نمای نزدیک نقطه ذوب یک نمودار بی نهایت را نشان می دهد | مجله کوانتا

در سال 2008، ریاضیدان اودد شرام در یک تصادف پیاده روی در کوه های کاسکید در 50 مایلی شرق سیاتل درگذشت. اگرچه او فقط 46 سال داشت، اما حوزه های کاملاً جدیدی از ریاضیات ساخته بود.

گفت: "او یک ریاضیدان فوق العاده بود." ایتای بنجامینی، ریاضیدان مؤسسه علوم وایزمن و دوست و همکار شرام. "بسیار خلاقانه، بسیار زیبا، بسیار اصیل."

سوالاتی که او پرسید هنوز مرزهای نظریه احتمال و فیزیک آماری را در پیش می‌گیرد. بسیاری از این سؤالات مربوط به ساختارهای ریاضی است که دارای یک انتقال فاز هستند - یک تغییر ماکروسکوپی ناگهانی، مانند ذوب شدن یخ به آب. همانطور که مواد مختلف نقاط ذوب متفاوتی دارند، انتقال فاز ساختارهای ریاضی نیز متفاوت است.

شرام حدس زد که انتقال فاز در فرآیندی به نام نفوذ می‌تواند تنها با استفاده از نمای نزدیک از سیستم - به نام پرسپکتیو محلی - برای بسیاری از ساختارهای مهم ریاضی تخمین زده شود. بزرگنمایی کامل و نگاه کردن به همه چیز تغییر قابل توجهی در محاسبه ایجاد نمی کند. در 15 سال گذشته، ریاضیدانان تکه های کوچکی از حدس را حذف کرده اند، اما تاکنون نتوانسته اند آن را به طور کامل حل کنند.

در یک پیش چاپ در اکتبر ارسال شد, تام هاچکرافت از موسسه فناوری کالیفرنیا و دانشجوی دکترای او فیلیپ ایسو حدس محلی شرام را ثابت کرد. اثبات آنها متکی بر ایده های اصلی از سراسر نظریه احتمال و سایر زمینه های ریاضی است که آنها را به روشی هوشمندانه ترکیب کردند.

"این یک مقاله قابل توجه است. بنجامینی گفت: این انباشته کار طولانی است.

خوشه های بی نهایت

کلمه "نفوذ" در اصل به حرکت سیال از طریق یک محیط متخلخل، مانند جریان آب از تفاله قهوه یا نفوذ روغن از طریق شکاف های سنگ اشاره دارد.

در سال 1957، ریاضیدانان سیمون رالف برادبنت و جان مایکل همرسلی یک مدل ریاضی از این فرآیند فیزیکی ایجاد کردند. در دهه های پس از آن، این مدل به خودی خود به یک موضوع مطالعه تبدیل شده است. ریاضیدانان نفوذ را مطالعه می کنند زیرا تعادل مهمی را ایجاد می کند: تنظیم ساده است، اما ویژگی های پیچیده و گیج کننده ای را نشان می دهد.

هاچکرافت گفت: «این یک مدل متعارف برای ریاضیدانان است. "شما می توانید به چیزها به صورت بصری فکر کنید. این کار کردن با آن را واقعاً خوب می کند.»

نفوذ با یک نمودار شروع می شود، که مجموعه ای از رئوس (نقاط) است که می توانند توسط لبه ها (خطوط) به هم متصل شوند. یکی از ساده‌ترین نمونه‌ها، شبکه‌ای مربعی است که راس‌هایی در آن ردیف شده‌اند تا گوشه‌های مربع‌ها و لبه‌هایی را تشکیل دهند که برخی از آنها را به هم متصل می‌کنند.

کمی قبل از مرگش، شرام حدس زد که قضیه گریمت و ماستراند را می توان تعمیم داد. او فکر می کرد که آستانه نفوذ به طور کامل توسط نمای نزدیک یا "میکروسکوپی" برای دسته بزرگی از نمودارها که به عنوان نمودارهای انتقالی شناخته می شوند، تعیین می شود.

در سال 2009، بنیامینی، آصاف ناچمیاس و یووال پرز ثابت حدس محلی Schramm، همانطور که اکنون شناخته شده است، برای نوع خاصی از گراف متعدی که شبیه یک درخت است. با این حال، شرام فرض کرده بود که برای همه نمودارهای گذرا (به استثنای نمودارهای یک بعدی) صادق است.

در یک گراف متعدی، همه رئوس شبیه به هم هستند. یک شبکه دو بعدی یک مثال است. اگر هر دو راس را انتخاب کنید، همیشه می‌توانید تقارنی پیدا کنید که یک راس را به دیگری منتقل می‌کند.

این رابطه برای هر گراف متعدی برقرار است. به دلیل این تقارن ها، اگر بزرگنمایی کنید و به هر دو تکه با اندازه مساوی از یک گراف متعدی نگاه کنید، آنها یکسان به نظر می رسند. به همین دلیل، شرام معتقد بود که چشم انداز نزدیک کافی است تا به ریاضیدانان اجازه دهد آستانه نفوذ را برای همه نمودارهای متعدی محاسبه کنند.

نمودارهای متعدی می توانند اشکال و اشکال مختلفی داشته باشند. آنها می توانند یک شبکه ساده باشند که از مربع، مثلث، شش ضلعی یا شکل دیگری تشکیل شده است. یا می‌توانند یک شی پیچیده‌تر را تشکیل دهند، مانند یک "درخت 3-منظم"، که در آن یک نقطه مرکزی به سه راس متصل می‌شود، و هر رأس سپس منشعب می‌شود تا دو راس جدید بی‌نهایت ایجاد کند، که چند مرحله اول آن در اینجا مشاهده می‌شود:

تنوع نمودارهای متعدی به دشواری اثبات حدس محلی شرام کمک کرد. در 15 سال بین حدس شرام و اثبات ایسو و هاچکرافت، گروه های مختلفی از ریاضیدانان این حدس را برای انواع خاصی از نمودارها اثبات کردند، اما ایده های آنها هرگز به حالت کلی گسترش پیدا نکرد.

هاچکرافت گفت: "فضای تمام هندسه های ممکن بسیار وسیع است و همیشه چیزهای عجیب و غریبی در کمین هستند."

گشاد کردن لنز

Easo و Hutchcroft در ابتدا به دنبال راه حلی برای حدس محلی Schramm نبودند، که برای نمودارهای بی نهایت اعمال می شود. آنها در عوض در حال مطالعه نفوذ بر روی نمودارهای محدود بودند. اما آنها ایده ای داشتند که ناگهان توجه آنها را به حدس معطوف کرد.

ایسو گفت: "ما با این ابزار جدید آمدیم و فکر کردیم، اوه، به نظر می رسد این چیزی است که می تواند برای حمله به محل مفید باشد."

برای اثبات این حدس، آنها باید نشان دهند که چشم انداز میکروسکوپی تصویر دقیقی از آستانه نفوذ به دست می دهد. وقتی فقط بخشی از یک نمودار را مشاهده می کنید و یک خوشه متصل بزرگ را مشاهده می کنید، ممکن است فرض کنید که این نمودار دارای یک خوشه بی نهایت است و بنابراین بالاتر از آستانه نفوذ است. ایسو و هاچکرافت برای اثبات آن تلاش کردند.

آنها بر تکنیکی تکیه کردند که می‌توان آن را «گشاد کردن لنز» در نظر گرفت. از یک رأس شروع کنید. سپس برای مشاهده تمام رئوس هایی که تنها یک لبه با نمودار اصلی فاصله دارند، بزرگنمایی کنید. در شبکه مربع، اکنون می توانید پنج راس کل را ببینید. لنز را دوباره باز کنید تا تمام رئوس در فاصله دو لبه و سپس فاصله سه لبه، چهار لبه و غیره را ببینید.

Easo و Hutchcroft صفحه‌ای را تنظیم می‌کنند که تعیین می‌کند چند لینک نزدیک به جایی که یک خوشه بزرگ دیده‌اند وجود دارد. آنها سپس لنز را باز کردند و لبه های بیشتری را مشاهده کردند که در خوشه بزرگ خود جمع می شوند. همانطور که آنها این کار را انجام دادند، آنها باید احتمال وجود پیوندها را افزایش می دادند، که نشان دادن اینکه نمودار دارای یک جزء بزرگ متصل است را آسان تر می کند. این یک عمل متعادل کننده ظریف است. آنها باید میدان دید را با سرعت کافی گسترش دهند و پیوندها را به آهستگی اضافه کنند تا نمودار کامل بی نهایت را بدون تغییر چشمگیر موقعیت شماره گیری نشان دهند.

آن‌ها توانستند نشان دهند که خوشه‌های بزرگ سریع‌تر از خوشه‌های کوچکتر رشد می‌کنند، به طوری که، همانطور که ایسو می‌گوید، "خوشه شما با بزرگ‌تر و بزرگ‌تر شدن سریع‌تر و سریع‌تر رشد می‌کند، درست مانند زمانی که یک گلوله برفی می‌غلتانید."

برای شبکه مربع، تعداد راس نسبتاً آهسته رشد می کند. این تقریباً به اندازه مربع عرض لنز شما است. پس از 10 مرحله، حدود 100 راس را خواهید یافت. اما یک درخت 3 منظم به طور تصاعدی سریعتر رشد می کند - تقریباً 2 تا به قدرت عرض لنز شما افزایش می یابد. پس از 10 مرحله، تقریباً 1,024 راس را خواهید دید. تصویر زیر نشان می‌دهد که چگونه درخت 3 منظم تنها پس از هفت مرحله بسیار بزرگتر است، حتی اگر شبکه مربع در ابتدا رئوس بیشتری دارد. به طور کلی، نمودارها می توانند نرخ رشد متفاوتی در مقیاس های مختلف داشته باشند - ممکن است سریع شروع شوند و سپس کند شوند.

در سال 2018، هاچکرافت از ایده مشابهی استفاده کرد برای اثبات حدس محلی برای نمودارهای با رشد سریع مانند درخت 3-منظم. اما برای نمودارهایی با رشد آهسته مانند شبکه مربع، یا برای نمودارهایی که با سرعت متوسط ​​رشد می کنند، که نه معیارهای ریاضی رشد سریع و نه معیارهای رشد آهسته را دارند، کار نمی کند.

هاچکرافت گفت: «این جایی است که همه چیز برای سه سال واقعاً ناامیدکننده می شود.

ساختار در مقابل گسترش

برای نمودارهایی که نرخ رشد را در مقیاس های مختلف مخلوط می کنند، باید از تکنیک های مختلفی استفاده کنید.

یک واقعیت بسیار مفید این است که همانطور که ایسو توضیح داد، "اگر یک نمودار در مقیاسی کند رشد کند، گیر می کند." در مقیاس های بزرگتر به آرامی به رشد خود ادامه خواهد داد. از آنجا که نمودارهای با رشد آهسته ساختار اضافی دارند که توسط شاخه ای از ریاضیات به نام نظریه گروه تعیین می شود، همچنین مشخص شد که اگر به اندازه کافی بزرگنمایی کنید، نمودارهای با رشد آهسته هندسه ای را نشان می دهند که از نظر ریاضی رام است.

در سال 2021، سباستین مارتینو از دانشگاه سوربن در پاریس، با دانیل کنترراس و وینسنت تاسیون از ETH Zurich، توانست از این ویژگی استفاده کند حدس محلی شرام را اثبات کنید برای نمودارهایی که در نهایت به کندی رشد می کنند.

در این مرحله، دو گروه از ریاضیدانان با موفقیت این حدس را از جهات مختلف بررسی کردند: رشد سریع و رشد آهسته. اما این شکاف های قابل توجهی بر جای گذاشت. به عنوان مثال، یک دسته با رشد متوسط ​​وجود دارد که توسط تکنیک Easo و Hutchcroft یا با اثبات Contreras، Martineau و Tassion پوشش داده نشده است. مشکل دیگر این بود که آرگومان‌ها هنوز برای نمودارهایی با نرخ رشد متغیر اعمال نمی‌شدند - فقط آنهایی که سریع یا آهسته ماندند. ایسو توضیح داد که برای اینکه آرگومان Contreras، Martineau و Tassion در نمودارهای دلخواه به کار رود، این کافی نیست که هندسه در نهایت وقتی کوچک‌نمایی می‌کنید رام به نظر برسد، ایسو توضیح داد: «ما به آن نیاز داریم که اکنون، نزدیک به مقیاس فعلی، رام به نظر برسد.»

وسط ناکجا آباد

نمودارهای انتقالی رشد متوسط ​​بسیار مرموز هستند. ریاضیدانان هرگز نمونه ای از یک نمودار متعدی را پیدا نکرده اند که رشد آن در این محدوده باشد. این امکان وجود دارد که آنها حتی وجود نداشته باشند. اما ریاضیدانان وجود آنها را ثابت نکرده اند، بنابراین هر مدرک کاملی از حدس محلی شرام باید به آنها بپردازد. علاوه بر این چالش، Easo و Hutchcroft باید به نمودارهایی بپردازند که ممکن است فقط برای مدت کوتاهی رشد متوسطی در یک مقیاس طول خاص داشته باشند، حتی اگر هنگام بزرگنمایی یا کوچکنمایی سریعتر یا کندتر رشد کنند.

ایسو و هاچکرافت بیشتر سال گذشته را صرف توسعه نتایج خود کردند تا در نمودارهایی که توسط هیچ یک از روش‌های قبلی پوشش داده نشده بودند، اعمال شوند.

ابتدا، آنها تکنیک 2018 را که هاچکرافت برای نمودارهای با رشد سریع اعمال کرده بود، اصلاح کردند تا بر روی نمودارهایی کار کنند که سطوح رشد را در مقیاس‌های مختلف تغییر می‌دهند. آنها سپس به موضوع رشد کند پرداختند یک مقاله 27 صفحه ای آنها در ماه اوت به اشتراک گذاشتند که کار روی Contreras، Martineau و Tassion را گسترش دادند. در نهایت، آنها در پیش‌چاپ اکتبر خود، استدلال دیگری را با استفاده از تئوری پیاده‌روی‌های تصادفی - خطوطی که به‌طور تصادفی در فضا تکان می‌دهند - برای رسیدگی به مورد رشد متوسط ​​ابداع کردند. با تکمیل تریکوتومی، آنها حدس محلی شرام را ثابت کرده بودند.

هاچکرافت گفت: «ما مجبور بودیم همه چیزهایی را که می‌دانستیم به مشکل برسانیم.

این راه حل به ریاضیدانان بینش بهتری نسبت به آنچه در بالای آستانه نفوذ اتفاق می افتد، که در آن شانس یک خوشه بی نهایت 100٪ است، و در زیر آن، جایی که شانس 0٪ است، می دهد. اما ریاضیدانان هنوز از آنچه دقیقاً در آستانه اکثر نمودارها از جمله شبکه سه بعدی رخ می دهد، شگفت زده هستند. گفت: «این احتمالاً معروف‌ترین و اساسی‌ترین سؤال باز در نظریه نفوذ است راسل لیون دانشگاه ایندیانا

شبکه دو بعدی یکی از معدود مواردی است که ریاضیدانان ثابت کرده‌اند که دقیقاً در آستانه چه اتفاقی می‌افتد: خوشه‌های بی‌نهایت تشکیل نمی‌شوند. و بعد از اینکه گریمت و ماستراند نسخه ای از حدس محلی را برای دال های بزرگ اثبات کردند، گریمت و همکارانش نشان دادند که اگر یک شبکه سه بعدی را به صورت افقی از وسط برش دهید، یک طبقه ایجاد کنید و صفحه را دقیقاً مطابق با آستانه نفوذ تنظیم کنید، هیچ خوشه بی نهایتی ظاهر نمی شود. نتیجه آنها نشان می دهد که شبکه سه بعدی کامل، مانند همتای دو بعدی خود، ممکن است یک خوشه بی نهایت در آستانه نفوذ نداشته باشد.

در سال 1996، بنجامینی و شرام حدس زد شانس یافتن یک خوشه نامتناهی درست در آستانه برای همه نمودارهای گذرا صفر است - درست مانند شبکه دو بعدی یا شبکه سه بعدی که به دو نیم شده است. اکنون که حدس محلی حل شده است، درک آنچه درست در نقطه انتقال اتفاق می افتد ممکن است کمی نزدیک تر باشد.

اصلاح: دسامبر 18، 2023
تعداد گره‌ها در n پیوند از یک گره شروع در یک نمودار 3 منظم تقریباً به اندازه 2 افزایش می‌یابد.ⁿ، نه 3ⁿ همانطور که این مقاله در ابتدا بیان کرد. مقاله تصحیح شد.

کوانتوم در حال انجام یک سری نظرسنجی برای ارائه خدمات بهتر به مخاطبانمان است. ما را بگیر نظرسنجی از خوانندگان ریاضی و شما برای برنده شدن رایگان وارد خواهید شد کوانتوم تجارت