چند دقیقه پس از سخنرانی سال 2018 در دانشگاه میشیگان، ایان توباسکو یک تکه کاغذ بزرگ را برداشت و آن را در یک توپ به ظاهر آشفته از هرج و مرج مچاله کرد. او آن را بالا نگه داشت تا تماشاگران ببینند، به اندازه کافی آن را فشار داد، سپس دوباره آن را پهن کرد.
او گفت: «من توده‌ای از چین‌های وحشی پیدا می‌کنم که ظاهر می‌شوند، و این معما است. «چه چیزی این الگو را از الگوی منظم‌تر دیگری انتخاب می‌کند؟»
سپس دومین تکه کاغذ بزرگی را که از قبل به شکل یک الگوی متوازی الاضلاع اوریگامی معروف به نام میورا اوری تا شده بود، در دست گرفت و آن را صاف فشار داد. او گفت نیرویی که او روی هر ورق کاغذ استفاده می کرد تقریباً یکسان بود، اما نتایج نمی توانست متفاوت تر از این باشد. Miura-ori به طور منظم به مناطق هندسی تقسیم شد. توپ مچاله شده مجموعه ای از خطوط ناهموار بود.
او با اشاره به آرایش پراکنده چین‌ها روی صفحه مچاله شده، گفت: «این احساس را دارید که این فقط یک نسخه تصادفی بی‌نظم از این است.» او میورا اوری منظم و مرتب را نشان داد. اما ما روی درستی یا نبودن این موضوع انگشت نگذاشته ایم.
ایجاد این ارتباط به چیزی کمتر از ایجاد قوانین ریاضی جهانی الگوهای الاستیک نیاز ندارد. توباسکو سال‌ها بر روی این کار کار کرده است و معادلاتی را مطالعه می‌کند که مواد الاستیک نازک را توصیف می‌کند - موادی که با تلاش برای بازگشت به شکل اولیه خود به تغییر شکل پاسخ می‌دهند. یک بادکنک را به اندازه کافی محکم فشار دهید و یک الگوی انفجار ستاره ای از چین و چروک های شعاعی تشکیل می شود. انگشت خود را بردارید و دوباره صاف می شوند. یک گلوله کاغذ مچاله شده را فشار دهید و وقتی آن را رها می کنید منبسط می شود (البته کاملاً مچاله نمی شود). مهندسان و فیزیکدانان چگونگی پدیدار شدن این الگوها را تحت شرایط خاص مطالعه کرده‌اند، اما برای یک ریاضیدان این نتایج عملی سؤال اساسی‌تری را مطرح می‌کند: آیا می‌توان به طور کلی درک کرد که چه چیزی یک الگو را به جای الگوی دیگری انتخاب می‌کند؟
در ژانویه 2021، توباسکو منتشر کرد یک کاغذ که به این سوال پاسخ مثبت داد - حداقل در مورد یک ورق صاف، منحنی، الاستیک که به صورت صاف فشرده شده باشد (وضعیتی که راهی روشن برای بررسی سوال ارائه می دهد). معادلات او پیش‌بینی می‌کند که چگونه چین‌های به ظاهر تصادفی حاوی حوزه‌های «منظم» هستند که دارای یک الگوی تکرارشونده و قابل شناسایی هستند. و او مقاله‌ای نوشت که ماه گذشته منتشر شد، که یک نظریه فیزیکی جدید را نشان می‌دهد که مبتنی بر ریاضیات دقیق است و می‌تواند الگوها را در سناریوهای واقعی پیش‌بینی کند.
شایان ذکر است، کار توباسکو نشان می دهد که چین و چروک، در قالب های متعدد آن، می تواند به عنوان راه حل یک مسئله هندسی دیده شود. گفت: "این یک قطعه زیبا از تجزیه و تحلیل ریاضی است." استفان مولر مرکز ریاضیات هاوسدورف دانشگاه بن در آلمان.
برای اولین بار قواعد ریاضی - و درک جدیدی - پشت این پدیده رایج را به زیبایی بیان می کند. گفت: «نقش ریاضی در اینجا اثبات حدسی نیست که فیزیکدانان قبلاً کرده بودند رابرت کوهن، یک ریاضیدان در موسسه کورانت دانشگاه نیویورک و مشاور تحصیلات تکمیلی توباسکو، "اما برای ارائه نظریه ای که قبلاً درک سیستماتیک وجود نداشت."
کش امدن
هدف توسعه تئوری چین و چروک و الگوهای الاستیک یک تئوری قدیمی است. در سال 1894، در یک بررسی در طبیعت، ریاضیدان جورج گرین هیل به تفاوت بین نظریه پردازان ("ما باید چه فکر کنیم؟") و کاربردهای مفیدی که آنها می توانند کشف کنند ("چه کار کنیم؟") اشاره کرد.
در قرن 19 و 20، دانشمندان تا حد زیادی در مورد دوم پیشرفت کردند و مشکلات مربوط به چین و چروک در اشیاء خاص که در حال تغییر شکل هستند را مطالعه کردند. نمونه های اولیه عبارتند از مشکل ساختن صفحات فلزی صاف و منحنی برای کشتی های دریانوردی و تلاش برای اتصال تشکیل کوه ها به گرم شدن پوسته زمین.
اخیراً، ریاضیدانان و فیزیکدانان تلاش خود را برای اتصال نظریه و مشاهده به مجموعه وسیعی از موقعیت ها، هندسه ها و مواد چروکیده گسترش داده اند. این ریاضیدان گفت: "این حدود 10 سال گذشته بوده است، جایی که ما ابتدا آزمایش هایی انجام می دهیم و سپس در تلاش برای یافتن نظریه ای برای درک آنها هستیم." دومینیک ولا از دانشگاه آکسفورد. "تنها اخیراً است که ما شروع به درک صحیح کرده ایم."
نقاط عطف هیجان انگیزی وجود داشته است. در سال 2015، پدرو ریس، مهندس مکانیک در موسسه فناوری ماساچوست، قوانین فیزیکی را شرح داد برای الگوهای هندسی که روی توپ های سیلیکونی خالی شده شکل می گیرند. کار او این چین و چروک ها را به ضخامت لایه های داخلی و خارجی مواد الاستیک مرتبط می کرد. ریس همچنین خاطرنشان کرد که چین و چروک ها، به جای اینکه به عنوان نقص در نظر گرفته شوند، ممکن است فرصت هایی را برای طراحی رفتارهای مکانیکی جدید ارائه دهند. سپس در سال 2017، Vella تجزیه و تحلیل را رهبری کرد از ناپایداری های چروک شدن یک لایه نازک الاستیک تحت فشار، که مشخص می کند چگونه تعداد چین و چروک ها با توجه به عمق پوک اولیه و سایر جزئیات خاص تغییر می کند.
اما این تحولات هنوز تنها بخش هایی از مشکل را حل کرده است. برای درک ریاضی کلی تر از چگونگی شکل گیری چین و چروک، رویکرد متفاوتی ضروری بود. توباسکو کسی است که آن را به جلو می برد.
دنبال کنجکاوی
توباسکو وقتی جوانتر بود فکر می کرد وارد رشته مهندسی هوافضا شود. او در سال 2011 از دانشگاه میشیگان با مدرک لیسانس در این رشته فارغ التحصیل شد، اما در آن مرحله او قبلاً به تفکر عمیق در مورد استدلال ریاضی و سیستم های فیزیکی کشیده شده بود. او دکترای ریاضی گرفت، اما جوی پاولسن، فیزیکدانی که اکنون در دانشگاه سیراکیوز است، را به خاطر قرار دادن او در مسیر مشخص چین و چروک سرزنش می کند.
در اوایل کار پاولسن، زمانی که او در حال مطالعه خواص مواد غیرعادی بود، ساخت و تجزیه و تحلیل فیلم های پلیمری فوق نازک را با استفاده از تکنیکی به نام پوشش چرخشی آموخت. ابتدا یک ماده مایع خاص حاوی مقادیر کمی پلیمر محلول ایجاد کرد. سپس او مواد را روی یک صفحه چرخان قرار می دهد. بیشتر مایع تبخیر می شود، در حالی که پلیمر قبل از اینکه جامد شود به ضخامت یکنواخت گسترش می یابد. هنگامی که او آزمایشگاه خود را در سیراکوز داشت، پالسن یاد گرفت که چگونه پوشش چرخشی را برای ایجاد فیلم‌های منحنی - مانند پوسته‌های بسیار نازک لاک پشت، تطبیق دهد.
یک روز، او تعدادی از این فیلم های منحنی را روی آب ساکن قرار داد و از نحوه نشستن آنها روی سطح عکس گرفت. او گفت: «این صرفاً کنجکاوی محور بود. این تصاویر در یک جلسه غیررسمی با پاولسن در سال 2017 توجه توباسکو را به خود جلب کرد.
توباسکو، که اکنون استادیار دانشگاه ایلینویز شیکاگو است، گفت: «آنها نشان دادند که می‌توانید این الگوهای چروک‌های نامنظم تصادفی را بدست آورید - وقتی آزمایش را دو بار انجام دادید، دو الگوی متفاوت دریافت کردید. می‌خواستم ببینم که آیا می‌توانم راهی قابل اشتقاق [برای پیش‌بینی آن الگوها] از کشش، که شکل پوسته را در خود جای دهد، پیدا کنم. و اینکه مدل از پوسته به پوسته دیگر تغییر نخواهد کرد.»
الگوهای چین و چروک پیکربندی هایی با کمترین انرژی ممکن هستند. یعنی وقتی لایه نازک روی یک سطح صاف می‌نشیند، شکل می‌گیرد تا جایی که چین و چروک‌ها را بی‌نظم پیدا می‌کند، بی‌نظم یا بی‌نظم که کمترین انرژی را برای حفظ آن نیاز دارد. توباسکو گفت: "شما می توانید الگوها را بر اساس میزان انرژی ذخیره شده در زمان آشکار شدن [الگو] سازماندهی کنید."
او با هدایت این اصل راهنما، چند ویژگی از فیلم را جدا کرد که ثابت شد آنهایی هستند که الگوی آن را انتخاب می کنند، از جمله اندازه ای از شکل آن به نام انحنای گاوسی آن. سطحی با انحنای گاوسی مثبت از خود خم می شود، مانند بیرون یک توپ. سطوح منحنی منفی، در مقابل، زینی شکل هستند، مانند تراشه پرینگل: اگر در یک جهت بروید، به سمت بالا حرکت می کنید، اما اگر در جهت دیگری بروید، پایین می روید.
توباسکو دریافت که نواحی با انحنای گاوسی مثبت نوعی آرایش دامنه های منظم و نامنظم را ایجاد می کنند و نواحی با انحنای منفی انواع دیگری را ایجاد می کنند. ولا گفت: «هندسه دقیق چندان مهم نیست. "این واقعا فقط به علامت انحنای گاوسی بستگی دارد."
آنها مشکوک بودند که انحنای گاوسی برای چروک شدن مهم است، اما ولا گفت تعجب آور است که دامنه ها به شدت به علامت بستگی دارند. علاوه بر این، نظریه توباسکو در مورد طیف وسیعی از مواد الاستیک نیز کاربرد دارد، نه فقط اشکال پالسن. ولا گفت: "این یک ساختار هندسی خوب است که نشان می دهد چین و چروک ها کجا ظاهر می شوند." "اما درک اینکه از کجا می آید واقعا عمیق است و به نوعی شگفت انگیز است."
پاولسن موافقت کرد. کاری که نظریه یان به زیبایی انجام می دهد این است که کل الگو را به یکباره به شما می دهد.
چین و چروک های واقعی
در اوایل سال 2018، توباسکو تئوری خود را بیشتر حل کرد - اما با وجود اینکه روی کاغذ کار می کرد، او نمی توانست مطمئن باشد که در دنیای واقعی دقیق باشد. توباسکو با پاولسن تماس گرفت و از او پرسید که آیا او علاقه مند به همکاری است یا خیر. پالسن گفت: «چیزی فوراً درست شد. با برخی از پیش‌بینی‌های ایان، که روی عکس‌های آزمایشی گذاشته شده بود، می‌توانستیم بلافاصله ببینیم که آنها در یک ردیف قرار گرفتند.»
در کنفرانس آن سال انجمن ریاضیات صنعتی و کاربردی در زمینه جنبه های ریاضی علم مواد، توباسکو به النی کتیفوری، فیزیکدانی از دانشگاه پنسیلوانیا که در حال بررسی مشکل الگوهای چین و چروک در پوسته های محدود و ایجاد پایگاه داده ای از نتایج بود. یک لحظه خوشبختی بود. او گفت: «ما می‌توانیم دامنه‌هایی را [در شبیه‌سازی‌ها] ببینیم که کار ایان توضیح داده است. مسابقه عجیب و غریب بود. حتی در اولین بحث‌هایشان، واضح بود که نظریه توباسکو، تصاویر تجربی پاولسن و شبیه‌سازی‌های کاتیفوری، همگی پدیده‌های مشابهی را توصیف می‌کنند. حتی در مراحل اولیه، زمانی که هیچ چیز مشخصی نداشتیم، می‌توانستیم ارتباط را ببینیم.»
آن هیجان اولیه به سرعت باعث ایجاد شک و تردید شد. تقریباً خیلی خوب به نظر می رسید که درست باشد. پاولسن با اشاره به اینکه چگونه ایده های توباسکو در مورد انحنا می تواند بسیار فراتر از مواد مسطح دو بعدی گسترش یابد، گفت: "او یک ریاضیدان است و همه این چیزها را غیر بعدی می کند." "آیا ما واقعاً به یک سیستم نگاه می کنیم؟ موافق است، اما آیا باید موافقت می‌کرد؟»
برای دو سال آینده، این سه محقق جزئیات را به هم زدند و نشان دادند که نظریه توباسکو واقعاً چین و چروک‌هایی را که پاولسن در آزمایش‌هایش دید و کاتیفوری در مدل‌های رایانه‌اش پیدا کرد، واقعاً پیش‌بینی کرد. در 25 اوت، آنها مقاله ای را در فیزیک طبیعت نمایش چگونه این سه رویکرد همه بر روی یک آرایش هندسی ساده چین و چروک ها همگرایی دارند. مشخصاً، آنها دریافتند که الگوها در خانواده‌های منظمی از مثلث‌های متساوی الساقین قرار می‌گیرند که حوزه‌های نظم و بی‌نظمی را مشخص می‌کنند. علاوه بر این، نتایج به انتزاعات ریاضی از مواد بسیار نازک محدود نمی‌شوند، بلکه به چندین مرتبه بزرگی ضخامت می‌پردازند.
کار آنها همچنین فرصت هایی را برای گسترش نظریه و کاربردهای آن پیشنهاد می کند. کتیفوری گفت که به عنوان یک فیزیکدان، علاقه مند به استفاده از پیش بینی ها برای طراحی مواد جدید است. من می‌خواهم بفهمم که چگونه می‌توان سطوح را طراحی کرد تا آنها در واقع الگوهای چروک را به چیزی که شما می‌خواهید سازماندهی کنند.»
سوال باز دیگر این است که چگونه می توان این نظریه را به طور کلی برای انواع مختلف سطوح منحنی اعمال کرد. ولا گفت: «این بسیار بر موقعیت‌هایی متمرکز است که [انحنای گاوسی] مثبت یا منفی است، اما موقعیت‌های زیادی در برخی مناطق وجود دارد که مثبت و برخی منفی هستند.
پاولسن موافقت کرد که این یک امکان هیجان‌انگیز است و توباسکو گفت که او به طور فعال در این زمینه کار می‌کند و شکل‌های دیگری از پوسته‌ها را در نظر می‌گیرد - مانند آنهایی که سوراخ دارند.
اما پاولسن گفت این تئوری، حتی به شکل فعلی، زیبا و شگفت‌انگیز است. او گفت: "اگر من به شما یک پوسته و یک شکل مرزی و این مجموعه قوانین ساده ای را که نظریه ایان پیش بینی کرده است، بدهم، آنگاه می توانید یک قطب نما و خط کش بگیرید و اساساً چین و چروک ها را بکشید." «لازم نبود اینطوری اتفاق بیفتد. می توانست کاملاً وحشتناک باشد.»
