معرفی
یکی از اپیزودهای بزرگ در تاریخ ریاضیات در 23 اکتبر 1852 آغاز شد. آگوستوس دی مورگان در نامه ای به سر ویلیام روآن همیلتون نوشت: "یکی از دانش آموزانم امروز از من خواست تا دلیلی برای واقعیتی به او بدهم که من انجام دادم. نمی دانم یک واقعیت است - و هنوز نمی دانم. تا به امروز، این "واقعیت" همچنان دانشمندان را مجذوب و به چالش می کشد.
دانش آموز فردریک گاتری بود و "واقعیت" مورد بحث در اصل از برادرش فرانسیس بود. پس از مشاهده نقشه ای از شهرستان های بریتانیا، او به این فکر کرد که آیا همیشه می توان یک نقشه را با استفاده از چهار رنگ یا کمتر رنگ کرد، در حالی که اطمینان حاصل کرد که مناطقی که مرز مشترک دارند (بیش از یک نقطه گوشه) رنگ های متفاوتی دارند.
به نظر می رسید که این همیشه باید امکان پذیر باشد. دی مورگان نوشت: "هرچه بیشتر به آن فکر می کنم، واضح تر به نظر می رسد." با این حال، مشکل همیلتون را هیجان زده نکرد. او پاسخ داد: "من به احتمال زیاد تلاش نمی کنم"رباعی از رنگ ها خیلی زود.” و تلاش های دی مورگان برای علاقه مند کردن دیگران نیز شکست خورد.
این مشکل تا سال 1878 تا حد زیادی خاموش بود، زمانی که آرتور کیلی از اعضای انجمن ریاضی لندن پرسید که آیا کسی مدرکی پیدا کرده است. بلافاصله پس از آن، شواهد شروع به ظاهر شدن کردند. اولین موردی بود که توسط وکیل دادگستری آلفرد کمپ در سال 1879 انجام شد و مشخص شد که مهمترین آنها بود. اثبات قانع کننده بود و بیش از یک دهه به عنوان صحیح پذیرفته شد. متأسفانه، شواهد کمپ - مانند تمام موارد دیگری که برای قرن آینده ظاهر می شوند - ناقص بود. با این حال، مبتکرانه بود، و حاوی ایده های کلیدی بود که در اثبات نهایی ظاهر می شد.
برای درک اینکه کمپ و اکثر ریاضیدانان چگونه به این مسئله نگاه کرده اند، تشخیص این که یک نقشه حاوی اطلاعات زیادی غیر مرتبط با مسئله رنگ آمیزی است، مانند شکل، اندازه و مکان دقیق هر منطقه کمک می کند. تنها چیزی که مهم است این است که کدام مناطق دارای مرزهای مشترک هستند، اگرچه ما نیاز به اتصال همه مناطق داریم. میشیگان، با شبه جزیره بالایی مجزا، در واقع مانع از چهار رنگ بودن نقشه ایالات متحده نمی شود، اما از نظر ریاضی می تواند.
برای تمرکز بر اطلاعات مهم، میتوانیم این روابط را با استفاده از یک نمودار، که به عنوان شبکه نیز شناخته میشود، رمزگذاری کنیم، جایی که نقاط (راس) با خطوط (لبهها) به هم متصل میشوند. هر ناحیه از نقشه را با یک راس جایگزین کنید و رئوس مناطق مجاور را با یک یال به هم وصل کنید. اگر کمک کند، می توانیم تصور کنیم که راس ها پایتخت ها هستند و یال ها جاده هایی هستند که به آنها می پیوندند.
به این ترتیب، مسئله رنگآمیزی نقشه به مسئله رنگآمیزی نمودار تبدیل میشود: رئوس را رنگ کنید تا همسایهها رنگهای متفاوتی داشته باشند. حداقل تعداد رنگ ها را عدد رنگی نمودار می گویند. میتوانیم در مورد عدد رنگی هر گرافی بپرسیم، اما نمودارهایی که از نقشهها به دست میآیند ویژگیهای خاصی دارند. این نمودارها ساده هستند، به این معنی که هیچ لبهای وجود ندارد که با یک راس شروع و به پایان میرسد (به نام حلقه) و دو راس فقط با یک یال به هم متصل میشوند. نمودار نیز مسطح است، به این معنی که می توان آن را طوری ترسیم کرد که هیچ لبه ای متقاطع نباشد.
اکنون میتوانیم مشکل فرانسیس گاتری را دوباره بیان کنیم: ثابت کنید که عدد رنگی هر نمودار مسطح ساده حداکثر چهار است.
در اینجا طرحی از استدلال Kempe است که با استفاده از نمودارها به جای نقشه ها با اصطلاحات مدرن توصیف شده است. او با مشاهده این نکته شروع کرد که یک نمودار با یک راس - شاید نقشه یک جزیره تنها باشد - فقط به یک رنگ نیاز دارد. او سپس از یک آرگومان هوشمندانه استفاده کرد تا از آنجا به سمت بالا بسازد، و استدلال کرد که می توان حداکثر از چهار رنگ برای رنگ آمیزی نمودار با دو راس، سپس سه راس و غیره استفاده کرد. در اینجا چگونگی آن است.
فرض کنید می توانیم تمام نمودارهای مسطح ساده را با آن رنگ آمیزی کنیم n رئوس با حداکثر چهار رنگ - این برای آن بی اهمیت است n کمتر از 5 - و پس از آن ما یکی با تحویل داده می شود n + 1 راس. چگونه می توانیم نشان دهیم که آن نیز حداکثر با چهار رنگ قابل رنگ است؟
ابتدا، Kempe با استفاده از یک آرگومان شمارش دقیق نشان داد که هر نمودار مسطح ساده یک چیز مشترک دارد: باید حداقل یک راس با حداکثر پنج همسایه داشته باشد. با در نظر گرفتن تمام گزینه ها، این بدان معنی است که هر نمودار ممکن مبتنی بر نقشه شامل یکی از شش پیکربندی خاص رئوس است.
اگر این راس و تمام لبه هایی که به آن متصل می شوند را برداریم، یک نمودار با آن باقی می گذاریم n رئوس - که ما قبلاً می دانیم که می توانند با استفاده از چهار رنگ رنگ شوند. ما در واقع این کار را به عنوان مرحله بعدی انجام می دهیم. اکنون به رئوس مجاور راس حذف شده نگاه کنید. اگر سه رنگ یا کمتر را نشان دهند، میتوانیم رأس حذف شده را یکی از رنگهای باقیمانده رنگآمیزی کنیم، و کارمان تمام است: فقط نشان دادیم که نمودار با n + 1 راس را می توان با چهار رنگ رنگ کرد. و اگر رئوس مجاور شامل هر چهار رنگ باشد، کمپ روشی هوشمندانه برای رنگ آمیزی مجدد رئوس خاص ابداع کرد تا رنگی را برای راس حذف شده آزاد کند، و دوباره نشان داد که نمودار با n + 1 راس فقط به چهار رنگ نیاز دارد.
در سال 1890، ریاضیدان پرسی هیوود خطای کمپ را شناسایی کرد. مورد خاصی بود که روش هوشمندانه کمپه شکست خورد. هیوود خاطرنشان کرد که اگرچه کار خودش «ویرانگر [و نه سازنده» به نظر میرسد، او نشان داد که تکنیک کمپ میتواند ثابت کند که هر نقشهای را میتوان با پنج رنگ یا کمتر رنگآمیزی کرد – نه کاملاً هدف اصلی، اما همچنان چشمگیر است.
هیوود همچنین نقشههایی را که بر روی سطوح پیچیدهتر ترسیم شده بودند، بررسی کرد. او ثابت کرد که یک نقشه بر روی یک دونات با g سوراخها ممکن است به رنگهای $latex frac{mathrm 1}{mathrm 2} چپ (7+sqrt{1+48g} سمت راست) $ نیاز داشته باشند (که این مقدار به نزدیکترین عدد صحیح گرد میشود). بنابراین تزئین یک دونات معمولی ممکن است به هفت رنگ فراست نیاز داشته باشد. با این حال، در آنچه در حال تبدیل شدن به یک الگو بود، اثبات او برای سطوح عمومی ناقص بود، و ما تا سال 1968 یک اثبات کامل نداشتیم.
اما حتی زمانی که قضیه هیوود برای سطوح کلی ثابت شد، مسئله چهار رنگ حل نشده باقی ماند. با این حال، به لطف چندین دهه تلاش سخت، شاهدی در چشم بود.
در کنفرانسی در سال 1976، 124 سال پس از طرح مشکل گاتری، ولفگانگ هاکن با همکاری کنت آپل و با کمک دانشجوی فارغ التحصیل جان کخ، مدرکی را اعلام کرد. واکنش ها متفاوت بود. "انتظار داشتم تماشاگران با تشويق و تشويق عظيم طغيان كنند." دان آلبرز نوشت، که در سخنرانی حضور داشت. در عوض، آنها با تشویق مؤدبانه پاسخ دادند!» به این دلیل بود که تیم بهجای تولید استدلال با مداد و کاغذ، به شدت به رایانه تکیه کرد.
آنها ماشینی نداشتند که مستقیماً به این سؤال پاسخ دهد، زیرا نمودارهای مسطح بی نهایت زیادی امکان پذیر است و رایانه نمی تواند همه آنها را بررسی کند. با این حال، همانطور که Kempe ثابت کرد که هر نمودار حاوی یکی از شش پیکربندی خاص رئوس است، Appel و Haken نشان دادند که هر نمودار باید یکی از 1,936 پیکربندی خاص را داشته باشد. اثبات قضیه به معنای نشان دادن این بود که برای رنگ آمیزی هر گراف حاوی آن زیرگراف ها فقط به چهار رنگ نیاز داریم. تقسیم کردن شش مورد خاص Kempe به 1,936 مورد فرعی به آنها کنترل دقیق تری داد و بررسی هر مورد را آسان تر کرد - اگرچه تعداد کل در حال حاضر برای یک انسان برای تأیید بدون کمک بسیار زیاد بود. در واقع، تکمیل محاسبات به بیش از 1,000 ساعت زمان کامپیوتر نیاز دارد.
جامعه ریاضی فقط با اکراه نتایج را پذیرفت و معتقد بود که یک اثبات باید کاملاً توسط انسان قابل درک و تأیید باشد. در حالی که برای کامپیوترها انجام محاسبات معمولی قابل قبول بود، ریاضیدانان آمادگی نداشتند استدلال منطقی را به یک دستگاه محاسباتی واگذار کنند. این محافظه کاری و بی میلی به استقبال از پیشرفت های صرفه جویی در زمان تازگی نداشت. در قرن هفدهم، زمانی که برخی از ریاضیدانان از تکنیک های جدید جبری برای حل مسائل هندسه استفاده کردند، اعتراض مشابهی به وجود آمد. درام مشابه ممکن است دوباره پخش شود ظهور یادگیری ماشینی: آیا ریاضیدانان قضیه ای را که توسط یک الگوریتم غیرشفاف کشف و اثبات شده است می پذیرند؟
اثبات مسئله چهار رنگ البته تنها آغاز انقلاب کامپیوتری در ریاضیات بود. در سال 1998 توماس هیلز از یک کامپیوتر برای اثبات این معروف استفاده کرد حدس یوهانس کپلر که کارآمدترین راه برای چیدن کره ها روشی است که به طور معمول برای چیدن پرتقال در یک فروشگاه مواد غذایی استفاده می شود. و اخیراً رایانهها به یافتن «عدد خدا» کمک کردند - حداکثر تعداد چرخشهای مورد نیاز برای حل یک مکعب روبیک (20 چرخش صورت یا 26 چرخش اگر نیمپیچ دو عدد حساب شود).
اگرچه مشکل چهار رنگ برای نقشه ها حل شده است، بسیاری از سؤالات اساسی در مورد رنگ آمیزی نمودارها بی پاسخ مانده اند یا الان در حال حل شدن.
کار هیوود با سطوح نشان داد که میتوانیم سوالات رنگپذیری را در مورد نمودارهای غیرمسطح بپرسیم. و در واقع عدد رنگی یک گراف خاص به سطحی که نقشه معادل روی آن ترسیم شده است بستگی ندارد. به عنوان مثال، نموداری که در آن هر رأس به هر رأس دیگری متصل باشد، نمودار کامل نامیده می شود و عدد رنگی یک گراف کامل با n رئوس است n. بنابراین اگر یک نمودار بزرگ شامل یک نمودار کامل با n رئوس، پس می دانیم که عدد رنگی نمودار بزرگ حداقل است n.
این مشاهدات به این معنی نیست که اگر عدد رنگی یک نمودار باشد n, سپس شامل یک نمودار کامل با n رگه ها. اما در سال 1943، هوگو هادویگر چیزی بسیار مشابه را حدس زد. او معتقد بود که اگر یک نمودار بدون حلقه دارای عدد رنگی باشد n, سپس دارای آرایشی از رئوس به نام $latex K_n$ مینور است، که در آن حذف برخی از رئوس و یال ها و گروه بندی سایر راس ها با یکدیگر منجر به یک نمودار کامل می شود. n رگه ها. این حدس بیان می کند که اگر یک گراف مینور $لاتکس K_n$ نداشته باشد، می توان آن را با کمتر از n رنگ ها حدس هادویگر، یکی از مهمترین مسائل باز در نظریه گراف، قضیه چهار رنگ را تعمیم میدهد، زیرا یک گراف مسطح نمیتواند حاوی $لاتکس K_5$ جزئی باشد.
اگرچه رنگ آمیزی گراف با یک سوال در نقشه کشی شروع شد، اما مشکلاتی که ربطی به نقشه ها یا رنگ ها ندارند نیز می توانند در چارچوب رنگ آمیزی گراف قرار بگیرند. به عنوان مثال، سودوکو یک مشکل رنگ آمیزی نمودار است. هر سلول را به عنوان یک راس و نه رقم را به عنوان رنگ مشاهده کنید. هر رأس دارای 20 یال است که از آن بیرون می آید - یکی به هر خانه در ردیف خود، در ستون و در مربع فرعی 3 در 3. این نمودار از 81 رأس و 810 یال با رنگ آمیزی جزئی (سرنخ های داده شده) شروع می شود. هدف بازی رنگ آمیزی بقیه رئوس است.
علیرغم همه توجهی که به این مشکلات رنگ آمیزی شده است، ما هنوز اثباتی برای قضیه اصلی چهار رنگ نداریم که انسان بتواند آن را بخواند. این به دلیل عدم تلاش نیست. حتی امروزه، اثباتهای جدید ظاهر میشوند، شور و شوق ایجاد میکنند و مانند اثبات Kempe، نشان داده میشوند که حاوی خطا هستند.
پل اردوس، ریاضیدان، درباره «کتاب» صحبت میکرد - کتابی خیالی که حاوی زیباترین برهانهای هر قضیه است. انسان تعجب میکند که آیا کتاب دارای یک اثبات قابل خواندن برای انسان برای قضیه چهار رنگ است، و اگر چنین است، آیا ما هرگز آن را خواهیم دید.
- محتوای مبتنی بر SEO و توزیع روابط عمومی. امروز تقویت شوید.
- پلاتوبلاک چین. Web3 Metaverse Intelligence. دانش تقویت شده دسترسی به اینجا.
- منبع: https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/
- :است
- ][پ
- $UP
- 000
- 1
- 1998
- a
- درباره ما
- پذیرفتن
- قابل قبول
- حساب
- واقعا
- پیشرفت
- پس از
- الگوریتم
- معرفی
- قبلا
- هر چند
- همیشه
- و
- اعلام کرد
- پاسخ
- هر کس
- ظاهر شدن
- به نظر می رسد
- هستند
- استدلال
- ترتیب
- آرتور
- AS
- کمک
- At
- توجه
- حضار
- مستقر
- اساسی
- BE
- زیرا
- شود
- تبدیل شدن به
- آغاز شد
- شروع
- پشت سر
- بودن
- اعتقاد بر این
- باور کردن
- کتاب
- مرز
- مرز
- شکستن
- انگلیسی
- ساختن
- by
- محاسبات
- نام
- CAN
- نمی توان
- سرمایه
- دقیق
- مورد
- موارد
- قرن
- معین
- به چالش
- بررسی
- شهرستانها
- همکاری
- رنگ
- رنگارنگ
- ستون
- بیا
- آینده
- مشترک
- انجمن
- کامل
- تکمیل
- بغرنج
- کامپیوتر
- کامپیوتر
- محاسبه
- کنفرانس
- حدس
- اتصال
- متصل
- ساختمانی
- شامل
- شامل
- ادامه
- کنترل
- گوشه
- میتوانست
- دوره
- صلیب
- روز
- دهه
- دهه
- شرح داده شده
- دستگاه
- DID
- مختلف
- رقم
- مستقیما
- کشف
- نمی کند
- پایین
- درام
- هر
- آسان تر
- لبه
- موثر
- تلاش
- در اغوش گرفتن
- حصول اطمینان از
- اشتیاق
- به طور کامل
- معادل
- خطا
- خطاهای
- حتی
- سرانجام
- تا کنون
- هر
- مثال
- نمایش دادن
- انتظار می رود
- چهره
- ناموفق
- معروف
- پیدا کردن
- نام خانوادگی
- مناسب
- ناقص
- تمرکز
- برای
- یافت
- چارچوب
- فرانسیس
- فردریک
- رایگان
- از جانب
- نا امید
- کامل
- بازی
- سوالات عمومی
- تولید می کنند
- دریافت کنید
- دادن
- داده
- هدف
- فارغ التحصیل
- گراف
- نمودار ها
- بزرگ
- نیم
- همیلتون
- سخت
- کار سخت
- آیا
- داشتن
- به شدت
- کمک کرد
- کمک می کند
- تاریخ
- سوراخ
- ساعت ها
- چگونه
- اما
- HTTPS
- هوگو
- انسان
- قابل خواندن انسان است
- انسان
- i
- ایده ها
- شناسایی
- خیالی
- مهم
- موثر
- in
- شامل
- اطلاعات
- نمونه
- علاقه مند
- جزیره
- IT
- ITS
- جان
- پیوست
- پیوستن
- کلید
- دانستن
- شناخته شده
- کخ
- عدم
- بزرگ
- تا حد زیادی
- ترک کردن
- نامه
- پسندیدن
- احتمالا
- خطوط
- محل
- منطقی
- لندن
- طولانی
- نگاه کنيد
- نگاه
- به دنبال
- خیلی
- دستگاه
- ساخته
- بسیاری
- نقشه
- نقشه ها
- ریاضی
- از نظر ریاضی
- ریاضیات
- مسائل
- بیشترین
- معنی
- به معنی
- اعضا
- روش
- میشیگان
- حد اقل
- خردسال
- مخلوط
- مدرن
- بیش
- مورگان
- اکثر
- نیاز
- نیازهای
- همسایه ها
- شبکه
- جدید
- بعد
- عدد
- هدف
- اکتبر
- of
- on
- ONE
- باز کن
- گزینه
- عادی
- اصلی
- در اصل
- دیگر
- دیگران
- خود
- ویژه
- الگو
- پل
- انجام
- شاید
- افلاطون
- هوش داده افلاطون
- PlatoData
- بازی
- نقطه
- ممکن
- آماده شده
- در حال حاضر
- جلوگیری از
- مشکل
- مشکلات
- اثبات
- اثبات
- املاک
- ثابت كردن
- ثابت
- مجله کوانتاما
- سوال
- سوالات
- نسبتا
- واکنش
- خواندن
- دلیل
- اخذ شده
- تازه
- شناختن
- منطقه
- مناطق
- روابط
- ماندن
- باقی مانده است
- باقی مانده
- برداشتن
- حذف شده
- جایگزین کردن
- نیاز
- ضروری
- نیاز
- REST
- نتایج
- انقلاب
- طلوع
- به طور معمول
- ROW
- s
- همان
- عالمان
- به نظر می رسید
- به نظر می رسد
- جداگانه
- مستقر
- هفت
- شکل
- اشتراک گذاری
- اشتراک
- باید
- نشان
- نشان داده شده
- منظره
- مشابه
- ساده
- پس از
- آقا
- شش
- اندازه
- So
- جامعه
- حل
- برخی از
- چیزی
- سخن گفتن
- ویژه
- پشته
- آغاز شده
- راه افتادن
- شروع می شود
- ایالات
- گام
- هنوز
- opbevare
- دانشجو
- زیرگرافها
- چنین
- سطح
- مصرف
- صحبت
- تیم
- تکنیک
- قوانین و مقررات
- با تشکر
- که
- La
- پایتخت
- نمودار
- اطلاعات
- آنها
- اینها
- سه
- زمان
- به
- امروز
- با هم
- هم
- جمع
- تبدیل
- پیچ و تاب ها
- ما
- فهمیدن
- قابل فهم
- بطرف بالا
- استفاده کنید
- ارزش
- بررسی
- چشم انداز
- مسیر..
- وب سایت
- خوب
- چی
- چه
- که
- در حین
- WHO
- اراده
- با
- بدون
- مهاجرت کاری
- خواهد بود
- سال
- شما
- زفیرنت