Les probabilités et la théorie des nombres se heurtent - en un instant

Leurs ambitions ont toujours été élevées. Lorsque Will Sawin et Melanie Matchett Wood ont commencé à travailler ensemble à l'été 2020, ils ont entrepris de repenser les éléments clés de certaines des conjectures les plus alléchantes de la théorie des nombres. Les sujets de leur attention, les groupes de classe, sont intimement liés aux questions fondamentales sur le fonctionnement de l'arithmétique lorsque les nombres sont étendus au-delà des nombres entiers. Sawin, à l'Université de Columbia, et Bois, à Harvard, voulait faire des prédictions sur des structures encore plus générales et mathématiquement intimidantes que le groupe de classe.

Avant même d'avoir fini de formuler leurs prédictions, en octobre, ils ont prouvé qu'ils nouveau résultat qui permet aux mathématiciens d'appliquer l'un des outils les plus utiles de la théorie des probabilités non seulement aux groupes de classes, mais également aux collections de nombres, de réseaux et de nombreux autres objets mathématiques.

"Ce sera simplement le document fondamental vers lequel tout le monde se tournera lorsqu'il commencera à réfléchir à ces problèmes", a déclaré David Zureick-Brown, mathématicien à l'Université Emory. "Vous n'avez plus l'impression d'avoir à inventer des choses à partir de zéro."

Un acte de classe

Un groupe de classe est un exemple d'ensemble mathématique structuré appelé groupe. Les groupes incluent de nombreux ensembles familiers, comme les entiers. Ce qui fait des entiers un groupe, plutôt qu'un simple ensemble de nombres, c'est que vous pouvez additionner ses éléments et obtenir un autre entier. En général, un ensemble est un groupe s'il est accompagné d'une opération qui, comme l'addition, combine deux éléments en un troisième élément d'une manière qui satisfait certaines exigences de base. Par exemple, il devrait y avoir une version de zéro, un élément qui ne change aucun des autres.

Les nombres entiers, que les mathématiciens appellent généralement $latex mathbb{Z}$, sont infinis. Mais beaucoup de groupes ont un nombre fini d'éléments. Par exemple, pour créer un groupe de quatre éléments, considérons l'ensemble {0, 1, 2, 3}. Au lieu d'effectuer une addition régulière, divisez la somme de deux nombres par 4 et prenez le reste. (Selon ces règles, 2 + 2 = 0, et 2 + 3 = 1.) Ce groupe est appelé $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

En général, si vous voulez faire un groupe avec des éléments $latex n$, vous pouvez prendre les nombres de zéro à n – 1 et considérer le reste lors de la division par n. Le groupe résultant est appelé $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, bien que ce ne soit pas toujours le seul groupe avec n éléments.

Le groupe de classe apparaît lorsque les théoriciens des nombres étudient la structure des nombres au-delà des nombres entiers. Pour ce faire, ils ajoutent de nouveaux nombres aux nombres entiers, tels que i (la racine carrée de −1), $latex sqrt{5}$, ou même $latex sqrt{–5}$.

« Les choses auxquelles nous étions habitués à propos des chiffres ne sont plus vraies dans ce contexte. Ou du moins, ils ne sont pas nécessairement vrais », a déclaré Jordan Ellenberg, mathématicien à l'Université du Wisconsin, Madison.

Plus précisément, la factorisation fonctionne différemment dans les extensions des nombres entiers. Si vous vous en tenez aux nombres entiers, les nombres peuvent être factorisés en nombres premiers (nombres qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et 1) d'une seule manière. Par exemple, 6 est égal à 2 × 3 et ne peut pas être factorisé en d'autres nombres premiers. Cette propriété est appelée factorisation unique.

Mais si vous ajoutez $latex sqrt{–5}$ à votre système de numération, vous n'avez plus de factorisation unique. Vous pouvez factoriser 6 en nombres premiers de deux manières différentes. C'est toujours 2 × 3, mais c'est aussi $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Les groupes de classes sont créés à partir de ces extensions aux entiers. "Les groupes de classe sont incroyablement importants", a déclaré Wood. « Et il est donc naturel de se demander : à quoi ressemblent-ils habituellement ? »

La taille du groupe de classes associé à toute extension des nombres entiers est un baromètre de la quantité de factorisation unique qui se décompose. Bien que les mathématiciens aient prouvé que les groupes de classes sont toujours finis, il est compliqué de déterminer leur structure et leur taille. C'est pourquoi en 1984, Henri Cohen et Hendrik Lenstra osé quelques suppositions. Leurs conjectures, maintenant appelées heuristiques de Cohen-Lenstra, concernaient tous les groupes de classes qui apparaissent lorsque vous ajoutez de nouvelles racines carrées aux entiers. Si tous ces groupes de classe étaient réunis, Cohen et Lenstra ont suggéré des réponses à des questions telles que : quelle proportion d'entre eux contient le groupe $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ ? Ou $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$ ? Ou un autre type connu de groupe fini ?

Cohen et Lenstra ont poussé les théoriciens des nombres à considérer non seulement des exemples isolés de groupes de classes, mais des statistiques qui sous-tendent les groupes de classes dans leur ensemble. Leurs prédictions puisaient dans une vision des mathématiques comme un univers avec des modèles à découvrir à tous les niveaux.

Près de 40 ans plus tard, les heuristiques de Cohen-Lenstra sont largement considérées comme vraies, bien que personne n'ait été près de les prouver. Leur impact sur les mathématiques a été palpable, a déclaré Nigel Boston, professeur émérite à l'Université du Wisconsin, à Madison. "Ce qui a été découvert, c'est ce site Web incroyable", a-t-il déclaré. "Il y a cette énorme infrastructure de la façon dont nous pensons que le monde est assemblé."

The Game Only in Town

Incapables d'aborder directement l'heuristique, les mathématiciens ont proposé des problèmes plus faciles à résoudre qui, espéraient-ils, éclaireraient la situation. De ce travail, un ensemble utile de quantités a émergé que les mathématiciens ont commencé à appeler des moments, d'après un terme utilisé dans la théorie des probabilités.

En probabilité, les moments peuvent vous aider à déterminer les distributions derrière les nombres aléatoires. Par exemple, considérons la distribution de la température maximale quotidienne le 1er janvier à New York — les chances que le 1er janvier de l'année prochaine, ce soit 10 degrés Fahrenheit, ou 40 degrés, ou 70 ou 120. Tout ce que vous avez à faire avec ses données passées : un historique du maximum quotidien du 1er janvier de chaque année depuis le début de l'histoire enregistrée.

Si vous calculez la moyenne de ces températures, vous apprendrez un peu, mais pas tout. Une température élevée moyenne de 40 degrés ne vous indique pas les chances que la température soit supérieure à 50 degrés ou inférieure à 20.

Mais cela change si vous recevez plus d'informations. Plus précisément, vous pourriez apprendre la moyenne du carré de la température, une quantité connue sous le nom de deuxième moment de la distribution. (La moyenne est le premier moment.) Ou vous pourriez apprendre la moyenne des cubes, connue sous le nom de troisième moment, ou la moyenne des quatrièmes puissances - le quatrième moment.

Dans les années 1920, les mathématiciens avaient compris que si les moments de cette série croissent suffisamment lentement, alors connaître tous les moments vous permet de déduire qu'une seule distribution possible a ces moments. (Bien que cela ne vous permet pas nécessairement de calculer directement cette distribution.)

"Ce n'est vraiment pas intuitif", a déclaré Wood. « Si vous pensez à une distribution continue, elle a une certaine forme. On a l'impression qu'il a plus que ce qui peut simplement être capturé dans une séquence de chiffres.

Les mathématiciens intéressés par l'heuristique de Cohen-Lenstra ont compris que, tout comme les moments de la théorie des probabilités pouvaient être utilisés pour obtenir une distribution de probabilité, les moments définis d'une manière particulière pour les groupes de classe peuvent être une lentille à travers laquelle nous pouvons voir leur taille et leur structure. . Jacob Tsimerman, mathématicien à l'Université de Toronto, a déclaré qu'il ne pouvait pas imaginer comment la distribution de la taille des groupes de classe pourrait être calculée directement. Utiliser les moments, a-t-il dit, est « plus que facile. C'est le seul jeu en ville.

This Magic Moment

Alors que chaque moment de la probabilité est associé à un nombre entier — la troisième puissance, la quatrième puissance, etc. — les nouvelles quantités introduites par les théoriciens des nombres correspondent chacune à un groupe. Ces nouveaux moments dépendent du fait que vous pouvez souvent réduire un groupe à un groupe plus petit en regroupant différents éléments ensemble.

Pour calculer le moment associé à un groupe G, prenez tous les groupes de classes possibles — un pour chaque nouvelle racine carrée que vous ajoutez aux nombres entiers. Pour chaque groupe de classe, comptez le nombre de façons différentes de le réduire en G. Ensuite, prenez la moyenne de ces chiffres. Ce processus peut sembler compliqué, mais il est beaucoup plus facile de travailler avec la distribution réelle derrière les prédictions de Cohen et Lenstra. Bien que les heuristiques de Cohen-Lenstra elles-mêmes soient compliquées à énoncer, les moments de la distribution qu'elles prédisent sont tous 1.

"Cela vous fait penser, wow, peut-être que les moments sont la façon naturelle de l'aborder", a déclaré Ellenberg. "Il semble plus crédible de pouvoir prouver que quelque chose est égal à 1 que de prouver qu'il est égal à un produit infini fou."

Lorsque les mathématiciens étudient les distributions sur des groupes (groupes de classe ou autres), ils se retrouvent avec une équation pour chaque groupe G, les probabilités représentant maintenant, disons, la proportion de groupes de classe qui ressemblent à $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Avec une infinité d'équations et une infinité de groupes de classes possibles, il est difficile de résoudre les probabilités. Il n'est même pas évident que cela ait un sens de le faire.

"Lorsque vous avez des sommes infinies, les choses peuvent mal tourner", a déclaré Wood.

Pourtant, les mathématiciens, toujours incapables de trouver d'autres voies pour étudier les distributions, revenaient sans cesse au problème du moment. Dans un ouvrage publié dans le Annales des mathématiques en 2016, Ellenberg, avec Akshay Venkatesh et Craig Westerland, moments utilisés étudier les statistiques des groupes de classe dans un contexte légèrement différent de celui envisagé par Cohen et Lenstra. Cette idée était réutilisés plusieurs fois. Mais chaque fois que les chercheurs utilisaient les moments, ils s'appuyaient sur les bizarreries de leur problème particulier pour prouver que l'ensemble infini d'équations avait une solution. Cela signifiait que leurs techniques n'étaient pas transférables. Le prochain mathématicien qui aurait besoin d'utiliser des moments devrait résoudre à nouveau le problème des moments.

Au début de leur collaboration, Sawin et Wood prévoyaient également d'emprunter cette voie. Ils utiliseraient des moments pour faire des prédictions sur la façon dont les versions plus compliquées des groupes de classe étaient distribuées. Mais environ un an après le début de leur projet, ils se sont concentrés sur le problème du moment lui-même.

Se laisser distraire

Des collègues décrivent Sawin et Wood comme étant exceptionnellement passionnés par leur travail. « Ils sont tous les deux très intelligents. Mais il y a beaucoup de gens intelligents », a déclaré Zureick-Brown. "Ils ont juste cette attitude positive envers les mathématiques."

Initialement, Sawin et Wood voulaient utiliser des moments pour élargir les prédictions de Cohen-Lenstra à de nouveaux paramètres. Mais ils sont rapidement devenus insatisfaits de leur argument sur le problème du moment. "Nous avons eu besoin d'écrire des arguments similaires à plusieurs reprises", se souvient Sawin. De plus, a-t-il ajouté, le langage mathématique qu'ils utilisaient "ne semblait pas être au cœur de ce que faisait l'argument... Les idées étaient là, mais nous n'avions tout simplement pas trouvé la bonne façon de les exprimer".

Sawin et Wood ont approfondi leur preuve, essayant de comprendre ce qu'il y avait vraiment sous tout cela. Ils se sont retrouvés avec une preuve qui a résolu le problème du moment non seulement pour leur application spécifique, mais pour toute distribution de groupes - et pour toutes sortes d'autres structures mathématiques.

Ils divisent le problème en petites étapes gérables. Au lieu d'essayer de résoudre l'ensemble de la distribution de probabilité en une seule fois, ils se sont concentrés sur une petite tranche des moments.

Par exemple, pour résoudre le problème des moments pour une distribution de probabilité sur des groupes, chaque moment serait associé à un groupe G. Au début, Sawin et Wood examinaient un système d'équations qui n'incluait que les moments d'une liste restreinte de groupes. Ils ajoutaient ensuite lentement des groupes à la liste, regardant de plus en plus de moments à chaque fois. En rendant progressivement le problème plus complexe, ils ont transformé chaque étape en un problème résoluble. Peu à peu, ils ont construit une solution complète du problème du moment.

"Cette liste fixe est un peu comme les lunettes que vous mettez, et plus vous êtes prêt à considérer de groupes, meilleures sont vos lunettes", a expliqué Wood.

Quand ils ont finalement dépoussiéré le dernier des détails superflus, ils se sont retrouvés avec un argument dont les vrilles ont atteint à travers les mathématiques. Leur résultat a fonctionné pour des groupes de classe, pour des groupes associés à des formes géométriques, pour des réseaux de points et de lignes, ainsi que pour d'autres ensembles avec plus de complexité mathématique. Dans toutes ces situations, Sawin et Wood ont trouvé une formule qui prend en compte un ensemble de moments et recrache la distribution qui a ces moments (tant que les moments ne se développent pas trop rapidement, entre autres exigences).

"C'est tout à fait dans le style de Melanie", a déclaré Ellenberg. "Pour être comme, 'Prouvons un théorème très général qui gère beaucoup de cas différents de manière uniforme et élégante.'"

Sawin et Wood reviennent maintenant à leur objectif initial. Début janvier, ils ont partagé un nouveau document qui corrige prédictions Cohen-Lenstra erronées réalisée à la fin des années 1980 par Cohen et son collègue Jacques Martinet. Au-delà de cela, ils ont encore plus de résultats dans leur file d'attente, avec des plans pour étendre l'heuristique à des situations encore plus nouvelles. "Je ne sais pas si ce projet finira un jour", a déclaré Sawin.

Le problème du moment que Sawin et Wood ont résolu a été "une sorte d'épine à l'arrière de votre tête pour beaucoup de questions différentes", a déclaré Tsimerman. "Je pense que beaucoup de mathématiciens vont pousser un soupir de soulagement."