ریاضیدانان تاس می اندازند و سنگ-کاغذ-قیچی می گیرند

همانطور که بیل گیتس داستان را تعریف می کند، یک بار وارن بافت او را به یک بازی تاس دعوت کرد. هرکدام یکی از چهار تاس متعلق به بافت را انتخاب می‌کنند و سپس می‌اندازند و عدد بالاتر برنده می‌شود. این تاس‌ها استاندارد نبودند - آنها دارای مجموعه‌ای متفاوت از اعداد معمولی از 1 تا 6 بودند. بافت پیشنهاد داد که به گیتس اجازه دهد اول انتخاب کند تا بتواند قوی‌ترین تاس را انتخاب کند. اما پس از اینکه گیتس تاس ها را بررسی کرد، یک پیشنهاد متقابل داد: بافت ابتدا باید انتخاب کند.

گیتس متوجه شده بود که تاس های بافت ویژگی عجیبی را نشان می دهد: هیچ یک از آنها قوی ترین نبود. اگر گیتس اول انتخاب می‌کرد، پس هر کدام را که انتخاب می‌کرد، بافت می‌توانست دای دیگری پیدا کند که بتواند آن را شکست دهد (یعنی یکی با بیش از 50 درصد شانس برنده شدن).

چهار تاس بافت (با آنها تماس بگیرید A, B, C و D) الگویی را تشکیل می دهد که یادآور سنگ-کاغذ-قیچی است که در آن A ضربه B, B ضربه C, C ضربه D و D ضربه A. ریاضیدانان می گویند که چنین مجموعه ای از تاس ها "غیر گذرا" است.

گفت: «به هیچ وجه شهودی نیست که [تاس غیرقابل انتقال] حتی وجود داشته باشد برایان کانری، مدیر مؤسسه ریاضیات آمریکا (AIM) در سن خوزه، که در سال 2013 مقاله تأثیرگذاری در این زمینه نوشت.

ریاضیدانان به این نتیجه رسیدند اولین نمونه ها تاس غیرقابل انتقال بیش از 50 سال پیش، و در نهایت ثابت که با در نظر گرفتن تاس با اضلاع بیشتر و بیشتر، امکان ایجاد چرخه های غیرقابل انتقال با هر طولی وجود دارد. چیزی که ریاضیدانان تا همین اواخر نمی دانستند این بود که تاس های غیرقابل انتقال چقدر رایج هستند. آیا باید چنین مثال هایی را با دقت بسازید، یا می توانید به طور تصادفی تاس ها را انتخاب کنید و در یافتن یک مجموعه غیرقابل انتقال، شات خوبی داشته باشید؟

اگر می دانید که به سه تاس نگاه می کنید A ضربه B و B ضربه C، به نظر می رسد که مدرکی است که A قوی ترین است؛ موقعیت هایی که C ضربه A باید نادر باشد و در واقع، اگر اجازه داده شود اعداد روی تاس با مجموع متفاوت جمع شوند، ریاضیدانان معتقدند که این شهود درست است.

اما یک مقاله منتشر شده آنلاین اواخر سال گذشته نشان می دهد که در یک محیط طبیعی دیگر، این شهود به طرز شگفت انگیزی شکست می خورد. فرض کنید شما نیاز دارید که تاس های شما فقط از اعدادی استفاده کنند که روی یک قالب معمولی ظاهر می شوند و مجموع آنها برابر با یک قالب معمولی است. سپس، کاغذ نشان داد، اگر A ضربه B و B ضربه C, A و C اساساً شانس مساوی برای غلبه بر یکدیگر دارند.

"با دانستن اینکه A ضربه B و B ضربه C فقط هیچ اطلاعاتی در مورد اینکه آیا به شما نمی دهد A ضربه C، گفت: تیموتی گورز از دانشگاه کمبریج، مدال آور فیلدز و یکی از مشارکت کنندگان در نتیجه جدید، که از طریق یک همکاری آنلاین باز شناخته شده به عنوان پروژه پلیمث ثابت شد.

در همین حال ، دیگری مقاله اخیر مجموعه های چهار تاس یا بیشتر را تجزیه و تحلیل می کند. این یافته احتمالاً حتی متناقض‌تر است: برای مثال، اگر به طور تصادفی چهار تاس انتخاب کنید و متوجه شوید که A ضربه B, B ضربه C و C ضربه D، سپس کمی است بیش به احتمال زیاد برای D کتک زدن A نسبت به عکس

نه قوی و نه ضعیف

نتایج اخیر حدود یک دهه پیش، پس از شرکت کانری در گردهمایی معلمان ریاضی با جلسه ای که تاس های غیرقابل انتقال را پوشش می داد، آغاز شد. او گفت: "من نمی دانستم که چنین چیزهایی ممکن است وجود داشته باشد." "من به نوعی مجذوب آنها شدم."

او تصمیم گرفت (بعداً همکارش به او پیوست کنت موریسون در AIM) این موضوع را با سه دانش آموز دبیرستانی که او مربیگری می کرد - جیمز گابارد، کتی گرانت و اندرو لیو، بررسی کند. هر چند وقت یک بار، گروه تعجب کرد که آیا تاس‌هایی که به‌طور تصادفی انتخاب می‌شوند، یک چرخه غیرقابل انتقال را تشکیل می‌دهند؟

تصور می‌شود که اگر تعداد تاس‌ها با مجموع متفاوت جمع شوند، مجموعه‌های غیرقابل انتقال تاس نادر هستند، زیرا تاس با بالاترین مجموع احتمالاً بقیه را شکست می‌دهد. بنابراین تیم تصمیم گرفت بر روی تاس هایی تمرکز کند که دو ویژگی دارند: اول، تاس ها از اعداد یکسانی استفاده می کنند که در قالب استاندارد - 1 تا n، در مورد یک nمردن یک طرفه و ثانیاً، اعداد چهره برابر با یک قالب استاندارد جمع می شوند. اما بر خلاف تاس های استاندارد، هر قالب ممکن است برخی از اعداد را تکرار کند و برخی دیگر را حذف کند.

در مورد تاس های شش وجهی فقط 32 تاس مختلف وجود دارد که این دو خاصیت را دارند. بنابراین با کمک یک کامپیوتر، تیم می‌توانست تمام سه‌گانه‌هایی را که در آن‌ها وجود دارد، شناسایی کند A ضربه B و B ضربه C. محققان در کمال تعجب دریافتند که A ضربه C در 1,756 سه گانه و C ضربه A در 1,731 سه برابر - اعداد تقریباً یکسان. بر اساس این محاسبه و شبیه سازی تاس با بیش از شش ضلع، تیم حدس زد که با نزدیک شدن تعداد اضلاع روی تاس به بی نهایت، این احتمال وجود دارد که A ضربه C به 50 درصد نزدیک می شود.

این حدس، با ترکیبی از قابلیت دسترسی و تفاوت های ظریف، کانری را به عنوان خوراک خوبی برای پروژه Polymath، که در آن بسیاری از ریاضیدانان به صورت آنلاین گرد هم می آیند تا ایده های خود را به اشتراک بگذارند، قرار داد. در اواسط سال 2017، او این ایده را به Gowers، مبتکر رویکرد Polymath، پیشنهاد داد. گورز گفت: "من این سوال را به دلیل ارزش شگفت انگیزش بسیار دوست داشتم." او نوشت یک پست های وبلاگ در مورد حدسی که انبوهی از نظرات را به خود جلب کرد و در طول شش پست اضافی، نظر دهندگان موفق به اثبات آن شدند.

در مقاله خود، ارسال شده بصورت آنلاین در اواخر نوامبر 2022، بخش مهمی از اثبات شامل نشان دادن این است که در بیشتر موارد، صحبت درباره قوی یا ضعیف بودن یک قالب منطقی نیست. تاس‌های بافت، که هیچ‌کدام از آن‌ها قوی‌ترین تاس‌ها نیستند، چندان غیرعادی نیستند: پروژه Polymath نشان داد، اگر یک قالب را به‌طور تصادفی انتخاب کنید، احتمالاً نیمی از تاس‌های دیگر را شکست داده و به نیمه دیگر می‌بازد. گوورز گفت: «تقریباً هر قالب تقریباً متوسط ​​است.

این پروژه از یک جهت از مدل اصلی تیم AIM جدا شد: برای ساده کردن برخی از نکات فنی، پروژه اعلام کرد که ترتیب اعداد در قالب مهم است - بنابراین، برای مثال، 122556 و 152562 دو تاس متفاوت در نظر گرفته می شوند. گوورز گفت، اما نتیجه Polymath، همراه با شواهد تجربی تیم AIM، یک پیش‌فرض قوی ایجاد می‌کند که این حدس در مدل اصلی نیز صادق است.

کانری گفت: «از اینکه آنها این مدرک را ارائه کردند کاملاً خوشحال شدم.

وقتی نوبت به مجموعه‌های چهار تاس یا بیشتر رسید، تیم AIM رفتاری مشابه با سه تاس پیش‌بینی کرده بود: برای مثال، اگر A ضربه B, B ضربه C و C ضربه D در این صورت باید تقریباً 50-50 احتمال وجود داشته باشد D ضربه A، دقیقاً به 50-50 نزدیک می شود زیرا تعداد اضلاع روی تاس به بی نهایت نزدیک می شود.

برای آزمایش حدس، محققان مسابقات رو در رو برای مجموعه های چهار تاس با 50، 100، 150 و 200 طرف شبیه سازی کردند. شبیه‌سازی‌ها به اندازه سه تاس از پیش‌بینی‌های آن‌ها تبعیت نکردند، اما همچنان به اندازه‌ای نزدیک بودند که باور آن‌ها را به حدس و گمان تقویت کنند. اما اگرچه محققان متوجه این موضوع نشدند، اما این اختلافات کوچک پیام دیگری را به همراه داشت: برای مجموعه‌های چهار تاس یا بیشتر، حدس آنها نادرست است.

کانری گفت: «ما واقعاً می‌خواستیم [حدس‌ها] درست باشد، زیرا این کار جالبی بود.

در مورد چهار تاس، الیزابتا کورناکیا موسسه فناوری فدرال سوئیس لوزان و یان هازلا موسسه آفریقایی علوم ریاضی در کیگالی، رواندا، در الف مقاله در اواخر سال 2020 به صورت آنلاین ارسال شد که اگر A ضربه B, B ضربه C و C ضربه D، و سپس D کمی بیشتر از 50 درصد شانس شکست دارد A هازلا گفت: احتمالاً حدود 52 درصد. (همانطور که در مورد کاغذ Polymath، Cornacchia و Hązła از مدل کمی متفاوت با مقاله AIM استفاده کردند.)

یافته Cornacchia و Hązła از این واقعیت ناشی می شود که اگرچه، به عنوان یک قاعده، یک قالب نه قوی و نه ضعیف خواهد بود، یک جفت تاس گاهی اوقات می تواند دارای نقاط قوت مشترک باشد. Cornacchia و Hązła نشان دادند که اگر دو تاس را به‌طور تصادفی انتخاب کنید، احتمال مناسبی وجود دارد که تاس‌ها با هم مرتبط باشند: آنها تمایل دارند تاس را بزنند یا به همان تاس ببازند. هازلا گفت: "اگر از شما بخواهم دو تاس نزدیک به هم ایجاد کنید، معلوم می شود که این امکان پذیر است." این بسته های کوچک همبستگی به محض اینکه حداقل چهار تاس در تصویر وجود داشته باشد، نتایج مسابقات را از تقارن دور می کنند.

مقالات اخیر پایان ماجرا نیستند. مقاله Cornacchia و Hązła فقط شروع می کند به کشف اینکه چگونه همبستگی بین تاس ها باعث عدم تعادل در تقارن مسابقات می شود. در این بین، اما، اکنون می دانیم که تعداد زیادی تاس غیرقابل انتقال وجود دارد - شاید حتی یکی از آنها به اندازه کافی ظریف باشد که بیل گیتس را فریب دهد تا اول انتخاب کند.