हाई स्कूल के छात्र के प्राइम गणित प्रमाण के लिए पियरे डी फ़र्मेट का लिंक | क्वांटा पत्रिका

कई गणित छात्रों की तरह, मैंने भी गणितीय महानता के सपने देखे थे। मुझे लगा कि मैं एक बार करीब था। कॉलेज में बीजगणित की एक कठिन समस्या के कारण मुझे देर रात तक काम करना पड़ता था। घंटों के संघर्ष के बाद, मुझे लगा कि सफलता मिलने वाली है। मैंने चतुराई से भावों में हेर-फेर किया। मैंने गुणनखंडन किया, गुणा किया और सरलीकरण किया, जब तक कि मेरी खोज अंततः स्वयं प्रकट नहीं हो गई:

$लेटेक्स 1 + 1 = 2$।

मैं हँसे बिना नहीं रह सका। दुनिया पहले से ही जानती थी कि $latex 1 + 1 = 2$, इसलिए "ऑनर का प्रमेय" नहीं होना था। और यद्यपि कई युवा गणितज्ञों ने बहुत अधिक सफलता न मिलने पर निराशा का अनुभव किया है, लेकिन यह उल्लेखनीय है डेनियल लार्सन की कहानी सपने को जीवित रखता है.

लार्सन 2022 में हाई स्कूल के छात्र थे, जब उन्होंने एक निश्चित प्रकार की संख्या के बारे में एक परिणाम साबित किया, जो दशकों से गणितज्ञों से दूर था। उन्होंने सिद्ध किया कि कारमाइकल संख्याएँ - एक विचित्र प्रकार की गैर-अभाज्य संख्या - पहले ज्ञात की तुलना में अधिक बार पाई जा सकती हैं, जिससे एक नया प्रमेय स्थापित हुआ जो हमेशा के लिए उनके काम से जुड़ा रहेगा। तो, कारमाइकल संख्याएँ क्या हैं? इसका उत्तर देने के लिए हमें समय में पीछे जाना होगा।

पियरे डी फ़र्मेट का नाम गणित के सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक में है। 300 से अधिक वर्षों तक, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय अप्राप्य गणितीय महानता के अंतिम प्रतीक के रूप में खड़ा रहा। 1600 के दशक में, फ़र्मेट ने एक किताब में अपने प्रस्तावित प्रमेय के बारे में एक नोट लिखा था, जिसे वह पढ़ रहा था, बिना कोई विवरण दिए यह दावा करते हुए कि वह जानता है कि इसे कैसे साबित किया जाए। गणितज्ञों ने 1990 के दशक तक समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास किया, जब एंड्रयू विल्स ने अंततः फ़र्मेट की मृत्यु के सैकड़ों साल बाद खोजी गई नई तकनीकों का उपयोग करके इसे साबित कर दिया।

लेकिन यह फ़र्मेट का कम प्रसिद्ध "छोटा प्रमेय" है जो कारमाइकल संख्याओं से संबंधित है। इसे बताने का एक तरीका यहां दिया गया है:

एक अभाज्य संख्या $latex p$ दी गई है, तो किसी भी पूर्णांक $latex a$ के लिए, मात्रा $latex a^p - a$ $latex p$ से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, अभाज्य $latex p = 11$ और पूर्णांक $latex a = 2$ लें। फ़र्मेट का छोटा प्रमेय कहता है कि $latex 2^{11} – 2 = 2046$ 11 से विभाज्य है, और यह है: $latex 2046 div 11 = 186$। या $latex p = 7$ और $latex a = 4$ लें: $latex 4^7 - 4 = 16380 = 7 गुना 2340$, इसलिए $latex 4^7 - 4$ वास्तव में 7 से विभाज्य है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विपरीत, उसके छोटे प्रमेय को हल करने में 300 साल नहीं लगे। लियोनहार्ड यूलर ने एक शताब्दी से भी कम समय के बाद एक प्रमाण प्रकाशित किया। और क्योंकि यह अभाज्य संख्याओं के बारे में है, लोगों ने इसका उपयोग करने के तरीके ढूंढ लिए।

फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का उपयोग करने का एक तरीका यह दिखाना है कि कोई संख्या अभाज्य नहीं है। मान लीजिए कि आप सोच रहे हैं कि 21 अभाज्य है या नहीं। यदि 21 अभाज्य होते, तो फ़र्मेट के छोटे प्रमेय के अनुसार, किसी भी पूर्णांक $latex a$ के लिए, $latex a^{21}$ - $latex a$ को 21 से विभाज्य होना होगा। लेकिन यदि आप $ के कुछ मान आज़माते हैं लेटेक्स ए$ आप देखते हैं कि यह काम नहीं करता है। उदाहरण के लिए, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, जो 21 का गुणज नहीं है। इसलिए, क्योंकि यह फ़र्मेट के छोटे प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, 21 एक अभाज्य नहीं हो सकता है।

यह जांचने का एक मूर्खतापूर्ण तरीका लग सकता है कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं। आख़िरकार, हम $लेटेक्स 21 = 3 गुना 7$ जानते हैं। लेकिन बड़ी संख्याएँ अभाज्य हैं या नहीं यह जाँचना आधुनिक गणित में एक समय लेने वाला और महत्वपूर्ण कार्य है, इसलिए गणितज्ञ हमेशा शॉर्टकट की तलाश में रहते हैं। उस अंत तक, गणितज्ञों ने सोचा है कि क्या फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का उलटा सच हो सकता है।

प्रमेय का व्युत्क्रम क्या है? आपको गणित की कक्षा से याद होगा कि एक प्रमेय को "यदि" के रूप में एक सशर्त कथन के रूप में सोचा जा सकता है P फिर Q।” एक प्रमेय कहता है कि यदि P भाग (पूर्ववृत्त या परिकल्पना) सत्य है, तो Q भाग (परिणाम या निष्कर्ष) भी सत्य होना चाहिए। प्रमेय का व्युत्क्रम वह कथन है जो आपको तब मिलता है जब आप पूर्ववर्ती और परिणामी को बदलते हैं। तो "अगर" का विलोम P फिर Q" कथन है "यदि Q फिर P".

आइए पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करें। हमें अक्सर बताया जाता है कि यह $latex a^2 + b^2 = c^2$ कहता है। लेकिन ये बिल्कुल सही नहीं है. पाइथागोरस प्रमेय वास्तव में एक सशर्त कथन है: यह कहता है कि यदि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई $latex a$, $latex b$ और $latex c$ है, जिसमें $latex c$ कर्ण की लंबाई है, तो $latex a ^2 + बी^2 = सी^2$. तो इसका विपरीतार्थक क्या है? यह कहता है कि यदि किसी त्रिभुज की भुजा की लंबाई $latex a$, $latex b$ और $latex c$ समीकरण $latex a^2 + b^2 = c^2$ को संतुष्ट करती है, तो यह एक समकोण त्रिभुज है।

यह सोचना आकर्षक है कि प्रमेय का उलटा हमेशा सत्य होता है, और कई छात्र उस जाल में फंस गए हैं। पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम सत्य होता है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 9, 40 और 41 भुजाओं वाला एक त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए क्योंकि $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$। लेकिन एक सच्चे कथन का विपरीत सत्य होना जरूरी नहीं है: उदाहरण के लिए, जबकि यह सच है कि यदि $latex x$ एक सकारात्मक संख्या है, तो $latex x^2$ सकारात्मक है, विपरीत - यदि $latex x^2$ है एक धनात्मक संख्या, तो $latex x$ धनात्मक है - नहीं है, क्योंकि $latex (-1)^2$ धनात्मक है लेकिन −1 स्वयं नहीं है।

किसी कथन के व्युत्क्रम का पता लगाना अच्छा गणितीय अभ्यास है, और प्रारंभिक परीक्षणों की तलाश करने वाले गणितज्ञ यह जानना चाहते थे कि क्या फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का व्युत्क्रम सत्य था। व्युत्क्रम कहता है कि, एक पूर्णांक $latex q$ दिया गया है, यदि संख्या $latex a^q - a$ किसी पूर्णांक $latex a$ के लिए $latex q$ से विभाज्य है, तो $latex q$ एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए। यदि यह सत्य होता, तो यह जाँचने के कुछ कम्प्यूटेशनल कठिन कार्य को दरकिनार कर देता कि क्या $latex q$ 1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य है। जैसा कि गणित में अक्सर होता है, इस एक प्रश्न ने नए प्रश्नों को जन्म दिया, जिससे अंततः कुछ नए गणितीय विचार सामने आए।

जब आप फ़र्मेट के छोटे प्रमेय के व्युत्क्रम की खोज शुरू करते हैं, तो आप पाएंगे कि यह बहुत सारी संख्याओं के लिए सत्य है। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक $latex a$ के लिए, संख्या $latex a^2 – a$ 2 से विभाज्य है। आप इसे $latex a^2 – a$ को $latex a के रूप में गुणनखंडित करके देख सकते हैं (a-1) $. तब से a और $latex a - 1$ लगातार पूर्णांक हैं, उनमें से एक को सम होना चाहिए, और इसलिए उनका उत्पाद 2 से विभाज्य होना चाहिए।

समान तर्क दर्शाते हैं कि $latex a^3 – a$ हमेशा 3 से विभाज्य होता है और $latex a^5 – a$ हमेशा 5 से विभाज्य होता है (अधिक विवरण के लिए नीचे दिए गए अभ्यास देखें)। तो फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का व्युत्क्रम 3 और 5 के लिए मान्य है। व्युत्क्रम हमें बताता है कि हम छोटी गैर-अभाज्य संख्याओं के लिए भी क्या अपेक्षा करते हैं। यदि हम इसका उपयोग यह जांचने के लिए करते हैं कि 4 अभाज्य है या नहीं, तो हम $latex 2^4 - 2$ की गणना करेंगे और देखेंगे कि 14, 4 से विभाज्य नहीं है।

वास्तव में, आप संख्या 561 तक सभी तरह से जाँच कर सकते हैं और सब कुछ फ़र्मेट के छोटे प्रमेय के सत्य होने के विपरीत की ओर इशारा करेगा। 561 से कम अभाज्य संख्याएँ प्रत्येक के लिए $latex a^p - a$ को विभाजित करती हैं a, और 561 से कम गैर-अभाज्य संख्या नहीं है। लेकिन यह 561 पर बदल जाता है। कुछ थोड़े उन्नत संख्या सिद्धांत के साथ यह दिखाया जा सकता है कि $latex a^{561} - a$ हमेशा 561 से विभाज्य होता है, इसलिए यदि फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का व्युत्क्रम सत्य होता, तो 561 एक अभाज्य होना चाहिए . लेकिन ऐसा नहीं है: $latex 561 = 3 × 11 × 17$। अतः फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का व्युत्क्रम असत्य है।

गणितज्ञ 561 जैसी संख्याओं को "स्यूडोप्राइम" कहते हैं क्योंकि वे अभाज्य होने से जुड़ी कुछ शर्तों को पूरा करते हैं (जैसे $latex a^p - a$ को सभी से विभाजित करना) a) लेकिन वास्तव में अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। फ़र्मेट के छोटे प्रमेय के व्युत्क्रम के और अधिक प्रतिउदाहरण पाए गए हैं - अगले तीन 1,105, 1,729 और 2,465 हैं। इन्हें अमेरिकी गणितज्ञ रॉबर्ट कारमाइकल के नाम पर कारमाइकल संख्या के रूप में जाना जाने लगा। उनकी खोज के बाद, नए प्रश्न सामने आए: क्या कारमाइकल संख्याओं की पहचान करने के अन्य तरीके हैं? क्या उनके पास कोई अन्य विशेष गुण हैं? क्या उनमें से अनन्त संख्याएं हैं? यदि हां, तो वे कितनी बार घटित होते हैं?

यह आखिरी सवाल था जिसने अंततः डेनियल लार्सन का ध्यान खींचा। गणितज्ञों ने साबित कर दिया था कि वास्तव में कारमाइकल संख्याएँ अनंत रूप से कई थीं, लेकिन यह दिखाने के लिए उन्हें कारमाइकल संख्याएँ बनानी पड़ीं जो बहुत दूर थीं। इससे यह प्रश्न खुला रह गया कि इन अनंत कारमाइकल संख्याओं को संख्या रेखा के साथ कैसे वितरित किया जाता है। क्या वे अपनी प्रकृति के कारण हमेशा एक-दूसरे से बहुत दूर होते हैं, या क्या वे इस प्रारंभिक प्रमाण से अधिक आवृत्ति और नियमितता के साथ घटित हो सकते हैं?

छद्म अभाज्यों के बारे में ऐसे प्रश्न स्वयं अभाज्य अभाज्यों के बारे में समान और महत्वपूर्ण प्रश्नों की याद दिलाते हैं। दो हजार साल पहले, यूक्लिड ने साबित किया कि अभाज्य संख्याएँ अनंत रूप से कई होती हैं, लेकिन यह समझने में बहुत अधिक समय लगा कि अभाज्य संख्याएँ पूरी संख्या रेखा में कैसे वितरित होती हैं। 1800 के दशक में, बर्ट्रेंड के अभिधारणा से पता चला कि किसी भी $latex n > 3$ के लिए, $latex n$ और $latex 2n$ के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है। इससे हमें कुछ अंदाज़ा मिलता है कि जब हम संख्या रेखा के साथ आगे बढ़ते हैं तो कितनी बार अभाज्य संख्याओं की अपेक्षा की जाती है।

गणितज्ञों को आश्चर्य हुआ कि क्या बर्ट्रेंड की अभिधारणा का कुछ संस्करण कारमाइकल संख्याओं के लिए सत्य था। डैनियल लार्सन को भी आश्चर्य हुआ और उन्होंने कुछ प्रसिद्ध आधुनिक गणितज्ञों - फील्ड्स मेडलिस्ट - के काम पर निर्माण किया जेम्स मेनार्ड और टेरेंस ताओ, दूसरों के बीच में - उसने अपनी जिज्ञासा को मोड़ दिया कारमाइकल संख्याएँ कैसे वितरित की जाती हैं, इसके बारे में एक नया परिणाम सामने आया है। और जबकि युवा गणितज्ञों को शायद आज रात का होमवर्क पूरा करते समय उतनी उपलब्धि हासिल करने की उम्मीद नहीं करनी चाहिए, डेनियल लार्सन की कड़ी मेहनत, दृढ़ता और सफलता उन्हें आगे बढ़ने के लिए प्रेरित करेगी, भले ही वे जो कुछ हम पहले से जानते हैं उसे पुनः सिद्ध करना.

अभ्यास

1. यह दिखाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करें कि, यदि $latex a$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो $latex a^3 - a$ हमेशा 3 से विभाज्य होता है।

2. यह कथन "यदि एक चतुर्भुज एक आयत है, तो चतुर्भुज के विकर्ण सर्वांगसम होते हैं" सत्य है। क्या इसका उलटा सच है?

3. दिखाएँ कि यदि $latex a$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो संख्या $latex a^5 – a$ हमेशा 5 से विभाज्य होती है।