Introduction
La théorie des nœuds a commencé comme une tentative de comprendre la composition fondamentale de l'univers. En 1867, alors que les scientifiques essayaient avec impatience de comprendre ce qui pourrait expliquer tous les différents types de matière, le mathématicien et physicien écossais Peter Guthrie Tait a montré à son ami et compatriote Sir William Thomson son appareil pour générer des anneaux de fumée. Thomson - qui deviendra plus tard Lord Kelvin (homonyme de l'échelle de température) - a été captivé par les formes séduisantes des anneaux, leur stabilité et leurs interactions. Son inspiration l'a conduit dans une direction surprenante : peut-être, pensait-il, tout comme les anneaux de fumée étaient des vortex dans l'air, les atomes étaient des anneaux vortex noués dans l'éther luminifère, un milieu invisible à travers lequel, croyaient les physiciens, la lumière se propageait.
Bien que cette idée de l'ère victorienne puisse maintenant sembler ridicule, ce n'était pas une enquête frivole. Cette théorie du vortex avait beaucoup à recommander : la grande diversité des nœuds, chacun légèrement différent, semblait refléter les différentes propriétés des nombreux éléments chimiques. La stabilité des anneaux de vortex pourrait également fournir la permanence requise par les atomes.
La théorie du vortex a gagné du terrain dans la communauté scientifique et a inspiré Tait à commencer à compiler tous les nœuds, créant ce qu'il espérait être l'équivalent d'un tableau d'éléments. Bien sûr, les atomes ne sont pas des nœuds et il n'y a pas d'éther. À la fin des années 1880, Thomson abandonnait progressivement sa théorie des vortex, mais à ce moment-là, Tait était captivé par l'élégance mathématique de ses nœuds et il poursuivit son projet de tabulation. Dans le processus, il a établi le domaine mathématique de la théorie des nœuds.
Nous connaissons tous les nœuds - ils maintiennent les chaussures aux pieds, les bateaux fixés aux quais et les alpinistes sur les rochers en contrebas. Mais ces nœuds ne sont pas exactement ce que les mathématiciens (y compris Tait) appelleraient un nœud. Même si une rallonge emmêlée peut sembler nouée, il est toujours possible de la démêler. Pour obtenir un nœud mathématique, vous devez brancher les extrémités libres du cordon pour former une boucle fermée.
Parce que les brins d'un nœud sont flexibles comme une ficelle, les mathématiciens considèrent la théorie des nœuds comme un sous-domaine de topologie, l'étude des formes malléables. Parfois, il est possible de démêler un nœud pour qu'il devienne un simple cercle, que nous appelons le « dénouement ». Mais le plus souvent, démêler un nœud est impossible.
Les nœuds peuvent également se combiner pour former de nouveaux nœuds. Par exemple, la combinaison d'un nœud simple connu sous le nom de trèfle avec son image miroir produit un nœud carré. (Et si vous joignez deux nœuds de trèfle identiques, vous faites un nœud de grand-mère.)
En utilisant la terminologie du monde des nombres, les mathématiciens disent que le trèfle est un nœud premier, le nœud carré est composé et, comme le nombre 1, le dénouement n'est ni l'un ni l'autre. Cette analogie a été étayée en 1949 lorsque Horst Schubert a prouvé que chaque nœud est premier ou peut être décomposé de manière unique en nœuds premiers.
Une autre façon de créer de nouveaux nœuds consiste à entrelacer deux nœuds ou plus, formant un lien. Les anneaux borroméens, ainsi nommés parce qu'ils figurent sur les armoiries de la maison italienne de Borromée, en sont un exemple simple.
Thomson et Tate n'étaient pas les premiers à voir les nœuds d'une manière mathématique. Dès 1794, Carl Friedrich Gauss écrit et dessine des exemples de nœuds dans son carnet personnel. Et l'étudiant de Gauss, Johann Listing, a écrit sur les nœuds dans sa monographie de 1847 Études de topologie (« Études préliminaires de topologie ») - qui est également à l'origine du terme topologie.
Mais Tait a été le premier chercheur à travailler sur ce qui est devenu le problème fondamental de la théorie des nœuds : la classification et la tabulation de tous les nœuds possibles. Grâce à des années de travail minutieux utilisant uniquement son intuition géométrique, il a trouvé et classé tous les nœuds premiers qui, lorsqu'ils sont projetés sur un plan, ont au plus sept croisements.
À la fin du 19e siècle, Tait a appris que deux autres personnes - le révérend Thomas Kirkman et le mathématicien américain Charles Little - étudiaient également ce problème. Grâce à leurs efforts combinés, ils ont classé tous les nœuds principaux avec jusqu'à 10 croisements et beaucoup de ceux avec 11 croisements. Étonnamment, leurs tables jusqu'à 10 étaient complètes : ils n'ont manqué aucun nœud.
Il est remarquable que Tait, Kirkman et Little aient tant accompli sans les théorèmes et les techniques qui seraient découverts dans les années à venir. Mais une chose qui a joué en leur faveur est le fait que la plupart des petits nœuds sont "alternés", ce qui signifie qu'ils ont une projection dans laquelle les croisements présentent un motif cohérent sur-sous-sur-sous.
Les nœuds alternés ont des propriétés qui les rendent plus faciles à classer que les nœuds non alternés. Par exemple, trouver le nombre minimum de croisements pour toute projection d'un nœud est difficile. Mais Tait, qui pendant des années a supposé à tort que tous les nœuds alternaient, a conjecturé un moyen de savoir si vous avez trouvé ce nombre minimum : si une projection alternée n'a pas de croisements qui peuvent être supprimés en retournant une partie du nœud, alors il doit être la projection avec le nombre minimum de croisements.
Ceci et deux autres conjectures de Tait sur les nœuds alternés se sont avérés vrais. Pourtant, ces fameuses conjectures n'ont été prouvées qu'à la fin des années 1980 et au début des années 90 à l'aide d'un outil mathématique développé en 1984 par Vaughan Jones, qui a remporté la médaille Fields pour ses travaux sur la théorie des nœuds.
Malheureusement, les nœuds alternés ne vous mènent que très loin. Une fois que nous entrons dans des nœuds avec huit croisements ou plus, le nombre de nœuds non alternés augmente rapidement, rendant les techniques de Tait moins utiles.
Le tableau original de tous les 10 nœuds croisés était complet, mais Tait, Kirkman et Little ont compté deux fois. Ce n'est que dans les années 1970 que Kenneth Perko, un avocat qui avait étudié la théorie des nœuds à Princeton, a remarqué que deux des nœuds sont des images miroir l'un de l'autre. Ils sont maintenant connus sous le nom de paire Perko en son honneur.
Au cours du siècle dernier, les mathématiciens ont trouvé de nombreuses façons astucieuses de déterminer si les nœuds sont vraiment différents. En gros, l'idée est de identifier un invariant — une propriété, une quantité ou une entité algébrique qui est associée au nœud et qui peut souvent être calculée simplement. (Ces propriétés ont des noms comme la colorabilité, le numéro de pont ou la torsion.) Armés de ces étiquettes, les mathématiciens peuvent désormais facilement comparer deux nœuds : s'ils diffèrent par un attribut donné, alors ce n'est pas le même nœud. Aucune de ces propriétés, cependant, n'est ce que les mathématiciens appellent un invariant complet, ce qui signifie que deux nœuds différents peuvent avoir la même propriété.
En raison de toute cette complexité, il n'est peut-être pas surprenant que la tabulation des nœuds soit toujours en cours. Plus récemment, en 2020, Benjamin Burton classé tous les noeuds premiers jusqu'à 19 traversées (dont il y en a près de 300 millions).
La théorie traditionnelle des nœuds n'a de sens qu'en trois dimensions : en deux dimensions, seul le dénouement est possible, et en quatre dimensions, l'espace supplémentaire permet aux nœuds de se dénouer, de sorte que chaque nœud est identique au dénouement.
Cependant, dans un espace à quatre dimensions, nous pouvons nouer des sphères. Pour avoir une idée de ce que cela signifie, imaginez que vous découpiez une sphère ordinaire à intervalles réguliers. Cela donne des cercles, comme des lignes de latitude. Cependant, si nous avions une dimension supplémentaire, nous pourrions nouer la sphère de sorte que les tranches, maintenant tridimensionnelles plutôt que bidimensionnelles, pourraient être des nœuds.
Cette idée était à l'origine de l'un des plus grands résultats récents de la théorie des nœuds. En 2018, alors étudiante diplômée Lisa Piccirillo a réglé une question vieille de 50 ans à propos d'un nœud à 11 croisements découvert pour la première fois par John Conway. La question concernait une propriété appelée sliceness. Comme nous l'avons vu, lorsque nous découpons une sphère nouée en quatre dimensions, nous obtenons un nœud ou un lien en trois dimensions. Parfois, nous pouvons obtenir un nœud donné à partir d'une belle sphère bien nouée, mais pour d'autres nœuds, la sphère doit être nouée et froissée comme un morceau de vieux papier. Piccirillo a prouvé, en substance, que le nœud de Conway était de ce dernier type. Dans le jargon technique, elle a prouvé que ce n'est pas "trancher en douceur".
La théorie des nœuds a sillonné le paysage mathématique au fil des siècles. Cela a commencé comme un domaine appliqué des mathématiques, Thomson essayant d'utiliser des nœuds pour comprendre la composition de la matière. Au fur et à mesure que cette idée s'est estompée, elle est devenue un domaine des mathématiques pures, une branche du domaine intrigant et encore peu pratique de la topologie. Mais ces dernières années, la théorie des nœuds est redevenue un domaine appliqué des mathématiques, car les scientifiques utilisent les idées de la théorie des nœuds pour étudier dynamique des fluides, électrodynamique, molécules nouées telles que l'ADN etc. Heureusement, alors que les scientifiques étaient occupés à étudier d'autres choses, les mathématiciens construisaient des catalogues de nœuds et les outils pour démêler leurs secrets.
