परिचय
अनंत का विचार शायद उतना ही पुराना है जितना कि स्वयं संख्या, जब लोगों को पहली बार एहसास हुआ कि वे हमेशा के लिए गिनती जारी रख सकते हैं। लेकिन भले ही हमारे पास अनंत के लिए एक संकेत है और आकस्मिक बातचीत में अवधारणा को संदर्भित कर सकता है, गणितज्ञों के लिए भी अनंत गहराई से रहस्यमय बना हुआ है। इस कड़ी में, स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ अपने साथी गणितज्ञ के साथ बातचीत करते हैं जस्टिन मूर कॉर्नेल विश्वविद्यालय के बारे में कि कैसे एक अनंत दूसरे से बड़ा हो सकता है (और क्या हम सुनिश्चित हो सकते हैं कि उनके बीच कोई मध्यवर्ती अनंतता नहीं है)। वे इस बात पर भी चर्चा करते हैं कि कैसे भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ अलग-अलग तरीके से अनंत का उपयोग करते हैं और गणित की नींव के लिए अनंत का महत्व।
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प्रतिलेख
स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ (00:03): मैं स्टीव स्ट्रोगेट्ज हूं, और यह है क्यों की खुशी, से एक पॉडकास्ट क्वांटा पत्रिका जो आपको आज गणित और विज्ञान के कुछ सबसे बड़े अनुत्तरित प्रश्नों में ले जाता है।
(00:13) इस कड़ी में, हम अनंत पर चर्चा करने जा रहे हैं। वास्तव में कोई नहीं जानता कि अनंतता का विचार कहां से आया है, लेकिन यह बहुत प्राचीन होना चाहिए - लोगों की आशाओं और चीजों के बारे में डर के रूप में पुराना होना चाहिए जो हमेशा के लिए चल सकता है। उनमें से कुछ डरावने हैं, जैसे अथाह गड्ढे, और उनमें से कुछ उत्थानशील हैं, जैसे अंतहीन प्रेम। गणित के भीतर, अनंत का विचार शायद उतना ही पुराना है जितना कि स्वयं संख्याएँ। एक बार लोगों को एहसास हुआ कि वे बस हमेशा के लिए गिनते रह सकते हैं - 1, 2, 3 और इसी तरह। लेकिन भले ही अनंत एक बहुत पुराना विचार है, यह गहन रूप से रहस्यमय बना हुआ है। लोग हजारों वर्षों से अनंतता के बारे में अपना सिर खुजला रहे हैं, कम से कम प्राचीन ग्रीस में ज़ेनो और अरस्तू के बाद से।
(00:57) लेकिन गणितज्ञ आज अनंतता का बोध कैसे कराते हैं? क्या अनंत के विभिन्न आकार हैं? क्या अनंतता गणितज्ञों के लिए उपयोगी है? और यदि हां, तो बिल्कुल कैसे? और इस सबका गणित की नींव से क्या लेना-देना है?
(01:14) अनंतता पर चर्चा करने के लिए आज मेरे साथ जुड़ रहे हैं कॉर्नेल में गणित के प्रोफेसर जस्टिन मूर। उनके शोध के हितों में सेट थ्योरी, गणितीय तर्क और अनंत कॉम्बिनेटरिक्स और गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे टोपोलॉजी, कार्यात्मक विश्लेषण और बीजगणित में उनके अनुप्रयोग शामिल हैं। स्वागत है, जस्टिन।
जस्टिन मूर (01:33): अरे, स्टीव। मुझे रखने के लिए धन्यवाद।
स्ट्रोगेट्ज़ (01:35): हाँ, मैं आपसे बात करने के लिए बहुत उत्साहित हूँ। मुझे कहना चाहिए, शायद पूर्ण प्रकटीकरण के लिए, जस्टिन कॉर्नेल में गणित विभाग में मेरे मित्र और सहयोगी हैं। ठीक है, तो हम चले जाते हैं, फिर, अनंत के बारे में सोचने के लिए जैसे गणितज्ञ इसके बारे में सोचते हैं। वास्तव में, शायद इससे पहले कि हम गणित के भाग में गोता लगाएँ, आइए वास्तविक दुनिया के बारे में एक सेकंड के लिए बात करें, क्योंकि हम वहाँ अधिक समय तक नहीं रहेंगे। अब, क्या मैं सही हूँ, कि आप कभी भौतिकी की दुनिया में प्रशिक्षित थे?
मूर (02:02): हाँ, जब मैं अंडरग्रेजुएट था, तो यह गणित के साथ भौतिकी का डबल मेजर था। मैं भौतिकी पर एक तरह से जल गया। मैंने भौतिकी का पक्ष लेना शुरू कर दिया और कुछ हद तक गणित में अधिक मनोरंजक रूप से दिलचस्पी लेने लगा। और फिर किसी तरह, इसके माध्यम से, मुझे गणित और भौतिकी में अधिक रुचि हो गई।
स्ट्रोगेट्ज़ (02:18): ठीक है। खैर, अनंत की भौतिकी के बारे में क्या? क्या इसका कोई मतलब है? क्या वास्तविक दुनिया में कोई अनंत सामग्री है जिसके बारे में हम जानते हैं?
मूर (02:26): आप जानते हैं इस वीडियो, 10 की शक्तियाँ, जिसे चार्ल्स और रे एम्स ने बनाया था? जहां मूल रूप से हर — मुझे लगता है कि यह हर 10 सेकंड में होता है, आप 10 छोटे की शक्ति हैं। खैर, सबसे पहले, मुझे लगता है कि 10 की शक्ति बड़ी है। आप ज़ूम आउट करें। और फिर हर 10 सेकंड में, आप 10 छोटे की शक्ति हैं, और आप ब्रह्मांड के सबसे बड़े पैमाने से उप-परमाण्विक कण के सबसे छोटे पैमाने पर जाते हैं। तुम्हें पता है, इसे वापस बनाया गया था, मैं कहना चाहता हूं, 70 के दशक के अंत या 80 के दशक की शुरुआत में। और मुझे लगता है कि तब से कुछ चीजों के बारे में हमारी समझ थोड़ी विकसित हुई है, लेकिन जबरदस्त नहीं। लेकिन मेरा मतलब है, बिंदु यह है कि 40 की लगभग 10 शक्तियां हैं जो लंबाई के सबसे छोटे पैमाने को लंबाई के सबसे बड़े पैमाने से अलग करती हैं, और शायद आप उदार हो सकते हैं और अच्छे उपाय के लिए 10 की कई अतिरिक्त शक्तियां डाल सकते हैं। लेकिन यह कहना उचित है कि ऐसा कुछ भी नहीं है जिसे आप भौतिक विज्ञान में माप सकते हैं जो कि आप जानते हैं, 10 से बड़ा है100 या 10200 या कुछ इस तरह का।
(03:22) और हो सकता है कि चीजों के निरंतर होने की हमारी अवधारणा - निरंतर गति या जो भी हो - शायद यह सब सिर्फ एक भ्रम है। शायद सब कुछ वास्तव में दानेदार और परिमित है। लेकिन जो सच है वह यह है कि निश्चित रूप से भौतिकविदों ने उस दुनिया के बारे में बहुत कुछ खोजा है जिसमें हम रहते हैं, यह कल्पना करके कि चीजें सुचारू और निरंतर हैं, और यह कि अनंतता समझ में आती है। जब आप भौतिकी के उन हिस्सों में जाते हैं जहाँ उन्होंने अभी तक वास्तव में औपचारिक रूप नहीं दिया है, तो भौतिकविदों के लिए गणितज्ञों के पास जो बहुत सारे मुद्दे हैं, वे विभिन्न प्रकार के घुड़सवार तरीकों से अनंत का इलाज कर रहे हैं, और अनंत से अनंत को घटा रहे हैं। , और शायद इसके लिए उतना जवाबदेह न होना जितना एक गणितज्ञ चाहेंगे। मुझे नहीं लगता कि यह वास्तव में एक विवादास्पद बयान है। मुझे लगता है कि एक भौतिक विज्ञानी - अधिकांश भौतिक विज्ञानी शायद - मेरा मतलब है, ठीक है, शायद आप बेहतर जानते होंगे। लेकिन मेरा मानना है कि अधिकांश भौतिक विज्ञानी कहेंगे कि यह काफी हद तक सही कथन है।
स्ट्रोगेट्ज़ (04:20): तो, आपकी अपनी व्यक्तिगत कहानी के संदर्भ में - मैं वादा करता हूँ कि मैं आपको इस पर शर्मिंदा करने के लिए बहुत गहराई तक नहीं जाऊँगा - लेकिन वह क्या था जिसने आपको अनंत तक खींचा? क्या यह किसी तरह था कि भौतिकी आपके लिए बहुत छोटी थी? या आपको गणित की कठोरता पसंद है, या...?
मूर (04:33): मेरा मतलब है, मुझे लगता है कि मुझे पूरी तरह से गणित में दिलचस्पी है और विशेष रूप से सेट थ्योरी में दिलचस्पी लेने से पहले मैं भौतिकी से दूर हो गया। विडंबना यह है कि यह इसलिए था क्योंकि मैं - ठीक है, यदि आप भौतिकी की कक्षा लेते हैं, तो किसी बिंदु पर, आप गणित के साथ काफी तेज और ढीले हो जाते हैं। और आप या तो इसके साथ ठीक हैं, या आप नहीं हैं। मैं उन लोगों में से एक था जो इसके साथ ठीक नहीं थे।
स्ट्रोगेट्ज़ (04:56): हुह। और मैं वह था जो ठीक था, और मैं अभी भी कर रहा हूँ। आप जानते हैं, मेरा मतलब है, उन चीजों ने मुझे बहुत चिंतित नहीं किया है, हालांकि मैं इस बात का सम्मान करता हूं कि - शुद्ध गणितज्ञों की बौद्धिक अखंडता, आप जानते हैं, इन चीजों के बारे में चिंता करना।
(05:11): ठीक है, तो मान लीजिए कि मैं एक जिज्ञासु किशोरी की तरह बस, मुझे नहीं पता, और मुझे यह भी नहीं पता कि अनंत क्या है। आप कहेंगे कि यह क्या है? क्या मुझे इसे एक बहुत बड़ी संख्या के रूप में सोचना चाहिए? यह कोई प्रतीक है? क्या यह संपत्ति है? अनंत क्या है इसके बारे में सोचने का एक अच्छा तरीका क्या है?
मूर (05:26): हाँ, मेरा मतलब है, मुझे लगता है कि यह - यह पंक्ति के अंत में एक आदर्श बिंदु हो सकता है, ठीक है? यह एक औपचारिक प्रतीक हो सकता है। आप जानते हैं, आप इसके बारे में इस तरह से सोच सकते हैं ... एक औपचारिक प्रतीक उसी अर्थ में जैसा कि हम कहते हैं, हम -1 का परिचय देते हैं, है ना? और मुझे याद है जब मैं छोटा बच्चा था, तो शिक्षक यह स्पष्ट करने के लिए तैयार नहीं होते थे कि ऋणात्मक संख्याओं के बारे में बात करना सुरक्षित है या नहीं। और, ठीक है, यह देखने में मूर्खतापूर्ण लगता है, लेकिन किसी स्तर पर, ठीक है, क्या -1 वास्तविक दुनिया में मौजूद है? लेकिन आप औपचारिक रूप से इसमें हेरफेर कर सकते हैं और आप किसी स्तर पर अनंतता में औपचारिक रूप से हेरफेर कर सकते हैं, लेकिन आपको शायद थोड़ी अधिक देखभाल करनी होगी। आप अनंतता का उपयोग यह मापने के साधन के रूप में भी कर सकते हैं कि कोई वस्तु कितनी है। और यह वहाँ और अधिक दरवाजे खोलता है, क्योंकि आप बात कर सकते हैं कि अनंत सेट हैं, जिनमें से कुछ दूसरों की तुलना में बड़े हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (06:15): ठीक है। ठीक है। तो आपने इस शब्द "सेट" का उल्लेख किया है और हम निश्चित रूप से आज सेट के बारे में बहुत सारी बातें करने जा रहे हैं। मैंने कहा था कि आपकी रुचियों में सेट थ्योरी शामिल है। क्या आप इस बारे में कुछ और कहना चाहते हैं कि समुच्चय से आपका क्या तात्पर्य है?
मूर (06:26): मुझे लगता है मैं... इसका उत्तर हां और ना दोनों में है। इसलिए मुझे लगता है कि किसी की पैंट की सीट से उड़ना ठीक है और इसे केवल एक अपरिभाषित धारणा के रूप में देखें और इसे सहजता से उपयोग करें। लेकिन यह गणित के लिए नींव प्रदान करने के लिए एक तंत्र के रूप में भी इस्तेमाल किया गया था, जब लोगों ने महसूस किया कि हमें गणित क्या है, इसकी कुछ सावधानीपूर्वक नींव बनाने की आवश्यकता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (06:49): उह हुह। यह तो दिलचस्प है. क्योंकि मैं — छोटे बच्चों की तरह, हम अपनी उंगलियों पर गिनना सीखते हैं, या हमारे माता-पिता शायद शब्द कहना शुरू कर देते हैं, और फिर वे चीजों की ओर इशारा कर सकते हैं और कह सकते हैं, "1, 2, 3 ..." और हमने ध्वनियाँ सीखीं - बच्चे इस तरह जब वे बहुत छोटे होते हैं, मुझे पता है, है ना? मेरा मतलब है, अगर आपके खुद छोटे बच्चे हैं, या रिश्तेदार हैं। तो चीजों का वह पक्ष है। और मुझे लगता है कि ज्यादातर लोग कल्पना करेंगे कि संख्याएँ गणित की नींव हैं। लेकिन आप कह रहे हैं, और मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ इस बात से सहमत होंगे, कि संख्याओं से भी गहरा कुछ है, जो सेट की अवधारणा है, है ना?
मूर (07:22): मुझे लगता है कि "सेट" की अवधारणा एक मूलभूत अवधारणा के रूप में आई क्योंकि यह बहुत बुनियादी और इतनी आदिम है। और यदि आप चाहते हैं, यदि आप गणित के लिए कपड़े के रूप में उपयोग करने के लिए कुछ चाहते हैं, तो आप किसी ऐसी चीज से शुरुआत करना चाहते हैं जहां इसके मूल गुण बहुत आदिम लगते हैं, और फिर वहां से शुरू करें। और फिर विचार यह है कि आप फिर सेट का उपयोग गिनती की संख्या जैसी चीजों को एनकोड करने के लिए करते हैं, और परिमेय संख्या जैसी चीजें, और वास्तविक संख्या, और इसी तरह। और फिर वहां से, सभी प्रकार के अन्य जटिल गणितीय निर्माण, जैसे कई गुना, या, या जो भी हो।
स्ट्रोगेट्ज़ (07:57): तो मुझे याद है, एक में तिल सड़क एपिसोड जो मैं अपने बच्चों के साथ देखा करता था। यह एक फिल्म में था; मुझे लगता है कि यह था। कि वहाँ एक चरित्र है जो भूखे पेंगुइन से भरे कमरे के लिए मछली का ऑर्डर दे रहा था। और उसने पेंगुइन को बाहर बुलाने के लिए कहा, और वे कहते हैं, "मछली, मछली, मछली, मछली, मछली, मछली।" और फिर वेटर रसोई में बुलाता है, "मछली, मछली, मछली, मछली, मछली।" और फिर कोई और कहता है, "नहीं, तुम गलत समझे।" और कोई और कहता है, "ठीक है, आपने अभी यह क्यों नहीं कहा कि उन्होंने छह मछलियाँ ऑर्डर की हैं?" लेकिन यह इस बात को स्पष्ट करता है कि मछली की वस्तुओं के इस संग्रह के बाद कई प्रकार का यह विचार आता है। और फिर एक अन्य चरित्र आश्चर्यचकित होता है और कहता है, "क्या यह स्पार्क प्लग के लिए काम करता है? और दालचीनी रोल?"
मूर (08:42): मेरा मतलब है, मुझे भी लगता है, अगर आप समझने की कोशिश करने में रुचि रखते हैं, तो क्या आप इसे साबित कर सकते हैं? या आप यह साबित कर सकते हैं? और आप नियमों को स्थापित करने की कोशिश कर रहे हैं कि आप चीजों को कैसे साबित करेंगे या जो भी हो, आप चाहते हैं कि बुनियादी सिद्धांत यथासंभव सरल हों। और इसलिए अंकगणित कैसे काम करता है इसके लिए नियमों को लिखने की कोशिश करने के बजाय, आप सरल चीजों के लिए सरल नियम लिखकर शुरू करते हैं, और फिर इन अधिक बुनियादी बिल्डिंग ब्लॉक्स से अंकगणित का निर्माण करते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (09:08): ठीक है। तो फिर, और यह मुझे "न्यू मैथ" की भी याद दिलाता है, जब 60 के दशक में एक बच्चे के रूप में, हम चौराहों और वेन आरेखों और यूनियनों के बारे में सीखते थे, है ना? वह सेट थ्योरी की शुरुआत थी। वे हमें इसे उस समय पढ़ा रहे थे - मुझे याद नहीं है - यह दूसरी या तीसरी कक्षा थी; मेरे माता-पिता को पता नहीं क्यों। लेकिन, मुझे लगता है, यह आपके प्रकार के गणितज्ञ थे, या अन्य जो सोचते थे कि बच्चों को सेट सीखना चाहिए, या तो पहले या उसी समय जब वे अंकगणित के बारे में सीख रहे हों।
मूर (09:33): हाँ, अधिकांश लोग जो सेट थ्योरी में अध्ययन करते हैं, मेरा मतलब है, इन दिनों वास्तव में अनंत सेट कैसे काम करते हैं। क्योंकि अनंत सेटों के बारे में हमारा अंतर्ज्ञान परिमित सेटों के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान जितना अच्छा नहीं है। और मुझे लगता है कि यही कारण है कि नींव के लिए अभियान वहां था। यह आंशिक रूप से था क्योंकि हम लिखना चाहते हैं, ठीक है, हम निश्चित रूप से अनंत सेट और सामान्य रूप से सेट के गुण होने चाहिए, और फिर वहां से अनंत सेट के बारे में क्या सच है विकसित करने का प्रयास करें?
स्ट्रोगेट्ज़ (10:03): ठीक है, तो हमारे पास कुछ उदाहरण क्यों नहीं हैं? क्या आप मुझे अनंत समुच्चय वाली वस्तुओं के कुछ उदाहरण बता सकते हैं?
मूर (10:08): खैर, प्राकृतिक संख्याओं की तरह। जैसे आप कह रहे थे - जैसे 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और इसी तरह - लेकिन परिमेय संख्या जैसी चीजें भी। आप जानते हैं, भिन्न एक दूसरे के ऊपर दो प्राकृत संख्याओं को पसंद करते हैं, या शायद एक ऋणात्मक भिन्न को। लेकिन फिर वास्तविक संख्या जैसी चीजें भी हैं, जहां - आप जानते हैं, कुछ भी जिसे आप दशमलव के साथ व्यक्त कर सकते हैं, जिसमें पाई और e.
स्ट्रोगेट्ज़ (10:28): मम-हम्म। इसलिए दशमलव बिंदु के बाद उनके पास अपरिमित रूप से अनेक अंक हो सकते हैं।
मूर (10:32): हाँ, हाँ, अपरिमित रूप से अनेक अंक। उन्हें दोहराने की जरूरत नहीं है।
स्ट्रोगेट्ज़ (10:35): उह हुह। और आकृतियों या बिंदुओं या ज्यामितीय चीज़ों के बारे में क्या, केवल संख्यात्मक चीज़ों के बारे में नहीं?
मूर (10:41): हाँ, आप ज्यामितीय आकृतियों के संग्रह के बारे में भी बात कर सकते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (10:45): ठीक है, तो यह समुच्चयों की एक अच्छी विशेषता है: कि हम, समुच्चयों के साथ, एकीकृत कर सकते हैं या कम से कम अंकगणित, ज्यामिति,… के बारे में बात करने के लिए एक सामान्य भाषा रख सकते हैं।
मूर (10:54): ठीक है।
स्ट्रोगेट्ज़ (10:55): मुझे लगता है कि हम कार्यों के एक सेट के बारे में बात कर सकते हैं, अगर हम एक पूर्व-कलन पाठ्यक्रम ले रहे थे। आप जानते हैं, निरंतर कार्यों के सेट के सेट की तरह, अगर हम कलन पाठ्यक्रम में थे।
मूर (11:04): ज़रूर। हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (11:05): या जो भी हो। तो हाँ, तो यह हमें गणित के सभी अलग-अलग हिस्सों के लिए एक आम भाषा देता है।
मूर (11:09): ठीक है।
स्ट्रोगेट्ज़ (11:10): और - लेकिन यह गणित के समग्र इतिहास के संदर्भ में गणित की नींव के रूप में एक अपेक्षाकृत नया विचार है, क्या आप नहीं कहेंगे?
मूर (11:16): हाँ, मेरा मतलब है, मैं... ठीक है, आधुनिक गणित जैसा कि हम जानते हैं, यह लगभग 100 और 150 साल पुराना है। लेकिन मैं आमतौर पर इसे इसके आसपास जोड़ता हूं - पिछली शताब्दी का पहला भाग तब था, जब वास्तव में, हमने गणित के सभी प्रमुख हिस्सों को देखना शुरू कर दिया था, जैसा कि हम जानते हैं कि वे आज विकसित होने लगे हैं और वास्तव में अपने स्वयं के विशिष्ट विषय बन गए हैं। और वह भी लगभग उसी समय था जब [बर्ट्रेंड] रसेल ने अपने विरोधाभास की खोज की थी, जिसने गणित के लिए किसी प्रकार की कठोर नींव की आवश्यकता को प्रेरित किया।
स्ट्रोगेट्ज़ (11:49): उह, हुह। हमें जिक्र करना चाहिए - हाँ। तो बर्ट्रेंड रसेल, जिसके बारे में हम अभी बात कर रहे हैं, अक्सर एक दार्शनिक या शांतिवादी के रूप में जाना जाता है, और फिर भी वह काफी मजबूत गणितज्ञ और तर्कशास्त्री थे, जो गणित के एक भाग के रूप में तर्क में रुचि रखते थे।
मूर: हां, हां।
स्ट्रोगेट्ज़ (12:04): तो जैसा कि आप कहते हैं, वह उन लोगों में से एक थे जिन्होंने सेट थ्योरी को वास्तव में रोल करने में मदद की। और उससे पहले भी एक सज्जन थे, जॉर्ज कैंटर, जिनके बारे में हम 1800 के अंत में जर्मनी में काफी कुछ बात करेंगे।
(12:17): ठीक है, तो कैसे गणित के भीतर, मान लीजिए कि गणितज्ञ अनंत का उपयोग करते हैं? आपने बताया कि यह कितना मददगार हो सकता है। इसका उपयोग कहाँ होता है?
मूर (12:27): हाँ, तो, कलन वर्ग में, यह कुछ गणना करने के लिए एक उपयोगी प्रतीक है। एक फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस बारे में बात करना क्योंकि इनपुट बहुत बड़ा हो जाता है। आप अनंत पर सीमा के बारे में बात कर सकते हैं, या मात्राओं के अनुपात के बारे में बात कर सकते हैं क्योंकि संख्या शून्य या अनंत तक जाती है या ऐसा ही कुछ। यह अनंत की एक धारणा है जो पहले अर्थ में है जिसका मैंने उल्लेख किया है, जहां आप अनंत को रेखा के अंत में एक आदर्श बिंदु के रूप में देखते हैं।
(12:53) लेकिन आप इसके बारे में इस तरह भी बात कर सकते हैं - आप जानते हैं, आप कर सकते हैं, आप किसी संग्रह या कुछ सेट के तत्वों की संख्या की गणना करने के बारे में बात कर सकते हैं, और यह ट्रैक कर सकते हैं कि इसमें कितने तत्व हैं या हो सकता है, यदि इसमें असीम रूप से कई तत्व हैं, जो अनंत के विभिन्न आकारों के बीच अंतर करने की कोशिश कर रहे हैं। मेरा मतलब है, हर कोई समझता है - या समझने का नाटक करता है - सीमित होने और अनंत होने के बीच का अंतर। और मुझे लगता है कि कैंटर की उल्लेखनीय खोज यह था कि आप एक अनंत सेट के लिए और भेद कर सकते हैं। आप इसके बीच अंतर कर सकते हैं जिसे काउंटेबल कहा जाता है और फिर जिसे बेशुमार कहा जाता है। या यहां तक कि सामान्य तौर पर, विभिन्न बेशुमार कार्डिनल्स के बीच के अंतर की तुलना में उच्च बेशुमार कार्डिनल्स।
स्ट्रोगेट्ज़ (13:34): तो ठीक है, चलो वहाँ चलते हैं। क्योंकि यह है, यह वास्तव में हमें हमारे विषय के केंद्र में ले जाता है। मुझे लगता है कि पहली बार "गिनने योग्य" शब्द सुनने वाला औसत व्यक्ति यह सोच सकता है कि इसका अर्थ शाब्दिक रूप से गणनीय है, जैसे कि 10. आप जानते हैं, अगर टेबल पर 10 स्पार्क प्लग हैं, तो मैं उन्हें गिन सकता हूं - 1, 2, 3 , 10 तक। लेकिन आप और अन्य गणितज्ञ गणनीय का उपयोग कुछ अलग करने के लिए करते हैं।
मूर (13:56): इसका मतलब सिर्फ इतना है कि आप सेट के प्रत्येक तत्व को एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं ताकि किसी भी प्राकृतिक संख्या का दो बार उपयोग न हो।
स्ट्रोगेट्ज़ (13:56): तो कुछ गणनीय और अनंत हो सकता है।
मूर (13:57): और अनंत। इसलिए प्राकृतिक संख्याएँ स्पष्ट रूप से गणनीय हैं क्योंकि वे स्वयं को गिनती हैं। लेकिन शायद थोड़ा कम स्पष्ट यह है कि प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक सहित पूर्णांक, कि वे गणनीय हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (14:18): तो चलिए इसके बारे में एक सेकंड के लिए बात करते हैं। तो अगर किसी व्यक्ति ने इसके बारे में पहले नहीं सोचा है, तो यह दिलचस्प है। क्योंकि जैसे — तो आपने कहा, आप सभी संख्याओं पर विचार करने जा रहे हैं, सभी धनात्मक पूर्णांक, सभी ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य।
मूर (14:29): हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (14:30): और आप इसे गलत कर सकते हैं। जैसे अगर आप शून्य से शुरू करते हैं और दाईं ओर गिनना शुरू करते हैं, और आप 0, 1, 2, 3 पर जाते हैं, तो आप कभी भी ऋणात्मक संख्याओं पर वापस नहीं पहुंचेंगे। और इसलिए तब आप सभी पूर्णांकों को गिनने में असफल हो जाते।
मूर (14:41): हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़: लेकिन इसके बजाय आपको क्या करना चाहिए?
मूर: आप क्या कर सकते हैं, आप गिन सकते हैं, आप जानते हैं, 0, 1, -1, और फिर 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5। और अगर आप उन्हें इस तरह से सूचीबद्ध करते हैं, तो अंत में आप सब कुछ सूचीबद्ध कर देते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (14:55): सुंदर। तो यह टेढ़ा-मेढ़ा तर्क जहां आप सकारात्मक और नकारात्मक के बीच आगे और पीछे कूद रहे हैं, यह दिखाने का एक अच्छा, संगठित, व्यवस्थित तरीका है कि यदि आप किसी पूर्णांक के बारे में सोचते हैं, तो अंततः यह सूची में होगा।
मूर: हाँ। हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़(15:07): तो यह बहुत अच्छा है। तो ठीक है, इसलिए पूर्णांक गणनीय हैं। कैंटर ने कुछ अन्य चीजों की भी खोज की जो गणनीय थीं - मुझे नहीं पता कि क्या वह हैरान था, लेकिन जब हम पहली बार इसके बारे में सीखते हैं तो हम में से बहुत से लोग हैरान होते हैं। जैसे, जैसे क्या?
मूर (15:21): हाँ, मुझे लगता है कि दो अच्छे उदाहरण हैं जो आश्चर्यजनक हैं - पहला, तर्कसंगत। अतः दो पूर्णांकों के सभी भिन्नों का संग्रह गणनीय होता है। जब आप इसके बारे में सोचते हैं, तो वास्तव में यह देखना बहुत आसान होता है, क्योंकि आप हर 1 के साथ सभी अंशों को सूचीबद्ध कर सकते हैं - या अंश और भाजक का पूर्ण मान अधिक से अधिक 1. और फिर, अधिकतम 2, अधिकतम 3, अधिकतम 4 ।और प्रत्येक चरण में, केवल परिमित रूप से कई अंश होते हैं जहां अंश और भाजक कम से कम परिमाण में अधिक से अधिक n होते हैं। और तब आप इस तरह से सभी तर्कों को समाप्त कर सकते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (15:55): तो जैसे, अगर मैं संख्या n को 3 चुन रहा था, तो आप कह रहे हैं कि मेरे पास 1/2 या 2/1, या 0/3 जैसी संख्या हो सकती है, क्योंकि अंश और भाजक जोड़ते हैं से 3?
मूर (16:06): हाँ। एक और, जो फिर से, आश्चर्य की तरह है, यदि आप उन शब्दों की संख्या लेते हैं जिन्हें आप लैटिन वर्णमाला में लिख सकते हैं, या कोई भी वर्णमाला जो आप चाहते हैं। इस वर्णमाला से आने वाले बहुत से परिमित शब्द, या प्रतीकों के परिमित तार हैं। यदि आप सभी शब्दों या सभी वाक्यों, साहित्य के सभी टुकड़ों के बारे में सोचते हैं, यदि आप चाहें तो -
स्ट्रोगेट्ज़: ओह।
मूर (16:30): - कुछ भी जो न केवल अभी मौजूद है बल्कि भविष्य में किसी समय संभावित रूप से मौजूद हो सकता है। आप जानते हैं, आप उन असीमित बंदरों को टाइपराइटर पर रखते हैं और देखते हैं कि वे कितने सीमित समय में उत्पादन कर सकते हैं। यह सब सिर्फ एक गणनीय सेट है।
स्ट्रोगेट्ज़ (16:44): वाह। तो सभी संभव किताबें, मान लीजिए, लैटिन में, सभी संभावित भाषाओं में जिन्हें हम जानते हैं?
मूर (16:50): सभी संभव भाषाओं में। हाँ। मेरा मतलब है, यदि आप चाहें, तो आप चाहें तो एक गणनीय वर्णमाला रख सकते हैं। इससे कुछ भी बड़ा नहीं होता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (16:56): तो गणनीय एक बहुत बड़ी अनंतता की तरह प्रतीत होगा। और अभी तक -
मूर (16:59): हाँ। पहली आश्चर्यजनक बात यह है कि वे सेट जो प्राकृतिक संख्याओं से बड़े प्रतीत होते हैं वास्तव में प्राकृतिक संख्याओं के समान आकार के होते हैं। वे गणनीय हैं। लेकिन फिर एक और आश्चर्य है, जो यह है कि वास्तविक संख्याएं, दशमलव संख्याओं का समुच्चय, बेशुमार हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (17:13): तो यह उल्लेखनीय बिंदु है कि आप उल्लेख कर रहे हैं कि ऐसे सेट हो सकते हैं जो गणनीय नहीं हैं। और मुझे लगता है, शायद सबसे सरल उदाहरण होगा: एक ऐसी रेखा के बारे में सोचें जो दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती है। तो एक असीम लंबी, सीधी रेखा की तरह। वास्तविक रेखा जैसा कि हम इसे कहेंगे। वह बेशुमार है।
मूर (17:32): ठीक है। यदि आप, यदि आप मुझे एक सूची देते हैं, उस रेखा पर सभी तत्वों की एक कथित सूची, तो एक प्रक्रिया है जिसे विकर्ण तर्क कहा जाता है, जो आपको एक नया बिंदु बनाने की अनुमति देता है जो रेखा पर है, लेकिन आपकी सूची में नहीं है। वह कैंटर की प्रसिद्ध खोज थी।
स्ट्रोगेट्ज़ (17:49): तो यह वास्तव में पूरी तरह से आश्चर्यजनक खोज थी, मुझे लगता है कि उस समय, है ना? कि अब आप अचानक दो अपरिमित समुच्चयों के बारे में बात कर सकते हैं और उनकी तुलना कर सकते हैं।
मूर (17:58): हाँ, हाँ। और गणित में गणनीय और बेशुमार के बीच का अंतर वास्तव में उपयोगी है। मूल रूप से, गणनीय सेट, आप अभी भी उन राशियों के बारे में बात कर सकते हैं जो अनगिनत अनंत लंबाई की हैं। यह कुछ ऐसा है जो एक मानक के अंत में पढ़ाया जाता है - एक दूसरे सेमेस्टर कैलकुलस कोर्स के अंत में। जबकि बेशुमार समुच्चयों का योग कम अर्थपूर्ण होता है, या कम से कम आपको उन्हें अधिक नाजुक तरीके से परिभाषित करना होगा। उस ने कहा, एक अभिन्न की तर्ज पर कुछ और या ऐसा ही कुछ।
स्ट्रोगेट्ज़ (18:30): ठीक है, तो अब हमारे पास गणनीय का यह भेद है, जैसे कि पूर्ण संख्याएँ - 1, 2, 3, 4, 5 - और बेशुमार, एक रेखा पर बिंदुओं की तरह। एक और प्रश्न है जो मेरी समझ से अच्छा होगा यदि हम उस पर कुछ समय व्यतीत कर सकें। सातत्य परिकल्पना कहा जाता है। क्या आप, क्या आप हमें बता सकते हैं कि वह क्या है?
मूर (18:50): हाँ। तो कैंटर ने सोचा: क्या बीच में कुछ है? आप कर सकते हैं — आप जानते हैं, प्राकृतिक संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के अंदर बैठती हैं, और प्राकृतिक संख्याएँ गणनीय होती हैं। वास्तविक संख्याएँ बेशुमार और प्राकृतिक संख्याओं से बड़ी होती हैं। क्या वास्तविक संख्याओं का एक समूह है जो प्राकृतिक संख्याओं से बड़ा है, लेकिन - से छोटा है?
स्ट्रोगेट्ज़ (19:10): गिनती के इस अर्थ में छोटा।
मूर (19:12): — रेखा से छोटा है? क्या उस रेखा पर, संख्या रेखा पर बिंदुओं का एक समूह है, जो प्राकृतिक संख्याओं से बड़ा है, परिमेय से बड़ा है, लेकिन पूरी रेखा से छोटा है? यह दावा कि ऐसा कोई मध्यवर्ती सेट नहीं है, सातत्य परिकल्पना कहलाती है। और वह हिल्बर्ट की पहली समस्या थी, चाहे सातत्य परिकल्पना एक सही या गलत कथन है।
स्ट्रोगेट्ज़ (19:35): उह हह, तो हिल्बर्ट इसके एक महान गणितज्ञ थे - शायद थोड़ी बाद की पीढ़ी लेकिन बहुत बाद में नहीं। और वर्ष में - यह क्या था, 1900 या ऐसा, मुझे लगता है - उन्होंने घोषणा की या एक सूची दी जो उन्होंने सोचा था कि भविष्य के लिए सबसे बड़ी समस्याओं में से कुछ हैं, 20वीं शताब्दी के गणितज्ञों पर काम करने के लिए। और मुझे लगता है कि यह उनकी सूची में नंबर एक प्रश्न था?
मूर (19:58): हाँ, यह नंबर एक प्रश्न था।
स्ट्रोगेट्ज़ (20:00): वाह। तो इस बारे में सोचना बड़ा था। कैंटर, आप कहते हैं, इसे एक परिकल्पना कहते हैं। उसने सोचा था कि सच होने जा रहा था।
मूर: हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (20:07): कि उन दोनों के बीच कोई अनंत सैंडविच नहीं था जिसके बारे में वह पहले से जानता था
मूर (20:11): हाँ। और बात यह है कि यह प्रतिउदाहरणों की खोज की कसौटी पर खरा उतरता है। मेरा मतलब है, यदि आप वास्तविक के सभी सेटों को देखना शुरू करते हैं, लाइन के सबसेट जिनका आप वर्णन लिख सकते हैं या जिन्हें आप किसी तरह से बना सकते हैं। उसने यह कोशिश की। और उसने साबित किया, मेरा मतलब है, ठीक है, उसने दिखाया कि कोई प्रति उदाहरण नहीं हैं। इससे पहले के प्रमेय भी हैं जो कहते हैं कि इस या उस प्रकार के समुच्चय प्रतिउदाहरण नहीं हो सकते।
स्ट्रोगेट्ज़ (20:40): यह आश्चर्यजनक है। मुझे यह सुनिश्चित करने दें कि मुझे यह मिल गया है। मैंने यह कथन कभी नहीं सुना है: केवल तथ्य यह है कि उनमें से कुछ वर्णनीय हैं, उन्हें एक अर्थ में पर्याप्त नहीं बनाते हैं।
मूर (20:49): उदाहरण के लिए, एक सेट जो बंद है उसके सभी सीमा बिंदु हैं। कैंटर ने साबित किया कि यह एक काउंटर उदाहरण नहीं हो सकता। यह या तो गणनीय है या इसका वास्तविक आकार के समान आकार है।
स्ट्रोगेट्ज़ (21:00): इसलिए यदि कोई प्रति उदाहरण है, तो यह अवर्णनीय होना चाहिए।
मूर (21:04): हाँ, यह जटिल होना चाहिए।
स्ट्रोगेट्ज़ (21:06): वाह। लेकिन निश्चित रूप से, यह संभव है कि एक है, बस यह वास्तव में कुछ विचित्र बात होगी।
मूर (21:12): हाँ। तो इस तरह से हमें कुछ ऐसी चीज पर लाता है जो इस आधारभूत प्रश्न पर वापस आ रहा है। आप जानते हैं, उस समय के आसपास वे गणित के स्वयंसिद्धों को औपचारिक रूप देने की कोशिश करने लगे थे। और कुछ समय बाद, लगभग — 1930 के दशक में, [कर्ट] गोडेल ने साबित कर दिया कि वास्तव में किसी भी प्रकार की समझदार स्वयंसिद्ध प्रणाली जो आपके पास हो सकती है जो प्राकृतिक संख्याओं पर अंकगणित को औपचारिक रूप देने का मामूली लक्ष्य प्राप्त करती है, अनिवार्य रूप से अपूर्ण है। ऐसे कथन हैं जिन्हें आप इस स्वयंसिद्ध प्रणाली से सिद्ध नहीं कर सकते हैं, और मानक परिमित प्रमाणों का उपयोग करके आप स्वयंसिद्धों से उनका खंडन नहीं कर सकते हैं।
(21:52) और मुझे लगता है कि यह काफी चौंकाने वाला था। क्योंकि यह आपको बताता है कि गणित में आपकी सभी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिद्म रूप से प्रयास करने का लक्ष्य और किसी प्रकार की एल्गोरिथम नींव तैयार करना, गणित का कुछ पूर्ण आधार, कुछ अर्थों में, अभिशप्त है। या कम से कम कुछ उच्च अंतर्ज्ञान द्वारा शासित होना चाहिए - मुझे नहीं पता - उस समय क्या उपलब्ध था।
(22:16) और गोडेल ने जो सिद्ध किया — उनमें से एक चीज़ जो उन्होंने बाद में सिद्ध की वह यह थी कि एक कथन जिसे आप सिद्ध या खण्डन नहीं कर सकते, वह कथन है कि आपकी स्वयंसिद्ध प्रणाली पहले स्थान पर सुसंगत है। जिससे कोई विरोधाभास न हो। उस कथन को संख्या सिद्धांत के बारे में किसी प्रकार के कथन के रूप में कोडित किया जा सकता है, प्राकृतिक संख्याओं पर अंकगणित के बारे में, लेकिन विशेष रूप से प्राकृतिक तरीके से नहीं। यदि आप जाते हैं और विभाग में संख्या सिद्धांतकारों में से एक से बात करते हैं, तो वे इसे समस्या या संख्या सिद्धांत के बयान के रूप में नहीं मानेंगे, भले ही तकनीकी रूप से यह है। और इसलिए यह था - एक प्रश्न जो गोडेल के समय से बचा हुआ था कि क्या सातत्य परिकल्पना है - या क्या कोई अन्य प्राकृतिक गणितीय कथन है, जो उस स्वयंसिद्ध प्रणाली पर आधारित है जिसके भीतर हम काम कर रहे थे।
स्ट्रोगेट्ज़ (23:02): तो वहाँ स्वयंसिद्धों की यह अवधारणा है। हमें शायद यह याद रखने की कोशिश करनी चाहिए कि वे कैसे दिखते हैं। क्योंकि अगर हम बहुत सावधानी से गणित कर रहे हैं, तो हमें कुछ परिभाषाएँ तय करनी होंगी, लेकिन कुछ चीजें जो हम लेते हैं - मुझे नहीं पता कि मैं यह क्यों नहीं कहना चाहता कि "हम हल्के में लेते हैं," लेकिन यह कि हम स्वीकार करते हैं आधार के रूप में।
मूर (23:19): हाँ, हाँ। तो यह है, मेरा मतलब है, यह कुछ ऐसा है जो यूनानियों ने किया था, जो कि, आप जानते हैं - ज्यामिति को औपचारिक रूप देने में उपलब्धियों में से एक - ज्यामिति को परिभाषित करने की कोशिश करने के बजाय, इसे इस तरह से देखना था: आप हैं कुछ अपरिभाषित शब्दों को लिखने जा रहा हूँ, और फिर उन नियमों या सूक्तियों को लिखने जा रहा हूँ जो यह नियंत्रित करती हैं कि ये अपरिभाषित शब्द कैसे व्यवहार करते हैं। उनके लिए यह बिंदु और रेखा जैसी चीजें थीं। और जब एक बिंदु एक रेखा पर होता है, तो वे अपरिभाषित अवधारणाएँ होती हैं। और जब एक बिंदु एक रेखा पर दो अन्य बिंदुओं के बीच होता है, तो वे अपरिभाषित अवधारणाएँ होती हैं। और फिर आप सिद्धांतों का एक सेट लिखते हैं जो नियंत्रित करता है कि ये अवधारणाएं कैसे काम करती हैं। और अगर आपने इसे सही किया है, तो हर कोई इस बात से सहमत है कि ये गुण स्पष्ट रूप से इन चीजों के लिए सही हैं। और इसलिए, ये सूक्तियां ऐसी चीजें हैं जो एक तरह से स्पष्ट रूप से सत्य हैं।
(23:19) अतः ज्यामिति के लिए, आप जानते हैं, यह प्रसिद्ध समानांतर अभिधारणा है, जो — आप इसे अन्य अभिधारणाओं से प्राप्त नहीं कर सकते। और यह कुछ हद तक क्रांतिकारी था, जब यह पता चला कि आप वास्तव में ज्यामिति के मॉडल का निर्माण कर सकते हैं जो सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं लेकिन समानांतर सिद्धांत को नहीं। और इसलिए, समानांतर अभिधारणा अन्य स्वयंसिद्धों से सिद्ध नहीं होती है। तो कुछ मायनों में, गोडेल ने ऐसा करने के लिए एक तरीका विकसित किया है, लेकिन गणित के मॉडल के स्तर पर, या कम से कम इस स्वयंसिद्ध प्रणाली के मॉडल जो हमारे पास गणित के लिए है।
स्ट्रोगेट्ज़ (24:45): अहा, यह कहने का एक दिलचस्प तरीका है। तो, जैसे, जहां हमारे पास यूक्लिडियन ज्यामिति है और फिर हमारे पास ये अधिक नए गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति भी हैं, जो प्रसिद्ध रूप से, आइंस्टीन ने सामान्य सापेक्षता में उपयोग किया था, लेकिन वे अन्य स्थानों पर भी उपयोग किए जाते हैं। और वे तार्किक रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति जितने अच्छे हैं। लेकिन अब केवल ज्यामिति के बारे में बात करने के बजाय, आप कह रहे हैं कि यह एक तरह से पारंपरिक हो सकता है - ठीक है, मुझे यकीन नहीं है कि शब्द क्या हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति का अनुरूप क्या है? क्या पारंपरिक गणित है?
मूर (25:16): यह एक खुला प्रश्न है। मेरा मतलब है कि, मेरा मतलब है - मुझे लगता है कि यह आंशिक रूप से एक दार्शनिक प्रश्न है। शायद यह एक समाजशास्त्रीय प्रश्न है, क्योंकि यह एक मामला है कि गणित क्या है, ठीक है? यह उस मूल प्रश्न पर वापस आता है। और मुझे लगता है कि हमारे पास ZFC के स्वयंसिद्ध सिद्धांत हैं जो 100 साल पहले विकसित किए गए थे, वे हैं जो हम आम तौर पर सहमत हैं कि ये सच हैं, या ये हैं, ये ऐसे गुण हैं जो "सेट" में होने चाहिए, लेकिन वे ' पूरा नहीं हुआ है।
स्ट्रोगेट्ज़ (25:44): अच्छा, रुकिए, चलिए वह सब खोलते हैं। यह अच्छा रहेगा. तो ZFC, हम उसी से शुरुआत क्यों नहीं करते? वे कुछ लोगों के नाम और एक चीज हैं।
मूर (25:51): हाँ, हाँ। "ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत"किसी चीज़ के साथ जिसे" पसंद का स्वयंसिद्ध "कहा जाता है।" हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (25:55): ठीक है। और इसलिए वे खेल के नियम हैं जिन्हें व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है।
मूर (25:59): हाँ, यह स्वयंसिद्धों की एक सूची है जो हैं — यह बल्कि लंबी है, लेकिन उतनी लंबी नहीं है। चीजें जैसे, यदि आपके पास दो समुच्चय हैं, तो एक ऐसा समुच्चय है जिसमें दोनों उनके तत्व हैं। युग्मन स्वयंसिद्ध, कि आप समुच्चयों के संग्रह का संघ ले सकते हैं, और वह एक समुच्चय है। और इसी तरह।
स्ट्रोगेट्ज़ (26:15): ठीक है। तो सेट थ्योरी करने का ZFC तरीका है, और वह है, आप कहते हैं, एक निश्चित समय पर प्रस्तावित है और लोग इसे पसंद करते हैं, लेकिन फिर आपने कहा कि यह पूरा नहीं हुआ है?
मूर (26:26): हाँ। तो यह कुछ ऐसा है जिसे आप लिख सकते हैं। स्वयंसिद्धों को सूचीबद्ध करने के लिए एक कंप्यूटर एल्गोरिद्म। यह स्वयंसिद्धों का एक अनंत सेट है। लेकिन दो प्रकार के स्वयंसिद्ध समूहों के अपवाद के साथ, यह परिमित है। यदि आप ध्यान नहीं दे रहे हैं, तो आप वास्तव में सोचेंगे कि ये, स्वयंसिद्धों के इन अन्य समूहों में से प्रत्येक एकल स्वयंसिद्ध हैं। लेकिन वे वास्तव में स्वयंसिद्धों का एक अनंत परिवार हैं। आप एक कंप्यूटर प्रोग्राम तैयार कर सकते हैं जो सभी स्वयंसिद्धों को उगल देगा। हम मानते हैं कि ZFC संगत है क्योंकि हमने कोई विरोधाभास नहीं खोजा है। यदि आप ऐसा मानते हैं, तो गोडेल के अपूर्णता प्रमेय द्वारा, ZFC यह साबित करने में सक्षम नहीं होगा कि यह सुसंगत है।
(27:03) और इसलिए ZFC की निरंतरता जैसे बयान हैं, जो ZFC साबित नहीं कर सकता। यह एक दिलचस्प बिंदु है। क्योंकि फिर से, हम मानते हैं कि ZFC सुसंगत है। और वह, मेरा मतलब है, एक कारण है कि, मेरा मतलब है...अधिकांश गणितज्ञ, वे काम करने जा रहे हैं इस विश्वास पर आधारित है कि सीएफसी सुसंगत है। सही? लेकिन यह कुछ ऐसा है जिसे हम एक सत्य कथन मानते हैं। लेकिन यह ऐसा कुछ नहीं है जिसे साबित करने के लिए खुद ZFC ही काफी है।
स्ट्रोगेट्ज़ (27:27): मैं बस सोच रहा हूँ। यहाँ रास्ते में, हम गोडेल का उल्लेख करते रहे हैं। मुझे नहीं पता कि हमने कहा है कि वह कौन है। क्या आप हमें संक्षेप में बताना चाहते हैं?
मूर (27:34) हाँ, वह था। मेरा मतलब है, वह एक तरह के क्रांतिकारी तर्कशास्त्री थे। यह अपूर्णता प्रमेय उनकी प्रमुख उपलब्धियों में से एक थी। और उनकी अन्य प्रमुख उपलब्धि यह दिखाना था कि ZFC स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सातत्य परिकल्पना को अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (27:49): कुछ लोग उन्हें अरस्तू के बाद से सबसे बड़ा तर्कशास्त्री मानते हैं। और आइंस्टीन, जो उन्नत अध्ययन संस्थान में उनके मित्र और सहयोगी थे, ने कहा कि उन्हें काम करने के लिए चलने का सौभाग्य प्राप्त करना अच्छा लगा कर्ट गोडेल. मेरा मतलब है, वह आइंस्टीन के साथ एक ही बौद्धिक लीग में थे। यदि आपने उसके बारे में नहीं सुना है, तो मैं आपको सलाह देता हूं कि आप उसके बारे में एक किताब देखें कारण के किनारे तक की यात्रा. गोडेल के जीवन के बारे में एक भयानक किताब। लेकिन ठीक है, तो वह सही है, तो वह 20वीं सदी के मध्य का है, 20वीं सदी के शुरुआती तर्कशास्त्री। और आप कहते हैं कि उसने यह साबित कर दिया - ठीक है, इसे फिर से सातत्य परिकल्पना के बारे में कहें?
मूर (28:23): सेट थ्योरी के किसी भी मॉडल के भीतर, उन्होंने सेट थ्योरी के एक छोटे मॉडल का निर्माण किया जो कॉन्टिनम परिकल्पना को संतुष्ट करता है। और इसलिए जो दिखाता है वह यह है कि आप समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों के भीतर सातत्य परिकल्पना का खंडन नहीं कर सकते। सेट थ्योरी के एक मॉडल से, यदि आपके पास एक है, तो मैं एक नया मॉडल तैयार कर सकता हूं, जो सातत्य परिकल्पना को संतुष्ट करता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (28:43): अच्छा। तो सेट थ्योरी के संस्करण हो सकते हैं, छोटे संस्करण, जो अभी भी अंकगणित करने के लिए पर्याप्त हैं, मैं इसे लेता हूं।
मूर: हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (28:51): लेकिन जिसमें, ठीक है, कॉन्टिनम परिकल्पना सच है, जैसे कैंटर ने अनुमान लगाया था।
मूर: हाँ।
स्ट्रोगेट्ज़ (28:56): और फिर। लेकिन फिर - इस कहानी में एक बड़ा "लेकिन" है।
मूर (28:59): हाँ। इतने सारे, कई सालों बाद, [पॉल] कोहेन फोर्सिंग नामक एक तकनीक विकसित की जिसने उन्हें सेट थ्योरी के मॉडल को बड़ा करने की अनुमति दी। और इसका प्रयोग करके, उन्होंने सिद्ध किया कि आप सातत्य परिकल्पना को सिद्ध नहीं कर सकते। सिवाय उनकी तकनीक का इस्तेमाल यह साबित करने के लिए भी किया जा सकता है कि आप इसका खंडन नहीं कर सकते। यह, हाँ, जबरदस्ती कहलाने वाली यह तकनीक वास्तव में बहुत शक्तिशाली है। अपने सेट थ्योरी के मॉडल के भीतर एक छोटे मॉडल के निर्माण की तकनीक और फ़ोर्सिंग। सेट थ्योरी के पुराने मॉडल से सेट थ्योरी के नए मॉडल बनाने के लिए हमारे पास दो तरह के टूल हैं।
मूर (29:32): ज्यामिति सादृश्य पर वापस जा रहे हैं। मेरा मतलब है, अतिशयोक्तिपूर्ण तल के ये मॉडल भी, जो कि ज्यामिति के गैर-यूक्लिडियन मॉडल थे - वे स्वयं यूक्लिडियन विमान या उसके एक उपसमुच्चय को लेकर शुरू करते हैं और वहां बिंदुओं और रेखाओं की तरह ज्यामिति के मॉडल का निर्माण करते हैं। इस डिस्क पर बिंदु सामान्य बिंदु हैं। और वहाँ की रेखाएँ मूल ज्यामिति में कुछ वृत्तों में वृत्त हैं। मैं जो बात कहने की कोशिश कर रहा हूं वह यह है कि यह एक प्रकार की उपयोगी चीज है जिसे आप गणित में करते हैं। आप अक्सर किसी ऐसी संरचना से शुरू करते हैं जो आपकी स्वयंसिद्ध प्रणाली को संतुष्ट करती है, जैसे कि एक ज्यामिति जो आपके ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है, और आप इसे किसी तरह से हेरफेर करते हैं और एक नई चीज़ का निर्माण करते हैं, जो शायद स्वयंसिद्धों के एक अलग सेट को संतुष्ट करती है। कोहेन और गोडेल यही कर रहे थे, कि वे समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धों का एक मॉडल ले रहे थे - और इसलिए, कुछ अर्थों में, गणित का एक मॉडल - और नए मॉडल बनाने के लिए विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके इसमें हेरफेर कर रहे थे, जो या तो इस बात से संतुष्ट थे कि सातत्य परिकल्पना सत्य है, या कि सातत्य परिकल्पना गलत है।
स्ट्रोगेट्ज़ (30:36): तो यह वास्तव में मेरे लिए आश्चर्यजनक है, और मुझे यकीन है कि बहुत से लोग जानते हैं कि, आप जानते हैं ... जैसे, प्लेटो का यह दर्शन है कि, वहाँ कुछ आदर्श रूप हैं और सत्य हैं कि - शायद हम कर सकते हैं उन्हें यहाँ पृथ्वी पर नहीं देख सकते, लेकिन किसी प्लेटोनिक दायरे में, उनकी सच्चाई मौजूद है।
मूर: हां, हां।
स्ट्रोगेट्ज़ (30:57): और आप महसूस करेंगे कि वास्तविक संख्याएँ मौजूद हैं, चाहे मनुष्य उनके बारे में सोचते हों या नहीं, और यह कि सातत्य परिकल्पना या तो वास्तविक संख्याओं के लिए सही है, या यह नहीं है। लेकिन तुम मुझे बता रहे हो?
मूर (31:09): खैर, मेरा मतलब है, हाँ, इस पर विचार के विभिन्न स्कूल हैं। मेरा मतलब है, आप नहीं कर सकते - आप इसे इस रूप में देख सकते हैं, यह बात है जो मुझे लगता है कि नाम के तहत जाता है, वह सामान्य बहुविविध दृश्य है, और कुछ भी नहीं है जो आप कह सकते हैं। सेट थ्योरी के ये सभी मॉडल हैं। और सबसे अच्छा जो हम कर सकते हैं वह यह समझने की कोशिश करना है कि उनमें से प्रत्येक में क्या सच है और उनके बीच घूमें। और यह चीजों के बारे में एक बहुत ही गैर-प्लेटोवादी दृष्टिकोण है, चीजों के बारे में एक प्रकार का औपचारिक दृष्टिकोण। आप यह भी विचार कर सकते हैं कि सेट थ्योरी का कुछ पसंदीदा मॉडल है। यानी, आप जानते हैं, वह वास्तविकता जिसमें हम रहते हैं, और ये सभी अन्य मॉडल, वे स्वयंसिद्धों के मॉडल हैं, लेकिन वे वास्तव में वह नहीं हैं जिसे हम स्वयंसिद्धों के साथ वर्णित करने का प्रयास कर रहे हैं। मुझे लगता है कि ज्यामिति के साथ समानता कुछ हद तक उदाहरण है, है ना? मेरा मतलब है, आप ज्यामिति के कई अलग-अलग मॉडल तैयार कर सकते हैं। लेकिन हम अभी भी एक भौतिक दुनिया में रहते हैं जिसकी एक ज्यामिति है और शायद यही वह ज्यामिति है जिसकी हम सबसे अधिक परवाह करते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (32:03): अच्छा। तो इसी तरह हम यूक्लिडियन ज्यामिति को कुछ पसंदीदा स्थिति दे सकते हैं क्योंकि यह वह है जिसके हम आदी हैं। यह वह है जो लंबे समय से है, क्योंकि यह सबसे आसान और सबसे स्पष्ट है, लेकिन हम अभी भी सोचते हैं कि ये अन्य अच्छे हैं, और उनके पास अपने डोमेन हैं जहां वे उपयोगी और दिलचस्प हैं।
मूर (32:20): लेकिन हो सकता है कि जो बात वहाँ भी इंगित करने लायक है, वह यह है कि हमारी समझ भी है - ठीक है, पहले, मुझे यकीन नहीं है कि हम यूक्लिडियन ज्यामिति में रहते हैं। लेकिन वहाँ है, इसके बारे में एक सवाल है। लेकिन भौतिक संसार की हमारी समझ भी इन सभी अन्य ज्यामितियों को समझकर, ज्यामिति के अन्य मॉडलों के इस मुक्त अन्वेषण से बहुत समृद्ध हो जाती है। और सेट थ्योरी के साथ भी यही सच है। मुझे लगता है, भले ही भविष्य में, हम कुछ आम सहमति पर बस गए हों कि सेट थ्योरी के लिए एक नया स्वयंसिद्ध क्या है, उस गंतव्य पर पहुंचना कुछ ऐसा है जो निश्चित रूप से इस खोज के बिना संभव नहीं होगा जो पहले से होता है।
स्ट्रोगेट्ज़ (33:00): सातत्य परिकल्पना को सिद्ध या असिद्ध करने का क्या अर्थ होगा? इनमें से प्रत्येक शिविर के लिए? दांव पर क्या है?
मूर (33:08): हाँ, यह - ठीक है, तो मुझे लगता है कि शिविर जो इस तरह के "सारी दुनिया" के दृष्टिकोण को अपनाता है, बस यही कहेगा कि यह एक अर्थहीन प्रश्न है। वह कोहेन और गोडेल और सेट थ्योरी के बहुत सारे मॉडल बनाने की उनकी तकनीक चर्चा का अंत है। और आप जानते हैं, हम सेट थ्योरी के बहुत सारे नए मॉडल तैयार करने जा रहे हैं, हो सकता है, लेकिन हमारे पास यह कहने के लिए कोई अंतिम उत्तर नहीं होगा कि सातत्य परिकल्पना सही है या गलत। जो लोग इस दृष्टिकोण को लेते हैं कि उस कथन में किसी प्रकार की सच्चाई या झूठ है, संभवतः कुछ नए स्वयंसिद्ध के साथ आने की कोशिश करेंगे और संभवतः कुछ अनुमानी औचित्य के लिए कि यह स्वयंसिद्ध सत्य क्यों होना चाहिए - या तो एक अनुमानी या शायद एक व्यावहारिक औचित्य क्योंकि यह सच है। और फिर एक बार जब आप तर्क देते हैं कि इस स्वयंसिद्ध को स्वीकार किया जाना चाहिए, कि यह किसी तरह गणित या समुच्चय के बारे में हमारे पास कुछ अंतर्ज्ञान को समाहित करता है, तो यदि यह स्वयंसिद्ध भी शब्द के औपचारिक अर्थों में सातत्य परिकल्पना को सिद्ध या अस्वीकृत करता है, तो आप देखेंगे वह CH सत्य है या असत्य।
स्ट्रोगेट्ज़ (34:12): तो अब हम वहीं हैं। कि इस समय वास्तव में ये दो शिविर हैं।
मूर (34:16): हाँ, एक हद तक। यह बहुत लंबा समय हो गया है जब निरंतरता परिकल्पना को स्वयंसिद्धों के आधार पर अनिर्णीत दिखाया गया था, मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ इस तथ्य के अभ्यस्त हो गए हैं कि शायद यह सबसे अधिक है जो आप कह सकते हैं। और मुझे लगता है कि इस बिंदु पर यह आश्चर्यजनक होगा यदि गणितज्ञ कुछ नए अनुमान के आसपास रैली कर सकते हैं, आप जानते हैं, हर कोई इस बात से सहमत हो सकता है कि यह सच होना चाहिए। और शायद ऐसा कभी नहीं होगा। हो सकता है, हो सकता है कि समुदाय में बहुत अधिक भिन्न दृष्टिकोण हों। निष्पक्ष होने के लिए, मुझे लगता है - मुझे लगता है कि यह कुछ हद तक एक सर्वसम्मत दृष्टिकोण है, लेकिन एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण नहीं है, कि ZFC गणित के लिए सच्चे स्वयंसिद्धों का समूह है। निश्चित रूप से ऐसे लोग हैं जो यह मानते हैं कि अनंत कुछ भी अस्तित्व में नहीं है। और इसके बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है और हमें इसके बारे में बात नहीं करनी चाहिए।
स्ट्रोगेट्ज़ (35:05): ठीक है, यह एक समय सम्मानित परंपरा है। मेरा मतलब है, कि - अरस्तू हमें अनंत के बारे में सावधान रहने के लिए कह रहा था। और गणित के पूरे इतिहास में, लोग उतने ही महान हैं [कार्ल फ्रेडरिक] गॉस पूर्ण अनंतता की इस अवधारणा के बारे में बहुत सावधान थे, जो कि कैंटर ने हमारे लिए कीड़े के इस डिब्बे को खोल दिया। लेकिन मुझे नहीं पता कि यह कीड़े हैं। ऐसा लगता है जैसे यह है - आप जानते हैं, क्या नुकसान है? यह है कि हम अपनी कल्पनाओं को जाने दे रहे हैं और बहुत सी दिलचस्प चीजों की खोज कर रहे हैं।
(35:30) लेकिन मेरा एक सवाल है। एक ऐसे व्यक्ति के रूप में जो एक सेट सिद्धांतवादी नहीं है, मैं इसे असभ्य तरीके से नहीं पूछना चाहता। लेकिन यह थोड़ा अभद्र लग सकता है, जो - आप जानते हैं कि मैं कहाँ जा रहा हूँ, है ना? जैसे, यह मुझे कैसे प्रभावित करता है? क्या शेष गणित सेट थ्योरी के भीतर हो रहे कंपन को महसूस करता है? या आप लोग जो कर रहे हैं उससे हम एक तरह से अछूते हैं?
मूर (35:49): यह एक अच्छा प्रश्न है। मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञों को कभी भी ऐसे बयान का सामना नहीं करना पड़ता है जो ZFC के भीतर गणित के लिए सामान्य स्वयंसिद्ध प्रणाली के भीतर न तो सिद्ध हो और न ही खंडन योग्य हो। और समुच्चय सिद्धांतकारों ने कुछ हद तक इसके लिए एक स्पष्टीकरण खोजा है। सेट थ्योरी का एक मॉडल है जो गोडेल के मूल मॉडल से बड़ा है लेकिन सभी सेटों के ब्रह्मांड से छोटा है जिसे सॉलिड बेस मॉडल कहा जाता है। [रॉबर्ट] सोलोवे कोहेन के काम के समय खोजा गया। और उल्लेखनीय खोज यह है कि यह मॉडल — जो इसमें सत्य है उसे जबरदस्ती प्रभावित नहीं किया जा सकता है। और इसलिए, अनिवार्य रूप से, यदि आप उस मॉडल में क्या सच है या उस मॉडल में गलत है, के बारे में कुछ कह सकते हैं, तो यह कुछ ऐसा है जो काफी हद तक स्वतंत्रता की घटना के प्रति प्रतिरक्षित है।
(36:35) पकड़ यह है कि सेट सिद्धांत का यह मॉडल पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है। तो पसंद का स्वयंसिद्ध है - यह यहाँ कीड़ों का एक और डिब्बा है। लेकिन पसंद का स्वयंसिद्ध अन्य सिद्धांतों से अलग होने का एक कारण यह है कि यह रचनात्मक नहीं है। अन्य सभी स्वयंसिद्ध आपको बताते हैं कि कुछ समुच्चय जिसका आपके पास वर्णन है, वास्तव में, एक समुच्चय है। इसी तरह स्वयंसिद्ध काम करते हैं। लेकिन पसंद का स्वयंसिद्ध आपको बताता है कि गैर-खाली सेटों का संग्रह दिया गया है, आप उनमें से प्रत्येक से कुछ का चयन कर सकते हैं - इसलिए पसंद - लेकिन यह आपको यह नहीं बताता कि आप चयन कैसे करने जा रहे हैं। यह एक स्वयंसिद्ध था, जिसने एक ओर, हमें सभी प्रकार की अजीब, विरोधाभासी चीजों का निर्माण करने की अनुमति दी। आप जानते हैं, मुझे लगता है, 100 साल पहले के बॉलपार्क में, गैर-मापने योग्य सेट की तरह, जो भी हो। गोले का यह प्रसिद्ध अपघटन है, कि बनच-तर्स्की विरोधाभास, वह -
स्ट्रोगेट्ज़ (37:29): ओह, यह दिलचस्प है।
मूर (37:32): - आप गोले को बहुत से टुकड़ों में काट सकते हैं, और फिर उन्हें दो क्षेत्रों में फिर से इकट्ठा कर सकते हैं जो मूल गोले के समान आयाम हैं। और अब इसका बेतुका कारण यह है कि आपको प्रत्येक के लिए एक द्रव्यमान निर्दिष्ट करने में सक्षम होना चाहिए — आप जानते हैं, मूल क्षेत्र के लिए, और फिर इन सभी टुकड़ों को एक द्रव्यमान निर्दिष्ट करें जिसे आप इसे काट सकते हैं, और वे मूल द्रव्यमान तक जोड़ना चाहिए। और फिर जब आप उन्हें पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो उस प्रक्रिया को द्रव्यमान नहीं बदलना चाहिए। लेकिन किसी तरह, जब आप उन्हें फिर से जोड़ते हैं, तो आपके पास शुरुआत से दोगुना द्रव्यमान होता है। अब, उस तर्क में बिंदु - जहाँ चीजें गलत हो जाती हैं, वह गोले को काटना है जो पसंद का स्वयंसिद्ध आपको करने की अनुमति देता है, इतना बुरा है कि आप इन टुकड़ों को द्रव्यमान नहीं दे सकते जो आपके पास हैं।
(38:11) अब, उस विरोधाभासी व्यवहार ने लोगों को यह सोचने के लिए प्रेरित किया कि पसंद का स्वयंसिद्ध किसी तरह शायद समस्याग्रस्त है। शायद यह गणित के भीतर ही किसी प्रकार के विरोधाभास को जन्म देने वाला है। और इसलिए, पसंद के स्वयंसिद्ध को स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए। चीजों में से एक जो गोडेल ने उसी समय साबित की जब उन्होंने साबित किया कि आप सातत्य परिकल्पना का खंडन नहीं कर सकते, यह है कि पसंद के स्वयंसिद्ध को मान लेना भी सुरक्षित है। यही है, अगर पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ZFC के स्वयंसिद्ध सुसंगत हैं, तो पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ZFC के स्वयंसिद्धों का भी सेट है। यह आपको बहुत सी अजीब, विदेशी चीजें देता है, हो सकता है, लेकिन एक मूलभूत दृष्टिकोण से, यह पानी को प्रदूषित नहीं करता है।
(38:51) कुछ समय बाद, ज़ोर्न की लेम्मा नामक इस चीज़ की खोज हुई, जो पसंद के स्वयंसिद्ध के समकक्ष निकली। और यह वास्तव में गणित की विभिन्न शाखाओं को विकसित करने के लिए बहुत उपयोगी है। यह कुछ ऐसा है - आप इसके बारे में सीखते हैं यदि आप उन्नत स्नातक हैं, या यदि आप गणित में स्नातक छात्र हैं। यह किसी तरह गणित में स्नातक की डिग्री के लिए आवश्यक सीखने का हिस्सा है। और इस अत्यधिक उपयोगिता के कारण, यह कुछ ऐसा है जिसे हम आजकल स्वीकार करते हैं। मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना काम करने में सहज नहीं हैं, सिर्फ इसलिए कि कई मामलों में वे इसे जाने बिना भी इसका उपयोग कर रहे होंगे।
(39:31) तो मुझे लगता है कि यह भी एक उदाहरण है कि हम निरंतरता परिकल्पना को कैसे सुलझा सकते हैं। यह है कि हम भविष्य में कुछ स्वयंसिद्ध खोजते हैं जो गणित को और विकसित करने में इतने उपयोगी हैं, कि हम इस स्वयंसिद्ध को केवल एक हद तक सत्य मानते हैं। ज़ोर्न के लेम्मा के साथ यही हुआ। और पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ, यह कुछ ऐसा नहीं था जिसे शुरू में सत्य के रूप में देखा गया था। वास्तव में, यह शुरू में कुछ संदेह की दृष्टि से देखा गया था।
स्ट्रोगेट्ज़ (39:56): लेकिन मुझे देखने दें कि क्या मैं कर सकता हूं, क्योंकि यह करता है ... हम अब पसंद के स्वयंसिद्ध के बारे में बहुत कुछ बात कर रहे हैं: इसका संबंध सातत्य परिकल्पना से है। क्या यह कहने का कोई सारगर्भित तरीका है?
मूर (40:06): आप जानते हैं, चयन की कसौटी और सातत्य परिकल्पना के बीच एक जिज्ञासु संबंध है क्योंकि वे ... ठीक है, सातत्य परिकल्पना, एक सेट सिद्धांतवादी के दृष्टिकोण से, यह आपको बहुत सी विदेशी चीजों का निर्माण करने की अनुमति देता है . यह आपको एक असीम रूप से लंबा, यहां तक कि बेशुमार लंबा निर्माण करने की अनुमति देता है, जहां आप सब कुछ बहुत नियंत्रित तरीके से कर रहे हैं, एक एल्गोरिथम तरीके से। और कुछ अजीब वस्तु का निर्माण करना जहाँ आपने रास्ते में बहुत अधिक नियंत्रण बनाए रखा है। पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में, सातत्य परिकल्पना, जैसा कि मैंने इसे मूल रूप से कहा था, कि नियमों का कोई सेट नहीं है जो मध्यवर्ती है, यह कुछ ऐसा है जो पसंद के स्वयंसिद्ध सत्य के समान नहीं है। और इसका कारण यह है कि, उदाहरण के लिए, पसंद के स्वयंसिद्ध के अभाव में, आप सातत्य परिकल्पना के और भी मजबूत संस्करणों के बारे में बात कर सकते हैं। जैसे, इस संख्या रेखा का प्रत्येक उपसमुच्चय, वास्तविक संख्या रेखा, या तो गणनीय है, या कैंटर सेट की एक प्रति है जो इसके अंदर रहती है। जैसे, पॉइंट्स का एक ट्री है, पॉइंट्स का एक बाइनरी ट्री जो आपके सेट के अंदर बैठता है। और यह कहने का एक बहुत ही ठोस तरीका है कि इसका आकार वास्तविक संख्याओं के समान है।
स्ट्रोगेट्ज़ (41:14): तो सेट थ्योरी के बाहर गणित में हममें से बाकी लोगों के लिए, क्या हमें निरंतरता की परिकल्पना के क्षण में - जो प्रतीत होता है - किसी तरह की अनिश्चित स्थिति पर नींद खोनी चाहिए? हमें बताया गया है कि सेट थ्योरी के मानक मॉडल में यह अनिर्णीत है। तुम्हें पता है, क्या इससे कोई फर्क पड़ता है? क्या यह बाकी गणित को प्रभावित करता है?
मूर (41:35): उत्तर ज्यादातर नहीं है। लेकिन इसका पूरा पता नहीं है। सातत्य परिकल्पना। में सच है सोलोवे मॉडल, उदाहरण के लिए: वास्तविक का प्रत्येक सेट या तो गणनीय है या इसके अंदर वास्तविक का एक बंद सेट है जो बेशुमार है और इसका कोई पृथक बिंदु नहीं है। लेकिन ऐसे कथन हैं जो गणित में दिखाई देते हैं, प्रश्न जो स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं, अन्य क्षेत्रों में व्यवस्थित रूप से दिखाई देते हैं, जहां यह पता चलता है कि वे या तो सातत्य परिकल्पना या कुछ और पर निर्भर हैं, जो ZFC के स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है। इसका एक उदाहरण एक औसत दर्जे की सीमा कहलाती है, जो एक उपकरण है जो संभाव्यता में उपयोगी है और संभाव्यता के कुछ हिस्से चीजों की सीमा लेने के लिए और फिर भी यह बनाए रखते हैं कि चीजें औसत दर्जे की हैं। औसत दर्जे की सीमाएँ कुछ ऐसी हैं जिनका निर्माण आप सातत्य परिकल्पना का उपयोग करके कर सकते हैं, लेकिन वे ऐसी चीज़ नहीं हैं जिसे आप ZFC में बना सकते हैं।
स्ट्रोगेट्ज़ (42:27): यह मुझे खुश करता है, मुझे कहना होगा। मेरा मतलब है, मैं विश्वास करना चाहता हूं कि गणित एक बड़ा जाल है। और वह, एक पुरानी कहावत की तरह, "कोई भी आदमी एक द्वीप नहीं है," किसी से भी, मुझे नहीं पता। लेकिन वैसे भी, मैं नहीं चाहता कि गणित का कोई भी हिस्सा एक द्वीप बन जाए। इसलिए मुझे यह सोचने से नफरत होगी कि सेट थ्योरी कुछ है - मेरा मतलब है, कोई यह नहीं कहेगा कि यह है, लेकिन यहां तक कि जिस हिस्से में सातत्य परिकल्पना शामिल है, मैं नहीं चाहता कि वह महान महाद्वीप से तलाक ले। और ऐसा लगता है जैसे यह नहीं है।
मूर (42:52): ठीक है। यदि आप एक हिल्बर्ट स्पेस लेते हैं, और आप बाउंडेड ऑपरेटर्स और कॉम्पैक्ट ऑपरेटर्स को देखते हैं, तो ये ऑब्जेक्ट्स के अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बीजगणित हैं जिनका गणित में अध्ययन किया जाता है। आप उनमें से एक अंश ले सकते हैं। जिसे ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है उसका अध्ययन करना एक गणितज्ञ के बारे में पूछ सकता है। सचमुच, ब्राउन, डगलस और फिलमोर 1970 के दशक में इसके बारे में पूछा। और यह ज्ञात है कि क्या सातत्य परिकल्पना सही है या गलत इस बात से संबंधित है कि उस बीजगणित के बहुत जटिल ऑटोमोर्फिज्म हैं या नहीं। यह कुछ ऐसा है, आप जानते हैं, कार्यात्मक विश्लेषण पाठ्यक्रम में एक मानक वस्तु है जिसे आप स्नातक स्तर पर पढ़ाएंगे। और ये इस वस्तु के बहुत, बहुत ही बुनियादी गुण हैं।
(43:34) लेकिन बात यह है, यह कुछ ऐसा है, जो देखने में यह है - यह सेट थ्योरी में कोई समस्या नहीं है। अलग-अलग सेट सिद्धांतकारों के अलग-अलग विचार हैं कि विषय क्यों महत्वपूर्ण है। लेकिन मेरे लिए, यही कारण है कि विषय है - यह किसके लिए महत्वपूर्ण है। बात यह है कि जब आप कोई ऐसा प्रश्न पूछ रहे होते हैं जो स्वयंसिद्धों पर आधारित हो सकता है कि निर्णय लेने योग्य न हो, तो यह आपको यह बताने में सक्षम होने की अनूठी भूमिका निभाता है। क्योंकि आप इस समस्या का अध्ययन नहीं करना चाहते हैं कि आप बिना किसी सफलता के वर्षों और वर्षों तक निर्णय नहीं ले सकते। और अगर कोई आपको बता सकता है कि, "ठीक है, तो आप वास्तव में कभी भी उस समस्या का समाधान नहीं निकाल पाएंगे, क्योंकि आप न तो इसे साबित कर सकते हैं और न ही इसका खंडन कर सकते हैं," ठीक है? यह जानना अच्छी बात है।
स्ट्रोगेट्ज़ (44:13): ठीक है। ठीक है, मेरे लिए यह एक बहुत ही उत्साहजनक संदेश है जो आप दे रहे हैं, जस्टिन, वह - जॉन डोने! जॉन डोने, यही वह नाम है जिसकी मुझे तलाश थी। और इसे आधुनिक तरीके से कहते हैं: कोई भी व्यक्ति एक द्वीप नहीं है। और वही गणित का कोई हिस्सा नहीं है। वहाँ है - यहां तक कि सेट सिद्धांत की बाहरी पहुंच पर सबसे गूढ़ प्रतीत होने वाली चीजें अभी भी गणित के बहुत ही डाउन-टू-अर्थ भागों में जुड़ी हुई हैं, संभाव्यता में, कार्यात्मक विश्लेषण में जो क्वांटम सिद्धांत को रेखांकित करता है। तो, यह मेरे लिए खबर है, और मैं आपको हमें प्रबुद्ध करने के लिए धन्यवाद देना चाहता हूं। यह मजेदार था। धन्यवाद।
मूर (44:46): मुझे रखने के लिए धन्यवाद।
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- मित्रों
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- रुचियों
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- खुद
- जॉन
- जॉनसन
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- जस्टिन
- रखना
- रखना
- बच्चा
- बच्चे
- बच्चा
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- नेतृत्व
- लेम्मा
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- दे
- स्तर
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- सीमा
- सीमाएं
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- लंबा
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- गणित
- गणितीय
- गणित
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- पल
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- अधिकांश
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- मल्टीवर्स
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- नाम
- नामों
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- अनिवार्य रूप से
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- नकारात्मक
- न
- नया
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- धारणा
- संख्या
- संख्या
- वस्तु
- वस्तुओं
- स्पष्ट
- of
- अक्सर
- पुराना
- on
- ONE
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- खोला
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- अन्य
- अन्य
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- अपना
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- विशेष रूप से
- भागों
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- प्लेटो डेटा इंटेलिजेंस
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- कृप्या अ
- प्लस
- पॉडकास्ट
- पॉडकास्टिंग
- बिन्दु
- पॉइंट ऑफ व्यू
- अंक
- सकारात्मक
- संभव
- संभावित
- बिजली
- शक्तिशाली
- शक्तियां
- धृष्ट
- वरीय
- दबाना
- सुंदर
- मुख्य
- आदिम
- सिद्धांतों
- शायद
- मुसीबत
- समस्याओं
- प्रक्रिया
- उत्पादन
- प्रस्तुत
- प्रोफेसर
- कार्यक्रम
- वादा
- सबूत
- गुण
- संपत्ति
- प्रस्तावित
- संरक्षित
- साध्य
- साबित करना
- साबित
- साबित होता है
- प्रदान करना
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- प्रकाशित
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- तर्कसंगत
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- पहुँचती है
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- असली दुनिया
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- कारण
- कारण
- की सिफारिश
- सम्बंधित
- संबंध
- संबंध
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- सेकंड
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- सरल
- के बाद से
- एक
- छह
- आकार
- आकार
- संदेहवाद
- नींद
- छोटा
- छोटे
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- ठोस
- समाधान
- कुछ
- कोई
- कुछ
- कुछ हद तक
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