Biljardipöydän salaperäinen matematiikka | Quanta-lehti

Disneyn vuoden 1959 elokuvassa Donald Mathmagic Landissa, Aku Ankka, joka on saanut inspiraationsa kertojan kuvauksista biljardin geometriasta, iskee energisesti lyöntipalloa, lähettää sen kiertelemään pöydän ympärillä ennen kuin se lopulta osuu tarkoitettuihin palloihin. Donald kysyy: "Kuinka pidät siitä matematiikasta?"

Koska suorakaiteen muotoisissa biljardipöydissä on neljä suorassa kulmassa kohtaavaa seinää, Donaldin kaltaiset biljardiradat ovat ennustettavissa ja ymmärrettäviä – vaikka niitä onkin vaikea toteuttaa käytännössä. Tutkimusmatemaatikot eivät kuitenkaan vielä pysty vastaamaan peruskysymyksiin biljardipallojen mahdollisista liikeradoista muiden polygonien (tasasivuisten muotojen) muotoisilla pöydillä. Jopa kolmiot, yksinkertaisimmat monikulmiot, sisältävät edelleen mysteereitä.

Onko mahdollista aina lyödä palloa niin, että se palaa lähtöpisteeseensä kulkiessaan samaan suuntaan luoden niin sanotun jaksollisen kiertoradan? Kukaan ei tiedä. Muiden, monimutkaisempien muotojen kohdalla ei tiedetä, onko mahdollista lyödä palloa mistä tahansa pöydän kohdasta mihin tahansa pöydän pisteeseen.

Vaikka nämä kysymykset näyttävät sopivan tiukasti lukiossa opetetun geometrian rajoihin, niiden ratkaisuyritykset ovat vaatineet joitakin maailman parhaista matemaatikoista tuomaan ideoita erilaisilta aloilta, mukaan lukien dynaamiset järjestelmät, topologia ja differentiaaligeometria. Kuten minkä tahansa suuren matematiikan ongelman kanssa, näiden ongelmien parissa työskentely on luonut uutta matematiikkaa ja antanut palautetta näiden muiden alojen tietämykseen ja edistyneeseen tietoon. Kaikesta tästä ponnistelusta ja nykyaikaisten tietokoneiden tuomasta oivalluksesta huolimatta nämä näennäisesti yksinkertaiset ongelmat vastustavat kuitenkin itsepintaisesti ratkaisua.

Tässä on mitä matemaatikot ovat oppineet biljardista Aku Ankan eeppisesti sekalaisen laukauksen jälkeen.

He olettavat tyypillisesti, että heidän biljardipallonsa on äärettömän pieni, mittaamaton piste ja että se pomppii seinistä täydellisesti symmetrisesti ja lähtee samassa kulmassa kuin se saapuu, kuten alla näkyy.

Ilman kitkaa pallo kulkee loputtomasti, ellei se saavuta kulmaa, mikä pysäyttää pallon kuin tasku. Syy, miksi biljardia on niin vaikea analysoida matemaattisesti, on se, että kahdella lähes identtisellä laukauksella, jotka osuvat kulman kummallekin puolelle, voivat olla hurjasti toisistaan ​​poikkeavia lentoratoja.

Keskeinen menetelmä monikulmion biljardin analysoinnissa ei ole ajatella pallon pomppaavan pöydän reunasta, vaan kuvitella, että joka kerta kun pallo osuu seinään, se jatkaa matkaa pöydän uuteen kopioon, joka käännetään sen yli. reuna, mikä tuottaa peilikuvan. Tämä prosessi (näkyy alla), jota kutsutaan biljardiradan avautumiseksi, sallii pallon jatkaa suoraviivaisella liikeradalla. Taitamalla kuvitellut pöydät takaisin naapureihinsa voit palauttaa pallon todellisen lentoradan. Tämä matemaattinen temppu mahdollistaa sellaisten lentoradan asioiden todistamisen, jotka muuten olisivat haastavia nähdä.

Sitä voidaan esimerkiksi käyttää osoittamaan, miksi yksinkertaisissa suorakaiteen muotoisissa taulukoissa on äärettömän monta jaksollista liikerataa jokaisen pisteen läpi. Samanlainen argumentti pätee mille tahansa suorakulmiolle, mutta konkreettisuuden vuoksi kuvittele pöytä, joka on kaksi kertaa leveämpi kuin se on pitkä.

Oletetaan, että haluat löytää jaksollisen kiertoradan, joka ylittää taulukon n kertaa pitkässä suunnassa ja m kertaa lyhyessä suunnassa. Koska jokainen suorakulmion peilikuva vastaa seinästä pomppivaa palloa, jotta pallo palaa aloituspisteeseensä kulkiessaan samaan suuntaan, sen liikeradan on ylitettävä pöytä parillisen määrän kumpaankin suuntaan. Niin m ja n täytyy olla tasainen. Aseta ruudukko identtisistä suorakulmioista, joista jokainen nähdään peilikuvana naapureistaan. Piirrä jana alkuperäisen taulukon pisteestä kopion identtiseen pisteeseen n pöydät pois pitkässä suunnassa ja m pöydät pois lyhyessä suunnassa. Säädä alkuperäistä pistettä hieman, jos polku kulkee kulman läpi. Tässä esimerkki missä n = 2 ja m = 6. Taaksepäin taitettuna polku tuottaa jaksollisen liikeradan, kuten vihreässä suorakulmiossa näkyy.

Kolmion epätasa-arvo

Biljardi kolmioissa, joissa ei ole suorakulmioiden mukavaa suorakulmaista geometriaa, on monimutkaisempaa. Kuten ehkä muistat lukion geometriasta, kolmioita on useita erilaisia: teräviä kolmioita, joissa kaikki kolme sisäkulmaa ovat alle 90 astetta; suorakulmaiset kolmiot, joiden kulma on 90 astetta; ja tylpät kolmiot, joiden yksi kulma on yli 90 astetta.

Terävän ja suoran kolmion muotoisilla biljardipöydillä on jaksolliset liikeradat. Mutta kukaan ei tiedä, päteekö sama tylppoihin kolmioihin.

Löytääksesi jaksollisen liikeradan terävässä kolmiossa, vedä kohtisuora viiva jokaisesta kärjestä vastakkaiselle puolelle, katsottuna alla vasemmalla. Yhdistä pisteet, joissa oikeat kulmat esiintyvät, muodostamaan kolmion, kuten oikealla näkyy.

Tämä kaiverrettu kolmio on jaksollinen biljardirata, jota kutsutaan Fagnanon kiertoradalle ja joka on nimetty Giovanni Fagnanolta, joka vuonna 1775 osoitti, että tällä kolmiolla on pienin ympärysmitta kaikista piirretyistä kolmioista.

1990-luvun alussa Fred Holt Washingtonin yliopistossa ja Gregory Galperin ja hänen työtoverinsa Moskovan valtionyliopistossa itsenäisesti osoittivat että jokaisella suorakulmaisella kolmiolla on jaksolliset kiertoradat. Yksi yksinkertainen tapa osoittaa tämä on heijastaa kolmiota toisen jalan ympäriltä ja sitten toisesta, kuten alla on esitetty.

Aloita liikeradalla, joka on suorassa kulmassa hypotenuusaan (kolmion pitkä sivu) nähden. Hypotenuusa ja sen toinen heijastus ovat yhdensuuntaisia, joten niitä yhdistävä kohtisuora jana vastaa liikerataa, joka pomppii edestakaisin ikuisesti: Pallo lähtee hypotenuusasta suorassa kulmassa, pomppii molemmista jaloista, palaa hypotenuusaan oikealla kulmassa ja jäljittää sitten reittinsä.

Mutta tylpät kolmiot ovat edelleen mysteeri. Vuoden 1992 artikkelissaan Galperin ja hänen työtoverinsa keksivät erilaisia ​​menetelmiä heijastaa tylpäitä kolmioita tavalla, joka mahdollistaa jaksollisten kiertoradojen luomisen, mutta menetelmät toimivat vain joissakin erikoistapauksissa. Sitten vuonna 2008 Richard Schwartz Brownin yliopistossa osoitti, että kaikki tylpät kolmiot kulmat 100 astetta tai vähemmän sisältävät jaksollisen lentoradan. Hänen lähestymistapansa sisälsi ongelman jakamisen useisiin tapauksiin ja jokaisen tapauksen tarkistamisen käyttämällä perinteistä matematiikkaa ja tietokoneapua. Vuonna 2018 Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore ja George Tokarsky Albertan yliopistosta pidentänyt tätä kynnystä 112.3 asteeseen. (Tokarsky ja Marinov oli viettänyt yli vuosikymmenen jahtaamaan tätä tavoitetta.)

Topologinen käänne

Toista lähestymistapaa on käytetty osoittamaan, että jos kaikki kulmat ovat rationaalisia – eli ne voidaan ilmaista murto-osina – tylpäillä kolmioilla, joilla on vielä suurempi kulma, täytyy olla jaksolliset liikeradat. Sen sijaan, että kopioitaisiin vain monikulmio tasaiselle tasolle, tämä lähestymistapa kartoittaa monikulmion kopiot topologisille pinnoille, donitsit, joissa on yksi tai useampi reikä.

Jos heijastat suorakulmion sen lyhyeltä sivulta ja heijastat sitten molemmat suorakulmiot niiden pisimmälle sivulle, jolloin teet neljä versiota alkuperäisestä suorakulmiosta ja liimaa sitten ylä- ja alaosa yhteen ja vasen ja oikea yhteen, olet tehnyt donitsin, tai torus, kuten alla on esitetty. Pöydän biljardiradat vastaavat toruksen lentoratoja ja päinvastoin.

Eräässä vuoden 1986 merkittävässä artikkelissa Howard Masur käytti tätä tekniikkaa osoittamaan, että kaikilla monikulmiotaulukoilla, joilla on rationaaliset kulmat, on jaksolliset radat. Hänen lähestymistapansa ei toimi vain tylpäille kolmioille, vaan paljon monimutkaisemmillekin muodoille: esimerkiksi epäsäännöllisillä 100-sivuisilla pöydillä tai monikulmioilla, joiden seinät sik- ja tak-muodot muodostavat kulmia ja koloja, ovat jaksoittaiset radat, kunhan kulmat ovat järkeviä.

Jossain määrin huomattavaa, että yhden jaksollisen kiertoradan olemassaolo monikulmiossa merkitsee äärettömän monien olemassaoloa; Liikeradan siirtäminen vain vähän tuottaa joukon toisiinsa liittyviä jaksollisia lentoratoja.

Valaistuksen ongelma

Muodot, joissa on koloja ja koloja, herättävät aiheeseen liittyvän kysymyksen. Sen sijaan, että kysyttäisiin liikeradoista, jotka palaavat lähtöpisteeseensä, tämä ongelma kysyy, voivatko lentoradat käydä tietyn taulukon jokaisessa pisteessä. Tätä kutsutaan valaistusongelmaksi, koska voimme ajatella sitä kuvittelemalla lasersäteen, joka heijastuu biljardipöytää ympäröivistä peilatuista seinistä. Kysymme, voitko tietyn taulukon kahdella pisteellä aina loistaa laserin (idealisoituna äärettömän ohueksi valonsäteeksi) pisteestä toiseen. Toisin sanoen, jos laittaisimme kaikkiin suuntiin yhtä aikaa loistavan hehkulampun jossain vaiheessa pöydälle, valaisiko se koko huoneen?

Ongelmaa on tutkittu kahdella päälinjalla: sellaisten muotojen löytäminen, joita ei voida valaista, ja sen osoittaminen, että suuret muotoluokat voivat olla. Siinä missä parittomien muotojen löytäminen, joita ei voida valaista, voidaan tehdä yksinkertaisen matematiikan älykkäällä sovelluksella, sen todistaminen, että monet muodot voidaan valaista, on ollut mahdollista vain raskaita matemaattisia koneita käyttämällä.

Vuonna 1958, Roger Penrose, matemaatikko, joka voitti Fysiikan Nobel-palkinto 2020, löysi kaarevan taulukon, jossa mikään piste yhdellä alueella ei voinut valaista mitään pistettä toisella alueella. Vuosikymmeniin kukaan ei voinut keksiä monikulmiota, jolla olisi sama ominaisuus. Mutta vuonna 1995 Tokarsky käytti yksinkertaista faktaa kolmioista luodakseen lohkomaisen 26-sivuisen monikulmion kahdella pisteellä, joihin ei voi päästä, kuten alla. Toisin sanoen yhdestä pisteestä ammuttu lasersäde ei voi osua toiseen pisteeseen riippumatta sen suunnasta.

Avainidea, jota Tokarsky käytti rakentaessaan erikoispöytäänsä, oli se, että jos lasersäde alkaa jostain terävistä kulmista 45°-45°-90° kolmiossa, se ei voi koskaan palata kyseiseen kulmaan.

Hänen rosoinen pöytänsä on tehty 29 tällaisesta kolmiosta, jotka on järjestetty hyödyntämään tätä tosiasiaa älykkäästi. Vuonna 2019 Amit Wolecki, sitten jatko-opiskelija Tel Avivin yliopistossa, sovelsi samaa tekniikkaa tuottaa muotoa 22 sivulla (näkyy alla), jonka hän osoitti olevan pienin mahdollinen sivumäärä muotoon, jossa oli kaksi sisäpistettä, jotka eivät valaise toisiaan.

Tulosten osoittaminen toiseen suuntaan on ollut paljon vaikeampaa. Vuonna 2014 Maryam Mirzakhani, matemaatikko Stanfordin yliopistossa, tuli ensimmäinen nainen, joka voittaa Fieldsin mitali, matematiikan arvostetuin palkinto, hänen työstään Riemannin pintojen moduuliavaruuksien parissa – eräänlainen yleistys munkkeista, joita Masur käytti osoittamaan, että kaikilla monikulmiotaulukoilla, joilla on rationaaliset kulmat, on jaksolliset radat. Vuonna 2016 Samuel Lelièvre Paris-Saclay yliopistosta, Thierry Monteil Ranskan kansallisen tieteellisen tutkimuksen keskuksen ja Barak Weiss Tel Avivin yliopistosta sovellettiin useita Mirzakhanin tuloksia näyttää että mikä tahansa piste rationaalisessa monikulmiossa valaisee kaikkia pisteitä paitsi äärellisen monia. Siellä voi olla yksittäisiä tummia pisteitä (kuten Tokarskyn ja Woleckin esimerkeissä), mutta ei tummia alueita, kuten on Penrosen esimerkissä, jossa on pikemminkin kaarevia kuin suoria. Sisään Woleckin 2019 artikkeli, hän vahvisti tätä tulosta osoittamalla, että valaisemattomia pisteitä on vain äärettömän monta paria.

Valitettavasti, Mirzakhani kuoli vuonna 2017 40-vuotiaana kamppailtuaan syöpää vastaan. Hänen työnsä näyttivät olevan kaukana temppulaukauksista allashallissa. Ja kuitenkin biljardin liikeradan analysointi osoittaa, kuinka abstraktinkin matematiikka voi liittyä maailmaan, jossa elämme.