نام برنامه لنگلندز.

اما آنها چه هستند؟

تقارن بی نهایت

برای درک یک فرم مدولار، ابتدا به تقارن های آشناتر فکر کنید.

به طور کلی، زمانی گفته می شود که یک شکل دارای تقارن است که تغییر شکلی وجود داشته باشد که آن را یکسان می کند.

یک تابع همچنین می تواند تقارن را نشان دهد. سهمی تعریف شده با معادله $latex f(x) = x^2$ را در نظر بگیرید. این یک تقارن را برآورده می کند: می تواند روی آن منعکس شود y-محور. به عنوان مثال، $لاتکس f(3) = f(-3) = 9$. به طور کلی، اگر هر ورودی $latex x$ را به $latex -x$ تغییر دهید، سپس $latex x^2$ همان مقدار را به دست می‌دهد.

توابع بی نهایت زیادی این تقارن را برآورده می کنند. در اینجا فقط چند مورد است:

آخرین مثال تابع کسینوس از مثلثات است. تقارن بازتابی را نشان می دهد، اما تقارن های دیگری نیز دارد. اگر $لاتکس x$ را جابجا کنید با مضرب های صحیح $latex 2pi$، تابع همیشه مقدار یکسانی را برمی گرداند - به این معنی که تبدیل های بی نهایت زیادی وجود دارند که می توانند تابع را بدون تغییر باقی بگذارند.

این تقارن اضافی توابعی مانند کسینوس را بسیار مفید می کند. گفت: "بیشتر فیزیک پایه با درک مفاهیم کامل توابع مثلثاتی آغاز می شود." کن اونو، ریاضیدان دانشگاه ویرجینیا.

او افزود: «اشکال مدولار چیزی شبیه توابع مثلثاتی هستند، اما روی استروئیدها». آنها بی نهایت بسیاری از تقارن های "پنهان" را برآورده می کنند.

جهان پیچیده

توابع تنها زمانی می توانند کارهای زیادی انجام دهند که بر حسب اعداد واقعی تعریف شوند - مقادیری که می توانند به صورت اعشاری معمولی بیان شوند. در نتیجه، ریاضیدانان اغلب به اعداد مختلط روی می‌آورند که می‌توان آن‌ها را جفت اعداد حقیقی در نظر گرفت. هر عدد مختلط بر حسب دو مقدار توصیف می‌شود - یک جزء "واقعی" و یک "تخیلی"، که یک عدد واقعی ضرب در جذر 1- است (که ریاضیدانان آن را به صورت $latex i$ می‌نویسند).

بنابراین هر عدد مختلط را می توان به عنوان یک نقطه در یک صفحه دو بعدی نشان داد.

تجسم توابع اعداد مختلط دشوار است، بنابراین ریاضیدانان اغلب به رنگ روی می آورند. به عنوان مثال، می توانید هواپیمای پیچیده را طوری رنگ کنید که شبیه یک چرخ رنگین کمان به نظر برسد. رنگ هر نقطه با زاویه آن در مختصات قطبی مطابقت دارد. به طور مستقیم در سمت راست مرکز، جایی که نقاط دارای زاویه 0 درجه هستند، قرمز می شوید. در 90 درجه یا مستقیماً، نقاط به رنگ سبز روشن هستند. و غیره. در نهایت، خطوط کانتور تغییرات در اندازه یا بزرگی را مانند نقشه توپوگرافی مشخص می کنند.

اکنون می توانید از آن به عنوان یک نمودار مرجع برای نشان دادن توابع پیچیده استفاده کنید. موقعیت یک نقطه در صفحه نشان دهنده ورودی است، و شما به آن نقطه یک رنگ بر اساس نمودار مرجع اختصاص خواهید داد. برای مثال، تابع $latex f(z) = z^2$ را در نظر بگیرید. وقتی $latex z = 1 + i$، $latex f(z) = 2i$، زیرا $latex (1 + i)^2 = 2i$. از آنجایی که $latex 2i$ در نمودار مرجع به رنگ سبز روشن است، در نمودار جدید شما نقطه $latex 1 + i$ را به رنگ سبز روشن درآورید.

نمودار $latex f(z) = z^2$ دو بار از میان رنگ ها عبور می کند، زیرا مربع کردن یک عدد مختلط زاویه آن را دو برابر می کند. همچنین دارای خطوط کانتور بیشتری است، زیرا اندازه خروجی ها سریعتر رشد می کنند.

به طور کلی تر، زمانی که نقاط را روی یک خط مورب که از مرکز (یا مبدا) کشیده شده است، منعکس می کنید، نمودار یکسان به نظر می رسد.

این یکی از تقارن یک تابع با ارزش پیچیده است. فرم های مدولار تنوع گیج کننده ای از این تقارن ها را نشان می دهند. اما درک عملکرد واقعی آن رنگ ها و خطوط کانتور می تواند دشوار باشد.

دامنه بنیادی

برای انجام این کار، سعی در ساده کردن نگاه ما به این عملکردهای پیچیده کمک می کند.

به دلیل تقارن فرم مدولار، می‌توانید کل تابع را فقط بر اساس یک بخش باریک از ورودی‌ها که در ناحیه‌ای از صفحه به نام دامنه بنیادی قرار دارد، محاسبه کنید. این ناحیه مانند نواری به نظر می رسد که از محور افقی به سمت بالا می رود که سوراخی نیم دایره ای از پایین آن بریده شده است.

اگر بدانید که عملکرد در آنجا چگونه عمل می کند، می دانید که در هر جای دیگر چه می کند.

در اینجا این است که چگونه:

دو نوع تبدیل، حوزه بنیادی را به سمت راست و چپ، و همچنین به یک سری از نیم دایره‌های همیشه در حال کوچک شدن در امتداد محور افقی کپی می‌کنند. این کپی ها تمام نیمه بالایی صفحه پیچیده را پر می کنند.

یک فرم مدولار، کپی ها را به روشی بسیار خاص به یکدیگر مرتبط می کند. اینجاست که تقارن های آن وارد تصویر می شود.

اگر بتوانید از طریق اولین نوع تبدیل - با جابجایی یک واحد به چپ یا راست - از یک نقطه در یک کپی به نقطه ای در دیگری حرکت کنید، فرم مدولار همان مقدار را به آن دو نقطه اختصاص می دهد. درست همانطور که مقادیر تابع کسینوس در فواصل لاتکس $ 2pi$ تکرار می شوند، یک فرم مدولار در فواصل یک واحدی تناوبی است.

در همین حال، می‌توانید از طریق تبدیل نوع دوم - با انعکاس بر روی مرز دایره با شعاع 1 در مرکز مبدا، از نقطه‌ای در یک نسخه به نقطه‌ای در دیگری برسید. در این مورد، فرم مدولار لزوماً به آن نقاط مقدار یکسانی نمی دهد. با این حال، مقادیر در دو نقطه به طور منظم با یکدیگر مرتبط هستند که باعث تقارن نیز می شود.

شما می‌توانید این تبدیل‌ها را به روش‌های بی‌نهایت ترکیب کنید، که به شما شرایط تقارن بی‌نهایتی را می‌دهد که فرم مدولار باید برآورده شود.

گفت: «این لزوماً خیلی هیجان انگیز به نظر نمی رسد جان وویت، ریاضیدان کالج دارتموث. منظورم این است که نیم صفحه بالایی را حکاکی کنیم و اعداد را در مکان‌های مختلف قرار دهیم - چه کسی اهمیت می‌دهد؟

او افزود: "اما آنها بسیار اساسی هستند." و دلیلی برای این موضوع وجود دارد.

فضاهای کنترل شده

در دهه‌های 1920 و 30، ریاضی‌دان آلمانی اریش هکه نظریه عمیق‌تری در مورد فرم‌های مدولار ایجاد کرد. مهمتر از همه، او متوجه شد که آنها در فضاهای خاصی وجود دارند - فضاهایی با ابعاد خاص و ویژگی های دیگر. او متوجه شد که چگونه این فضاها را به طور ملموس توصیف کند و از آنها برای ارتباط اشکال مختلف مدولار با یکدیگر استفاده کند.

این درک بسیاری از ریاضیات قرن 20 و 21 را هدایت کرده است.

برای اینکه بفهمید چگونه، ابتدا یک سوال قدیمی را در نظر بگیرید: به چند روش می توانید یک عدد صحیح را به صورت مجموع چهار مربع بنویسید؟ برای مثال، تنها یک راه برای نوشتن صفر وجود دارد، در حالی که هشت راه برای بیان 1، 24 راه برای بیان 2، و 32 راه برای بیان 3 وجود دارد. برای مطالعه این دنباله - 1، 8، 24، 32 و غیره. ریاضیدانان آن را در مجموع نامتناهی به نام تابع مولد کدگذاری کردند:

$latex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

لزوماً راهی برای دانستن اینکه ضریب مثلاً $latex q^{174}$ باید چقدر باشد وجود نداشت - این دقیقاً همان سؤالی بود که آنها سعی داشتند به آن پاسخ دهند. اما با تبدیل دنباله به یک تابع مولد، ریاضیدانان می‌توانند ابزارهایی را از حساب دیفرانسیل و انتگرال و سایر زمینه‌ها برای استنباط اطلاعات در مورد آن استفاده کنند. برای مثال، آنها ممکن است بتوانند راهی برای تقریب مقدار هر ضریب بیابند.

اما معلوم می‌شود که اگر تابع تولید یک فرم مدولار باشد، می‌توانید خیلی بهتر عمل کنید: می‌توانید یک فرمول دقیق برای هر ضریب بدست آورید.

گفت: "اگر می دانید که این یک فرم مدولار است، پس همه چیز را می دانید." یان بروینیر از دانشگاه فنی دارمشتات آلمان.

دلیلش این است که بی‌نهایت بسیاری از تقارن‌های فرم مدولار فقط برای دیدن زیبا نیستند - گفت: «آن‌ها بسیار محدود هستند». لری رولن از دانشگاه واندربیلت، که آنها را می توان به "ابزاری برای اثبات خودکار همخوانی و هویت بین اشیا" تبدیل کرد.

ریاضیدانان و فیزیکدانان اغلب سوالات مورد علاقه در تولید توابع را رمزگذاری می کنند. آنها ممکن است بخواهند تعداد نقاط روی منحنی های خاص یا تعداد حالت های سیستم های فیزیکی خاص را بشمارند. گفت: "اگر ما خوش شانس باشیم، پس فرم مدولار است." کلودیا آلفس-نویمان، ریاضیدان دانشگاه بیله فلد آلمان. اثبات این می تواند بسیار دشوار باشد، اما اگر می توانید، پس «نظریه فرم های مدولار به قدری غنی است که به شما فرصت های زیادی برای بررسی این ضرایب [سری] می دهد.»

بلوک های ساختمان

هر فرم مدولار بسیار پیچیده به نظر می رسد. برخی از ساده‌ترین آنها - که به عنوان بلوک‌های ساختمانی برای سایر اشکال مدولار استفاده می‌شوند - سری آیزنشتاین نامیده می‌شوند.

شما می توانید یک سری آیزنشتاین را به عنوان مجموع نامحدودی از توابع در نظر بگیرید. برای تعیین هر یک از آن توابع، از نقاط روی یک شبکه دو بعدی بی نهایت استفاده کنید:

وقتی توابع مرتبط را فقط به چهار نقطه در شبکه نزدیک مبدا اضافه می کنید، می توانید ببینید که چگونه تقارن های متمایز شروع به ظهور می کنند.

اگر مجموع کامل توابع بی‌نهایت شبکه را در نظر بگیرید، یک سری آیزنشتاین دریافت می‌کنید که بدون شک ساده‌ترین شکل مدولار برای نوشتن است. الگوها منعکس کننده تقارن های تعیین کننده فرم هستند - تکرار بی پایان به چپ و راست، و تبدیل به روش های پیچیده تر به محور افقی نزدیک تر.

بازی ادامه دارد

مطالعه فرم های مدولار منجر به سیل پیروزی های ریاضی شده است. به عنوان مثال، کار اخیر در مورد بسته بندی کره، که برای آن ریاضیدان اوکراینی Maryna Viazovska سال گذشته مدال فیلدز را کسب کرد، از فرم های مدولار استفاده می شود. بروینیر گفت: «وقتی آن را دیدم، کاملا متعجب شدم. "اما به نوعی کار می کند."

فرم های مدولار به یک شی جبری مهم به نام the متصل شده اند گروه هیولا. آنها برای ساخت انواع خاصی از شبکه ها به نام استفاده شده اند نمودارهای بسط دهنده، که در علوم کامپیوتر، تئوری ارتباطات و سایر کاربردها ظاهر می شوند. آنها امکان مطالعه مدل های بالقوه برهمکنش ذرات را در نظریه ریسمان و فیزیک کوانتومی فراهم کرده اند.

شاید معروف‌ترین آن، اثبات آخرین قضیه فرما در سال 1994 باشد که به اشکال مدولار وابسته است. این قضیه که به طور گسترده یکی از مهمترین مسائل در نظریه اعداد در نظر گرفته می شود، بیان می کند که سه عدد صحیح غیر صفر وجود ندارد. a, b و c که معادله $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ را برآورده می کند، وقتی $latex n$ یک عدد صحیح بزرگتر از 2 باشد. اندرو وایلز ریاضیدان با فرض برعکس آن را ثابت کرد - حل معادله وجود دارد - و سپس با استفاده از اشکال مدولار نشان می دهد که چنین فرضی باید به تناقض منجر شود.

ابتدا او از راه حل فرضی خود برای ساخت یک شی ریاضی به نام منحنی بیضوی استفاده کرد. او سپس نشان داد که شما همیشه می توانید یک فرم مدولار منحصر به فرد را به چنین منحنی مرتبط کنید. با این حال، تئوری فرم های مدولار حکم می کند که در این مورد، آن فرم مدولار نمی تواند وجود داشته باشد. وویت گفت: "این خیلی خوب است که واقعیت داشته باشد." که به نوبه خود به این معنی است که راه حل فرضی نمی تواند وجود داشته باشد - بنابراین آخرین قضیه فرما را تایید می کند.

این نه تنها مشکلی چند صد ساله را حل کرد. همچنین درک بهتری از منحنی‌های بیضوی ارائه می‌دهد که مطالعه مستقیم آنها می‌تواند دشوار باشد (و نقش مهمی در رمزنگاری و کدهای تصحیح خطا دارند).

این اثبات همچنین پلی بین هندسه و نظریه اعداد را روشن کرد. آن پل از آن زمان به بعد گسترش یافته است برنامه لنگلندز، مجموعه ای بیشتر از ارتباطات بین دو زمینه - و موضوع یکی از تلاش های تحقیقاتی مرکزی ریاضیات معاصر. فرم‌های مدولار در حوزه‌های دیگر نیز تعمیم داده شده‌اند، جایی که کاربردهای بالقوه آن‌ها تازه شروع به شناسایی شده‌اند.

آنها همچنان در ریاضیات و فیزیک در همه جا ظاهر می شوند، گاهی اوقات کاملاً مرموز. گفت: "من در مقاله ای درباره سیاهچاله ها نگاه می کنم." استیو کودلا از دانشگاه تورنتو، «و من فرم‌های مدولار را پیدا کردم که دوستان من هستند. اما من نمی دانم چرا آنها آنجا هستند.»

او افزود: «به نحوی، فرم‌های مدولار برخی از اساسی‌ترین تقارن‌های جهان را به تصویر می‌کشند.»