Geometrian "villissä lännessä" matemaatikot määrittelevät pallon uudelleen | Quanta-lehti

Jos olet koskaan juuttunut liikenteeseen sateisena iltapäivänä, olet todennäköisesti nähnyt sadepisaroiden lyövän toisiaan alas auton ikkunasta. Kun pisariparit törmäävät, ne sulautuvat uudeksi pisaraksi menettäen erillisen identiteettinsä.

Tämä sulautuminen on mahdollista, koska vesipisarat ovat melkein pallomaisia. Kun muodot ovat joustavia – kuten sadepisarat ovat – pallon kiinnittäminen ei muuta mitään. Tietyillä matematiikan alueilla palloon kiinnitetty pallo on edelleen pallo, vaikkakin ehkä suurempi tai komeampi. Ja jos pallo liimataan munkkiin, sinulla on silti munkki – rakkulalla. Mutta jos kaksi munkkia sulautuvat yhteen, ne muodostavat kaksireikäisen muodon. Matemaatikoille se on jotain aivan muuta.

Tämä laatu tekee palloista tärkeän kokeen geometreille. Matemaatikot voivat usein siirtää palloista saadut opetukset monimutkaisempiin muotoihin katsomalla, mitä tapahtuu, kun ompelet nämä kaksi yhteen. Itse asiassa he voivat soveltaa tätä tekniikkaa mihin tahansa moniin - matemaattisten esineiden luokkaan, joka sisältää yksinkertaisia ​​muotoja, kuten palloja ja munkkeja, sekä äärettömiä rakenteita, kuten kaksiulotteinen taso tai kolmiulotteinen avaruus.

Pallot ovat erityisen tärkeitä geometrian alatieteessä, joka tunnetaan kontaktigeometriana. Kosketusgeometriassa jokainen piste kolmiulotteisessa monistossa - kuten 3D-avaruudessa, jossa elämme - vastaa tasoa. Tasot voivat kallistaa ja kiertyä pisteestä toiseen. Jos ne tekevät sen tavalla, joka täyttää tietyt matemaattiset kriteerit, koko tasojoukkoa kutsutaan kontaktirakenteeksi. Jakotukia (kuten 3D-avaruutta) yhdessä kontaktirakenteen (kaikki tasot) kanssa kutsutaan kosketinsarjaksi.

Vaikka kontaktirakenteet saattavat tuntua olevan vain koristelu, ne tuovat perustavanlaatuisia näkemyksiä monista, joilla ne elävät, sekä linkkejä fysiikkaan. Nykyaikaiset matemaatikot voivat käyttää kontaktisarjaa muotoillakseen uudelleen teorioita valon käyttäytymisestä ja tavasta vesi virtaa avaruuden läpi.

Tulokset kolmiulotteisista kosketinsarjoista palaavat usein palloihin. Jos liimaa kontaktipallon toiseen kosketinsarjaan, kuten 3D-munkkiin, pallon 3D-versio voi lahjoittaa liitosrakenteesta osia. Jos haluat todistaa, että donitsilla voi olla kontaktirakenne, jonka tasot kiertyvät tuhat kertaa, kun ne kiertävät donitsireiän, voit ensin rakentaa kyseisen rakenteen pallon päälle ja lisätä sen sitten donitsiin leikkaamalla pienen reiän molempiin muotoihin. ja paikata ne yhteen reunoja pitkin. Matemaatikko, joka tutkii, mitkä kontaktirakenteet voivat olla olemassa tietyssä monissa, luottavat usein tähän kehykseen, sanoi John Etnyre, matemaatikko Georgia Institute of Technologyssa. "He tekevät paljon työtä vähentääkseen ongelman ymmärtämään, mitä alalla tapahtuu", hän sanoi.

As Jonathan Bowden, Regensburgin yliopiston matemaatikko, sanoo: "Jos et ymmärrä jotakin palloa, kuinka voin ymmärtää mitään muuta?"

Meillä on tapana ajatella palloja yksinkertaisina muodoina: Ne ovat vain kaikkia pisteitä, jotka ovat kiinteän etäisyyden päässä keskipisteestä. Esimerkkejä ovat ympyrä, joka on yksiulotteinen, sekä tavallisen pallon, kuten koripallon, kaksiulotteinen pinta. Mutta kun lisäät kontaktirakenteita, sfääreistä voi tulla monimutkaisempia kuin saatat odottaa. Ja kun matemaatikot yrittävät selviytyä epäjärjestyneestä kontaktiverkostojen valtamerestä, uudentyyppiset pallot voivat antaa heille vihjeitä siitä, mitä he saattavat kalastaa syvyyksistä.

Tuoreessa paperissa, jota päivitettiin olennaisesti viime viikolla, neljä matemaatikkoa - Bowden, Fabio Gironella, Agustin Moreno ja Zhengyi Zhou - ovat paljastaneet uudentyyppisen kosketuspallon ja sen mukana äärettömän määrän uusia kosketinjakoputkia.

Täysi Yhteystiedot Sport

Alana kontaktigeometria syntyi vähitellen vuosisatojen kuluessa. Vaikka nykyaikaiset matemaatikot katsovat taaksepäin, näkevät vihjeitä kontaktigeometriasta optiikkatutkimuksessa 17-luvulla ja termodynamiikassa 19-luvulla, vasta 1950-luvulla. oli lause Matemaatikko sanoi, että "kosketinsarja" käytettiin ensimmäisen kerran paperissa Hansjörg Geiges" aiheen historiaa.

Tuolloin matemaatikot olivat jo tietoisia joistakin esimerkeistä kontaktijoukoista. Teknisistä syistä kosketinjakotukia on vain parittomissa mitoissa. Tavallisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kontaktirakenne, joka koostuu tasoriveistä, jotka kallistuvat vähitellen eteenpäin. Tämä rakenne ulottuu luonnollisesti siihen, mitä matemaatikot kutsuvat kolmiulotteiseksi sfääriksi. (Tämä on neliulotteisen pallon pinta, aivan kuten kaksiulotteinen matemaattinen pallo on tavallisen kolmiulotteisen pallon pinta.)

1960-luvun lopusta lähtien matemaatikot alkoivat esittää uusia esimerkkejä kosketusnivelistä. Vuonna 1968 Mikhael Gromov edistyi uusien kontaktirakenteiden löytämisessä tietyistä jakoputkista, kuten kolmiulotteisesta avaruudesta, ja Jean Martinet seurasi vuonna 1971 esimerkeillä niin sanotuista kompakteista muodoista (jotka ovat äärellisiä ja selkeät rajat), kuten 3D-pallo. Vuonna 1977 Robert Lutz keksi kuinka luoda uusi kontaktirakenne mihin tahansa kolmiulotteiseen jakoputkeen. Lutzin rakenteessa kosketinsarja leikattiin auki, käännettiin ylös ja ompeletiin takaisin yhteen tavalla, joka piti alla olevan muodon samana, mutta pakotti kosketinrakenteen uuteen kokoonpanoon. Se johti uuteen kontaktirakenteeseen äärettömälle 3D-avaruudelle, 3D-sfäärille ja useille vielä oudoille kohteille, kuten kuutiolle, jossa, jos työnnät kätesi pohjan läpi, näet sen roikkuvan alas ylhäältä.

Silti nämä tulokset jättivät 20-luvun lopun matemaatikoille monia vastaamattomia kysymyksiä kontaktijoukoista. Millaisia ​​kontaktirakenteita siellä oli? Miten ne pitäisi luokitella? "Kun matemaatikot tulevat johonkin aiheeseen, he haluavat aina luokitella tai ymmärtää esineitä", sanoi Jakov Eliashberg, matemaatikko Stanfordin yliopistossa, joka oli avainasemassa kontaktigeometrian varhaisessa kehittämisessä.

Dimensioissa viisi ja sitä korkeammissa - muista, että kosketinjakoputkilla voi olla vain pariton määrä mittoja - näihin kysymyksiin ei vieläkään vastata. Kolmiulotteisessa tapauksessa suuren osan edistymisestä saavutti lähes yksin Eliashberg, joka saapui Berkeleyyn Kaliforniaan 1980-luvulla siirtolaisena Neuvostoliitosta.

Käännä ja huuta

Uuden Berkeley-tuttavan Jesús Gonzalo Pérezin kysymyksestä, joka oli tutkinut Lutzin tekniikkaa uusien kosketinsarjojen luomiseksi, Eliashberg huomasi, että kaikilla kolmiulotteisilla kosketinsarjoilla, jotka voit saada käyttämällä Lutzin strategiaa, oli tiettyjä yhteisiä piirteitä. Vuonna 1989 hän julkaisi a siemenpaperi kuvailee näitä jakoputkia yksityiskohtaisesti. Hän kutsui uutta kosketinsarjan luokkaa "ylikierretyksi" johtuen tavasta, jolla kosketinrakenteen tasot kiertyivät useita kertoja, yli sen kiertymisen, joka vaaditaan kosketinrakenteeksi kelpaamiseksi. Eliashbergin vuoden 1989 artikkeli vastasi käytännössä kaikkiin kysymyksiin, joita matemaatikoilla saattaa olla ylikierretyistä kolmiulotteisista jakoputkista, mutta mihin tahansa muuhun kosketinsarjaan - jota Eliashberg kutsui "tiukaksi" sen kontaktirakenteen vääntymisen vähäisyyden vuoksi - oli paljon vaikeampi saada.

"Vaikka kierrettyjä rakenteita on runsaasti, tiiviit kontaktirakenteet ovat harvinaisempia tai ainakin paljon huonommin ymmärrettyjä", sanoi Heidelbergin yliopiston matemaatikko Moreno.

Yksi ero ylikierrettyjen ja tiukkojen kosketintukkien välillä käy selväksi, jos katsomme jakotukia suuremman tilan rajana. Koska kosketinjakoputket ovat parittomaisia, ne muodostavat aina parillisen jakotukin reunan. (Ajattele, kuinka ympyrän yksiulotteinen käyrä ympäröi kaksiulotteista kiekkoa tai kuinka ääretön viiva leikkaa kaksiulotteisen tason kahdeksi erilliseksi puolikkaaksi.) Kosketingeometrialla on pariulotteinen vastine, jota kutsutaan symplektiseksi geometriaksi. Matemaatikot halusivat tietää, muodostaako kosketussarjan sisäpuoli – joka on aina pariulotteinen – symplektisen moniston vai ei.

Jos näin on, alkuperäistä kosketinsarjaa kutsutaan täytettäväksi. Täytettävyys on erityinen ominaisuus. Eliashbergin ja Gromovin tulokset 1980-luvulta ja 1990-luvun alussa osoittivat, että täytettäviä kosketinputkia ei voi kiertää - niiden on oltava tiukkoja. Mutta päinvastainen skenaario oli hämärämpi – voisiko jakoputki olla tiukka, mutta ei täytettävä?

"Pitkän aikaa oli mahdollista, että ehkä kireys oli todella vain heijastus täyteydestä", Etnyre sanoi. Eliashberg oli osoittanut, että kolmiulotteisella pallolla on vain yksi tiivis kontaktirakenne, joka on myös täytettävä. Mutta vuonna 2002 yhdessä Ko Honda Kalifornian yliopistosta, Los Angelesista, Etnyrestä löytyi esimerkki kolmiulotteisesta kosketusjakoputkesta, joka oli tiukka mutta ei-täyttö.

Korkeamman ulottuvuuden tapauksissa asiat olivat epävarmoja. ”Meillä on paljon työkaluja kontaktirakenteiden tutkimiseen kolmosulotteisessa ulottuvuudessa, eikä meillä ole käytännössä yhtään korkeassa ulottuvuudessa. Ja se on todellinen ongelma, Etnyre sanoi.

”Kontaktitopologiassa korkeammat mitat ovat todella villiä länttä. Ihmiset eivät todellakaan tiedä melkein mitään siitä, mitä tapahtuu, Honda sanoi. Kysymys kuului: Onko olemassa suurikokoisia tiukkoja mutta ei-täytettäviä kosketusjakoputkia? Ja jos on, miltä ne näyttävät?

Pidä se tiukkana

Vuonna 2013 kolme matemaatikkoa löysi tien tällaisten jakoputkien luomiseen, mutta "heidän rakentamat jakoputket olivat itse asiassa hyvin, hyvin monimutkaisia", Etnyre sanoi. Hän lisäsi, että ei tiedetä, oliko tämä monimutkaisuus tarpeen. Jos näin on, tiiviyden ja täytettävyyden välillä saattaa silti olla läheinen yhteys yksinkertaisissa jakoputkissa, kuten palloissa.

Vuonna 2015 Münchenin Ludwig Maximilian -yliopistossa työskentelevä Bowden ja kaksi yhteistyökumppania osoittivat, että tietyt kosketinputket voidaan huolellisesti veistää ja paikata yhteen pallon muodostamiseksi uhraamatta niiden kontaktirakenteita. Heidän työnsä ehdottivat, että matemaatikot eivät voisi vain siirtää kontaktirakennetta pallolta monimutkaisempaan kontaktisarjaan - asioiden tavanomaiseen suuntaan - vaan myös luoda aivan uuden kontaktirakenteen pallolle aloittamalla monimutkaisemmasta esimerkistä.

Vuoteen 2019 mennessä hän oli alkanut työskennellä Gironellan ja Morenon kanssa. Sinä vuonna he julkaisi paperin useiden aikaisempien matemaatikoiden tekniikoiden pohjalta. Nämä kolme löysivät esimerkkejä kosketusjakoputkista, joissa oli symplektisiä täytteitä, mutta epävakaita: Täytteet, joita kutsutaan "heikoiksi täytteiksi", katosivat, jos kosketinjakoputkia säädettiin juuri oikealla tavalla.

Pandemian alettua he alkoivat epäillä, että he pystyisivät rakentamaan palloja, joilla on halutut ominaisuudet. He ottivat joitain kosketusjakoputkia ja työskentelivät ne huolellisesti palloiksi: leikattiin reikä tähän, paikkaan se sinne. Kun ne olivat valmiit, niillä oli ääretön kokoelma tiukkoja mutta täyttämättömiä palloja. Ja koska pallot voivat siirtää osia kosketusrakenteistaan ​​muihin jakoputkiin, tämä loi tiukat, mutta ei-täytetyt kosketusjakoputket kaikenmuotoisina ja -lajisina.

He esittivät Zhoulle varhaisen luonnoksen paperistaan ​​vuoden 2022 puolivälissä toivoen, että hän oikolukisi osan heidän laskelmistaan. Zhou oli aiemmin tehnyt yhteistyötä sekä Morenon että Gironellan kanssa, ja hän oli perehtynyt joihinkin heidän luonnoksensa käyttämiin tekniikoihin. "Luin paperin läpi ja tajusin, että tällä oli valtava potentiaali saada vieläkin vahvempia tuloksia", sanoi Zhou, matemaatikko Kiinan tiedeakatemiasta. Hän palasi heidän luokseen täynnä uusia ideoita.

Ryhmä sisällytti Zhoun näkemykset paperiinsa, ja he neljä julkaisivat sen verkossa marraskuussa 2022. Heidän työnsä osoittaa, että tiukat, mutta ei-täytettävät pallot, joiden mitat ovat viisi tai sitä suurempi, ovat mahdollisia, ja näiden tulosten avulla voidaan luoda monia uusia esimerkkejä tiiviistä kosketusjakoputkista. jotka ovat vain heikosti täytettäviä, myöntäen vuoden 2019 paperin heikot "heikot täytteet". Sitten viime viikolla he päivittivät paperia tärkeällä yleistyksellä. He pystyvät nyt löytämään tiiviitä ja heikosti täytettäviä kosketinrakenteita mihin tahansa jakotukkiin, joiden mitat ovat seitsemän tai suuremmat.

Vaikka heidän todistuksensa paljastaa äärettömän määrän uusia esimerkkejä, korkeamman ulottuvuuden kontaktisarjan - ja jopa korkeamman ulottuvuuden sfäärien - tutkimus on vasta alkamassa.

"Tämä antaa meille välähdyksen maailmaan, joka näyttää olevan hyvin villi ja tavallaan monimutkainen", Moreno sanoi ja lisäsi myöhemmin: "Sanoisin, että korkeammat ulottuvuudet syövät useiden tulevien sukupolvien huomion."

”Juuri nyt yrität vain löytää esimerkkejä; yrität erottaa asiat; yrität vain saada käsityksen siitä, mitä siellä on. Ja asioiden ymmärtäminen alalla on eräänlainen alkio tai siemen, joka voi auttaa sinua ymmärtämään muita tilanteita”, Etnyre sanoi. "Meillä ei todellakaan ole vielä työkaluja seuraavan askeleen ottamiseksi."

Quanta tekee sarjan kyselyjä palvellakseen paremmin yleisöämme. Ota meidän matematiikan lukijakysely ja pääset mukaan voittamaan ilmaiseksi Quanta kauppatavaraa.