Uusi todiste erottaa salaperäiset ja tehokkaat "moduulimuodot"

Uudessa todistuksessa pitkään laiminlyöty matemaattinen esine on vihdoin saanut hetkensä valokeilassa.

Ensi silmäyksellä modulaariset muodot – funktiot, joiden runsaat symmetriat ovat kiehtoneet matemaatikot vuosisatojen ajan – näyttävät saaneen enemmän kuin tarpeeksi huomiota. Ne ilmenevät kaikenlaisissa ongelmissa: Ne olivat keskeinen ainesosa Andrew Wilesin vuoden 1994 todistuksessa Fermatin viimeisestä lauseesta, joka ratkaisi yhden lukuteorian suurimmista avoimista kysymyksistä. Niillä on keskeinen rooli Langlandsin ohjelma, jatkuva yritys kehittää "suuren yhtenäinen matematiikan teoria". Niitä on jopa käytetty merkkijonoteorian ja kvanttifysiikan mallien tutkimiseen.

Mutta näissä yhteyksissä syntyvät modulaariset muodot ovat erityislaatuisia. Niin kutsutuissa "congruence"-moduulimuodoissa on lisärakenne, joka helpottaa niiden tutkimista. Mutta yleisempiä "ei-yhteensopivia" modulaarisia muotoja on paljon enemmän kuin ystävällisiä kongruenssivastineita. "Jos otat satunnaisen modulaarisen muodon, todennäköisyydellä 1 se on epäyhtenäisyys", sanoi Cameron Franc, matemaatikko McMasterin yliopistossa Kanadassa. ”Ellei sinulla ole todella hyvää syytä kohdata kongruence-moduulimuotoa, et odottaisi sitä. Ne ovat hyvin harvinaisia."

Ja silti matemaatikot tietävät hyvin vähän ei-yhteensopivista modulaarisista muodoista huolimatta niiden yleisyydestä. "Ne ovat täysin mystisiä", sanoi Anthony Scholl, matemaatikko Cambridgen yliopistosta. Ei ole vain vaikeaa tehdä kaikenkattavia lausuntoja tällaisesta yleisestä funktioluokasta, vaan myös modulaaristen muotojen tutkimiseen kehitetyt työkalut hajoavat epäyhtenäisyyden tapauksessa. Tämä on jättänyt matemaatikot epävarmoiksi siitä, mitä heidän pitäisi edes yrittää todistaa.

Yksi suuri olettamus ei-yhteensopivista modulaarisista muodoista on kuitenkin jo pitkään noussut esiin: yksinäinen, epävakaa tienviitta autiomaassa.

Vuonna 1968 matemaatikot Oliver Atkin ja Peter Swinnerton-Dyer huomasivat, että ei-kongruenssisilla modulaarisilla muodoilla näytti olevan erityisen näkyvä ominaisuus, joka erotti ne kongruenssimodulaarisista muodoista. Se, että pitäisi olla niin räikeä tapa erottaa nämä kaksi toisistaan ​​"on todella hämmästyttävää", sanoi Geoffrey Mason, matemaatikko Kalifornian yliopistosta Santa Cruzista. Kongruenssi- ja eikongruenssimodulaariset muodot ovat hyvin erilaisia, koska ei-kongruenssimodulaarisista muodoista puuttuu symmetria, joka on kongruenssimodulaarisilla muodoilla. Mutta nämä erot, vaikka ne ovat tärkeitä, voivat olla hienovaraisia ​​ja vaikeasti havaittavia.

Tässä yhtäkkiä tuli selvä todiste näistä eroista.

Atkinin ja Swinnerton-Dyerin havainto tuli myöhemmin tunnetuksi "rajoittamattomien nimittäjien" olettamuksina. Jos totta, se antaisi matemaatikoille mahdollisuuden turvata ensimmäisen jalansijansa suurelta osin tutkimattomalla ei-kongruenssiobjektien alueella. Ja tarjoamalla helpon tavan tunnistaa, mihin luokkaan tietty modulaarinen muoto kuului, arvelu voisi myös asettaa suuren teoreettisen fysiikan ohjelman – sellaisen, jonka tarkoituksena on ymmärtää konformaalisten kenttäteorioiden nimisiä malleja hiukkasten vuorovaikutuksista – vahvemmalle matemaattiselle pohjalle.

Mutta yli 50 vuoteen kukaan ei pystynyt todistamaan sitä. Lopulta vuoden 2021 lopulla matemaatikoiden trio onnistui. Heidän todisteensa näytti tulevan tyhjästä käyttämällä tekniikoita, joita kukaan ei ollut odottanut näkevänsä tällä tutkimusalueella. Matemaatikot ja fyysikot alkavat nyt tutkia tämän työn seurauksia.

Symmetria ja rakenne

Ei-kongruenssia modulaarisia muotoja ei aina jäänyt marginaaleille.

19-luvulla matemaatikot olivat vasta alkamassa kehittää teoriaa modulaarisista muodoista. Tämä nimi annettiin tietynlaiselle erittäin symmetriselle funktiolle - funktiolle, joka elää alueella, joka tunnetaan kompleksisen tason yläpuoliskona.

Kompleksitaso on tapa piirtää kompleksilukuja, joissa on kaksi osaa: reaali- ja imaginaariosa. Modulaarinen muoto saa syötteensä kompleksiluvut, joiden imaginaariosa on positiivinen ja vastaa tason yläpuoliskoa. (Ylempi puolitaso voidaan helposti kartoittaa yksikkölevyn sisäpuolelle; modulaariset muodot kuvataan usein tällä kartoituksella.)

Modulaaristen muotojen monet symmetriat määritellään 2 x 2 -matriisien erityiskokoelmina tai "ryhminä" - neljän luvun neliötaulukoina. Modulaarisissa muodoissa nämä neljä numeroa ovat aina kokonaislukuja. Olennaista on, että matriisiin liittyvän luvun, joka määrittää jotkin sen ominaisuudet - jota kutsutaan determinantiksi - on oltava 1.

Tällaisia ​​matriisejoukkoja on äärettömän paljon. Joissakin ryhmissä matriiseja voidaan kuvata suhteellisen yksinkertaisilla säännöillä. Esimerkiksi kaikissa matriiseissa yläoikea ja vasen alaosa voivat olla parillisia, kun taas kaksi muuta merkintää ovat parittomia. Tai ehkä oikea ylä- ja vasen alaosa ovat jaettavissa luvulla 11, kun taas kaksi muuta merkintää ovat molemmat 1 enemmän kuin 11:n kerrannainen.

Ryhmät, jotka voidaan määritellä tällaisten suhteiden avulla - ja sellaisiin ryhmiin liittyvät modulaariset muodot - ovat paljon tutkittuja kongruenssiryhmiä.

Mutta ne ovat kuin neuloja heinäsuovasta: Useimpia 2 x 2 matriisien kokoelmia ei voida luonnehtia mukavilla säännöillä tällä tavalla, mikä tekee niistä ja niihin liittyvistä modulaarisista muodoista epäyhtenäisiä.

Vasta 1930-luvun lopulla – toisen maailmansodan alun tienoilla – kongruenssimoduulimuotojen tutkimus alkoi varjostaa eikongruenssimuotojen tutkimusta. Silloin saksalainen matemaatikko Erich Hecke kehitti työkalupakin, jonka avulla hän pystyi löytämään monia modulaaristen muotojen ominaisuuksia ja yhdistämään ne muihin tärkeisiin matemaattisiin objekteihin.

Hecken menetelmät toimivat vain kongruenssiryhmille ja niiden modulaarisille muodoille. Ei-kongruenssiryhmistä puuttui ylimääräinen rakenne, joka teki Hecken työkalupakin tehokkaan. "Tämä asia, joka sinulla on kongruenssimaailmassa, menee ulos ovesta, kun siirryt ei-kongruenssimaailmaan", Franc sanoi.

Ja niin näytti siltä, ​​että epäyhtenäiset modulaariset muodot oli määrä jäädä aina huomiotta. Se ei tarkoita, etteikö heillä olisi ollut mitään erityistä omaa rakennetta, joka piileskeli pinnan alla. Kuten Swinnerton-Dyerin yhteistyökumppani Bryan Birch kirjoitti kerran: "Vaikka rakenne on salaperäisempi, se näyttää olevan melkein yhtä rikas." Mutta kun oli kyse kyseiseen rakenteeseen pääsystä, matemaatikot olivat hukassa. He eivät edes tienneet mistä aloittaa.

Tule Atkin ja Swinnerton-Dyer.

Siisti kriteeri

Kaksi matemaatikkoa halusivat tietää enemmän ei-yhteensopivista modulaarisista muodoista ja kaikista salaisuuksista, joita he saattavat piilottaa.

"Näin matematiikka kehittyy aina", sanoi Winnie Li, matemaatikko Pennsylvanian osavaltion yliopistossa. ”Tutkii asioita, joilla on hyvin erityisiä ominaisuuksia ja rakenteeltaan enemmän. Sitten lähdet yleistämään sitä ja yrittämään ymmärtää, mitkä ominaisuudet kulkevat eteenpäin ja mitkä eivät."

Tutkiakseen tiettyä modulaarista muotoa matemaatikot esittävät sen usein äärettömänä summana, jota kutsutaan q-laajennukseksi (erityinen potenssisarja) ja analysoivat sitten tämän laajennuksen kertoimia. Jo tiedettiin, että jos tietty modulaarinen muoto on kongruenssi, niin kertoimilla on nimittäjiä, jotka eivät koskaan saa suurempia kuin jokin kiinteä arvo.

1960-luvulla Atkin ja Swinnerton-Dyer laskivat q-laajennukset partituureille ja modulaaristen muotojen partituureille. Kun he tekivät niin, he huomasivat, että jos modulaarinen muoto oli epäyhteensopiva, nimittäjät siihen liittyvässä sekvenssissä kasvoivat jatkuvasti ilman sidontaa. "He voisivat itse asiassa sanoa jotain näistä salaperäisistä epäyhdenmukaisuusmuodoista", sanoi Yunqing Tang, matemaatikko Kalifornian yliopistossa Berkeleyssä.

Voisiko näiden kahden tyyppisen modulaarisen muodon erottaminen olla näin helppoa?

Matemaatikot mainitsivat havainnon Kaliforniassa vuonna 1968 pidetyssä konferenssissa, mikä viittaa siihen, että rajattomat nimittäjät saattavat olla yleispätevä epäyhdenmukaisten modulaaristen muotojen tunnusmerkki. Oletus oli "erittäin silmiinpistävä", sanoi John Voight, matemaatikko Dartmouth Collegessa. "Se antaa meille selkeän kriteerin päättää, kuuluuko modulaarinen muoto kongruenssiryhmään vai ei" - erittäin kätevä lakmustesti numeroteoreetikoille, ja jotain, jota voi olla vaikea havaita muissa yhteyksissä.

"Se on melkein liian hyvää ollakseen totta", hän lisäsi. "Tällaista ihmettä ei todellakaan odota."

Itse asiassa kukaan ei pystynyt todistamaan rajattomien nimittäjien olettamuksia. Li ja kourallinen muita olivat pystyy näyttämään se oli totta tietyt perheet ei-yhteensopivia modulaarisia muotoja, mutta matemaatikoilla ei ollut aavistustakaan, kuinka käsitellä yleistä väitettä.

Sitten syyskuussa 2021 Tang yhdessä Frank Calegari Chicagon yliopistosta ja Vesselin Dimitrov Institute for Advanced Study, julkaisi 50-sivuisen todisteen. "Se oli hämmästyttävää ja todella odottamatonta", Franc sanoi. "Tuntui siltä, ​​että yhteisöllä ei ollut ideoita tämän ongelman ratkaisemiseksi."

Kirjoittajat toivovat, että heidän artikkelinsa on ensimmäinen askel kohti autiomaassa olevan tienviitan kehittämistä täysimittaiseksi tieverkostoksi. "Annamme vaatimattoman panoksemme tähän lukuteorian osaan antamalla vastauksen sen helpoimpaan kysymykseen", Dimitrov sanoi.

Takaisin vanhoille tavoille

Calegari, Dimitrov ja Tang eivät ryhtyneet ratkaisemaan rajattomia nimittäjiä oletuksia. Vuoden 2019 lopulla he toivoivat osoittavansa, että tietty luku (Riemannin zeta-funktion analogin arvo) oli irrationaalinen – että, kuten luvun 2 neliöjuurta, sitä ei voida kirjoittaa murtolukuna. (Heidän perimmäisenä tavoitteena on todistaa, että tämä numero ja muut vastaavat ovat transsendenttisia, mikä tarkoittaa, että kuten numerot π ja e, niitä ei voida kirjoittaa ratkaisuksi polynomiyhtälöön kokonaislukukertoimilla.)

Päällisin puolin tämä ongelma on täysin riippumaton. Mutta 1. tammikuuta 2021 Dimitrov soitti uuden vuoden aikana sähköpostilla muille, jossa hän kuvaili "toiveajattelua": Ehkä heidän edellisen vuoden aikana kehittämänsä tekniikat voitaisiin käyttää uudelleen todistamaan rajattomat nimittäjien arvelut.

He antoivat sille mahdollisuuden. Heillä oli todisteet seitsemässä kuukaudessa.

Ensin he tarkastelivat kahta tilaa: kaikkien modulaaristen muotojen avaruutta rajatuilla nimittäjillä ja kaikkien kongruenssimoduulimuotojen avaruutta. Rajoittamattomien nimittäjien oletuksen mukaan näiden kahden välin tulisi olla identtisiä. Koska avaruudet täyttivät tietyt ominaisuudet, matemaatikoiden oli vain osoitettava, että ne olivat samankokoisia. Tämä merkitsisi automaattisesti niiden vastaavuutta.

Calegari, Dimitrov ja Tang pystyivät laskemaan toisen avaruuden koon suhteellisen helposti ja saivat eräänlaisen karkean luvun kongruenssimodulaarisista muodoista. Mutta ensimmäisen tilan kokoarvion saaminen oli erittäin vaikeaa. Heidän täytyi yhdistää monia erilaisia ​​tekniikoita - mukaan lukien transsendenttisen lukuteorian tekniikat.

Näillä menetelmillä he osoittivat, että rajattujen nimittäjien modulaaristen muotojen avaruus voi olla korkeintaan tietyn kokoinen. Se maksimikoko oli hieman suurempi kuin kongruenssimoduulimuotojen tilan koko. Silti tämä askel osoittautui "todella todisteeksi ytimeksi", sanoi Jean-Benoît Bost, matemaatikko Paris-Saclayn yliopistossa. "Sinun tekemiseen tarvitaan paljon rohkeutta." (Calegari, Dimitrov ja Tang osoittivat tämän olevan sidottu tilan kokoon useilla eri tavoilla, mikä mahdollisesti antoi heidän tekniikoilleen paljon laajempia sovelluksia.)

"Se on hyvin, hyvin klassista, kaunista matematiikkaa, jossa on 19-luvun makua", sanoi. Javier Fresán, matemaatikko École Polytechniquessa Ranskassa.

Trion piti sitten kaventaa kahden tilan välinen kuilu. Tämä osoittaisi, että minkä tahansa modulaarisen muodon, jolla on rajalliset nimittäjät, on oltava kongruenssi.

Joten he olettivat päinvastaista: että on olemassa ei-kongruenssi modulaarinen muoto, jolla on rajoitetut nimittäjät. Määritelmän mukaan se eläisi aukossa, jonka Calegari, Dimitrov ja Tang yrittivät kuroa umpeen. Nämä kolme osoittivat sitten, että tämän ei-yhteensopivan modulaarisen muodon olemassaolo merkitsi automaattisesti useiden muiden ei-yhteensopivien modulaaristen muotojen olemassaoloa rajoitetuilla nimittäjillä. Ihan kuin koko metsä olisi kasvanut tuosta yhdestä siemenestä.

Mutta he olivat jo määrittäneet raon enimmäiskoon - ja se oli liian pieni mahtumaan moniin epäyhtenäismuotoihin.

Mikä tarkoitti, että edes yhtä tällaista muotoa ei voinut olla olemassa. He olivat todistaneet Atkinin ja Swinnerton-Dyerin vuosikymmeniä vanhan olettamuksen.

Matemaatikot pitävät työssä käytettyjä tekniikoita jopa itse lopputulosta kiehtovampina. "Näitä ideoita ei ole koskaan aiemmin käytetty tutkittaessa modulaaristen muotojen aritmetiikkaa", Scholl sanoi.

Kuten Voight selittää, vaikka modulaaristen muotojen tutkimus alkoi osana monimutkaisen analyysin alaa, nykyinen työ on ollut lukuteorian ja algebrallisen geometrian alaa. Hän sanoi, että uusi paperi merkitsee paluuta monimutkaiseen analyysiin: "Se on virkistävän vanha näkökulma."

Uusien teorioiden etsintä

Matemaatikot eivät ole ainoita, jotka innostuvat rajattomista nimittäjistä. Se näkyy myös teoreettisessa fysiikassa.

1970-luvulla toinen tarina kehittyi rinnakkain Atkinin ja Swinnerton-Dyerin aloittaman tarinan kanssa. Matemaatikoilla oli huomasi oudon yhteyden hirviöryhmäksi kutsutun kohteen ja modulaarisen muodon välillä j-toiminto. Kertoimet j-toiminto heijasti tarkasti tiettyjä hirviöryhmän ominaisuuksia.

Myöhemmät tutkimukset paljastivat, että tämä yhteys johtui siitä, että sekä ryhmä että modulaarinen muoto liittyivät tärkeään hiukkasten vuorovaikutusmalliin, jota kutsutaan kaksiulotteiseksi konformikenttäteoriaksi.

Mutta konforminen kenttäteoria, joka yhdisti hirviöryhmän j-funktio oli vain yksi esimerkki äärettömästä määrästä konformisia kenttäteorioita. Ja vaikka nämä teoriat eivät kuvaa maailmankaikkeutta, jossa elämme, niiden ymmärtäminen voi antaa uusia oivalluksia siitä, kuinka realistisemmat kvanttikenttäteoriat voisivat käyttäytyä.

Ja niin fyysikot ovat jatkaneet konformisten kenttäteorioiden tutkimista tarkastelemalla niihin liittyviä modulaarisia muotoja. (Tässä yhteydessä fyysikot käyttävät yleisempää käsitettä modulaarisesta muodosta, jota kutsutaan vektoriarvoiseksi modulaariseksi muodoksi.)

Jotta saat käsityksen siitä, mitä tietyn konformisen kenttäteorian kanssa tapahtuu, sinun on osoitettava, että sen modulaarinen muoto on kongruenssi, sanoi. Michael Tuite, matemaatikko ja teoreettinen fyysikko Galwayn yliopistossa Irlannissa. Voit sitten alkaa kuvata konformisia kenttäteorioita ja jopa löytää uusia, joita et tiennyt etsiä. Tämä on erityisen tärkeää jatkuvalle yritykselle kaikkien konformisten kenttäteorioiden luokittelemiseksi – projekti, jota fyysikot ovat kutsuneet modulaariseksi bootstrapiksi.

"Kun tiedät, että se on congruence-moduulimuoto, jonka avulla voit ottaa valtavia harppauksia tässä ohjelmassa", Mason sanoi.

Fyysikot kehittivät kehyksen, jonka avulla he voivat olettaa tämän kongruenssiominaisuuden tutkimilleen modulaarisille muodoille. Mutta se ei ole sama asia kuin tiukka matemaattinen todiste – ja vaikka muut matemaatikot pystyivät myöhemmin antaa tällaisen todisteen, heidän argumenttinsa toimi vain tietyissä olosuhteissa. Se sisälsi myös "erittäin mutkikkaan, mutkikkaan polun" kohti kongruenssia Masonin mukaan, vaikka hän huomautti myös, että tämä mutkikas polku tuotti tärkeitä oivalluksia.

Calegarin, Dimitrovin ja Tangin todisteet rajattomista nimittäjistä arvelut leikkaavat kaiken tämän läpi. Tämä johtuu siitä, kuten käy ilmi, konformisiin kenttäteorioihin liittyvillä modulaarisilla muodoilla on aina kokonaislukukertoimet. Määritelmän mukaan kokonaislukujen nimittäjä on 1, mikä tarkoittaa, että niiden nimittäjät ovat aina rajallisia. Ja koska rajattomien nimittäjien oletus väittää, että rajatut nimittäjät liittyvät vain kongruenssimodulaarisiin muotoihin, ei ole enää tarvetta tehdä oletuksia. "Sinun ei edes tarvitse tietää mitään [konformaalisista kenttäteorioista]", Tang sanoi. Uusi todiste toimittaa automaattisesti yhteensopivuuden kaikissa näissä tapauksissa – ilmaiseksi.

"Se on jotain, joka on ollut ilmassa vuosikymmeniä", Bost sanoi. Nyt se on vihdoin ratkaistu.

"Se on todella ihme", Mason sanoi. "Tämä seuraa vain ihmeellisesti siitä tosiasiasta, että nämä sekvenssit ovat kokonaislukuja."

Hän on jo alkanut soveltaa tulosta omassa työssään. "Olen käyttänyt sitä hyväkseni siitä päivästä lähtien, kun lehti ilmestyi", hän sanoi. "Se on erittäin tervetullut oikotie tuloksiin, jotka haluan ratkaista. …Se leikkaa pois valtavan määrän potentiaalista työtä, jota en voinut nähdä läpi."

Se myös asettaa modulaarisen bootstrap-ohjelman ja muut tulokset vahvemmalle matemaattiselle pohjalle. "Tämä antaa matemaatikoille mahdollisuuden todistaa [aikaisemmat] tulokset uudelleen tai uskoa niitä", Mason sanoi.

"Uskon, että sillä tulee olemaan todella vaikutusta, erityisesti matematiikan puolella, vain todella, todella sitoakseen asiat yhteen, ymmärtääksemme tarkalleen, mitä tapahtuu", Tuite sanoi.

Matemaattinen transsendenssi

Todistuksensa julkaisemisen jälkeen Calegari, Dimitrov ja Tang ovat jatkaneet yhteistyötään. He ovat nyt palanneet sellaisiin transsendenttisen lukuteorian ongelmiin, jotka alun perin herättivät heidän kiinnostuksensa arveluihin. "Yritämme viedä aloittamamme päätökseen", Tang sanoi. Itse asiassa he ovat jo käyttäneet tekniikoitaan todistaakseen, että useat kiinnostuksen kohteet ovat irrationaalisia.

"He todella työntävät [menetelmää] äärirajoille", Fresán sanoi. "Olen todella innoissani tästä."

Näitä menetelmiä voidaan soveltaa myös muihin lukuteorian ongelmiin.

Tekniikat syrjään rajoittamattomien nimittäjien arvelujen ratkaiseminen on yksi ensimmäisistä suurista virstanpylväistä pyrkimyksissä saada parempi käsitys ei-yhteensopivista modulaarisista muodoista. "Tämä on hämmästyttävä saavutus, että voimme edistyä epäyhdenmukaisten muotojen suhteen tällä tavalla", Franc sanoi. "Olen innoissani seuraavat 10, 20 vuotta nähdäkseni, mitä tapahtuu."

Li, Voight ja muut ovat jo alkaneet etsiä kuvioita sellaisista numeroista, jotka näkyvät näiden salaperäisten modulaaristen muotojen nimittäjissä. He toivovat voivansa löytää vihjeitä syvemmälle rakenteelle.

"Tämä rajattomien nimittäjien arvelu oli vasta alkua", Li sanoi.