Le lien de Pierre de Fermat avec la première épreuve de mathématiques d'un lycéen | Magazine Quanta

Comme beaucoup d’étudiants en mathématiques, je rêvais de grandeur mathématique. Je pensais que j'étais proche une fois. Un problème d’algèbre difficile à l’université m’a obligé à travailler tard dans la nuit. Après des heures de lutte, j’ai senti une percée arriver. J'ai habilement manipulé les expressions. J'ai factorisé, multiplié et simplifié, jusqu'à ce que ma découverte se révèle enfin :

$latex 1 + 1 = 2$.

Je n'ai pas pu m'empêcher de rire. Le monde savait déjà que $latex 1 + 1 = 2$, donc le « théorème de Honner » n'existait pas. Et bien que de nombreux jeunes mathématiciens aient connu la déception de cette percée qui n’est pas tout à fait révolutionnaire, le remarquable histoire de Daniel Larsen maintient le rêve vivant.

Larsen était lycéen en 2022 lorsqu’il a prouvé un résultat sur un certain type de nombre qui avait échappé aux mathématiciens pendant des décennies. Il a prouvé que les nombres de Carmichael – une sorte curieuse de nombres pas tout à fait premiers – pouvaient être trouvés plus fréquemment qu’on ne le savait auparavant, établissant ainsi un nouveau théorème qui sera à jamais associé à ses travaux. Alors, que sont les nombres de Carmichael ? Pour répondre à cette question, il faut remonter le temps.

Pierre de Fermat doit son nom à l'un des théorèmes mathématiques les plus célèbres. Pendant plus de 300 ans, le dernier théorème de Fermat est resté le symbole ultime d’une grandeur mathématique irréalisable. Dans les années 1600, Fermat a griffonné une note sur le théorème qu'il proposait dans un livre qu'il lisait, prétendant savoir comment le prouver sans fournir aucun détail. Les mathématiciens ont tenté de résoudre le problème eux-mêmes jusque dans les années 1990, lorsqu'Andrew Wiles l'a finalement prouvé en utilisant de nouvelles techniques découvertes des centaines d'années après la mort de Fermat.

Mais c'est le « petit théorème » de Fermat, moins célèbre, qui concerne les nombres de Carmichael. Voici une façon de l’exprimer :

Étant donné un nombre premier $latex p$, alors pour tout entier $latex a$, la quantité $latex a^p – a$ est divisible par $latex p$.

Par exemple, prenons le premier $latex p = 11$ et l'entier $latex a = 2$. Le petit théorème de Fermat dit que $latex 2^{11} – 2 = 2046$ est divisible par 11, et c'est : $latex 2046 div 11 = 186$. Ou prenez $latex p = 7$ et $latex a = 4$ : $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 fois 2340$, donc $latex 4^7 – 4$ est bien divisible par 7.

Contrairement au dernier théorème de Fermat, il n’a pas fallu 300 ans pour résoudre son petit théorème. Leonhard Euler en publia une preuve moins d'un siècle plus tard. Et comme il s’agit de nombres premiers, les gens ont trouvé des moyens de les utiliser.

Une façon d'utiliser le petit théorème de Fermat est de montrer qu'un nombre n'est pas premier. Disons que vous vous demandez si 21 est premier ou non. Si 21 était premier, alors selon le petit théorème de Fermat, pour tout entier $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ devrait être divisible par 21. Mais si vous essayez certaines valeurs de $ latex a$ tu vois que ça ne marche pas. Par exemple, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, qui n'est pas un multiple de 21. Par conséquent, comme il ne satisfait pas au petit théorème de Fermat, 21 ne peut pas être un nombre premier.

Cela peut sembler une façon idiote de vérifier si un nombre est premier. Après tout, nous savons que $latex 21 = 3 fois 7$. Mais vérifier si de grands nombres sont premiers est une tâche longue et importante en mathématiques modernes, c'est pourquoi les mathématiciens sont toujours à la recherche de raccourcis. À cette fin, les mathématiciens se sont demandé si la réciproque du petit théorème de Fermat pourrait être vraie.

Quelle est l’inverse d’un théorème ? Vous vous souvenez peut-être, en cours de mathématiques, qu'un théorème peut être considéré comme un énoncé conditionnel de la forme « si P puis Q.» Un théorème dit que si le P partie (l'antécédent ou l'hypothèse) est vraie, alors la Q partie (le conséquent ou la conclusion) doit également être vraie. L’inverse d’un théorème est l’énoncé que vous obtenez lorsque vous changez l’antécédent et le conséquent. Donc l’inverse de « Si P puis Q" est la déclaration " Si Q puis P. »

Considérons le théorème de Pythagore. On nous dit souvent qu'il est écrit $latex a^2 + b^2 = c^2$. Mais ce n’est pas tout à fait vrai. Le théorème de Pythagore est en réalité un énoncé conditionnel : il dit que si un triangle rectangle a des longueurs de côté $latex a$, $latex b$ et $latex c$, $latex c$ étant la longueur de l'hypoténuse, alors $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Alors, quelle est sa réciproque ? Il dit que si les longueurs des côtés d'un triangle $latex a$, $latex b$ et $latex c$ satisfont l'équation $latex a^2 + b^2 = c^2$, alors c'est un triangle rectangle.

Il est tentant de penser que l’inverse d’un théorème est toujours vrai, et de nombreux étudiants sont tombés dans ce piège. L'inverse du théorème de Pythagore s'avère être vrai, ce qui nous permet de conclure qu'un triangle dont les côtés mesurent 9, 40 et 41 doit être un triangle rectangle puisque $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Mais l'inverse d'une affirmation vraie n'est pas nécessairement vraie : par exemple, s'il est vrai que si $latex x$ est un nombre positif, alors $latex x^2$ est positif, l'inverse — si $latex x^2$ est un nombre positif, alors $latex x$ est positif — ce n'est pas le cas, puisque $latex (-1)^2$ est positif mais −1 lui-même ne l'est pas.

C'est une bonne pratique mathématique d'explorer l'inverse d'un énoncé, et les mathématiciens à la recherche de tests de primalité voulaient savoir si l'inverse du petit théorème de Fermat était vrai. L'inverse dit que, étant donné un entier $latex q$, si le nombre $latex a^q – a$ est divisible par $latex q$ pour tout entier $latex a$, alors $latex q$ doit être un nombre premier. Si cela était vrai, cela éviterait une partie du gros travail de calcul consistant à vérifier si $latex q$ est divisible par des nombres autres que 1 et lui-même. Comme c’est si souvent le cas en mathématiques, cette seule question a conduit à de nouvelles questions, qui ont finalement conduit à de nouvelles idées mathématiques.

Lorsque vous commencerez à explorer l’inverse du petit théorème de Fermat, vous découvrirez que cela est vrai pour de nombreux nombres. Par exemple, pour tout entier $latex a$, le nombre $latex a^2 – a$ est divisible par 2. Vous pouvez le voir en factorisant $latex a^2 – a$ comme $latex a fois (a-1) $. Depuis a et $latex a − 1$ sont des entiers consécutifs, l'un d'eux doit être pair, et donc leur produit doit être divisible par 2.

Des arguments similaires montrent que $latex a^3 – a$ est toujours divisible par 3 et $latex a^5 – a$ est toujours divisible par 5 (voir les exercices ci-dessous pour plus de détails). Ainsi, l'inverse du petit théorème de Fermat est valable pour 3 et 5. L'inverse nous indique également ce à quoi nous nous attendons pour les petits nombres non premiers. Si nous l'utilisons pour vérifier si 4 est premier ou non, nous calculerons $latex 2^4 – 2$ et observerons que 14 n'est pas divisible par 4.

En fait, vous pouvez vérifier jusqu'au nombre 561 et tout indiquera que l'inverse du petit théorème de Fermat est vrai. Les nombres premiers inférieurs à 561 divisent $latex a^p – a$ pour chaque a, et les nombres non premiers inférieurs à 561 ne le font pas. Mais cela change à 561. Avec une théorie des nombres légèrement avancée, on peut montrer que $latex a^{561} – a$ est toujours divisible par 561, donc si l'inverse du petit théorème de Fermat était vrai, alors 561 devrait être un nombre premier. . Mais ce n'est pas le cas : $latex 561 = 3 × 11 × 17$. La réciproque du petit théorème de Fermat est donc fausse.

Les mathématiciens appellent des nombres comme 561 « pseudopremiers » car ils satisfont à certaines conditions associées au fait d'être premier (comme diviser $latex a^p – a$ pour tout a) mais ne sont pas réellement des nombres premiers. D'autres contre-exemples à l'inverse du petit théorème de Fermat ont été trouvés : les trois suivants sont 1,105 1,729, 2,465 XNUMX et XNUMX XNUMX. Ceux-ci sont devenus connus sous le nom de nombres de Carmichael, du nom du mathématicien américain Robert Carmichael. Après leur découverte, de nouvelles questions sont apparues : existe-t-il d’autres moyens d’identifier les numéros de Carmichael ? Ont-ils d’autres propriétés particulières ? Y en a-t-il une infinité ? Si oui, à quelle fréquence surviennent-ils ?

C’est cette dernière question qui a finalement retenu l’attention de Daniel Larsen. Les mathématiciens avaient prouvé qu’il existait effectivement une infinité de nombres de Carmichael, mais pour le démontrer, ils devaient construire des nombres de Carmichael très éloignés les uns des autres. Cela laisse ouverte la question de savoir comment ces nombres infinis de Carmichael sont distribués le long de la droite numérique. Sont-ils toujours éloignés les uns des autres de par leur nature, ou pourraient-ils se produire avec plus de fréquence et de régularité que ne le montrait cette première preuve ?

De telles questions sur les pseudo-premiers rappellent des questions similaires et importantes sur les nombres premiers eux-mêmes. Il y a deux mille ans, Euclide a prouvé qu’il existe une infinité de nombres premiers, mais il a fallu beaucoup plus de temps pour comprendre comment les nombres premiers sont répartis sur la droite numérique. Dans les années 1800, le postulat de Bertrand montrait que pour tout $latex n > 3$, il existe toujours un nombre premier entre $latex n$ et $latex 2n$. Cela nous donne une idée de la fréquence à laquelle nous pouvons nous attendre à des nombres premiers à mesure que nous progressons le long de la droite numérique.

Les mathématiciens se demandaient si une version du postulat de Bertrand était vraie pour les nombres de Carmichael. Daniel Larsen s'est également posé la question, et s'appuyant sur les travaux de certains mathématiciens modernes célèbres – les médaillés Fields James Maynard et Terence Tao, entre autres — il a tourné sa curiosité dans un nouveau résultat sur la façon dont les nombres de Carmichael sont distribués. Et même si les jeunes mathématiciens ne devraient probablement pas s'attendre à accomplir autant de choses en accomplissant leurs devoirs de ce soir, le travail acharné, la persévérance et le succès de Daniel Larsen devraient les inciter à aller de l'avant, même s'ils sont en difficulté. prouver à nouveau quelque chose que nous savons déjà.

Des exercices

1. Utilisez la factorisation pour montrer que, si $latex a$ est un nombre naturel, alors $latex a^3 – a$ est toujours divisible par 3.

2. L'énoncé « Si un quadrilatère est un rectangle, alors les diagonales du quadrilatère sont congruentes » est vraie. L'inverse est-il vrai ?

3. Montrez que si $latex a$ est un nombre naturel, alors le nombre $latex a^5 – a$ est toujours divisible par 5.