نظریه پردازی که ریاضی را در هنر، موسیقی و نویسندگی می بیند | مجله کوانتا

سارا هارت همیشه به راه‌های پنهانی که ریاضیات در سایر زمینه‌ها نفوذ می‌کند، توجه داشته است. در کودکی، او از حضور عدد 3 در افسانه هایش شگفت زده شد. مادر هارت که یک معلم ریاضی بود، او را تشویق به الگوبرداری کرد و به او پازل های ریاضی داد تا زمان را بگذراند.

هارت در سال 2000 دکترای خود را در تئوری گروه دریافت کرد و بعداً استاد دانشگاه برکبک، دانشگاه لندن شد. تحقیقات هارت ساختار گروه‌های Coxeter را بررسی کرد، نسخه‌های کلی‌تر ساختارهایی که تقارن چندضلعی‌ها و منشورها را فهرست‌بندی می‌کنند. او در سال 2023 منتشر کرد روزی روزگاری نخست، کتابی در مورد شیوه های ظهور ریاضی در داستان و شعر. هارت می‌نویسد: «از آنجایی که ما انسان‌ها بخشی از جهان هستیم، طبیعی است که اشکال بیان خلاقانه ما، ادبیات در میان آن‌ها، تمایلی به الگو و ساختار نشان دهد.» بنابراین، ریاضیات کلید دیدگاهی کاملاً متفاوت در ادبیات است.

از سال 2020، هارت استاد هندسه در کالج گرشام لندن بوده است. گرشام هیچ دوره سنتی ندارد. در عوض، اساتید آن هر کدام چندین سخنرانی عمومی در سال ارائه می دهند. هارت اولین زنی است که تا کنون منصب 428 ساله ای را که در قرن هفدهم توسط آیزاک بارو اشغال شده بود، به دست آورد، که به دلیل تدریس آیزاک دیگری (نیوتن) مشهور بود. اخیراً توسط راجر پنروز، ریاضیدانی که برنده جایزه نوبل فیزیک 17 شده بود، برگزار شد. هارت با او صحبت کرد کوانتوم در مورد اینکه چگونه ریاضیات و هنر بر یکدیگر تأثیر می گذارند. مصاحبه برای وضوح فشرده و ویرایش شده است.

چرا تصمیم گرفتید کتاب خود را درباره پیوندهای ریاضی و ادبیات بنویسید؟

این پیوندها نسبت به پیوندهایی که بین ریاضی و مثلاً موسیقی وجود دارد کمتر کاوش شده و کمتر شناخته شده است. ارتباط بین ریاضیات و موسیقی حداقل از زمان فیثاغورثی ها جشن گرفته شده است. با این حال، اگرچه پژوهش‌های کتبی و آکادمیک درباره کتاب‌ها، نویسندگان یا ژانرهای خاص انجام شده است، اما من کتابی برای مخاطبان عام در مورد ارتباطات گسترده‌تر بین ریاضیات و ادبیات ندیده بودم.

اهالی هنر چگونه باید در مورد ریاضی فکر کنند؟

نقاط مشترک زیادی بین ریاضیات و، باید بگویم، هنرهای دیگر وجود دارد. در ادبیات، و همچنین موسیقی و هنر، شما هرگز با هیچ چیز شروع نمی کنید. اگر شاعر هستید، انتخاب می‌کنید: آیا یک هایکو با محدودیت‌های عددی بسیار دقیق‌اش داشته باشم یا غزلی بنویسم که تعداد سطر معین، طرح قافیه‌ای خاص، متر مشخصی داشته باشد؟ حتی چیزی که طرح قافیه ندارد، خط شکسته، ریتم خواهد داشت. محدودیت هایی وجود خواهد داشت که خلاقیت را تحریک می کند و به تمرکز شما کمک می کند.

در ریاضیات هم همین را داریم. ما چند قانون اساسی داریم. در آن، ما می توانیم کاوش کنیم، می توانیم بازی کنیم، و می توانیم قضایا را اثبات کنیم. کاری که ریاضیات می تواند برای هنر انجام دهد این است که به یافتن ساختارهای جدید کمک کند، نشان دهد که چه امکاناتی وجود دارد. یک قطعه موسیقی که امضای کلیدی نداشته باشد چگونه به نظر می رسد؟ ما می توانیم در مورد 12 تن و ترتیب متفاوت آنها فکر کنیم، و در اینجا همه راه هایی وجود دارد که می توانید این کار را انجام دهید. در اینجا طرح های رنگی مختلفی وجود دارد که می توانید طراحی کنید، در اینجا اشکال مختلف متر شاعرانه وجود دارد.

یک نمونه از تأثیر ریاضیات از ادبیات چیست؟

هزاران سال پیش در هند، شاعران در تلاش بودند تا به مترهای ممکن فکر کنند. در شعر سانسکریت شما هجاهای بلند و کوتاه دارید. بلند دو برابر کوتاهتر است. اگر می‌خواهید بفهمید چند نفر هستند که طول آن سه است، می‌توانید کوتاه، کوتاه، کوتاه، یا بلند، کوتاه، یا کوتاه، بلند داشته باشید. سه راه برای ساختن سه راه وجود دارد. پنج راه برای ساخت یک عبارت طولی چهار وجود دارد. و هشت راه برای ساخت یک عبارت طولانی پنج وجود دارد. این دنباله ای است که شما دریافت می کنید، دنباله ای است که در آن هر جمله مجموع دو مورد قبلی است. شما دقیقا همان چیزی را که ما امروزه دنباله فیبوناچی می نامیم بازتولید می کنید. اما این قرن ها قبل از فیبوناچی بود.

در مورد تأثیر ریاضیات بر ادبیات چطور؟

یک سکانس کاملاً ساده، اما بسیار بسیار قدرتمند، کتاب النور کاتن است نورانی، که در سال 2013 منتشر شد. او از دنباله ای استفاده کرد که 1,1،2/1، 4/1، 8/1، 16/XNUMX می شود. طول هر فصل در آن کتاب نصف فصل قبل است. این اثر واقعاً جذاب را ایجاد می کند، زیرا سرعت در حال افزایش است و انتخاب شخصیت ها محدودتر می شود. همه چیز به سمت نتیجه اش می رود. در پایان، فصل ها بسیار کوتاه هستند.

نمونه دیگری از ساختار ریاضی کمی پیچیده تر، مربع های لاتین متعامد نامیده می شود. مربع لاتین به نوعی شبیه شبکه سودوکو است. در این مورد، یک شبکه 10 در 10 خواهد بود. هر عدد دقیقاً یک بار در هر سطر و در هر ستون ظاهر می شود. مربع های لاتین متعامد از روی هم قرار دادن دو مربع لاتین تشکیل می شوند، بنابراین یک جفت اعداد در هر فاصله وجود دارد. شبکه ای که توسط عدد اول در هر جفت تشکیل می شود، یک مربع لاتین است، و همچنین شبکه ای که توسط عدد دوم در هر جفت تشکیل می شود. علاوه بر این، در شبکه جفت ها، هیچ جفتی بیش از یک بار ظاهر نمی شود.

اینها در همه راه ها بسیار مفید هستند. می‌توانید از آنها کدهای تصحیح خطا بسازید که برای ارسال پیام در کانال‌های نویزدار مفید هستند. اما یکی از چیزهای بزرگ در مورد این موارد خاص، اندازه 10، این است که یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، لئونارد اویلر، فکر می کرد که آنها نمی توانند وجود داشته باشند. این یکی از معدود مواردی بود که او اشتباه کرد. برای همین خیلی هیجان انگیز بود مدت‌ها پس از اینکه او این حدس را مطرح کرد که این چیزها نمی‌توانند برای اندازه‌های خاص وجود داشته باشند، رد شد و مربع‌هایی با این اندازه در سال 1959 یافت شد. پوشش of علمی آمریکا آن سال.

سال ها پس از آن، یک نویسنده فرانسوی به نام ژرژ پرک به دنبال ساختاری بود که برای کتابش استفاده کند زندگی: کتابچه راهنمای کاربر. او یکی از این مربع های لاتین متعامد را انتخاب کرد. او کتاب خود را در یک بلوک آپارتمانی در پاریس تنظیم کرد که دارای 100 اتاق بود، مربعی 10 در 10. هر فصل در یک اتاق متفاوت بود و هر فصل طعم منحصر به فرد خود را داشت. او فهرستی از 10 چیز داشت - پارچه‌های مختلف، رنگ‌ها و چیزهایی از این دست. هر فصل از یک ترکیب منحصر به فرد استفاده می کند. این یک روش واقعاً جذاب برای ساختار کتاب است.

به وضوح برای نوشتن خوب ارزش قائل هستید. نظر شما در مورد کیفیت نوشتن در مقالات تحقیقاتی ریاضی چیست؟

خیلی متغیره! می‌دانم که ما به اختصار جایزه می‌دهیم، اما فکر می‌کنم گاهی اوقات بیش از حد از آن گرفته می‌شود. مقالات زیادی وجود دارد که هیچ نمونه مفیدی ندارند.

چیزی که ما واقعاً جایزه می‌دهیم، استدلالی مبتکرانه است که از آنجایی که همه موارد را در یک زمان بسیار هوشمندانه پوشش می‌دهد، همچنین مختصر و ظریف است. این همانی نیست که استدلال طولانی خود را در فضایی کوچکتر از آنچه که نیاز است، با پوشاندن صفحه با نشانه‌های مخفیانه‌ای که برای کوتاه‌تر کردن نماد ایجاد کرده‌اید، له کنید، اما نه تنها خواننده، بلکه احتمالاً خود شما مجبور خواهید بود با زحمت آن‌ها را باز کنید. دوباره برای اینکه بفهمیم چه خبر است.

ما به اندازه کافی به نمادهای مفید فکر نمی کنیم که به خواننده یادآوری می کند که منظور چیست. نماد درست می تواند یک قطعه از ریاضیات را کاملاً تغییر دهد و همچنین می تواند فضایی را برای تعمیم ها ایجاد کند. از نظر تاریخی به انتقال از نوشتن یک مجهول، مربع و مکعب آن با سه حرف مختلف فکر کنید، و اینکه چقدر محتمل‌تر و حتی ممکن است، شروع به فکر کردن در مورد زمانی که شروع به نوشتن کردید،  و به جای آن است.

آیا تکامل را در پیوندهای بین ریاضی و هنر می بینید؟

همیشه چیزهای جدیدی وجود دارد. فراکتال ها در دهه 1990 همه جا بودند. روی هر دیوار اتاق دانشجویی، عکسی از مجموعه ماندلبرو یا چیزی شبیه به این وجود داشت. همه می گفتند: "اوه، این فرکتال ها هیجان انگیز است." به عنوان مثال، نوازندگان، آهنگسازانی را دریافت می کنید که از سکانس های فراکتال در ساخته های خود استفاده می کنند.

زمانی که من حدوداً 16 ساله بودم، چیزهای جدیدی به نام ماشین حساب گرافیکی وجود داشت. خیلی هیجان انگیز. و یکی از دوستان مادرم این برنامه را به من داد که می توانست یک مجموعه ماندلبرو را روی یکی از این ماشین حساب های گرافیکی کوچک بکشد. حدوداً، نمی‌دانم، 200 پیکسل داشت. شما این چیز را در آن برنامه ریزی کردید، و من مجبور شدم آن را برای 12 ساعت ترک کنم. این 200 نقطه را در انتهای آن ترسیم می کند. بنابراین حتی دانش‌آموزان ساده نیز می‌توانند در اواخر دهه 80 و اوایل دهه 90 با این موضوع درگیر شوند و این تصاویر را برای خود تولید کنند.

حتی زمانی که در مدرسه بودید، از قبل به ریاضیات هاردکور علاقه زیادی داشتید، به نظر می رسد.

 فکر می‌کنم از قبل از اینکه حتی بدانم این بدان معناست که ریاضی‌دان هستم، علاقه‌مند بوده‌ام. مثلاً، من همیشه از زمانی که یک کودک کوچک و کوچک بودم، الگو می ساختم.

وقتی خیلی کوچک بودم، اسباب بازی مورد علاقه من چند کاشی چوبی بسیار ساده بود. آنها در همه رنگ های مختلف آمدند. من آنها را به شکل الگو در می آوردم، و سپس برای یک روز یا بیشتر با افتخار به آن نگاه می کردم و سپس یکی دیگر را می ساختم.

وقتی کمی بزرگتر شدم، با اعداد بازی می کردم و به الگوها نگاه می کردم. مامان کسی بود که پیشش می رفتم و می گفتم: "خسته ام." و سپس می‌گفت: «خب، آیا می‌توانی الگوی تعداد نقاطی را که برای ایجاد مثلث نیاز داریم، مشخص کنی؟» یا هر چی بود او از من می خواهد که اعداد مثلثی یا چیزی دیگر را دوباره کشف کنم و من بسیار هیجان زده خواهم شد.

مادر بیچاره من، تعداد اختراعات شگفت انگیزی که با آن به سراغ مادرم می رفتم. "من یک روش کاملاً جدید برای انجام کاری ایجاد کرده ام!" و او می گفت: "باشه، این خیلی خوب است. اما، می دانید، دکارت قرن ها پیش به آن فکر می کرد. و سپس من می روم. چند روز بعد به ایده شگفت انگیز دیگری رسیدم. "این دوست داشتنی است، عزیزم. اما یونانیان باستان این یکی را داشتند.»

آیا لحظه‌های رضایت‌بخشی از حرفه تحقیقاتی ریاضی خود را به یاد می‌آورید؟

لحظاتی که در نهایت می‌فهمید الگوی مورد نظرتان چیست، همیشه رضایت‌بخش است، و همچنین زمانی که کار می‌کنید چگونه اثباتی را که با آن کشتی گرفته‌اید تکمیل کنید. قوی ترین خاطرات من از آن احساسات لذت بخش، احتمالاً به این دلیل که اولین باری بود که آنها را احساس می کردم، از آغاز کار تحقیقاتی من است. اما هنوز هم احساس دوست داشتنی است که آن «آها» را دریافت کنید، وقتی بالاخره متوجه شدید که چه خبر است.

خیلی زود سعی می کردم چیزی را در مورد گروه های بی نهایت Coxeter ثابت کنم. من برخی از موارد را حل کرده بودم، و با بررسی بقیه موارد، به تکنیکی رسیدم که اگر یک معیار خاص برآورده شود، کار می کند. شما می توانید این روابط را در یک نمودار بنویسید، بنابراین من شروع به جمع آوری مجموعه ای از نمودارهایی کردم که تکنیک من می تواند برای آنها اعمال شود. این در کریسمس یک سال بود.

پس از مدتی، مجموعه عکس‌های من مانند مجموعه‌ای از نمودارها به نظر می‌رسند که در کتابی درباره گروه‌های Coxeter که در دفتر من بود فهرست شده بود، و من شروع به امیدواری کردم که دقیقاً این مجموعه از نمودارها باشد. اگر اینطور بود، آن حفره برهان من را پر می کرد و قضیه من تمام می شد. اما تا زمانی که بعد از کریسمس به دانشگاه برگشتم نمی‌توانستم مطمئن شوم - قبل از اینکه بتوانید همه چیز را در گوگل جستجو کنید. فکر می‌کنم وقتی به کتاب رسیدم و مجموعه نمودارهای دست‌نویسم را با نمودارهای موجود در کتاب مقایسه کردم، این انتظار که باید منتظر بمانم تا نظرم را تأیید کنم، کار را حتی بهتر کرد.

نظر شما در مورد این سوال که آیا ریاضیات خلق شده یا کشف شده چیست؟ تقریباً هیچ کس استدلال نمی کند که هر یک از رمان نویسانی که در کتاب خود درباره آنها می نویسید، رمان های خود را "کشف" کرده اند. آیا این تفاوت اساسی بین ریاضی و ادبیات است یا خیر؟

احتمالاً اینطور است، اگرچه هنوز هم طنین‌هایی وجود دارد.

انجام ریاضیات شبیه به کشف است. اگر ما ریاضیات را اختراع می‌کردیم، مطمئناً اثبات چیزها چندان سخت نبود! گاهی اوقات ما ناامیدانه می خواهیم چیزی درست باشد، و اینطور نیست. فکر می کنم ما نمی توانیم از عواقب منطق اجتناب کنیم.

وقتی آن را انجام می دهید، همه چیز مانند کشف به نظر می رسد. برخی از انتخاب‌ها منعکس‌کننده آنچه در دنیای واقعی تجربه می‌کنیم، مانند بدیهیات هندسه‌ای که با آنها کار می‌کنیم، انتخاب می‌شوند، زیرا به نظر می‌رسد که تقریباً واقعیت شبیه به آن است - اگرچه حتی در آنجا چیزی به نام «نقطه» یا «نقطه» وجود ندارد. خط» (زیرا نمی‌توانیم چیزی را ترسیم کنیم که فضایی را اشغال نمی‌کند، و یک خط در هندسه وسعت ندارد و بی‌نهایت امتداد دارد).

تا حدودی، در ادبیات مشابهی با این تداوم وجود دارد. وقتی قواعد یک غزل را تعریف کردید، برای نوشتن غزلی که سطر اول آن با «نارنجی» یا «دودکش» ختم می‌شود، سخت خواهید گرفت.

اما من نمی توانم در برابر به اشتراک گذاشتن چیزی مقاومت کنم J.R.R. تالکین در مورد نوشتن گفت هابیت: "همه چیز از زمانی شروع شد که من داشتم برگه های امتحانی را می خواندم تا کمی پول اضافی به دست بیاورم. ... خب، یک روز به یک صفحه خالی از کتاب امتحان رسیدم و روی آن خط زدم. «در حفره‌ای در زمین، هابیتی زندگی می‌کرد.» من چیزی بیش از این درباره این موجودات نمی‌دانستم، و سال‌ها قبل از اینکه داستان او بزرگ شود. من نمی دانم این کلمه از کجا آمده است.»

هابیت ها - آیا او آنها را خلق کرد یا آنها را کشف کرد؟