esittely
Ajatus äärettömyydestä on luultavasti yhtä vanha kuin itse numerot, ja se juontaa juurensa aina, kun ihmiset ensimmäisen kerran tajusivat, että he voisivat jatkaa laskemista ikuisesti. Mutta vaikka meillä on äärettömyyden merkki ja voimme viitata käsitteeseen satunnaisessa keskustelussa, äärettömyys pysyy syvästi salaperäisenä jopa matemaatikoille. Tässä jaksossa Steven Strogatz keskustelee matemaatikkotoverinsa kanssa Justin Moore Cornellin yliopistosta, kuinka yksi äärettömyys voi olla suurempi kuin toinen (ja voimmeko olla varmoja, ettei niiden välillä ole väliäärettömyyttä). He keskustelevat myös siitä, kuinka fyysikot ja matemaatikot käyttävät äärettömyyttä eri tavalla ja äärettömän merkitystä matematiikan perustalle.
Kuuntele Apple Podcastit, Spotify, Google Podcastit, nitoja, Kääntää tai suosikki podcasting-sovelluksesi, tai voit suoratoista se osoitteesta Quanta.
Jäljennös
Steven Strogatz (00:03): Olen Steve Strogatz, ja tämä on The Joy of Why, podcast osoitteesta Quanta-lehti joka vie sinut joihinkin tämän päivän matematiikan ja luonnontieteen suurimpiin vastaamattomiin kysymyksiin.
(00:13) Tässä jaksossa keskustelemme äärettömyydestä. Kukaan ei todellakaan tiedä, mistä ajatus äärettömyydestä tuli, mutta sen täytyy olla hyvin ikivanha - yhtä vanha kuin ihmisten toiveet ja pelot asioista, jotka voisivat jatkua ikuisesti. Jotkut niistä ovat pelottavia, kuin pohjattomia kuoppia, ja jotkut niistä ovat kohottavia, kuin loputon rakkaus. Matematiikassa ajatus äärettömyydestä on luultavasti yhtä vanha kuin luvut itse. Kun ihmiset ymmärsivät, että he voisivat vain jatkaa laskemista ikuisesti - 1, 2, 3 ja niin edelleen. Mutta vaikka äärettömyys on hyvin vanha idea, se on edelleen syvästi mysteeri. Ihmiset ovat raapineet päätään äärettömyydestä jo tuhansia vuosia, ainakin muinaisen Kreikan Zenonista ja Aristotelesta lähtien.
(00:57) Mutta miten matemaatikot ymmärtävät äärettömyyden nykyään? Onko äärettömyyttä eri kokoisia? Onko äärettömyydestä hyötyä matemaatikoille? Ja jos on, niin miten tarkalleen? Ja mitä tekemistä tällä kaikella on itse matematiikan perusteiden kanssa?
(01:14) Mukana tänään keskustelemaan äärettömyydestä Justin Moore, matematiikan professori Cornellista. Hänen tutkimusalueitaan ovat joukkoteoria, matemaattinen logiikka ja ääretön kombinatoriikka sekä niiden sovellukset muille matematiikan aloille, kuten topologiaan, funktionaaliseen analyysiin ja algebraan. Tervetuloa Justin.
Justin Moore (01:33): Hei, Steve. Kiitos että sain olla täällä.
Strogatz (01:35): Joo, olen erittäin innoissani voidessani puhua kanssasi. Minun pitäisi sanoa, ehkä täydellisen paljastamisen vuoksi, Justin on ystäväni ja kollegani Cornellin matematiikan osastolla. OK, lähdetään siis ajattelemaan äärettömyyttä, kuten matemaatikot ajattelevat sitä. Itse asiassa, ehkä ennen kuin sukeltaamme matematiikan osaan, puhutaanpa hetki todellisesta maailmasta, koska emme ole siellä pitkään. Olenko nyt oikeassa, että sinut on kerran koulutettu fysiikan maailmaan?
Moore (02:02): Joo, se oli fysiikan kaksoisaine matematiikan kanssa, kun olin perustutkinto. Olen jotenkin palanut fysiikkaan. Aloin suosia fysiikkaa ja olla myös hieman kiinnostunut matematiikasta vapaa-ajan suhteen. Ja sitten jotenkin sen aikana kiinnostuin enemmän matematiikasta ja fysiikasta.
Strogatz (02:18): Okei. No, entä äärettömyyden fysiikka? Onko siinä edes järkeä? Onko todellisessa maailmassa mitään loputonta tietoa, josta tiedämme?
Moore (02:26): Tiedätkö tämä video, 10:n voimat, jonka ovat luoneet Charles ja Ray Eames? Kun periaatteessa jokainen – mielestäni 10 sekunnin välein, olet 10 kertaa pienempi. No, aluksi luulen, että teho on 10 suurempi. Loitonnat. Ja sitten joka 10. sekunti olet teho 10 pienempi, ja siirryt maailmankaikkeuden suurimmasta mittakaavasta alaatomisen hiukkasen pienimpään mittakaavaan. Tiedätkö, tämä tehtiin 70-luvun lopulla tai 80-luvun alussa. Ja luulen, että ymmärryksemme joistakin asioista on kehittynyt hieman sen jälkeen, mutta ei valtavasti. Mutta tarkoitan sitä, että 40:ssä on noin 10 potenssia, jotka erottavat pienimmän pituusasteikon suurimmasta pituusasteikosta, ja ehkä voit olla antelias ja heittää useita ylimääräisiä 10:n tehoja, vain hyvänä mittana. Mutta on reilua sanoa, että fysiikassa ei voi mitata mitään, joka on suurempi kuin 10100 tai 10200 Tai jotain sellaista.
(03:22) Ja ehkä käsityksemme asioiden jatkuvasta - jatkuvasta liikkeestä tai mistä tahansa - ehkä tämä kaikki on vain illuusiota. Ehkä kaikki on todella rakeista ja rajallista. Mutta totta on se, että fyysikot ovat varmasti löytäneet paljon maailmasta, jossa elämme, kuvitellen, että asiat ovat tasaisia ja jatkuvia ja että äärettömyydessä on järkeä. Kun mennään niihin fysiikan osiin, joissa asioita ei ole vielä varsinaisesti muotoillut, monet matemaatikoiden ongelmat, jotka liittyvät tähän fyysikoihin, ovat äärettömyyden käsitteleminen erilaisilla kavaleerisilla tavoilla ja äärettömyyden vähentäminen äärettömyydestä. , eivätkä ehkä ole niin vastuussa siitä kuin matemaatikko haluaisi heidän olevan. En usko, että se on todella kiistanalainen lausunto. Luulen, että fyysikko - useimmat fyysikot luultavasti - tarkoitan, OK, ehkä sinä tietäisit paremmin. Mutta uskon, että useimmat fyysikot sanoisivat, että tämä on melko oikea lausunto.
Strogatz (04:20): Oman henkilökohtaisen tarinasi suhteen – lupaan, etten mene liian syvälle nolatakseni sinua tässä – mutta mikä veti sinut äärettömyyteen? Tuntuiko fysiikka jotenkin liian pieneltä sinulle? Vai pidätkö vain matematiikan ankaruudesta vai…?
Moore (04:33): Tarkoitan, että innostuin matematiikasta kokonaisuudessaan ja erosin fysiikasta ennen kuin kiinnostuin erityisesti joukkoteoriasta. Ironista kyllä, se johtui siitä, että minä – jos käyt fysiikan tunnilla, päädyt jossain vaiheessa olemaan melko nopea ja löysä matematiikan suhteen. Ja sinä joko hyväksyt sen tai et ole. Olin yksi niistä ihmisistä, joille se ei kelvannut.
Strogatz (04:56): Huh. Ja minä olin yksi, joka oli kunnossa, ja teen sitä edelleen. Tiedäthän, tarkoitan, että nuo asiat eivät ole huolestuttaneet minua liikaa, vaikka kunnioitankin huolenpitoa, jota puhtaiden matemaatikoiden älyllinen eheys huolestuttaa näistä asioista.
(05:11): Ok, oletetaanpa, että olisin vain, en tiedä, kuin utelias teini, enkä edes tiedä mitä äärettömyys on. Mitä sanoisit sen olevan? Pitäisikö minun ajatella sitä erittäin suurena numerona? Onko se joku symboli? Onko se kiinteistö? Mikä on hyvä tapa ajatella, mitä äärettömyys on?
Moore (05:26): Joo, luulisin, että se voi olla idealisoitu piste rivin lopussa, eikö niin? Se voi olla muodollinen symboli. Tiedätkö, voit ajatella sitä tavallaan… muodollinen symboli samassa merkityksessä kuin vaikka esittelemme -1, eikö niin? Ja muistan, kun olin pieni lapsi, että opettajat eivät halunneet tehdä selväksi, oliko turvallista puhua negatiivisista luvuista. Ja totta, se kuulostaa typerältä jälkeenpäin ajateltuna, mutta jollain tasolla, eikö niin, onko -1 olemassa todellisessa maailmassa? Mutta voit muodollisesti manipuloida sitä ja voit muodollisesti manipuloida äärettömyyttä jollain tasolla, mutta sinun täytyy ehkä osoittaa hieman enemmän huolellisuutta. Voit myös käyttää äärettömyyttä keinona määrittää, kuinka monta jotakin on. Ja se avaa siellä lisää ovia, koska voit puhua siitä, että on olemassa äärettömiä joukkoja, joista jotkut ovat suurempia kuin toiset.
Strogatz (06:15): Okei. Selvä. Olet siis maininnut tämän sanan "setit", ja tulemme varmasti puhumaan paljon sarjoista tänään. Sanoin, että kiinnostuksen kohteisiisi kuuluu joukkoteoria. Haluatko kertoa lisää siitä, mitä tarkoitat setillä?
Moore (06:26): Luulen, että… Vastaus on sekä kyllä että ei. Joten mielestäni on OK lentää housujen istuimen ohi ja pitää sitä vain, tiedätkö, määrittelemättömänä käsitteenä ja käyttää sitä tavallaan intuitiivisesti. Mutta sitä käytettiin myös eräänlaisena mekanismina matematiikan perustan luomiseen, kun ihmiset ymmärsivät, että meidän oli oltava jonkin verran, tehdä huolellinen perusta siitä, mitä matematiikka on.
Strogatz (06:49): Huh huh. Tämäpä kiintoisaa. Koska minä – niin kuin pikkulapsina – opimme laskemaan sormillamme tai vanhempamme alkavat todennäköisesti sanoa sanoja, ja sitten he saattavat osoittaa asioita ja sanoa: "1, 2, 3…" Ja opimme ääniä - lapset niin, kun he ovat hyvin pieniä, tiedän, eikö? Tarkoitan, jos sinulla on pieniä lapsia itse tai sukulaisia. Asialla on siis se puoli. Ja luulen, että useimmat ihmiset kuvittelevat, että numerot ovat matematiikan perusta. Mutta sinä sanot, ja luulen, että useimmat matemaatikot ovat samaa mieltä, että on jotain vieläkin syvempää kuin numerot, mikä on tämä joukkojen käsite, eikö niin?
Moore (07:22): Luulen, että "setin" käsite syntyi perustavanlaatuiseksi käsitteeksi, koska se on niin perustavanlaatuinen ja niin alkeellinen. Ja jos haluat, jos haluat käyttää jotakin matematiikan kankaana, haluat aloittaa jostain, jossa sen perusominaisuudet vaikuttavat hyvin alkeellisilta, ja sitten aloittaa sieltä. Ja sitten idea on, että käytät sitten joukkoja koodataksesi asioita, kuten laskentaluvut, ja asiat, kuten rationaaliluvut ja reaaliluvut, ja niin edelleen. Ja sitten sieltä kaikenlaisia muita monimutkaisempia matemaattisia rakenteita, kuten jakoputket, tai mitä tahansa.
Strogatz (07:57): Joten voin muistaa, a Sesame Street jakso, jonka katsoin lasteni kanssa. Se oli elokuvassa; Luulen, että se oli. Että siellä on hahmo, joka tilasi kalaa huoneeseen, joka oli täynnä nälkäisiä pingviinejä. Ja hän pyysi pingviinejä huutamaan, ja he sanovat: "Kala, kala, kala, kala, kala, kala." Ja niin sitten tarjoilija huutaa alas keittiöön: "Kala, kala, kala, kala, kala." Ja sitten joku muu sanoo: "Ei, sinä ymmärsit väärin." Ja joku muu sanoo: "No, miksi et vain sanonut, että he tilasivat kuusi kalaa?" Mutta se osoittaa, että tämä ajatus joukosta tulee tämän kalaesineiden kokoelman jälkeen. Ja sitten toinen hahmo yllättyy ja sanoo: ”Toimiiko se sytytystulpille? Ja kaneli sämpylöitä?"
Moore (08:42): Tarkoitan, mielestäni myös, jos olet kiinnostunut yrittämään ymmärtää, voitko todistaa tämän? Vai voitko todistaa sen? Ja yrität luoda säännöt, miten todistat asiat tai mitä tahansa, haluat, että perusperiaatteet ovat mahdollisimman yksinkertaisia. Sen sijaan, että yrittäisit kirjoittaa sääntöjä aritmetiikkaa varten, aloita kirjoittamalla yksinkertaisemmat säännöt yksinkertaisemmille asioille ja rakennat sitten aritmetiikkaa näistä perustavanlaatuisemmista rakennuspalikoista.
Strogatz (09:08): Okei. Joten, ja tämä muistuttaa minua myös "uudesta matematiikasta", kun lapsena 60-luvulla opimme risteyksiä ja Venn-kaavioita ja liittoja, eikö niin? Se oli joukkoteorian alku. He opettivat sitä meille - en muista - oli toisella tai kolmannella luokalla; vanhempani eivät tienneet miksi. Mutta luulen, että sinun tyyppisi matemaatikot tai muut ajattelivat, että lasten pitäisi oppia joukkoja, joko ennen tai samaan aikaan, kun he oppivat aritmetiikkaa.
Moore (09:33): Joo, suurin osa siitä, mitä ihmiset opiskelevat joukkoteoriassa, on nykyään todella sitä, kuinka äärettömät joukot toimivat. Koska intuitiomme äärettömistä joukoista ei ole yhtä hyvä kuin intuitiomme äärellisistä joukoista. Ja luulen, että se on pitkälti syy säätiöiden luomiseen. Se johtui osittain siitä, että halusimme kirjoittaa ylös, okei, mitkä ovat melko varmoja äärettömien joukkojen ja joukon ominaisuuksista yleensä, ja sitten yrittää kehittää siitä, mikä on totta äärettömistä joukoista?
Strogatz (10:03): Okei, niin miksi meillä ei ole muutamia esimerkkejä? Voitko kertoa minulle esimerkkejä asioista, jotka ovat äärettömiä?
Moore (10:08): No, kuten luonnolliset luvut. Kuten sanoit - kuten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja niin edelleen - mutta myös asioita, kuten rationaaliset luvut. Tiedätkö, murtoluvut ovat kuin kaksi luonnollista lukua toistensa yläpuolella tai ehkä negatiivinen murtoluku. Mutta sitten on myös asioita, kuten reaaliluvut, joissa - tiedäthän, mitä tahansa, jonka voit ilmaista desimaalilla, mukaan lukien asiat kuten pi ja e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Joten niissä voi olla äärettömän monta numeroa desimaalipilkun jälkeen.
Moore (10:32): Joo, joo, äärettömän monta numeroa. Heidän ei tarvitse toistaa.
Strogatz (10:35): Huh huh. Entä esimerkiksi muodot tai pisteet tai geometriset asiat, ei vain numeeriset asiat?
Moore (10:41): Joo, voit puhua myös geometristen muotojen kokoelmista.
Strogatz (10:45): Ok, tämä on siis hyvä joukon ominaisuus: että voimme joukoilla yhtenäistää tai ainakin saada yhteisen kielen puhuakseen aritmetiikasta, geometriasta jne.
Moore (10:54): Aivan.
Strogatz (10:55): Luulen, että voisimme puhua joukosta funktioita, jos ottaisimme esilaskennan kurssin. Tiedäthän, kuten jatkuvien funktioiden joukon, jos olisimme laskentakurssilla.
Moore (11:04): Totta kai. Joo.
Strogatz (11:05): Tai mitä tahansa. Joten kyllä, tämä antaa meille yhteisen kielen matematiikan kaikille eri osille.
Moore (11:09): Aivan.
Strogatz (11:10): Ja — mutta se on suhteellisen uusi ajatus matematiikan perustana matematiikan kokonaishistorian kannalta, eikö niin?
Moore (11:16): Joo, tarkoitan, minä… No, nykyaikainen matematiikka sellaisena kuin me sen tunnemme, se on noin 100-150 vuotta vanha. Mutta yleensä yhdistän sen noin - viime vuosisadan ensimmäinen puoli oli silloin, kun todellakin aloimme nähdä, että kaikki matematiikan tärkeimmät osat, sellaisina kuin ne nykyään tunnemme, alkavat kehittyä ja niistä tulee todella erillisiä omia aiheitaan. Ja se oli myös suunnilleen samaan aikaan kun [Bertrand]Russell löysi paradoksinsa, joka vauhditti jonkinlaisen tiukan matematiikan perustan tarpeen.
Strogatz (11:49): Huh, huh. Meidän pitäisi mainita - kyllä. Joten Bertrand Russell, josta nyt puhumme, tunnetaan usein paremmin filosofina tai pasifistina, ja silti hän oli melko vahva matemaatikko ja loogikko, joku, joka oli kiinnostunut logiikasta osana matematiikkaa.
Moore: Joo joo.
Strogatz (12:04): Joten kuten sanot, hän oli yksi niistä ihmisistä, jotka auttoivat saamaan sarjateorian todella pyörimään. Ja jo ennen häntä oli tämä herrasmies, Georg Cantor, josta puhumme melko vähän, Saksassa 1800-luvun lopulla.
(12:17): Ok, niin miten matematiikassa, sanotaan, matemaatikot käyttävät äärettömyyttä? Mainitsit kuinka hyödyllistä se voi olla. Missä sitä käytetään?
Moore (12:27): Joo, niin, laskennan luokassa se on hyödyllinen symboli tiettyjen laskutoimitusten tekemiseen. Puhutaan funktion käyttäytymisestä, kun syötteestä tulee erittäin suuri. Voit puhua rajasta äärettömyydessä tai määrien suhteista, kun luku menee nollaan tai äärettömään tai jotain sellaista. Se on äärettömyyden käsite, joka on tavallaan ensimmäisessä mainitsemassani merkityksessä, jossa näet äärettömän idealisoituna pisteenä rivin lopussa.
(12:53) Mutta voit puhua siitä myös: - tiedät, voit, voit puhua jonkin kokoelman tai jonkin joukon elementtien lukumäärän laskemisesta ja siitä, kuinka äärettömän monta elementtiä siinä on tai ehkä, jos siinä on äärettömän monta elementtiä, yrittäen erottaa eri kokoiset äärettömät. Tarkoitan, että jokainen ymmärtää - tai teeskentelee ymmärtävänsä - eron rajallisuuden ja äärettömän välillä. Ja minä ajattelen Cantorin merkittävä löytö oli, että voit tehdä lisää eroja loputtomalla joukolla. Voit erottaa sen välillä, mitä kutsutaan laskettavaksi, ja sen välillä, mitä kutsutaan laskemattomaksi. Tai jopa vain yleisesti, korkeammat lukemattomat kardinaalit kuin erot erilaisten lukemattomien kardinaalien välillä.
Strogatz (13:34): Okei, mennään sinne. Koska tämä on, tämä todella vie meidät aiheemme ytimeen. Luulen, että keskivertoihminen, joka kuulee sanan "laskettava" ensimmäistä kertaa, saattaa ajatella, että se tarkoittaa kirjaimellisesti laskettavaa, kuten jotain, jolla on 10. Tiedätkö, jos pöydällä on 10 sytytystulppaa, voisin laskea ne - 1, 2, 3 , jopa 10. Mutta sinä ja muut matemaatikot käytätte countable-lukua tarkoittamaan jotain hieman erilaista.
Moore (13:56): Se tarkoittaa vain sitä, että voit määrittää luonnollisen luvun jokaiselle joukon elementille, jotta luonnollista lukua ei käytetä kahdesti.
Strogatz (13:56): Joten jokin voi olla laskettavaa ja ääretöntä.
Moore (13:57): Ja ääretön. Luonnolliset luvut ovat siis ilmeisesti laskettavissa, koska ne laskevat itsensä. Mutta ehkä hieman vähemmän ilmeistä on, että kokonaisluvut, mukaan lukien luonnollisten lukujen negatiivit, ovat laskettavissa.
Strogatz (14:18): Puhutaanpa siitä sitten hetki. Joten jos joku ei ole ajatellut sitä ennen, se on mielenkiintoista. Koska kuten - niin sanoit, otat huomioon kaikki luvut, kaikki positiiviset kokonaisluvut, kaikki negatiiviset kokonaisluvut ja nolla.
Moore (14:29): Joo.
Strogatz (14:30): Ja voit tehdä sen väärin. Kuten jos aloittaisit nollasta ja alkaisit laskea oikealle ja siirryt 0, 1, 2, 3, et koskaan palaisi negatiivisiin lukuihin. Ja niin et olisi voinut laskea kaikkia kokonaislukuja.
Moore (14:41): Joo.
Strogatz: Mutta mitä sinun pitäisi tehdä sen sijaan?
Moore: Mitä voit tehdä, on se, että voit laskea, tiedäthän, 0, 1, -1 ja sitten 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Ja jos luet ne tällä tavalla, luet lopulta kaiken.
Strogatz (14:55): Kaunis. Joten tämä siksak-argumentti, jossa hyppäät edestakaisin positiivisten ja negatiivisten välillä, on mukava, organisoitu ja systemaattinen tapa osoittaa, että jos ajattelet mitä tahansa kokonaislukua, se tulee lopulta listalle.
Moore: Joo. Joo.
Strogatz(15:07): Hienoa. Joten OK, joten kokonaisluvut ovat laskettavissa. Cantor havaitsi myös, että jotkut muut asiat olivat laskettavissa – en tiedä oliko hän yllättynyt, mutta monet meistä ovat yllättyneitä, kun saamme ensimmäisen kerran tietää siitä. Kuten, kuten mitä?
Moore (15:21): Joo, mielestäni kaksi hyvää esimerkkiä, jotka ovat yllättäviä, ovat - ensinnäkin rationaalit. Joten kahden kokonaisluvun kaikkien murto-osien kokoelma on laskettavissa. Se on itse asiassa melko helppo nähdä, kun ajattelet sitä, koska voit vain luetella kaikki murtoluvut, joiden nimittäjä on 1 – tai osoittaja ja nimittäjä itseisarvo enintään 1. Ja sitten enintään 2, enintään 3, enintään 4 Ja jokaisessa vaiheessa on vain äärellisen monta murtolukua, joissa osoittaja ja nimittäjä ovat vähintään suuruusluokkaa enintään n. Ja sitten voit käyttää kaikki rationaalit sillä tavalla.
Strogatz (15:55): Jos valitsisin luvun n 3:ksi, sanot, että minulla voisi olla luku, kuten 1/2 tai 2/1 tai 0/3, koska osoittaja ja nimittäjä summautuvat 3:een?
Moore (16:06): Joo. Toinen, joka on jälleen kerran yllättävää, on se, että otat sanojen määrän, jonka voit kirjoittaa latinalaisiin aakkosiin tai mihin tahansa aakkoseen, jonka haluat. Tästä aakkosesta tulee korkeintaan lukemattoman paljon äärellisiä sanoja tai äärellisiä merkkijonoja. Jos ajattelet kaikkia sanoja tai kaikkia lauseita, kaikkia kirjallisuuden kappaleita, jos haluat -
Strogatz: Oho.
Moore (16:30): - kaikki, mikä ei ole olemassa vain nyt vaan voisi mahdollisesti olla olemassa joskus tulevaisuudessa. Tiedätkö, laitat ne äärettömän monet apinat kirjoituskoneen ääreen ja katsot, mitä tuloksia ne voivat tuottaa rajallisessa ajassa. Se kaikki on vain laskettava sarja.
Strogatz (16:44): Vau. Eli kaikki mahdolliset kirjat kaikissa, vaikkapa latinaksi, kaikilla mahdollisilla kielillä, joita tiedämme?
Moore (16:50): Kaikilla mahdollisilla kielillä. Joo. Tarkoitan, jos haluat, sinulla voi olla laskettava aakkoset, jos haluat. Se ei tee mitään suurempaa.
Strogatz (16:56): Niin laskettava tuntuisi erittäin suurelta äärettömältä. Ja silti -
Moore (16:59): Joo. Ensimmäinen yllättävä asia on, että ne joukot, jotka näyttävät olevan suurempia kuin luonnolliset luvut, ovat itse asiassa samankokoisia kuin luonnolliset luvut. Ne ovat laskettavissa. Mutta sitten on toinen yllätys, että todelliset luvut, desimaalilukujen joukko, ovat laskemattomia.
Strogatz (17:13): Tässä on siis tämä merkittävä seikka, että olet maininnut, että voi olla joukkoja, joita ei voi laskea. Ja luulisin, ehkä yksinkertaisin esimerkki olisi: Ajattele linjaa, joka kulkee äärettömään molempiin suuntiin. Joten kuin äärettömän pitkä, suora viiva. Todellinen linja, kuten me sitä kutsuisimme. Se on lukematon.
Moore (17:32): Aivan. Jos annat minulle luettelon, väitetyn luettelon kaikista tuon rivin elementeistä, käytössä on proseduuri, jota kutsutaan diagonaaliargumentiksi, jonka avulla voit tuottaa uuden pisteen, joka on viivalla, mutta ei luettelossasi. Se oli Cantorin kuuluisa löytö.
Strogatz (17:49): Se oli siis todella hämmästyttävä löytö, luulisin tuolloin, eikö niin? Että nyt voisi yhtäkkiä puhua kahdesta äärettömästä joukosta ja verrata niitä.
Moore (17:58): Joo, joo. Ja ero laskettavan ja laskemattoman välillä on todella hyödyllinen matematiikassa. Periaatteessa, laskettavissa olevissa joukoissa, voit silti puhua summista, jotka ovat laskettavissa olevan äärettömän pituisia. Se opetetaan tavallisen laskentakurssin lopussa - toisen lukukauden laskennan kurssin lopussa. Kun taas lukemattomien joukkojen summat ovat vähemmän merkityksellisiä, tai ainakin sinun on määritettävä ne herkemmällä tavalla. Se sanoi, jotain enemmän integraalin tai jotain sen kaltaista.
Strogatz (18:30): Ok, nyt kun meillä on tämä ero laskettavien, kuten kokonaislukujen — 1, 2, 3, 4, 5 — ja laskemattomien, kuten suoran pisteet. On toinen kysymys, joka mielestäni olisi hyvä, jos voisimme käyttää aikaa siihen. Kutsutaan jatkumohypoteesiksi. Voisitko kertoa meille, mikä se on?
Moore (18:50): Joo. Joten Cantor ihmetteli: Onko olemassa, onko jotain siltä väliltä? Voit – tiedäthän, luonnolliset luvut ovat todellisten lukujen sisällä, ja luonnolliset luvut ovat laskettavissa. Reaaliluvut ovat lukemattomia ja suurempia kuin luonnolliset luvut. Onko olemassa joukko reaalilukuja, joka on suurempi kuin luonnolliset luvut, mutta pienempi kuin -
Strogatz (19:10): Pienempi tässä laskennan merkityksessä.
Moore (19:12): — pienempi kuin viiva? Onko sillä viivalla, lukusuoralla pisteitä, joka on suurempi kuin luonnolliset luvut, suurempi kuin rationaalit, mutta pienempi kuin itse koko suora? Väitettä, jonka mukaan tällaista välijoukkoa ei ole, kutsutaan jatkumohypoteesiksi. Ja se oli Hilbertin ensimmäinen ongelma, onko jatkumohypoteesi oikea vai väärä väite.
Strogatz (19:35): Huh, niin Hilbert oli suuri matemaatikko tässä - ehkä hieman myöhemmässä sukupolvessa, mutta ei paljon myöhemmin. Ja sinä vuonna – mikä se oli, luulisin 1900 tai niin – hän ilmoitti tai antoi luettelon tulevaisuuden suurimmista ongelmista, 20-luvun matemaatikoilla työstettävänä. Ja tämä oli mielestäni hänen luettelonsa ykköskysymys?
Moore (19:58): Joo, tämä oli kysymys numero yksi.
Strogatz (20:00): Vau. Joten oli iso pohtia tätä. Sanotte, että Cantor kutsui sitä hypoteesiksi. Hän luuli, että se osoittautui todeksi.
Moore: Joo.
Strogatz (20:07): Että ei ollut ääretöntä kerrostettavaa näiden kahden välillä, joista hän jo tiesi
Moore (20:11): Joo. Ja asia on, että se selviää vastaesimerkkien etsimisestä. Tarkoitan, että jos alat katsoa kaikkia realiteettijoukkoja, rivin osajoukkoja, joista voit kirjoittaa kuvauksen tai jotka voit rakentaa jollain tavalla. Hän yritti tätä. Ja hän osoitti, että vastaesimerkkejä ei ole. Varhaisessa vaiheessa on jopa lauseita, joissa sanotaan, että tämän tai sen tyyppiset joukot eivät voi olla vastaesimerkkejä.
Strogatz (20:40): Se on hämmästyttävää. Anna minun varmistaa, että saan tämän. En ole koskaan kuullut tätä lausuntoa: Pelkästään se tosiasia, että jotkut niistä ovat kuvailtavia, tekee niistä tietyssä mielessä riittämättömiä.
Moore (20:49): Esimerkiksi suljetulla joukolla on kaikki rajapisteensä. Cantor osoitti, että tämä ei voi olla vastaesimerkki. Se on joko laskettava tai sen koko on sama kuin todelliset.
Strogatz (21:00): Jos siis on vastaesimerkki, sen on oltava sanoinkuvaamaton.
Moore (21:04): Joo, sen täytyy olla monimutkaista.
Strogatz (21:06): Vau. Mutta tietysti on mahdollista, että sellainen on olemassa, vain se, että se olisi jotain todella outoa.
Moore (21:12): Joo. Joten se vie meidät johonkin, joka palaa tähän peruskysymykseen. Tiedätkö, siihen aikaan he alkoivat yrittää formalisoida matematiikan aksioomia. Ja joskus myöhemmin, noin 1930-luvulla, [Kurt] Gödel osoitti, että itse asiassa mikä tahansa ymmärrettävä aksioomajärjestelmä, joka sinulla saattaa olla ja joka saavuttaa vaatimattoman tavoitteen formalisoida aritmetiikka luonnollisille lukuille, on välttämättä epätäydellinen. On väitteitä, joita et voi todistaa tästä aksioomajärjestelmästä, etkä voi kumota niitä aksioomeista käyttämällä tavallisia äärellisiä todisteita.
(21:52) Ja tämä oli mielestäni aika järkyttävää. Koska se kertoo, että tavoite yrittää jollakin tavalla algoritmisesti ratkaista kaikki matematiikan ongelmasi ja tuottaa jonkinlainen algoritminen perusta, jokin täydellinen matematiikan perusta on jossain mielessä tuomittu. Tai ainakin sen täytyy hallita jotain korkeampaa intuitiota kuin vain - en tiedä - mitä tuolloin oli saatavilla.
(22:16) Ja mitä Gödel todisti – yksi niistä asioista, jotka hän todisti myöhemmin, oli se, että yksi niistä väitteistä, joita et voi todistaa tai kumota, on väite, että aksioomajärjestelmäsi on johdonmukainen. Että se ei johda ristiriitaisuuksiin. Tuo väite voidaan koodata jonkinlaiseksi väitteeksi lukuteoriasta, luonnollisten lukujen aritmetiikasta, mutta ei erityisen luonnollisella tavalla. Jos menet juttelemaan jonkun laitoksen lukuteoreetikon kanssa, he eivät näkisi sitä ongelmana tai lukuteorian väittämänä, vaikka teknisesti se onkin. Ja niin se oli – kysymys, joka jäi Gödelin ajoilta, oliko jatkumohypoteesi – vai onko olemassa jokin muu luonnollinen matemaattinen väite, jota ei voida ratkaista sen aksioomajärjestelmän perusteella, jonka sisällä työskentelimme.
Strogatz (23:02): Joten on olemassa tämä aksioomien käsite. Meidän pitäisi ehkä yrittää muistaa, miltä ne näyttävät. Koska jos teemme erittäin huolellista matematiikkaa, meidän on laadittava joitain määritelmiä, mutta myös joitain asioita, joita otamme - en tiedä miksi en halua sanoa "me pidämme itsestäänselvyytenä", vaan että hyväksymme. kallioperään.
Moore (23:19): Joo, joo. Tämä on siis jotain, mitä kreikkalaiset tekivät, eli yksi geometrian formalisoinnin saavutuksista oli mieluummin kuin yrittää määritellä, mitä geometria on, vaan katsoa sitä näin: Olet kirjoitat muistiin muutamia määrittelemättömiä termejä ja sitten säännöt tai aksioomit, jotka ohjaavat näiden määrittelemättömien termien käyttäytymistä. Heille se oli kuin piste ja viiva. Ja kun piste on suoralla, ne ovat määrittelemättömiä käsitteitä. Ja kun piste on kahden muun suoran pisteen välissä, ne ovat määrittelemättömiä käsitteitä. Ja sitten kirjoitat muistiin joukon aksioomia, jotka ohjaavat näiden käsitteiden toimintaa. Ja jos olet tehnyt sen oikein, niin kaikki ovat yhtä mieltä siitä, että nämä ominaisuudet ovat ilmeisesti totta näissä asioissa. Ja siksi nämä aksioomit ovat asioita, jotka ovat tavallaan itsestäänselvästi totta.
(23:19) Joten geometrialle, tiedäthän, on tämä kuuluisa rinnakkaispostulaatti, jota – et voinut johtaa sitä muista. Ja se oli jokseenkin vallankumouksellista, kun havaittiin, että voit itse asiassa rakentaa geometriamalleja, jotka täyttävät kaikki aksioomit, mutta eivät rinnakkaispostulaattia. Ja siksi rinnakkaispostulaatti ei ole todistettavissa muista aksioomeista. Joten jossain mielessä Gödel oli kehittänyt menetelmän sen tekemiseen, mutta matematiikan mallien tasolla tai ainakin tämän matematiikan aksioomajärjestelmän mallien tasolla.
Strogatz (24:45): Ahaa, se on mielenkiintoinen tapa sanoa se. Joten, kuten missä meillä on euklidinen geometria ja sitten meillä on myös nämä uudet ei-euklidiset geometriat, joita Einstein tunnetusti käytti yleisessä suhteellisuusteoriassa, mutta ne tottuu myös muissa paikoissa. Ja ne ovat loogisesti yhtä hyviä kuin euklidinen geometria. Mutta nyt sen sijaan, että puhuisit vain geometriasta, sanot, että meillä voisi olla perinteinen - no, en ole varma, mitä sanat ovat. Mikä on euklidisen geometrian analogi? Onko olemassa perinteistä matematiikkaa?
Moore (25:16): Se on avoin kysymys. Tarkoitan sitä, tarkoitan - mielestäni se on osittain filosofinen kysymys. Ehkä se on sosiologinen kysymys, koska kyse on siitä, mitä matematiikka on, eikö niin? Palataan tähän peruskysymykseen. Ja luulen, että aksioomit, jotka meillä on ZFC-aksioomit, jotka kehitettiin hieman yli 100 vuotta sitten, ovat sellaisia, joista olemme yleisesti samaa mieltä, että nämä ovat totta, tai nämä ovat ominaisuuksia, jotka "joukolla" pitäisi olla, mutta ne eivät ole täydellisiä.
Strogatz (25:44): No, odota, puretaan se kaikki. Se kuulostaa hyvältä. Joten ZFC, miksi emme aloittaisi siitä? Ne ovat joidenkin ihmisten ja asian nimiä.
Moore (25:51): Joo, joo. "Zermelo-Fraenkel joukkoteoria"jollakin nimeltä "valinnan aksiooma". Joo.
Strogatz (25:55): OK. Ja nämä ovat pelisäännöt, jotka ovat laajalti hyväksyttyjä.
Moore (25:59): Joo, se on luettelo aksioomista, jotka ovat - se on melko pitkä, mutta ei niin pitkä. Esimerkiksi, jos sinulla on kaksi joukkoa, on joukko, jossa ne molemmat ovat elementtejään. Pariliitoksen aksiooma, että voit ottaa joukon joukon liiton, ja se on joukko. Ja niin edelleen.
Strogatz (26:15): Okei. Joten on olemassa ZFC-tapa tehdä joukkoteoriaa, ja se on, sanot, ehdotettu tiettyyn aikaan ja ihmiset pitävät siitä, mutta sitten sanoit, että se ei ole täydellinen?
Moore (26:26): Joo. Joten se on jotain, mitä voit kirjoittaa. Tietokonealgoritmi aksioomien luetteloimiseksi. Se on ääretön joukko aksioomia. Mutta kahta aksioomiryhmää lukuun ottamatta se on rajallinen. Jos et kiinnitä huomiota, luulisit itse asiassa, että nämä, jokainen näistä muista aksioomiryhmistä on yksittäisiä aksioomeja. Mutta ne ovat itse asiassa ääretön aksioomien perhe. Voit luoda tietokoneohjelman, joka sylkee kaikki aksioomit. Meillä on tapana uskoa, että ZFC on johdonmukainen, koska emme ole havainneet ristiriitoja. Jos uskot siihen, niin Gödelin epätäydellisyyslauseen mukaan ZFC ei pysty todistamaan, että se on johdonmukainen.
(27:03) Ja niinpä on väitteitä, kuten ZFC:n johdonmukaisuus, joita ZFC ei voi todistaa. Se on mielenkiintoinen pointti. Koska uskomme jälleen, että ZFC on johdonmukainen. Ja se on yksi syistä, miksi... Useimmat matemaatikot, jotka tulevat työskentelemään, perustuu uskoon, että CFC on johdonmukainen. Eikö? Mutta se on jotain, jota pidämme totta lausumana. Mutta ZFC ei itse riitä todistamaan sitä.
Strogatz (27:27): Minä vain ajattelen. Matkan varrella tänne olemme maininneet Gödelin. En tiedä, olemmeko kertoneet, kuka hän on. Haluatko kertoa meille lyhyesti?
Moore (27:34) Niin, hän oli. Tarkoitan, hän oli tavallaan vallankumouksellinen logiikka. Tämä epätäydellisyyslause oli yksi hänen suurimmista saavutuksistaan. Ja hänen toinen suuri saavutuksensa oli osoittaa, että jatkumohypoteesia ei voida kumota ZFC-aksioomien avulla.
Strogatz (27:49): Jotkut pitävät häntä suurimpana loogikona Aristoteleen jälkeen. Ja Einstein, joka oli hänen ystävänsä ja kollegansa Institute for Advanced Studyssa, sanoi rakastavansa etuoikeutta kävellä töihin. Kurt Godel. Tarkoitan, että hän oli samassa älyllisessä liigassa Einsteinin kanssa. Jos et ole kuullut hänestä, suosittelen, että katsot kirjaa hänestä nimeltä Matka järjen reunalle. Upea kirja Gödelin elämästä. Mutta ok, niin hän on, niin hän on 20-luvun puolivälin, 20-luvun alun loogikko. Ja sinä sanot, että hän todisti sen – no, sanotko sen uudelleen jatkumohypoteesista?
Moore (28:23): Missä tahansa joukkoteorian mallissa hän rakensi pienemmän joukkoteorian mallin, joka tyydyttää jatkumohypoteesin. Ja niin se osoittaa, että et voi kumota jatkumohypoteesia joukkoteorian aksioomien sisällä. Yhdestä joukkoteorian mallista, jos sinulla on sellainen, voin tuottaa uuden, joka täyttää jatkumohypoteesin.
Strogatz (28:43): Ymmärrän. Joten joukkoteoriasta voisi olla versioita, sellaisia pienempiä versioita, jotka ovat edelleen riittäviä aritmetiikkaan, ymmärrän sen.
Moore: Joo.
Strogatz (28:51): Mutta missä, ok, jatkumohypoteesi pitää paikkansa, aivan kuten Cantor arvasi.
Moore: Joo.
Strogatz (28:56): Ja sitten. Mutta sitten - tässä tarinassa on suuri "mutta".
Moore (28:59): Joo. Niin monta, monta vuotta myöhemmin, [Paul] Cohen kehitti tekniikan nimeltä pakottaminen, jonka avulla hän pystyi laajentamaan joukkoteorian malleja. Ja käyttämällä tätä hän osoitti, että jatkumohypoteesia ei voi todistaa. Paitsi hänen tekniikkaansa voidaan käyttää myös todistamaan, että et voi kumota sitä. Tämä, joo, tämä tekniikka nimeltään pakottaminen on todella, se on erittäin voimakas. Pakota ja tekniikka pienemmän mallin rakentamiseen joukkoteoriamallissasi. Nämä ovat kaksi työkalua, joita meillä on uusien joukkoteorian mallien rakentamiseen vanhoista joukkoteorian malleista.
Moore (29:32): Palatakseni geometrian analogiaan. Tarkoitan, jopa nämä hyperbolisen tason mallit, jotka olivat geometrian ei-euklidisia malleja - ne itse aloittavat ottamalla euklidisen tason tai sen osajoukon ja rakentamalla geometrian mallin, kuten siellä olevat pisteet ja viivat. Pisteet ovat vain tavallisia pisteitä tällä levyllä. Ja viivat ovat ympyröitä, tietyt ympyrät alkuperäisessä geometriassa. Yritän sanoa, että tämä on eräänlainen hedelmällinen asia, jota teet matematiikassa. Usein aloitat jostakin rakenteesta, joka tyydyttää aksioomajärjestelmääsi, kuten geometrialla, joka tyydyttää geometrian aksioomiasi, ja käsittelet sitä jotenkin ja tuot uuden asian, joka ehkä tyydyttää eri aksioomijoukon. Juuri näin Cohen ja Gödel tekivät, että he ottivat mallin joukkoteorian aksioomista – ja siten tietyssä mielessä matematiikan mallista – ja manipuloivat sitä käyttämällä erilaisia tekniikoita uusien mallien tuottamiseksi, mikä tyydytti joko sen, että jatkumohypoteesi on totta tai että jatkumohypoteesi on väärä.
Strogatz (30:36): Joten tämä on minusta todella hämmästyttävää, ja olen varma, että monet ihmiset... Kuten Platonilla on tämä filosofia, että siellä on tiettyjä ihanteellisia muotoja ja totuuksia, jotka - ehkä voimme. en näe niitä täällä maan päällä, mutta jossain platonisessa maailmassa heidän totuus on olemassa.
Moore: Joo joo.
Strogatz (30:57): Ja sinusta tuntuisi, että todelliset luvut ovat olemassa, ajattelevatko ihmiset niitä tai eivät, ja että jatkumohypoteesi joko pitää paikkansa todellisten lukujen suhteen tai sitten ei. Mutta sinä kerrot minulle?
Moore (31:09): No, tarkoitan, kyllä, tästä on erilaisia ajattelukuntia. Tarkoitan, et voinut – voit nähdä sen niin, että siellä on tämä asia, joka mielestäni menee nimen alle, tuo yleinen multiverse näkemys, ettei sinulla ole mitään muuta sanottavaa. On vain kaikki nämä joukkoteorian mallit. Ja parasta, mitä voimme tehdä, on yrittää ymmärtää, mikä niissä on totta, ja liikkua niiden välillä. Ja se on hyvin ei-platoninen näkemys asioista, eräänlainen formalistinen näkemys asioista. Voit myös ajatella, että joukkoteorian malli on ehkä parempi. Se on todellisuus, jossa elämme, ja kaikki nämä muut mallit, ne ovat aksioomien malleja, mutta ne eivät oikeastaan ole sitä, mitä yritämme kuvata aksioomeilla. Mielestäni analogia geometrian kanssa on jossain määrin havainnollistava, eikö? Tarkoitan, että voit tuottaa monia erilaisia geometriamalleja. Mutta elämme edelleen fyysisessä maailmassa, jolla on geometria ja ehkä se on se geometria, josta me eniten välitämme.
Strogatz (32:03): Ymmärrän. Joten samalla tavalla kuin voisimme antaa euklidiselle geometrialle jonkin paremman tilan, koska se on se, johon olemme tottuneet. Se on ollut olemassa pitkään, koska se on tavallaan helpoin ja ilmeisin, mutta uskomme silti, että nämä muut ovat hyviä, ja niillä on omat verkkotunnuksensa, joissa ne ovat hyödyllisiä ja mielenkiintoisia.
Moore (32:20): Mutta ehkä sekin asia, joka kannattaa tuoda esiin, on se, että jopa käsityksemme — No, ensinnäkin, en ole varma, elämmekö euklidisessa geometriassa. Mutta siinä on kysymys. Mutta jopa ymmärrystämme fyysisestä maailmasta rikastaa suuresti kaikkien näiden muiden geometrioiden ymmärtäminen, tämä muiden geometriamallien vapaa tutkiminen. Ja sama pätee joukkoteoriaan. Luulen, että vaikka tulevaisuudessa päätyisimmekin yhteisymmärrykseen siitä, mikä on joukkoteorian uusi aksiooma, tuohon määränpäähän saapuminen on jotain, mikä ei varmasti olisi ollut mahdollista ilman kaikkea tätä etukäteen tapahtuvaa tutkimusta.
Strogatz (33:00): Mitä jatkumohypoteesin todistaminen tai kumoaminen tarkoittaisi? Jokaiselle näistä leireistä? Mikä on vaakalaudalla?
Moore (33:08): Joo, se on - OK, joten luulen, että leiri, joka ottaa tämänkaltaisen "kaikkien maailmojen" näkökulman, sanoisi vain, että tämä on merkityksetön kysymys. Se, että Cohen ja Gödel ja heidän tekniikansa joukkoteorian mallien rakentamiseen on tavallaan keskustelun loppu. Ja tiedäthän, ehkä aiomme tuottaa paljon uusia joukkoteorian malleja, mutta meillä ei koskaan tule olemaan lopullista vastausta väittämiseen, että jatkumohypoteesi on totta tai epätosi. Ihmiset, jotka ajattelevat, että tuossa väitteessä on jonkinlainen totuus tai valhe, yrittäisivät oletettavasti keksiä jonkin uuden aksiooman ja oletettavasti jonkin heuristisen perustelun sille, miksi tämän aksiooman pitäisi olla totta – joko heuristisen tai ehkä pragmaattisen perustelun. miksi se on totta. Ja sitten kun väität, että tämä aksiooma pitäisi hyväksyä, että se jotenkin kapseloi jonkin intuition, joka meillä on matematiikasta tai joukoista, niin jos tämä aksiooma myös todistaa tai kumoaa jatkumohypoteesin sanan tavallaan muodollisessa merkityksessä, katsoisit että CH on totta vai tarua.
Strogatz (34:12): Joten siinä me olemme nyt. Että näitä kahta leiriä todellakin on tällä hetkellä.
Moore (34:16): Joo, jossain määrin. Siitä on niin kauan, kun jatkumohypoteesi osoitettiin ratkaisemattomaksi aksioomien perusteella, että luulen, että useimmat matemaatikot ovat tavallaan tottuneet siihen, että ehkä se on eniten mitä voit sanoa. Ja mielestäni olisi hämmästyttävää tässä vaiheessa, jos matemaatikot kokonaisuutena voisivat kokoontua jonkin uuden heuristiikan ympärille, jonka kaikki voisivat olla yhtä mieltä sen olevan totta. Ja ehkä sitä ei koskaan tapahdu. Ehkä, ehkä yhteisöllä on liian monia erilaisia näkemyksiä. Ollakseni rehellinen, luulen sen - mielestäni se on jokseenkin yksimielinen näkemys, mutta ei yleinen näkemys, että ZFC on matematiikan todellisten aksioomien joukko. On varmasti ihmisiä, jotka ovat sitä mieltä, että mitään ääretöntä ei vain ole olemassa. Ja siitä ei ole mitään järkeä puhua, eikä meidän pitäisi puhua siitä.
Strogatz (35:05): No, se on vanha perinne. Tarkoitan, se on - Aristoteles käski meitä varoa äärettömyyttä. Ja kautta historian matematiikan, ihmiset jopa niin suuri kuin [Carl Friedrich] Gauss olivat hyvin varovaisia tämän täydellisen äärettömyyden käsitteen suhteen, minkä vuoksi Cantor avasi meille tämän matopurkin. Mutta en tiedä onko se matoja. Näyttää siltä, että - tiedätkö, mitä haittaa? Pääsemme mielikuvituksemme valloilleen ja löydämme paljon mielenkiintoisia asioita.
(35:30) Mutta minulla on kysymys. Ihmisenä, joka ei ole joukkoteoreetikko, en halua kysyä sitä epäkohteliaasti. Mutta se saattaa kuulostaa hieman epäkohteliaalta, mikä – tiedätkö minne olen menossa, eikö niin? Kuten, miten tämä vaikuttaa minuun? Tunteeko muu matematiikka joukkoteorian sisällä tapahtuvia värähtelyjä? Vai olemmeko jotenkin eristyksissä siitä, mitä te teette?
Moore (35:49): Se on hyvä kysymys. Luulen, että useimmat matemaatikot eivät koskaan kohtaa väitettä, joka ei ole todistettavissa tai kumottavissa ZFC:n matematiikan tavanomaisessa aksioomajärjestelmässä. Ja joukkoteoreetikot ovat jossain määrin löytäneet selityksen tälle. On olemassa joukkoteorian malli, joka on suurempi kuin Gödelin alkuperäinen malli, mutta pienempi kuin kaikkien joukkojen universumi, jota kutsutaan kiinteäksi perusmalliksi. [Robert] Solovay löydettiin noin Cohenin työn aikaan. Merkittävä havainto on, että tähän malliin - siihen, mikä siinä on totta, ei voi vaikuttaa pakottamalla. Ja siksi, pohjimmiltaan, jos voit ilmaista jotain siitä, mikä on totta tuossa mallissa tai väärin siinä, se on jotain, mikä on suurelta osin immuuni riippumattomuusilmiölle.
(36:35) Saakka on siinä, että tämä joukkoteorian malli ei ole – ei täytä valinnan aksioomaa. Joten valinnan aksiooma on - tämä on toinen madotölkki täällä. Mutta yksi syy siihen, miksi valinnan aksiooma eroaa muista aksioomeista, on se, että se ei ole rakentava. Kaikki muut aksioomit kertovat, että jokin joukko, josta sinulla on kuvaus, on itse asiassa joukko. Juuri näin aksioomit toimivat. Mutta valinnan aksiooma kertoo, että kun otetaan huomioon joukko sarjoja, jotka eivät ole tyhjiä, voit valita jokaisesta niistä jotakin – siis valinta – mutta se ei kerro, kuinka aiot tehdä valinnan. Tämä oli aksiooma, joka toisaalta antoi meille mahdollisuuden rakentaa kaikenlaisia outoja, paradoksaalisia asioita. Tiedät varmaan, noin 100 vuotta sitten, kuten ei-mitattavissa olevissa sarjoissa, mitä tahansa. Siellä on tämä kuuluisa pallon hajoaminen, se Banach-Tarskin paradoksi, tuo-
Strogatz (37:29): Tämä on mielenkiintoista.
Moore (37:32): — voit leikata pallon äärettömän moneksi osaksi ja sitten koota ne kahdeksi palloksi, jotka ovat samat mitat kuin alkuperäinen pallo. Ja nyt syy siihen, miksi se on järjetöntä, on se, että sinun pitäisi pystyä määrittämään massa jokaiselle - tiedäthän, alkuperäiselle sfäärille - ja sitten määrittää massa kaikille näille paloille, joita voit leikata, ja niille. pitäisi lisätä alkuperäiseen massaan. Ja sitten kun järjestät ne uudelleen, prosessin ei pitäisi muuttaa massaa. Mutta jotenkin, kun kokoat ne uudelleen, sinulla on kaksinkertainen massa kuin aloitit. Nyt, pointti tuossa väitteessä – missä asiat menevät pieleen, on tämä sfäärin leikkaaminen, jonka valinnan aksiooma sallii sinun tehdä, on niin huono, että et voi määrittää massoja näille kappaleille, joita sinulla on.
(38:11) Nyt tuo paradoksaalinen käyttäytyminen sai ihmiset ajattelemaan, että valinnan aksiooma on jotenkin ehkä ongelmallinen. Ehkä se johtaa jonkinlaiseen paradoksiin itse matematiikan sisällä. Ja siksi valinnan aksioomia ei pitäisi hyväksyä. Yksi asia, jonka Gödel osoitti samaan aikaan, kun hän todisti, että jatkumohypoteesia ei voi kumota, on se, että on myös turvallista olettaa valinnan aksiooma. Toisin sanoen, jos ZFC:n aksioomit ilman valinnan aksioomia ovat johdonmukaisia, niin myös ZFC:n aksioomien joukko on valinnan aksiooman kanssa. Se antaa sinulle ehkä paljon outoja, eksoottisia asioita, mutta perustavanlaatuisesta näkökulmasta se ei saastuta vettä.
(38:51) Joskus myöhemmin löydettiin tämä Zornin lemma, joka osoittautui vastaavaksi valinnan aksioomaa. Ja se on todella hedelmällistä matematiikan monien eri alojen kehittämisessä. Se on jotain – opit siitä, jos olet edistynyt perustutkinto tai jos olet matematiikan jatko-opiskelija. Se on jotenkin osa matematiikan tutkinnon suorittamiseen vaadittavaa oppimista. Ja tämän äärimmäisen hyödyllisyyden vuoksi hyväksymme sen nykyään. Luulen, että useimmat matemaatikot eivät ole mukavaa työskennellä ilman valinnan aksioomaa, vain siksi, että monissa tapauksissa he saattavat käyttää sitä tietämättään.
(39:31) Joten mielestäni tämä on myös esimerkki siitä, kuinka voimme ratkaista jatkumohypoteesin. Se on, että löydämme tulevaisuudessa jonkin aksiooman, joka on niin hyödyllinen matematiikan edelleen kehittämisessä, että pidämme tätä aksioomaa vain jossain määrin totta. Näin kävi Zornin lemman kanssa. Ja valinnan aksiooman mukaan sitä ei alun perin pidetty todeksi. Itse asiassa siihen suhtauduttiin aluksi hieman skeptisesti.
Strogatz (39:56): Mutta katsotaanpa voinko, koska se tekee… Olemme puhuneet nyt paljon valinnan aksioomasta: sen suhteesta jatkumohypoteesiin. Onko olemassa järjetöntä tapaa sanoa, mitä se on?
Moore (40:06): Valinnan aksioomalla ja jatkumohypoteesilla on jotenkin utelias suhde, koska ne… OK, jatkumohypoteesi, joukkoteoreetikon näkökulmasta, sen avulla voit rakentaa paljon eksoottisia asioita. . Sen avulla voit tehdä äärettömän pitkän, jopa lukemattoman pitkän rakentamisen, jossa teet kaiken hyvin kontrolloidusti, algoritmisesti. Ja rakentaa jotain outoa esinettä, jossa olet säilyttänyt paljon hallintaa matkan varrella. Valinnan aksiooman puuttuessa jatkumohypoteesi, kuten totesin sen alun perin, että ei ole olemassa sääntöjoukkoa, joka olisi välimuoto, se on jotain, jolla ei ole samaa purenta kuin jos valinnan aksiooma olisi totta. Ja syynä siihen on se, että esimerkiksi valinnan aksiooman puuttuessa voidaan puhua jatkumohypoteesin vielä vahvemmista versioista. Kuten jokainen tämän numerorivin osajoukko, reaalilukurivi, on joko laskettavissa tai sen sisällä on kopio Cantor-joukosta. Kuten, siellä on eräänlainen pistepuu, binääri pistepuu, joka sijaitsee joukkosi sisällä. Ja tämä on hyvin konkreettinen tapa sanoa, että sen koko on sama kuin todelliset luvut.
Strogatz (41:14): Pitäisikö meidän muiden joukkoteorian ulkopuolisten matematiikassa menettää unta jatkumohypoteesin hetken - mikä näyttää olevan - eräänlaisen määrittelemättömän tilan vuoksi? Meille kerrotaan, että sitä ei voida ratkaista joukkoteorian vakiomallissa. Tiedätkö, onko sillä väliä? Vaikuttaako se muuhun matematiikkaan?
Moore (41:35): Vastaus on enimmäkseen ei. Mutta se ei ole täysin tiedossa. Jatkuvuushypoteesi. Se on totta Solovay malli, esimerkiksi: Jokainen reaalijoukko on joko laskettavissa tai sen sisällä on suljettu joukko reaalilukuja, jotka ovat laskemattomia ja joilla ei ole yksittäisiä pisteitä. Mutta on väitteitä, jotka näkyvät matematiikassa, kysymyksiä, jotka tulevat esiin luonnollisesti, tavallaan orgaanisesti muilla aloilla, joissa käy ilmi, että ne ovat riippuvaisia joko jatkumohypoteesista tai jostain muusta, joka on riippumaton ZFC:n aksioomista. Yksi esimerkki tästä on mediaalirajaksi kutsuttu väline, joka on hyödyllinen todennäköisyyksien ja joidenkin todennäköisyyksien osien suhteen, jotta voidaan ottaa asioille rajat ja silti pitää kiinni siitä, että asiat ovat mitattavissa. Mediaaliset rajat ovat jotain, jonka voit rakentaa jatkumohypoteesin avulla, mutta niitä ei voi rakentaa ZFC:ssä.
Strogatz (42:27): Tämä tekee minut onnelliseksi, minun on sanottava. Tarkoitan, haluan uskoa, että matematiikka on yksi iso verkko. Ja se, kuten vanha sanonta "Ei kukaan ole saari", keneltä tahansa, en tiedä. Mutta joka tapauksessa, en halua minkään matematiikan osan olevan saari. Joten en haluaisi ajatella, että joukkoteoria on jotenkin jotain - tarkoitan, ettei kukaan sanoisi, että se on, mutta edes sitä osaa, joka sisältää jatkumohypoteesin, en halua, että se erotetaan suuresta mantereesta. Ja kuulostaa siltä, ettei sitä ole.
Moore (42:52): Aivan. Jos otat Hilbert-avaruuden ja katsot rajattuja operaattoreita ja kompakteja operaattoreita, nämä ovat hyvin tutkittuja matematiikassa tutkittuja objektien algebroita. Voit ottaa niistä osamäärän. Sen automorfismiryhmän tutkiminen on asia, jota matemaatikko saattaa kysyä. Ja todellakin, Brown, Douglas ja Fillmore siitä kysyttiin 1970-luvulla. Ja tiedetään, että jatkuvuushypoteesin totta vai epätosi liittyy siihen, onko kyseisellä algebralla hyvin monimutkaisia automorfismeja vai ei. Se on jotain, joka on vakioobjekti funktionaalisen analyysin kurssilla, jota opettaisit jatko-opiskelijatasolla. Ja nämä ovat eräänlaisia hyvin, hyvin perusominaisuuksia tälle esineelle.
(43:34) Mutta pointti on, että tämä on jotain, joka on päällisin puolin — tämä ei ole ongelma joukkoteoriassa. Eri joukkoteoreetikoilla on erilaisia näkemyksiä siitä, miksi aihe on tärkeä. Mutta minulle juuri siksi aihe on – mikä se on tärkeä. Se on, että sillä on ainutlaatuinen rooli, koska se voi kertoa sinulle, kun kysyt kysymyksen, joka ei ehkä ole päätettävissä aksioomien perusteella. Koska et halua tutkia tätä ongelmaa, jota et voi ratkaista ilman menestystä vuosia, vuosia ja vuosia. Ja jos joku voi kertoa sinulle, että "No, et koskaan tule keksimään ratkaisua tähän ongelmaan, koska et voi todistaa tai kumota sitä", eikö niin? Se on hyvä tietää.
Strogatz (44:13): Selvä. No, minulle tämä on erittäin kohottava viesti, jonka annat, Justin, että – John Donne! Sitä nimeä etsin, John Donne. Ja sanotaanpa tämä nykyaikaisella tavalla: Kukaan ihminen ei ole saari. Ja sama ilman matematiikkaa. Kvanttiteorian taustalla olevassa funktionaalisessa analyysissä on - jopa kaikkein esoteerisimmat näyttävät asiat joukkoteorian ulkopuolella. Joten, tämä on minulle uutinen, ja haluan vain kiittää teitä valistamisesta. Tämä oli hauskaa. Kiitos.
Moore (44:46): Kiitos, että sain minut.
Kuuluttaja (44:46): Tutki lisää matemaattisia mysteereitä Quanta kirja Päälukun salaliitto, julkaissut The MIT Press, saatavilla nyt osoitteessa Amazon.com, Barnesandnoble.comtai paikalliseen kirjakauppaan. Muista myös kertoa ystävillesi tästä podcastista ja antaa meille myönteinen arvostelu tai seurata, missä kuuntelet. Se auttaa ihmisiä löytämään The Joy of Why.
Strogatz (45: 12): The Joy of Why on podcast osoitteesta Quanta-lehti, toimituksellisesti riippumaton julkaisu, jota Simons Foundation tukee. Simons Foundationin rahoituspäätöksillä ei ole vaikutusta aiheiden valintaan, vieraisiin tai muihin toimituksellisiin päätöksiin tässä podcastissa tai Quanta-lehti. The Joy of Why on tuottanut Susan Valot ja Polly Stryker. Toimittajamme ovat John Rennie ja Thomas Lin, joita tukevat Matt Carlstrom, Annie Melcher ja Zach Savitsky. Teemamusiikkimme sävelsi Richie Johnson, Julian Lin keksi podcastin nimen. Jakson kuvataide on Peter Greenwood ja logomme on Jaki King. Erityinen kiitos Burt Odom-Reedille Cornell Broadcast Studiosilla. Olen isäntäsi Steve Strogatz. Jos sinulla on meille kysymyksiä tai kommentteja, lähetä meille sähköpostia osoitteeseen Kiitos kuuntelemisesta.
- SEO-pohjainen sisällön ja PR-jakelu. Vahvista jo tänään.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Tietoa laajennettu. Pääsy tästä.
- Tulevaisuuden lyöminen Adryenn Ashley. Pääsy tästä.
- Lähde: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :on
- :On
- ][s
- $ YLÖS
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- pystyy
- Meistä
- siitä
- absoluuttinen
- AC
- Hyväksyä
- saavutus
- saavutukset
- todella
- kehittynyt
- vaikuttaa
- Jälkeen
- algoritmi
- algoritmi
- algoritmien
- Kaikki
- mahdollistaa
- pitkin
- Aakkoset
- jo
- Vaikka
- hämmästyttävä
- määrä
- analyysi
- Muinainen
- ja
- ilmoitti
- Toinen
- vastaus
- Kaikki
- sovelluksen
- omena
- sovellukset
- OVAT
- kiistellä
- perustelu
- noin
- saapuvat
- Art
- AS
- Työtoveri
- At
- huomio
- saatavissa
- keskimäärin
- takaisin
- Huono
- pohja
- perustua
- perustiedot
- Pohjimmiltaan
- BE
- kaunis
- koska
- tulevat
- tulee
- ollut
- ennen
- Alku
- ovat
- Uskoa
- Berkeley
- Bertrand
- PARAS
- Paremmin
- välillä
- Jälkeen
- Iso
- suurempi
- Suurimmat
- Bitti
- Blocks
- kirja
- Kirjat
- oksat
- lyhyesti
- Tuo
- lähettää
- rakentaa
- Rakentaminen
- poltettu
- by
- laskelmat
- soittaa
- nimeltään
- Puhelut
- Cambridge
- Leiri
- CAN
- ei voi
- joka
- varovainen
- Carl
- tapauksissa
- rento
- paini
- Century
- tietty
- varmasti
- muuttaa
- merkki
- Kaarle
- valinta
- piireissä
- luokka
- selkeä
- suljettu
- kollega
- kokoelma
- kokoelmat
- Tulla
- mukava
- tuleva
- kommentit
- Yhteinen
- yhteisö
- verrata
- täydellinen
- Valmistunut
- monimutkainen
- kokoonpanossa
- tietokone
- käsite
- käsitteet
- Yhteisymmärrys
- Harkita
- johdonmukainen
- rakentaa
- rakentaminen
- rakentava
- sisältää
- maanosa
- jatkuva
- jatkumo
- ohjaus
- hallinnassa
- kiistanalainen
- Keskustelu
- voisi
- Laskuri
- Kurssi
- luotu
- utelias
- Leikkaus
- leikkaus
- päivää
- päättää
- päätökset
- syvä
- syvempää
- Aste
- osasto
- riippuvainen
- kuvata
- kuvaus
- määränpää
- kehittää
- kehitetty
- kehittämällä
- laite
- kaaviot
- DID
- eri
- numeroa
- mitat
- ilmitulo
- löytää
- löysi
- löytämässä
- löytö
- pohtia
- keskustella
- keskustelu
- selvä
- erottaa
- ei
- tekee
- verkkotunnuksia
- Dont
- Tuhoon tuomittu
- ovet
- kaksinkertainen
- alas
- ajaa
- kukin
- Varhainen
- maa
- Helpoin
- reuna
- Pääkirjoitus
- myöskään
- elementti
- elementtejä
- Loputon
- tarpeeksi
- rikastettu
- täysin
- Vastaava
- olennaisesti
- Jopa
- lopulta
- Joka
- jokainen
- kaikki
- kehittynyt
- täsmälleen
- esimerkki
- Esimerkit
- Paitsi
- poikkeus
- innoissaan
- näyttely
- olemassa
- Eksoottinen
- selitys
- tutkimus
- tutkia
- ilmaista
- lisää
- äärimmäinen
- kangas
- Kasvot
- Epäonnistui
- oikeudenmukainen
- melko
- usko
- perhe
- kuuluisa
- erinomaisesti
- FAST
- Suosikki
- pelot
- Ominaisuus
- kaveri
- harvat
- Fields
- lopullinen
- Löytää
- Etunimi
- ensimmäistä kertaa
- Kalat
- seurata
- varten
- ikuisesti
- muodollinen
- muodollisesti
- lomakkeet
- perusta
- Perustukset
- jae
- Ilmainen
- ystävä
- ystäviä
- alkaen
- koko
- hauska
- toiminto
- toiminnallinen
- tehtävät
- rahoitus
- edelleen
- tulevaisuutta
- peli
- general
- yleensä
- tuottaa
- sukupolvi
- antelias
- Saksa
- saada
- saada
- Antaa
- tietty
- antaa
- Antaminen
- Go
- tavoite
- Goes
- menee
- hyvä
- luokka
- valmistua
- myönnetty
- suuri
- suurin
- suuresti
- Kreikka
- Greenwood
- Ryhmä
- arvattu
- vieraat
- käsi
- tapahtua
- tapahtui
- Happening
- onnellinen
- Olla
- ottaa
- he
- päät
- kuuli
- kuulo
- sydän
- auttanut
- hyödyllinen
- auttaa
- tätä
- korkeampi
- jälkiviisaus
- historia
- toivoo
- isäntä
- Miten
- HTTPS
- ihmisen
- Nälkäinen
- i
- ajatus
- ihanteellinen
- Illuusio
- mielikuvituksen
- merkitys
- tärkeä
- in
- Muilla
- sisältää
- Mukaan lukien
- itsenäisyys
- itsenäinen
- Ääretön
- äärettömyys
- vaikutus
- vaikuttaneet
- ensin
- panos
- esimerkki
- sen sijaan
- Instituutti
- kiinteä
- eheys
- henkinen
- kiinnostunut
- mielenkiintoinen
- etu
- esitellä
- ironisesti
- saari
- yksittäinen
- kysymykset
- IT
- SEN
- itse
- Johannes
- Johnson
- tuloaan
- Justin
- Pitää
- pito
- Lapsi
- Lasten
- laji
- kuningas
- Tietää
- tietäen
- tunnettu
- Kieli
- kielet
- suuri
- suureksi osaksi
- suurempi
- suurin
- Sukunimi
- Myöhään
- latinalainen
- johtaa
- Liiga
- OPPIA
- oppinut
- oppiminen
- Led
- motto
- Pituus
- kerroit
- Taso
- elämä
- pitää
- RAJOITA
- rajat
- linja
- linjat
- liittyvät
- Lista
- Kuunteleminen
- kirjallisuus
- vähän
- elää
- Lives
- paikallinen
- logo
- Pitkät
- katso
- näyttää joltakin
- näköinen
- menettää
- Erä
- rakkaus
- rakastettu
- tehty
- aikakauslehti
- ylläpitäminen
- merkittävä
- tehdä
- TEE
- mies
- käsittelylaite
- monet
- monet ihmiset
- Massa
- massat
- matematiikka
- matemaattinen
- matematiikka
- asia
- mielekäs
- välineet
- mitata
- mekanismi
- mainitsi
- viesti
- menetelmä
- keski-
- ehkä
- MIT
- malli
- mallit
- Moderni
- hetki
- lisää
- eniten
- liike
- liikkua
- elokuva
- multiverse
- Musiikki
- salaperäinen
- nimi
- nimet
- Luonnollinen
- välttämättä
- Tarve
- negatiivinen
- Eikä
- Uusi
- uutiset
- Käsite
- numero
- numerot
- objekti
- esineet
- Ilmeinen
- of
- useita kertoja
- Vanha
- on
- ONE
- avata
- avattu
- avautuu
- operaattorit
- tavallinen
- orgaanisesti
- Järjestetty
- alkuperäinen
- alun perin
- Muut
- Muuta
- meidän
- ulkopuolella
- yli
- yleinen
- oma
- pariksi
- Paradoksi
- Parallel
- vanhemmat
- osa
- erityisesti
- osat
- Paavali
- maksaa
- Pingviinit
- Ihmiset
- ihmisten
- ehkä
- henkilö
- henkilöstö
- Pietari
- ilmiö
- filosofia
- fyysinen
- Fysiikka
- kappaletta
- Paikka
- paikat
- Platon
- Platonin tietotieto
- PlatonData
- Ole hyvä
- plus
- podcast
- Podcasting
- Kohta
- Näkökulma
- pistettä
- positiivinen
- mahdollinen
- mahdollisesti
- teho
- voimakas
- valtuudet
- pragmaattinen
- Suositut
- painaa
- aika
- tärkein
- primitiivinen
- periaatteet
- todennäköisesti
- Ongelma
- ongelmia
- prosessi
- tuottaa
- valmistettu
- Opettaja
- Ohjelma
- lupaus
- todisteet
- ominaisuudet
- omaisuus
- ehdotettu
- suojattu
- todistettavissa oleva
- todistaa
- osoittautui
- osoittautuu
- toimittaa
- Julkaisu
- julkaistu
- laittaa
- Kvantamagatsiini
- Kvantti
- kysymys
- kysymykset
- ralli
- pikemminkin
- järkevä
- RAY
- saavuttaa
- todellinen
- todellinen maailma
- Todellisuus
- tajusi
- valtakunta
- reason
- syistä
- suositella
- liittyvä
- suhde
- yhteys
- suhteellisesti
- sukulaiset
- jäännökset
- huomattava
- muistaa
- toistaa
- tarvitaan
- tutkimus
- kunnioittaminen
- REST
- arviot
- vallankumouksellinen
- tiukka
- ROBERT
- Rooli
- Rolling
- rullina
- Huone
- säännöt
- turvallista
- Said
- sama
- vakuuttunut
- sanoo
- Asteikko
- Koulut
- tiede
- Toinen
- sekuntia
- näyttää
- valinta
- tunne
- erillinen
- setti
- Setit
- laskeutua
- ratkaistu
- useat
- muodot
- shouldnt
- näyttää
- esitetty
- Näytä
- puoli
- merkki
- Yksinkertainen
- koska
- single
- SIX
- Koko
- koot
- skeptisyys
- nukkua
- pieni
- pienempiä
- So
- vankka
- ratkaisu
- jonkin verran
- Joku
- jotain
- jokseenkin
- jonnekin
- Tila
- Kipinä
- erityinen
- erityisesti
- viettää
- Spotify
- Vaihe
- osuus
- standardi
- Alkaa
- alkoi
- Aloita
- totesi
- Lausunto
- lausuntoja
- Tila
- Steve
- Yhä
- Tarina
- suoraan
- vahva
- vahvempi
- rakenne
- opiskelija
- tutkittu
- studiot
- tutkimus
- Opiskelu
- aihe
- menestys
- niin
- riittävä
- Tuetut
- varmasti
- yllätys
- yllättynyt
- yllättävä
- Susan
- symboli
- järjestelmä
- taulukko
- ottaa
- vie
- ottaen
- Puhua
- puhuminen
- opettajat
- Opetus
- tekniikat
- teini-ikäinen
- kertoo
- ehdot
- testi
- Kiitos
- että
- -
- Tulevaisuus
- Linja
- maailma
- heidän
- Niitä
- teema
- itse
- Siellä.
- siksi
- Nämä
- asia
- asiat
- Ajattelu
- kolmas
- ajatus
- tuhansia
- Kautta
- kauttaaltaan
- aika
- että
- tänään
- liian
- työkalut
- Aiheet
- TÄYSIN
- raita
- perinteinen
- perinteinen
- koulutettu
- käsittelemällä
- valtavasti
- totta
- Totuus
- VUORO
- Sorvatut
- Kahdesti
- määrittelemätön
- varten
- ymmärtää
- ymmärtäminen
- ymmärtää
- liitto
- Ammattiliitot
- unique
- Yleismaailmallinen
- CasinoUniverse
- yliopisto
- us
- käyttää
- käytetty
- yleensä
- hyödyllisyys
- arvo
- eri
- Näytä
- näkökulmia
- odottaa
- kävely
- haluavat
- Katso
- vesi
- Tapa..
- tavalla
- verkko
- WebP
- tervetuloa
- HYVIN
- Mitä
- Mikä on
- onko
- joka
- KUKA
- kuka tahansa
- koko
- laajalti
- tulee
- halukas
- with
- sisällä
- ilman
- sana
- sanoja
- Referenssit
- työskentely
- toimii
- maailman-
- matoja
- huolestunut
- arvoinen
- olisi
- kirjoittaa
- kirjoittaminen
- Väärä
- vuosi
- vuotta
- Voit
- Sinun
- itse
- zephyrnet
- nolla-
- zoomaus