یک حدس قدیمی می افتد، کره ها را بسیار پیچیده تر می کند | مجله کوانتا

در اوایل ماه ژوئن، زمانی که ریاضیدانان در فرودگاه هیترو لندن فرود آمدند، صدای وزوز ایجاد شد. مقصد آنها دانشگاه آکسفورد و الف کنفرانس به مناسبت شصت و پنجمین سالگرد تولد مایکل هاپکینز، یک ریاضیدان در دانشگاه هاروارد که به عنوان مربی برای بسیاری از شرکت کنندگان خدمت کرده است.

هاپکینز در اواخر دهه 1980 با کار بر روی هفت حدس که داگ راونل از دانشگاه روچستر یک دهه قبل از آن فرموله شده بود. آنها باید با تکنیک هایی برای تعیین زمانی که دو شکل، یا فضایی که ممکن است متفاوت به نظر برسند، واقعاً یکسان هستند. هاپکینز و همکارانش تمام حدس‌های راونل را به جز یکی ثابت کردند، مشکلی با نامی مبهم اما مرموز به نام حدس تلسکوپ.

در آن زمان، هاپکینز کار خود را بر روی حدسیات راونل گذاشت. برای چندین دهه پس از آن، حل حدس تلسکوپ غیرممکن به نظر می رسید.

هاپکینز گفت: "شما نمی توانید چنین قضیه ای را لمس کنید."

اما با ورود ریاضیدانان به لندن، شایعاتی وجود داشت که این کار توسط یک گروه چهار نفره از ریاضیدانان مرتبط با مؤسسه فناوری ماساچوست انجام شده است، که سه نفر از آنها در مقطع کارشناسی ارشد توسط هاپکینز مشاوره شده بودند. کوچکترین از این چهار، یک دانشجوی کارشناسی ارشد به نام ایشان لویقرار بود روز سه‌شنبه، در روز دوم کنفرانس، سخنرانی کند که به نظر می‌رسید ممکن است مدرکی در آن اعلام شود.

گفت: "شایعاتی شنیده بودم که این اتفاق در حال آمدن است و نمی دانستم دقیقاً چه انتظاری داشته باشم." وسنا استویانوسکا، یک ریاضیدان در دانشگاه ایلینویز، اوربانا-شامپین که در کنفرانس شرکت کرد.

خیلی زود مشخص شد که این شایعات درست است. از روز سه شنبه و طی سه روز آینده، لوی و نویسندگان همکارش - رابرت بورکلوند, جرمی هان و تومر شلانک - برای جمعی از حدود 200 ریاضیدان توضیح داد که چگونه ثابت کردند که حدس تلسکوپ نادرست است و آن را تنها حدس اولیه راونل می کند که درست نیست.

رد حدس تلسکوپ مفاهیم گسترده ای دارد، اما یکی از ساده ترین و عمیق ترین آنها این است: به این معنی که در ابعاد بسیار بالا (به یک کره 100 بعدی فکر کنید)، جهان با اشکال مختلف بسیار پیچیده تر از ریاضیدانان پیش بینی کردند

نقشه برداری از نقشه ها

برای طبقه بندی اشکال یا فضاهای توپولوژیکی، ریاضیدانان بین تفاوت هایی که اهمیت دارند و تفاوت هایی که اهمیت ندارند تمایز قائل می شوند. نظریه هموتوپی دیدگاهی است که از آن می توان آن تمایزها را ایجاد کرد. توپ و تخم‌مرغ را اساساً فضای توپولوژیکی یکسانی در نظر می‌گیرد، زیرا می‌توانید بدون پاره کردن، یکی را به سمت دیگری خم کنید و دراز کنید. به همین ترتیب، نظریه هموتوپی یک توپ و یک لوله داخلی را اساساً متفاوت می‌داند، زیرا باید سوراخی را در توپ پاره کنید تا آن را به لوله داخلی تغییر شکل دهید.

Homotopy برای طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی مفید است - ایجاد نموداری از انواع اشکال ممکن. همچنین برای درک چیز دیگری که ریاضیدانان به آن اهمیت می دهند مهم است: نقشه های بین فضاها. اگر دو فضای توپولوژیکی دارید، یکی از راه‌های بررسی ویژگی‌های آنها این است که به دنبال توابعی بگردید که نقاط یکی را به نقاط دیگری تبدیل می‌کنند یا نقشه‌برداری می‌کنند - یک نقطه را در فضای A وارد کنید، یک نقطه را در فضای B به عنوان خروجی بگیرید. و این کار را برای تمام نقاط A انجام دهید.

برای اینکه ببینید این نقشه ها چگونه کار می کنند و چرا ویژگی های فضاهای درگیر را روشن می کنند، با یک دایره شروع کنید. حالا آن را روی کره دو بعدی که سطح یک توپ است، ترسیم کنید. راه های بی نهایت زیادی برای انجام این کار وجود دارد. اگر کره را به عنوان سطح زمین تصور کنید، برای مثال می توانید دایره خود را در هر خط عرض جغرافیایی قرار دهید. از منظر نظریه هموتوپی، همه آنها معادل یا همتوپی هستند، زیرا همه آنها می توانند تا نقطه ای در قطب شمال یا جنوب منقبض شوند.

سپس، دایره را روی سطح دو بعدی یک لوله داخلی (یک سوراخ یک سوراخ) ترسیم کنید. باز هم، راه های بی نهایت زیادی برای انجام این کار وجود دارد، و اکثر آنها هموتوپیک هستند. اما نه همه آنها. شما می توانید یک دایره را به صورت افقی یا عمودی در اطراف چنبره قرار دهید، و هیچ کدام نمی توانند به آرامی به دیگری تغییر شکل دهند. اینها دو (از تعداد زیادی) راه برای نگاشت یک دایره بر روی چنبره هستند، در حالی که فقط یک راه برای نگاشت آن بر روی یک کره وجود دارد که منعکس کننده یک تفاوت اساسی بین این دو فضا است: چنبره یک سوراخ دارد در حالی که کره هیچ سوراخی ندارد.

شمردن راه هایی که می توانیم از دایره به کره دو بعدی یا چنبره ترسیم کنیم، آسان است. آنها فضاهایی آشنا هستند که به راحتی قابل تجسم هستند. اما زمانی که فضاهای با ابعاد بالاتر درگیر هستند، شمارش نقشه ها بسیار سخت تر است.

تفاوت های ابعادی

اگر دو کره ابعاد یکسانی داشته باشند، همیشه بین آنها نقشه های بی نهایت زیادی وجود دارد. و اگر فضایی که از آن نقشه می‌گیرید از فضایی که نقشه‌برداری می‌کنید ابعاد کمتری داشته باشد (مانند مثال ما از دایره یک بعدی که بر روی یک کره دو بعدی نگاشت شده است)، همیشه فقط یک نقشه وجود دارد.

تا حدودی به همین دلیل، شمارش نقشه‌ها زمانی بسیار جالب است که فضایی که از آن نقشه‌برداری می‌کنید، ابعادی بالاتر از فضایی که نقشه‌برداری می‌کنید، داشته باشد، مانند زمانی که یک کره هفت‌بعدی را روی یک کره سه‌بعدی ترسیم می‌کنید. در مواردی مانند آن، تعداد نقشه ها همیشه محدود است.

هان گفت: «نقشه‌های بین کره‌ها به طور کلی زمانی جالب‌تر می‌شوند که منبع ابعاد بزرگ‌تری داشته باشد.

علاوه بر این، تعداد نقشه ها فقط به تفاوت در تعداد ابعاد بستگی دارد (زمانی که ابعاد در مقایسه با تفاوت به اندازه کافی بزرگ شوند). یعنی تعداد نقشه ها از یک کره 73 بعدی به یک کره 53 بعدی با تعداد نقشه های یک کره 225 بعدی به یک کره 205 بعدی یکسان است، زیرا در هر دو مورد، تفاوت ابعاد برابر است. 20.

ریاضیدانان مایلند تعداد نقشه‌های بین فضاهای با هر ابعاد متفاوتی را بدانند. آنها توانسته‌اند تعداد نقشه‌ها را برای تقریباً همه تفاوت‌های بعد تا ۱۰۰ محاسبه کنند: وقتی اختلاف ۲۰ کره است ۲۴ نقشه و وقتی ۲۳ است ۳۱۴۴۹۶۰ نقشه وجود دارد.

اما محاسبه تعداد نقشه ها برای هر تفاوت بزرگتر از 100، قدرت محاسباتی مدرن را تخلیه می کند. و در عین حال، ریاضیدانان الگوهای کافی در تعداد نقشه ها را برای برون یابی بیشتر تشخیص نداده اند. هدف آنها پر کردن جدولی است که تعداد نقشه ها را برای هر تفاوتی در ابعاد مشخص می کند، اما این هدف بسیار دور به نظر می رسد.

راونل که 76 سال دارد، گفت: "این سوالی نیست که من انتظار دارم در طول زندگی نوه هایم راه حل کاملی برای آن پیدا کنم."

حدس تلسکوپ پیش بینی می کند که چگونه تعداد نقشه ها با افزایش تفاوت در ابعاد افزایش می یابد. در واقع، پیش بینی می کند که این تعداد به کندی رشد می کند. اگر درست بود، مشکل پر کردن جدول را کمی آسان می کرد.

شک به کفر

حدس تلسکوپ نام خود را به روشی غیرمحتمل دریافت کرد.

این از این واقعیت شروع شد که در ابعاد بسیار بالا، شهود هندسی شکل گرفته در ابعاد پایین‌تر اغلب خراب می‌شود و شمارش نقشه‌ها بین کره‌ها دشوار است. اما راونل در بیان حدس خود فهمید که لازم نیست. به‌جای شمارش نقشه‌ها بین کره‌ها، می‌توانید تعداد پراکسی نقشه‌های بین کره‌ها و اجرام را به نام تلسکوپ آسان‌تر کنید.

تلسکوپ‌ها شامل مجموعه‌ای از نسخه‌های منحنی بسته با ابعاد بالاتر هستند که هر یک نسخه کوچک‌تر از منحنی قبل از آن است. سری منحنی ها شبیه لوله های به هم پیوسته یک تلسکوپ تاشو واقعی است. راونل می‌گوید: «هرچقدر که این تلسکوپ هنگام توصیف آن عجیب به نظر می‌رسد، در واقع برخورد با آن ساده‌تر از خود کره است.

اما هنوز هم، کره ها می توانند به طرق مختلف روی تلسکوپ ها نقشه برداری کنند، و چالش این است که بدانیم این نقشه ها واقعاً چه زمانی متمایز هستند.

برای تعیین اینکه آیا دو فضا همتوپیک هستند یا خیر، نیاز به یک آزمون ریاضی به نام ثابت دارد، که یک محاسبه بر اساس ویژگی‌های فضاها است. اگر محاسبه مقدار متفاوتی برای هر فضا به دست آورد، می‌دانید که از منظر هموتوپی منحصربه‌فرد هستند.

انواع مختلفی از متغیرها وجود دارد، و برخی می توانند تفاوت هایی را درک کنند که سایر متغیرها نسبت به آن بی توجه هستند. حدس تلسکوپ پیش بینی می کند که تغییر ناپذیری به نام موراوا E-نظریه (و تقارن های آن) می تواند تمام نقشه های بین کره ها و تلسکوپ ها را تا هموتوپی کاملاً متمایز کند - یعنی اگر موراوا E-نظریه می گوید که نقشه ها متمایز هستند، آنها متمایز هستند، و اگر بگوید که آنها یکسان هستند، آنها یکسان هستند.

اما در سال 1989 راونل شروع به تردید کرده بود که درست است. شک و تردید او از محاسباتی که به نظر می‌رسید با حدس‌ها همخوانی نداشت، ظاهر شد. اما تا اکتبر همان سال، زمانی که او در برکلی بود، زلزله‌ای عظیم در منطقه خلیج رخ داد، این تردیدها به ناباوری کامل تبدیل شد.

راونل گفت: «من ظرف یک یا دو روز پس از زلزله به این نتیجه رسیدم، بنابراین دوست دارم فکر کنم اتفاقی افتاده است که باعث شد فکر کنم درست نیست.

رد کردن حدس تلسکوپ مستلزم یافتن یک متغیر قوی‌تر است که بتواند چیزهای موراوا را ببیند. E-نظریه نمی تواند. برای چندین دهه به نظر نمی رسید که چنین تغییر ناپذیری در دسترس باشد و حدس را کاملاً دور از دسترس قرار دهد. اما پیشرفت در سال‌های اخیر آن را تغییر داد - و بورکلوند، هان، لوی و شلانک از آن سرمایه‌گذاری کردند.

انفجار عجیب و غریب

اثبات آنها بر مجموعه ای از ابزارها به نام جبری متکی است K-نظریه که در دهه 1950 توسط الکساندر گروتندیک پایه گذاری شد و در دهه گذشته به سرعت توسعه یافته است. در ریاضیات کاربرد دارد، از جمله در هندسه، جایی که توانایی سوپرشارژ کردن یک متغیر را دارد.

چهار نویسنده از جبری استفاده می کنند K-نظریه به عنوان ابزار: آنها موراوا را وارد می کنند E-نظریه، و خروجی آنها یک تغییر ناپذیر جدید است که آنها از آن به عنوان جبری یاد می کنند K-نظریه نقاط ثابت موراوا E-تئوری. سپس آن‌ها این تغییر ناپذیر جدید را روی نقشه‌هایی از کره‌ها تا تلسکوپ‌ها اعمال می‌کنند و ثابت می‌کنند که می‌تواند نقشه‌هایی را ببیند که Morava E-نظریه نمی تواند.

و فقط این نیست که این تغییر ناپذیر جدید چند نقشه دیگر را می بیند. خیلی بیشتر، حتی بی نهایت بیشتر را می بیند. خیلی های دیگر که عادلانه است که بگوییم موراوا Eوقتی نوبت به شناسایی نقشه ها از کره تا تلسکوپ می رسید، نظریه به سختی سطح را خراش می داد.

نقشه های بی نهایت بیشتر از کره ها به تلسکوپ ها به معنای نقشه های بی نهایت بیشتر بین خود کره ها است. تعداد چنین نقشه هایی برای هر تفاوتی در ابعاد محدود است، اما اثبات جدید نشان می دهد که تعداد آنها به سرعت و به طور غیرقابل اجتنابی رشد می کند.

وجود نقشه های بسیار به یک واقعیت هندسی ناراحت کننده اشاره می کند: کره های بسیار زیادی وجود دارد.

در سال 1956 جان میلنور اولین نمونه‌هایی از کره‌های عجیب و غریب را شناسایی کرد. اینها فضاهایی هستند که می توانند از منظر هموتوپی به کره واقعی تغییر شکل دهند اما به معنای دقیق خاصی با کره متفاوت هستند. کره های عجیب و غریب به هیچ وجه در ابعاد یک، دو یا سه وجود ندارند، و هیچ کس نمونه هایی از آنها را در زیر بعد هفت کشف نکرده است - بُعدی که میلنور برای اولین بار آنها را پیدا کرد. اما با افزایش ابعاد، تعداد کره های عجیب و غریب منفجر می شود. 16,256 در بعد 15 و 523,264 در بعد 19 وجود دارد.

و با این حال، به همان اندازه که این اعداد بزرگ هستند، رد حدس تلسکوپ به این معنی است که تعداد بسیار بسیار بیشتری وجود دارد. رد کردن به این معنی است که نقشه‌های بیشتری بین کره‌ها نسبت به زمانی که راونل حدس را بیان می‌کرد، وجود دارد، و تنها راهی که می‌توانید نقشه‌های بیشتری به دست آورید، داشتن تنوع بیشتر کره‌ها برای نقشه‌برداری بین آن‌ها است.

انواع مختلفی از پیشرفت در ریاضیات و علوم وجود دارد. یک نوع نظم را به هرج و مرج می آورد. اما دیگری با از بین بردن فرضیات امیدوارکننده ای که درست نبودند، هرج و مرج را تشدید می کند. رد حدس تلسکوپ همینطور است. این پیچیدگی هندسه را عمیق‌تر می‌کند و این احتمال را افزایش می‌دهد که نسل‌های زیادی از نوه‌ها قبل از اینکه کسی نقشه‌های بین کره‌ها را کاملاً درک کند، بیایند و بروند.

راونل گفت: "به نظر می رسد هر پیشرفت بزرگی در این موضوع به ما می گوید که پاسخ بسیار پیچیده تر از آنچه قبلاً فکر می کردیم است."