आणविक मोज़ाइक की भविष्यवाणी करने वाली सरल ज्यामिति | क्वांटा पत्रिका

2021 की शरद ऋतु में शनिवार की दोपहर को, सिल्वियो डिकर्टिन्स के माध्यम से निकल रहा था एक पेपर एक शीर्षक के साथ जिसे गणितीय रूप से इच्छुक किशोरों के लिए एक कॉमिक बुक से लिया जा सकता था: "प्लेटो का घन और विखंडन की प्राकृतिक ज्यामिति।"

यह कोई असामान्य शीर्षक नहीं था जिसने उसका ध्यान खींचा, बल्कि तीसरे पन्ने की तस्वीरें - टूटी हुई पर्माफ्रॉस्ट से लेकर पृथ्वी की टेक्टोनिक प्लेटों तक हर पैमाने पर भूवैज्ञानिक पैटर्न। बर्न विश्वविद्यालय के एक रसायनज्ञ डेकर्टिन्स को उन सामग्रियों की याद दिलाई गई जिनका वह अध्ययन कर रहे थे। “आह! मेरे पास भी पैटर्न हैं!” उसने सोचा। "यह सिर्फ पैमाने की बात है।"

डेकर्टिन के पैटर्न पृथ्वी में दरारों से नहीं, बल्कि अणुओं द्वारा बने थे: वे केवल एक अणु मोटी चादरों में अणुओं की मोज़ेक जैसी टाइलिंग थे। इन 2डी सामग्रियों में विशिष्ट और व्यावहारिक गुण हो सकते हैं जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि उनके आणविक निर्माण खंड कैसे व्यवस्थित हैं।

उदाहरण के लिए, अणुओं को 2डी पैटर्न में व्यवस्थित करना संभव है जो इलेक्ट्रॉनों को कम्प्यूटेशनल बिट्स के रूप में या डेटा संग्रहीत करने के लिए उपयोग करते हैं। अंतराल वाले पैटर्न झिल्ली के रूप में कार्य कर सकते हैं। और जिन पैटर्न में धातु आयन होते हैं वे शक्तिशाली उत्प्रेरक हो सकते हैं।

इन 2डी सामग्रियों को परमाणु दर परमाणु बनाना संभव है, लेकिन ऐसा करना महंगा, कठिन और समय लेने वाला है। डेकर्टिन और उनके सहयोगियों सहित बहुत से वैज्ञानिक ऐसी सामग्री डिज़ाइन करना चाहते हैं जो स्वयं जुड़ जाए। उन्होंने कहा, यह भविष्यवाणी करना कि अणु स्वयं कैसे 2डी शीट में एकत्रित होते हैं, सामग्री विज्ञान की बड़ी चुनौतियों में से एक है जोहान्स बार्थ, म्यूनिख के तकनीकी विश्वविद्यालय में एक भौतिक विज्ञानी।

ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रकृति अपने आणविक डिजाइन दर्शन के साथ विशेष रूप से आगे नहीं बढ़ रही है। सेल्फ-असेंबली का पूर्वानुमान लगाना सुपर कंप्यूटर का काम है, और आवश्यक हेवीवेट प्रोग्राम को चलने में कई दिन या सप्ताह लग सकते हैं।

तो डिकर्टिन्स से संपर्क हुआ गैबोर डोमोकोस, अध्ययन के पहले लेखक, बुडापेस्ट यूनिवर्सिटी ऑफ टेक्नोलॉजी एंड इकोनॉमिक्स के गणितज्ञ हैं। डेकर्टिन्स को आश्चर्य हुआ कि क्या वही ज्यामिति जो ग्रहों के फ्रैक्चर का वर्णन करती है, यह बता सकती है कि अणु कैसे इकट्ठे होते हैं।

अगले वर्ष, डोमोकोस और उनके सहयोगियों ने आणविक स्व-संयोजन के नियमों को खोलने के लिए ज्यामितीय सोच का उपयोग किया - एक नया तरीका ईजाद कर रहे हैं केवल टेस्सेलेशन की सरल ज्यामिति का उपयोग करके अणुओं द्वारा बनाए जा सकने वाले मोज़ाइक को नियंत्रित करना।

डोमोकोस ने कहा, "पहले तो उन्हें विश्वास नहीं हुआ कि आप यह कर सकते हैं।" “वे कृत्रिम बुद्धिमत्ता, सुपरकंप्यूटिंग और इस तरह के सभी जाज कर रहे थे। और अब वे सिर्फ फॉर्मूले देख रहे हैं. और यह बहुत आरामदायक है।”

ग्रहों से परमाणुओं तक

 डेकर्टिन्स के संपर्क में आने के बाद, डोमोकोस ने इस विचार को बेचने की कोशिश की क्रिस्ज़टीना रेगोस, उसका स्नातक छात्र। डेकर्टिन्स ने परमाणु पैमाने पर पैटर्न को दर्शाने वाली कुछ छवियां भेजी थीं - एक अणु की टाइलिंग जिसे उनके सहयोगी द्वारा डिजाइन और संश्लेषित किया गया था शि-ज़िया लियू - एक शक्तिशाली सूक्ष्मदर्शी की आँख से देखा गया। डोमोकोस यह देखना चाहते थे कि क्या रेगस उस ज्यामिति का उपयोग कर सकता है जिसे उसने मूल रूप से डेकर्टिन्स की छवियों में पैटर्न को चित्रित करने के लिए भूवैज्ञानिक फ्रैक्चर का वर्णन करने के लिए विकसित किया था।

आरंभ करने के लिए, रेग्ज़ ने 2डी सामग्रियों को सरल बहुभुज टेस्सेलेशन के रूप में माना - ऐसे पैटर्न जो बिना किसी अंतराल के एक साथ फिट होते हैं और असीमित रूप से दोहराए जाते हैं। फिर, डोमोकोस के दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए, उसने प्रत्येक पैटर्न के लिए दो संख्याओं की गणना की। पहला प्रति बहुभुज शीर्षों या कोनों की औसत संख्या थी। दूसरा प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर बहुभुजों की औसत संख्या थी।

साथ में, वे दो औसत मान एक पैटर्न के जीपीएस निर्देशांक की तरह हैं। वे सभी संभावित टेस्सेलेशन के परिदृश्य के भीतर इसका स्थान देते हैं।

इस भूदृश्य को प्रतीकात्मक तल कहा जाता है। यह एक साधारण 2D ग्रिड है जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर आकृतियों की औसत संख्या होती है x-अक्ष और प्रति आकृति शीर्षों की औसत संख्या y-एक्सिस। प्रत्येक टेस्सेलेशन को समतल के ठीक एक बिंदु पर प्लॉट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक आदर्श मधुकोश पैटर्न, छह-नुकीले षट्कोणों का एक टेस्सेलेशन है जो प्रत्येक शीर्ष पर तिकड़ी में मिलते हैं - प्रतीकात्मक विमान में (3, 6) पर एक बिंदु।

लेकिन अधिकांश प्राकृतिक मोज़ाइक, चट्टान की दरारों से लेकर आणविक मोनोलेयर्स तक, पूरी तरह से आवधिक टेस्सेलेशन नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, असली मोम के छत्ते की सभी कोशिकाएँ पूर्ण षट्भुजाकार नहीं होती हैं। मधुमक्खियाँ गलतियाँ करती हैं। लेकिन चाहे यह कितना भी गन्दा क्यों न हो, एक छत्ते का छत्ता अभी भी, औसतन, एक छत्ते ही है। और औसतन, यह अभी भी प्रतीकात्मक तल में एक बिंदु (3, 6) पर स्थित है। गणितज्ञ ने कहा, अत्यधिक सरलीकरण होने के बजाय, औसत की गणना करने की डोमोकोस की विधि व्यावहारिक है मारजोरी सेनेचल स्मिथ कॉलेज के, जिन्होंने नए अध्ययन की समीक्षा की। गलतियों को दूर करके और पैटर्न को औसत मानकर, यह एक प्रकार की आदर्श वास्तविकता को प्रकट करता है जो आम तौर पर घटनाओं के ढेर के नीचे दबी होती है।

लेकिन जब रेगुज़ ने इस विधि को डेकर्टिन्स के आणविक चित्रों पर लागू करने की कोशिश की, तो वह तुरंत मुसीबत में पड़ गई। “मैंने उन्हें प्रतीकात्मक स्तर पर रखना शुरू किया,” उसने कहा, “और तब मुझे एहसास हुआ कि मैं ऐसा नहीं कर सकती।”

समस्या पैमाने की थी. डोमोकोस ने पहले जिस भूवैज्ञानिक पैटर्न के साथ काम किया था, उसके विपरीत, आणविक मोज़ाइक वास्तव में पैटर्न के भीतर पैटर्न हैं। अलग-अलग आवर्धन पर देखने पर, उनकी ज्यामिति अलग-अलग होती है। रेगुज़ आण्विक मोज़ेक का वर्णन मूल्यों की एक जोड़ी के साथ नहीं कर सका क्योंकि पैटर्न ने छवि के आवर्धन के आधार पर प्रतीकात्मक विमान पर विभिन्न बिंदुओं को प्लॉट किया था। यह कुछ-कुछ वैसा ही था जैसे किसी हेक्सागोनल टाइलिंग पर ज़ूम करना और यह पता लगाना कि इसके मूल बिल्डिंग ब्लॉक वास्तव में त्रिकोण हैं।

"तो क्रिस्ज़टी ने कहा: ठीक है, यह एक गड़बड़ है," डोमोकोस ने कहा।

फिर उसे पता चला कि मोज़ाइक को कैसे व्यवस्थित किया जाए। सामग्री के नेस्टेड पैटर्न को औसत की एक जोड़ी में मजबूर करने के बजाय, उसने उन्हें संगठन के तीन स्तरों में तोड़ दिया, प्रत्येक को प्रतीकात्मक विमान पर अपने स्वयं के बिंदु द्वारा दर्शाया गया।

सबसे निचले स्तर पर, प्रत्येक अणु में परमाणु मिलकर एक बहुभुज बनाते हैं। फिर वे अणु हाइड्रोजन बांड के माध्यम से एक-दूसरे से जुड़ते हैं, जिससे बहुभुज का एक टेस्सेलेशन बनता है। अंत में, सबसे ज़ूम-आउट स्तर पर, व्यक्तिगत अणु बिंदुओं में सिकुड़ जाते हैं, और वे बिंदु मोज़ेक बनाने के लिए जुड़ जाते हैं।

रेगस के नए ढांचे में, प्रत्येक स्तर को बिंदुओं और रेखाओं के एक सरल जाल के रूप में दर्शाया जाता है - एक ग्राफ।

आणविक पैटर्न का वर्णन करने के लिए ग्राफ़ सिद्धांत का उपयोग करना "बहुत शक्तिशाली है," ने कहा कार्लोस-एंड्रेस पाल्मा, चीनी विज्ञान अकादमी और बर्लिन के हम्बोल्ट विश्वविद्यालय में एक रासायनिक भौतिक विज्ञानी। परंपरागत रूप से, वैज्ञानिक पैटर्न को उनकी समरूपता के आधार पर वर्गीकृत करते हैं। लेकिन यह वास्तविकता की गड़बड़ी को प्रतिबिंबित नहीं करता है - वास्तविक नैनोमटेरियल शायद ही कभी पूरी तरह से आवधिक या सममित होते हैं, पाल्मा ने कहा। इसलिए आणविक पैटर्न को सरल, लचीले ग्राफ़ में कम करने से "मेरी राय में, हमें प्राकृतिक दुनिया के साथ बहुत बेहतर तरीके से संवाद करने की अनुमति मिलती है," उन्होंने कहा।

पैटर्न की भविष्यवाणी करना

रेगस और डोमोकोस के पास अब डिकर्टिन्स के आणविक मोज़ाइक का वर्णन करने का एक तरीका था, जो यह भविष्यवाणी करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम था कि अणु कैसे स्वयं-इकट्ठे हो सकते हैं।

"हम वास्तव में भविष्यवाणी करने में बहुत ख़राब हैं," उन्होंने कहा उलरिच एस्चौएर, साल्ज़बर्ग विश्वविद्यालय में एक कम्प्यूटेशनल भौतिक विज्ञानी जो स्व-संयोजन पर काम करता है।

परंपरागत रूप से, वैज्ञानिक यह अनुमान लगाने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हैं कि अणु स्वयं कैसे एकत्रित होंगे। एस्चौएर अनुकरण करता है कि अणु किसी सतह पर कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। फिर वह उन पैटर्न की पहचान करता है जिन्हें बनाने के लिए कम से कम ऊर्जा की आवश्यकता होती है, जिनके प्रकट होने की सबसे अधिक संभावना होनी चाहिए। अन्य वैज्ञानिक बड़ी संख्या में बेतरतीब ढंग से उत्पन्न पैटर्न की स्क्रीनिंग करते हैं, या वे स्व-असेंबली का पूर्वानुमान लगाने के लिए मशीन लर्निंग एल्गोरिदम को प्रशिक्षित करते हैं। ये सभी विधियाँ कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी हैं - पाल्मा ने याद किया कि कैसे एक सहकर्मी ने वर्षों तक पानी के अणुओं का अनुकरण किया था, सिर्फ एक भविष्यवाणी करने के लिए कि पानी कैसे स्वयं-संयोजन करता है। मशीन लर्निंग एल्गोरिदम में भी ब्लाइंड स्पॉट होते हैं; एस्चौएर ने कहा, वे केवल वही सीखते हैं जो आप उन्हें खिलाते हैं। और हर संभावित पैटर्न की जांच करना असंभव है, इसलिए वैज्ञानिकों को अक्सर यह अनुमान लगाना पड़ता है कि सबसे पहले कौन से पैटर्न पर विचार करना उचित है।

एस्चौएर ने समझाया, "हमारा शुरुआती अनुमान ही उस अंतिम चीज़ को निर्धारित करता है जो हम पाते हैं।" "और यह एक बड़ी समस्या है क्योंकि अगर मेरे पास शुरुआत करने के लिए सही अंतर्ज्ञान नहीं है, तो मैं गलत रास्ते पर पहुंच जाता हूं।"

लेकिन रेगोस और डोमोकोस की ज्यामिति अज्ञेयवादी थी। इसने अणुओं को बिंदुओं के रूप में और बंधों को रेखाओं के रूप में माना। इसके लिए प्रारंभिक अनुमान की आवश्यकता नहीं थी।

स्विट्ज़रलैंड में एस्चौएर और डेकर्टिन से व्यक्तिगत रूप से मिलने के बाद, गणितज्ञों ने अंततः पैटर्न का वर्णन करने के बजाय उनकी भविष्यवाणी करने की कोशिश करने के गंदे व्यवसाय की ओर रुख किया।

गोम्बोक्स और पुल

जैसा कि यह खड़ा था, रेगोस प्रणाली एक पैटर्न के मध्य स्तर के संगठन को बाधित कर सकती है, जिसमें अणु बहुभुज होते हैं और हाइड्रोजन बांड रेखाएं होते हैं। लेकिन वह बड़े पैमाने पर मोज़ेक की भविष्यवाणी करने के लिए आणविक टाइल से ऊपर की ओर काम नहीं कर सकी। तीनों स्तरों को गणितीय रूप से जोड़ने के बिना, उसका मॉडल एक सीढ़ी की तरह था जिसका पायदान गायब था।

डोमोकोज़ ने निर्णय लिया कि इसमें जाँच करना उचित होगा कोस्त्या नोवोसेलोव - सिंगापुर के राष्ट्रीय विश्वविद्यालय में एक भौतिक विज्ञानी जो नोबेल पुरस्कार साझा किया ग्राफीन को संश्लेषित करने के लिए, शायद सभी में से सबसे प्रसिद्ध 2डी सामग्री। नोवोसेलोव द्वारा विशिष्ट संख्या में आदेश देने के बाद, उस वर्ष की शुरुआत में दोनों की आकस्मिक मुलाकात हुई थी गोम्बोक्स, नए ज्यामितीय रूप जो डोमोकोस ने बुडापेस्ट के एक स्टोर से खोजे थे।

नोवोसेलोव के इनपुट के साथ, डोमोकोस और रेगोस ने अपने ज्यामितीय मॉडल को परिष्कृत किया। तब तक, उन्होंने संगठन के केवल तीन स्तरों का उपयोग किया था: अणु, मध्यम-पैमाने का पैटर्न, और बड़े पैमाने का पैटर्न। नोवोसेलोव ने चौथा स्तर जोड़ने का सुझाव दिया - मध्यम और बड़े स्तरों के बीच एक पुल। इस पुल का वर्णन करने वाले समीकरण ने सबसे छोटे और मध्य स्तरों की ज्यामिति को सबसे बड़े स्तर, आणविक मोज़ेक से जोड़ा है।

पुल की स्थापना के साथ, टीम अब आणविक टाइल ले सकती है और पांच बीजगणितीय समीकरणों और असमानताओं की एक सरल प्रणाली का उपयोग करके अपने संभावित बड़े पैमाने के पैटर्न को सीमित करने के लिए ऊपर की ओर काम कर सकती है जो एक लिफाफे के पीछे फिट हो सकती है। इन गणितीय कथनों में, चर प्रतीकात्मक तल पर एक पैटर्न के निर्देशांक हैं, साथ ही अणु की संरचना का वर्णन करने वाले कुछ शब्द भी हैं। समग्र रूप से लिया जाए तो, सिस्टम संगठन के प्रत्येक स्तर को दूसरे से और प्रतीकात्मक स्तर पर एक पैटर्न के निर्देशांक से संबंधित करता है।

प्रतीकात्मक तल पर प्लॉट किए गए, एक अणु की संभावित बड़े पैमाने की व्यवस्था सभी संभावित स्थान-भरने वाले 2 डी आणविक पैटर्न को परिभाषित करने वाले वक्र के एक छोटे टुकड़े पर गिरती है। शोधकर्ता अब उस टुकड़े को बाधित करने के लिए शुरुआती अणु का उपयोग कर सकते हैं।

लेकिन वे अभी तक आश्वस्त नहीं थे कि संभावित पैटर्न का उनका "टुकड़ा" काफी छोटा था। यदि यह बहुत चौड़ा होता, तो यह बहुत उपयोगी बाधा नहीं होती। जब लियू ने प्रतीकात्मक तल पर 2डी जल बर्फ की संरचनाएं बनाईं, तो उन्होंने पाया कि वे विधि की अनुमानित सीमा के चरम छोर पर पूरी तरह से गिर गईं। सीमा में सुधार नहीं किया जा सका.

डोमोकोस ने कहा, "यह यहां की प्रकृति की भाषा है।" "वह मेरे लिए बहुत बड़ा आश्चर्य था।"

विकास और स्वरूप

परियोजना के अंत के करीब, मई 2022 में, हंगरीवासियों ने फिर से स्विट्जरलैंड की यात्रा की। इस बार, उनके सहकर्मियों ने उस माइक्रोस्कोप का दौरा करके उन्हें आश्चर्यचकित कर दिया, जिसने उन छवियों को तैयार किया था, जिनके साथ वे काम कर रहे थे - और तभी रेगोस और डोमोकोस को अंततः एहसास हुआ कि उन्होंने क्या किया है: गणितीय रूप से बड़े पैमाने के मोज़ाइक को आणविक बंधनों से जोड़कर बहुत छोटे पैमाने पर, उन्होंने अंतःक्रियाओं की अदृश्य उलझन को पकड़ लिया था जो अंततः यह तय करती है कि आणविक पैटर्न कैसे बनते हैं। उनकी ज्यामिति उन चीज़ों को "देख" सकती है जिन्हें मशीन नहीं देख सकती।

"यह अविश्वसनीय था," रेगस ने कहा। "हम तहखाने में गए और देखा कि वे हमारे विज्ञान की सीमा पर थे।"

नोवोसेलोव ने कहा, स्व-इकट्ठे पैटर्न को समझने के लिए माइक्रोस्कोप का उपयोग करना, ऊपर से घास की तस्वीरें लेकर उसे समझने की कोशिश करने जैसा है। उन्होंने कहा, वे तस्वीरें आपको घास के बारे में बहुत कुछ बताती हैं, "लेकिन निश्चित रूप से सब कुछ नहीं।" वे घास की जड़ों या यह कैसे बढ़ती है, इसके बारे में बहुत कम बताते हैं। डोमोकोस और रेगस का ढांचा जड़ों को पूरी तरह से नहीं देख सकता है, लेकिन यह एक पैटर्न के आणविक निर्माण खंडों को अंतिम मोज़ेक से जोड़कर, उन्हें स्केच करने का एक बिल्कुल नया तरीका प्रदान करता है।

सेनेचल ने कहा, "वे विकास और स्वरूप के बीच संबंधों का अध्ययन करने की एक अद्भुत पुरानी परंपरा को जारी रख रहे हैं, जो वास्तव में हमारे आसपास की दुनिया में कुछ भी समझने के लिए केंद्रीय है।"

आणविक स्व-संयोजन अक्सर सामग्री के एक छोटे से टुकड़े से शुरू होता है जो बड़े पैटर्न में विकसित होता है। हालाँकि, नया गणितीय ढाँचा एक अनंत पैटर्न मानता है, न कि एक सीमित पैच। पाल्मा ने कहा, यह वर्णन करने के लिए कार्य को अपनाना कि कैसे परिमित पैच बड़े पैटर्न में विकसित होते हैं, वास्तविक भविष्यवाणी की ओर एक कदम हो सकता है। एस्चौएर ने कहा कि वह ज्यामिति को संभावित पैटर्न के परिदृश्य में मृत सिरों और आशाजनक लेकिन अज्ञात कोनों के लिए एक मार्गदर्शक के रूप में उपयोग करने की योजना बना रहे हैं। उन्होंने कहा, और मशीन लर्निंग मॉडल को प्रशिक्षित करने के लिए प्रतीकात्मक स्तर की गणितीय भाषा का उपयोग करना रोमांचक हो सकता है।

नोवोसेलोव ने कहा, "मैं वास्तव में इसकी सुंदरता को लेकर उत्सुक हूं।" "बहुत कम - केवल एक मौलिक गणितीय दृष्टिकोण के साथ, जो वास्तव में शुद्ध ज्यामिति है, केवल 2डी में ग्राफ़ - आप बहुत सी चीजों की भविष्यवाणी करने में सक्षम हैं।"

गणित सरल है, सेनेचल ने कहा। लेकिन "सादगी देखने के लिए," उन्होंने कहा, "बहुत परिष्कार की आवश्यकता होती है।"