چگونه اسحاق نیوتن سری توان دوجمله ای را کشف کرد؟

اسحاق نیوتن به خاطر سخاوت روحی اش شهرت نداشت و تحقیر او نسبت به رقبایش افسانه ای بود. اما در نامه ای به رقیب خود گوتفرید لایبنیتز، که اکنون به آن معروف است اپیستولای خلفی، نیوتن نوستالژیک و تقریباً دوستانه است. او در آن داستانی از دوران دانشجویی خود تعریف می کند، زمانی که تازه شروع به یادگیری ریاضیات کرده بود. او بازگو می کند که چگونه با یک فرآیند حدس زدن و بررسی، به کشف بزرگی دست یافته است که مناطق زیر منحنی ها را با مبالغ بی نهایت برابر می کند. استدلال او در نامه به قدری جذاب و قابل دسترس است که من را به یاد بازی های حدس الگویی که بچه های کوچک دوست دارند می اندازد.

همه چیز از زمانی شروع شد که نیوتن جوان کتاب جان والیس را خواند. Arithmetica Infinitorum، اثری اساسی از ریاضیات قرن هفدهم. والیس روشی بدیع و استقرایی را برای تعیین مقدار پی گنجاند و نیوتن می خواست چیزی مشابه ابداع کند. او با مشکل یافتن مساحت یک "قطعه دایره ای" با عرض قابل تنظیم شروع کرد $لاتکس x$. این ناحیه زیر دایره واحد است که با $latex y=sqrt{1-x^2}$ تعریف شده است که بالای قسمت محور افقی از 0 تا $لاتکس x$. اینجا $لاتکس x$ می تواند هر عددی از 0 تا 1 باشد و 1 شعاع دایره است. مساحت دایره واحد pi است، همانطور که نیوتن به خوبی می دانست، پس چه زمانی $لاتکس x=1$، مساحت زیر منحنی یک چهارم دایره واحد است، $latexfrac{π}{4}$. اما برای ارزش های دیگر از $لاتکس x$، هیچ چیز معلوم نبود

اگر نیوتن می توانست راهی برای تعیین مساحت زیر منحنی برای هر مقدار ممکن پیدا کند $لاتکس x$, ممکن است وسیله ای بی سابقه برای تقریب پی به او بدهد. این در ابتدا نقشه بزرگ او بود. اما در طول راه چیز بهتری پیدا کرد: روشی برای جایگزینی منحنی‌های پیچیده با مجموع بی‌نهایت بلوک‌های ساختمانی ساده‌تر ساخته شده از قدرت‌های $لاتکس x$.

اولین قدم نیوتن این بود که بر اساس قیاس استدلال کند. او به‌جای هدف مستقیم مساحت بخش دایره‌ای، نواحی بخش‌های مشابه محدود شده با منحنی‌های زیر را بررسی کرد:

$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.

نیوتن می‌دانست که محاسبه نواحی زیر منحنی‌های فهرست با توان‌های عدد کامل (مانند $latex frac{0}{2}=0$ و $latex frac{2}{2} = 1$) آسان است. زیرا آنها از نظر جبری ساده می شوند. مثلا،

$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.

به طور مشابه،

اما چنین ساده‌سازی برای معادله دایره - $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$- یا منحنی‌های دیگر با توانهای نیمه موجود نیست. در آن زمان هیچ کس نمی دانست که چگونه منطقه زیر هر یک از آنها را پیدا کند.

خوشبختانه، نواحی زیر منحنی ها با قدرت های عدد کامل ساده بودند. منحنی $latex y_4=1-2x^2+x^4$ را در نظر بگیرید. یک قانون شناخته شده در آن زمان برای چنین توابعی به نیوتن (و هر کس دیگری) اجازه می داد که مساحت را به سرعت پیدا کند: برای هر توان عدد کامل $latex nge 0$، ناحیه زیر منحنی $latex y=x^n$ بیش از فاصله از لاتکس $ 0 $ به $لاتکس x$ توسط $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ داده می‌شود. (والیس این قانون را با روش استقرایی خود حدس زده بود و پیر دو فرما آن را به طور قطعی ثابت کرد.) با داشتن این قانون، نیوتن می دانست که ناحیه زیر منحنی $latex y_4$ $latex x-frac است{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.

همین قانون به او این امکان را می‌داد که مساحت زیر منحنی‌های دیگر را با قدرت‌های اعداد کامل در فهرست بالا پیدا کند. بیایید $latex A_n$ را برای ناحیه زیر منحنی $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ بنویسیم، جایی که $latex n= 0, 1, 2, …$ . اعمال قانون نتیجه می دهد

$لاتکس A_0=x$

$latex A_1 = hspace{.295em}؟$

$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$

$latex A_3 = hspace{.295em}؟$

$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$

$latex A_5 =hspace{.295em}؟ $

$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 - frac{1}{7}x^7$

و غیره ایده حیله گرانه نیوتن این بود که شکاف ها را پر کند، به این امید که بتواند $latexA_1$ (مجموعه ناحیه ناشناخته بخش دایره ای) را بر اساس آنچه در سری دیگر ببیند، حدس بزند. یک چیز بلافاصله مشخص شد: هر $latexA_n$ به سادگی با $latex x$ شروع شد. این پیشنهاد اصلاح فرمول‌ها را به این صورت می‌دهد:

$لاتکس A_0=x$

$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}؟$

$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$

$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}؟$

$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$

$latex A_5 =  xhspace{.247em}-hspace{.247em}؟$

$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.

سپس، برای جایگزینی دسته بعدی علامت‌های سوال، نیوتن به شرایط $latex x^3$ نگاه کرد. با کمی مجوز، می‌توانیم ببینیم که حتی $latexA_0$ نیز یکی از این عبارت‌های مکعبی را دارد، زیرا می‌توانیم آن را به صورت $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ بازنویسی کنیم. همانطور که نیوتن به لایب نیتس توضیح داد، او مشاهده کرد که «اصطلاح دوم $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ و غیره، در پیشرفت حسابی بودند» (اشاره او به 0، 1، 2، 3 در اعداد بود). نیوتن با مشکوک شدن به اینکه این پیشروی حسابی ممکن است به شکاف ها نیز گسترش یابد، حدس زد که کل دنباله اعداد، معلوم و ناشناخته، باید اعدادی باشند که با فراکس لاتکس $ از هم جدا شوند{1}{2} (0، فرک{1}{2) }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3…)$ "و از این رو دو ترم اول مجموعه" به آن علاقه مند بود - $latex هنوز ناشناخته A_1$ ، $latex A_3$ و $latex A_5$ — "باید $latex x-frac باشد{1}{3}(frac{1}{2}x^3)، x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3)، x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$، و غیره."

بنابراین، در این مرحله الگوها به نیوتن پیشنهاد کردند که $latex A_1$ باید شروع شود

$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.

این شروع خوبی بود، اما او به چیزهای بیشتری نیاز داشت. نیوتن در حالی که به دنبال الگوهای دیگر می‌گشت، متوجه شد که مخرج‌ها در معادلات همیشه دارای اعداد فرد به ترتیب افزایشی هستند. به عنوان مثال، به $latex A_6$ نگاه کنید که دارای 1، 3، 5 و 7 در مخرج خود است. همین الگو برای $latex A_4$ و $latex A_2$ کار کرد. به اندازه کافی ساده این الگو ظاهراً در تمام مخرج‌های همه معادلات وجود داشت.

آنچه باقی مانده بود یافتن الگویی در شمارشگرها بود. نیوتن $latex A_2$، $latex $A_4$ و $latex A_6$ را دوباره بررسی کرد و چیزی را مشاهده کرد. در $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$، یک عدد 1 را دید که لاتکس x$ را ضرب می‌کرد و یک عدد دیگر را در عبارت $latexfrac {1}{1}x^3$  (او نادیده گرفت علامت منفی فعلا). در $latex A_3 = x-frac{4}{2}x^3 + frac{3}{1}x^5$، اعداد 5، 1، 2 را دید. و در $latex A_1=x-frac{ 6}{3}x^3 + frac{3}{3}x^5 -frac{5}{1}x^7$، اعداد 7، 1، 3، 3 را دید. این اعداد باید برای همه آشنا باشند. کسی که تا به حال مثلث پاسکال را مطالعه کرده است، آرایش مثلثی اعدادی که در ساده ترین حالت، با جمع کردن اعداد بالای آن، که با 1 در بالا شروع می شود، ایجاد می شود.

به جای فراخوانی پاسکال، نیوتن از این شمارنده ها به عنوان «قدرت های عدد 11» یاد کرد. مثلا 11² = 121 که ردیف دوم مثلث است و 11³ = 1331 که سوم است. امروزه به این اعداد ضرایب دوجمله ای نیز می گویند. آنها زمانی بوجود می آیند که قدرت های یک دوجمله ای مانند ($latex a +b$) را گسترش دهید، مانند $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. با در دست داشتن این الگو، نیوتن اکنون یک راه آسان برای نوشتن $لاتکس A_2، A_4، A_6$، و سایر شماره های زوج داشت. A's

در مرحله بعد، نیوتن برای برون یابی نتایج خود به زیرنویس های نیمه توان و فرد (و در نهایت به سری مورد نظر خود، $latex A_1$)، نیاز داشت که مثلث پاسکال را به یک رژیم جدید خارق العاده گسترش دهد: در نیمه راه بین ردیف ها. برای انجام برون یابی، او یک فرمول کلی برای ضرایب دوجمله ای در هر ردیف معین از مثلث پاسکال - ردیف $latex m$ - استخراج کرد و سپس با جسارت $latex m= frac{1}{2}$ را وصل کرد. و به طرز شگفت انگیزی کار کرد. این به او شمارنده‌های سری‌هایی را داد که او به دنبال دایره واحد بود، $latexA_1$.

در اینجا، به قول خود نیوتن، خلاصه او برای لایبنیتس از الگوهایی است که او به صورت استقرایی تا این مرحله در استدلال متوجه شده است:

من شروع به تأمل کردم که مخرج های 1، 3، 5، 7، و غیره در حال پیشرفت حسابی هستند، به طوری که ضرایب عددی فقط اعداد هنوز نیاز به بررسی دارند. اما در نواحی متناوب داده شده، اینها ارقام قدرت های عدد 11 بودند... یعنی ابتدا «1»؛ سپس "1، 1"؛ سوم، "1، 2، 1"؛ چهارم "1، 3، 3، 1"؛ پنجم "1، 4، 6، 4، 1" و غیره و بنابراین من شروع به پرس و جو کردم که چگونه ارقام باقی مانده در سری را می توان از دو رقم اول بدست آورد، و متوجه شدم که با قرار دادن $لاتکس m$ برای دومی در شکل، بقیه با ضرب مستمر عبارت های این سری تولید می شود،

$لاتکس فرک{m-0}{1} بار فرک{m-1}{2} بار فراک {m-2}{3} بار فراک{m-3}{4} بار فرک {m-4}{5 }$ و غیره

... بر این اساس، من این قانون را برای قرار دادن سری ها در بین سری ها اعمال کردم، و از آنجایی که، برای دایره، عبارت دوم $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ بود، من $latex را قرار دادم. m=frac{1}{2}$، و شرایط بوجود آمده بود

$latex frac {1}{2} برابر frac{frac{1}{2}-1}{2}$ یا $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} بار frac{frac{1}{2}-2}{3}$ یا $latex + frac{1}{16}$،
$latex  فراک{1}{16} بار فراک{frac{1}{2}-3}{4}$ یا $latex – فراک {5}{128}$،

بنابراین تا بی نهایت از آنجا فهمیدم که مساحت قطعه دایره ای که می خواستم همین است

$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.

در نهایت، با وصل کردن $latex x=1$، نیوتن می‌تواند مبلغ نامحدودی برای $latexfrac{π}{4}$ به دست آورد. این یافته مهمی بود، اما به نظر می‌رسد راه‌های بهتری برای تقریب پی با مجموع نامتناهی وجود دارد، همانطور که خود نیوتن به زودی پس از این حمله اولیه به این نوع از مجموع بی‌نهایت، که اکنون سری توان نامیده می‌شوند، کشف کرد. در نهایت او 15 رقم اول پی را محاسبه کرد.

با بازگشت به مسئله بخش دایره ای، نیوتن متوجه شد که معادله خود دایره (نه فقط مساحت زیر آن) را می توان با یک سری توانی نیز نشان داد. تنها کاری که او باید انجام می داد این بود که مخرج ها را حذف کند و قدرت لاتکس $ x$ را در سری قدرت نمایش داده شده در بالا 1 کاهش دهد. بنابراین او به حدس زدن آن هدایت شد

نیوتن برای آزمایش اینکه آیا این نتیجه منطقی است یا خیر، آن را در خودش ضرب کرد: «به $latex 1-x^2$ تبدیل شد، باقی عبارات با ادامه سری تا بی نهایت ناپدید شدند».

با کمی عقب نشینی از جزئیات، در اینجا چندین درس در مورد حل مسئله می بینیم. اگر مشکلی خیلی سخت است، آن را تغییر دهید. اگر خیلی خاص به نظر می رسد، آن را تعمیم دهید. نیوتن هر دو را انجام داد و نتایج مهمتر و قدرتمندتر از آنچه در ابتدا به دنبالش بود به دست آورد.

نیوتن سرسختانه روی یک چهارم دایره ثابت نمی کرد. او به شکل بسیار کلی تری نگاه کرد، هر بخش دایره ای با عرض $لاتکس x$. او به جای اینکه به $latex x=1$ بچسبد، به $latex x$ اجازه داد آزادانه از 0 به 1 اجرا شود. این کار خصوصیت دوجمله ای ضرایب سری او - ظاهر غیرمنتظره اعداد در مثلث پاسکال و تعمیم آنها - را نشان داد. اجازه دهید نیوتن الگوهایی را ببیند که والیس و دیگران از قلم افتاده بودند. مشاهده آن الگوها سپس به نیوتن بینش هایی را داد که او برای توسعه نظریه سری های قدرت بسیار گسترده تر و کلی تر نیاز داشت.

در کارهای بعدی‌اش، سری قدرت نیوتن به او یک چاقوی ارتش سوئیس برای حساب دیفرانسیل و انتگرال داد. با آنها می توانست انتگرال ها را انجام دهد، ریشه معادلات جبری را بیابد و مقادیر سینوس ها، کسینوس ها و لگاریتم ها را محاسبه کند. همانطور که او بیان کرد، "با کمک آنها، تقریباً می توانم بگویم که تجزیه و تحلیل به همه مشکلات می رسد."

اخلاقی: تغییر یک مشکل تقلب نیست. خلاقانه است و ممکن است کلید چیزی بزرگتر باشد.