मैंडेलब्रॉट सेट को डिकोड करने की खोज, गणित का प्रसिद्ध फ्रैक्टल | क्वांटा पत्रिका

1980 के दशक के मध्य में, वॉकमैन कैसेट प्लेयर और टाई-डाई शर्ट की तरह, मैंडेलब्रॉट सेट का बगल जैसा सिल्हूट हर जगह था।

छात्रों ने इसे दुनिया भर में छात्रावास के कमरे की दीवारों पर प्लास्टर किया। गणितज्ञों को सैकड़ों पत्र प्राप्त हुए, सेट के प्रिंटआउट के लिए उत्सुक अनुरोध। (जवाब में, उनमें से कुछ ने मूल्य सूचियों के साथ कैटलॉग तैयार किए; अन्य ने इसकी सबसे खास विशेषताओं को किताबों में संकलित किया।) अधिक तकनीक-प्रेमी प्रशंसक अगस्त 1985 के अंक की ओर रुख कर सकते हैं। अमेरिकी वैज्ञानिक. इसके कवर पर, मैंडलब्रॉट सेट उग्र टेंड्रिल्स में खुला हुआ था, इसकी सीमा प्रज्वलित थी; अंदर सावधानीपूर्वक प्रोग्रामिंग निर्देश थे, जिसमें विस्तार से बताया गया था कि पाठक अपने लिए प्रतिष्ठित छवि कैसे बना सकते हैं।

तब तक, उन प्रवृत्तियों ने अपनी पहुंच गणित से कहीं आगे, रोजमर्रा की जिंदगी के असंबंधित प्रतीत होने वाले कोनों तक भी बढ़ा दी थी। अगले कुछ वर्षों में, मैंडेलब्रॉट सेट डेविड हॉकनी की नवीनतम पेंटिंग और कई संगीतकारों की नवीनतम रचनाओं - बाख की शैली में फ्यूगुलाइक टुकड़ों - को प्रेरित करेगा। यह जॉन अपडाइक के उपन्यास के पन्नों में दिखाई देगा, और यह मार्गदर्शन करेगा कि साहित्यिक आलोचक ह्यूग केनर ने एज्रा पाउंड की कविता का विश्लेषण कैसे किया। यह साइकेडेलिक मतिभ्रम और विज्ञान कथा के महान कलाकार आर्थर सी. क्लार्क द्वारा वर्णित एक लोकप्रिय वृत्तचित्र का विषय बन जाएगा।

मैंडेलब्रॉट सेट एक विशेष आकार का है, जिसमें एक भग्न रूपरेखा है। सेट की टेढ़ी-मेढ़ी सीमा पर ज़ूम करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करें, और आप समुद्री घोड़ों की घाटियों और हाथियों की परेड, सर्पिल आकाशगंगाओं और न्यूरॉन-जैसे तंतुओं का सामना करेंगे। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितनी गहराई से खोज करते हैं, आप हमेशा मूल सेट की लगभग-नक़लियाँ देखेंगे - आत्म-समानता का एक अनंत, चक्करदार झरना।

वह आत्म-समानता जेम्स ग्लीक की सबसे अधिक बिकने वाली पुस्तक का मुख्य तत्व थी अराजकता, जिसने लोकप्रिय संस्कृति में मैंडेलब्रॉट सेट की जगह पक्की कर दी। ग्लीक ने लिखा, "इसमें विचारों का एक ब्रह्मांड था।" "कला का एक आधुनिक दर्शन, गणित में प्रयोग की नई भूमिका का औचित्य, जटिल प्रणालियों को बड़ी जनता के सामने लाने का एक तरीका।"

मैंडेलब्रॉट सेट एक प्रतीक बन गया था। यह एक नई गणितीय भाषा की आवश्यकता का प्रतिनिधित्व करता है, जो हमारे आस-पास की दुनिया की भग्न प्रकृति का वर्णन करने का एक बेहतर तरीका है। इसने दर्शाया कि सबसे सरल नियमों से कितनी गहन जटिलताएँ उभर सकती हैं - बिल्कुल जीवन की तरह। ("इसलिए यह आशा का एक वास्तविक संदेश है," जॉन हब्बार्डसेट का अध्ययन करने वाले पहले गणितज्ञों में से एक, ने 1989 के एक वीडियो में कहा, "संभवतः जीव विज्ञान को वास्तव में उसी तरह से समझा जा सकता है जिस तरह से इन चित्रों को समझा जा सकता है।") मैंडेलब्रॉट सेट में, व्यवस्था और अराजकता सामंजस्य में रहती थी; नियतिवाद और स्वतंत्र इच्छा में सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है। एक गणितज्ञ को एक किशोर के रूप में सेट पर ठोकर खाने और इसे सत्य और झूठ के बीच जटिल सीमा के रूपक के रूप में देखने की याद आई।

मैंडलब्रॉट सेट हर जगह था, जब तक ऐसा नहीं था।

एक दशक के भीतर, यह गायब हो गया। गणितज्ञ अन्य विषयों की ओर चले गए, और जनता अन्य प्रतीकों की ओर बढ़ गई। आज, अपनी खोज के केवल 40 साल बाद, फ्रैक्टल एक घिसी-पिटी, बॉर्डरलाइन किच बन गया है।

लेकिन मुट्ठी भर गणितज्ञों ने इसे जाने देने से इनकार कर दिया है। उन्होंने मैंडेलब्रॉट सेट के रहस्यों को उजागर करने के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया है। अब, उन्हें लगता है कि आख़िरकार वे इसे सचमुच समझने की कगार पर हैं।

उनकी कहानी अन्वेषण, प्रयोग की है - और कैसे प्रौद्योगिकी हमारे सोचने के तरीके को आकार देती है, और दुनिया के बारे में हम जो प्रश्न पूछते हैं, उनमें से एक है।

बाउंटी हंटर्स

अक्टूबर 2023 में, दुनिया भर से 20 गणितज्ञ एक स्क्वाट ईंट की इमारत में एकत्र हुए, जो कभी डेनिश सैन्य अनुसंधान आधार था। 1800 के दशक के अंत में जंगल के बीच में बनाया गया यह बेस डेनमार्क के सबसे अधिक आबादी वाले द्वीप के उत्तर-पश्चिमी तट पर एक फ़्योर्ड पर छिपा हुआ था। एक पुराना टारपीडो प्रवेश द्वार पर पहरा दे रहा था। दीवारों पर श्वेत-श्याम तस्वीरें सजी हुई थीं, जिनमें नौसेना के वर्दीधारी अधिकारी, घाट पर खड़ी नावें और चल रहे पनडुब्बी परीक्षण दर्शाए गए थे। तीन दिनों तक, जब तेज़ हवा ने खिड़कियों के बाहर पानी को झाग में बदल दिया, तो समूह ने बातचीत की एक श्रृंखला शुरू की, जिनमें से अधिकांश न्यूयॉर्क में स्टोनी ब्रुक विश्वविद्यालय के दो गणितज्ञों द्वारा की गईं: मिशा ल्यूबिच और दीमा डुडको.

कार्यशाला के दर्शकों में मैंडेलब्रॉट सेट के कुछ सबसे निडर खोजकर्ता मौजूद थे। सामने के पास बैठ गया मित्सुहिरो शिशिकुरा क्योटो विश्वविद्यालय के, जिन्होंने 1990 के दशक में साबित कर दिया कि सेट की सीमा उतनी ही जटिल है जितनी संभवतः हो सकती है। कुछ सीटें खत्म हो गई थीं हिरोयुकी इनौ, जिन्होंने शिशिकुरा के साथ मिलकर मैंडेलब्रॉट सेट के विशेष रूप से हाई-प्रोफाइल क्षेत्र का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण तकनीकें विकसित कीं। आखिरी पंक्ति में था वुल्फ जंग, मैंडेल के निर्माता, मैंडलब्रॉट सेट की अंतःक्रियात्मक जांच के लिए गणितज्ञों का पसंदीदा सॉफ्टवेयर। भी मौजूद थे अरनौद चेरीटैट टूलूज़ विश्वविद्यालय के, कार्स्टन पीटरसन रोस्किल्डे विश्वविद्यालय (जिन्होंने कार्यशाला का आयोजन किया), और कई अन्य जिन्होंने मैंडलब्रॉट सेट के बारे में गणितज्ञों की समझ में प्रमुख योगदान दिया था।

और व्हाइटबोर्ड पर इस विषय पर दुनिया के अग्रणी विशेषज्ञ ल्यूबिच और उनके सबसे करीबी सहयोगियों में से एक डुडको खड़े थे। गणितज्ञों के साथ जेरेमी कहन और एलेक्स कपियाम्बावे मैंडेलब्रॉट सेट की ज्यामितीय संरचना के बारे में लंबे समय से चले आ रहे अनुमान को साबित करने के लिए काम कर रहे हैं। वह अनुमान, जिसे एमएलसी के रूप में जाना जाता है, फ्रैक्टल को चित्रित करने, उसके उलझे हुए जंगल को नियंत्रित करने की दशकों पुरानी खोज में अंतिम बाधा है।

उपकरणों के एक शक्तिशाली सेट का निर्माण और तेज करके, गणितज्ञों ने "मैंडेलब्रॉट सेट में लगभग हर चीज" की ज्यामिति पर नियंत्रण हासिल कर लिया है। कैरोलीन डेविस इंडियाना विश्वविद्यालय के - कुछ शेष मामलों को छोड़कर। "मिशा और दीमा और जेरेमी और एलेक्स इनामी शिकारियों की तरह हैं, जो इन आखिरी लोगों का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं।"

ल्यूबिच और डुडको अन्य गणितज्ञों को एमएलसी साबित करने की दिशा में हाल की प्रगति और ऐसा करने के लिए विकसित की गई तकनीकों के बारे में जानकारी देने के लिए डेनमार्क में थे। पिछले 20 वर्षों से, शोधकर्ता जटिल विश्लेषण के क्षेत्र में अनपैकिंग परिणामों और विधियों के लिए समर्पित कार्यशालाओं के लिए यहां एकत्र हुए हैं, मैंडलब्रॉट सेट उत्पन्न करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं और कार्यों के प्रकार का गणितीय अध्ययन।

यह एक असामान्य व्यवस्था थी: गणितज्ञों ने अपना सारा भोजन एक साथ खाया, और देर तक बियर पीते हुए बातें कीं और हँसे। जब उन्होंने अंततः सोने का फैसला किया, तो वे सुविधा की दूसरी मंजिल पर साझा किए गए छोटे कमरों में चारपाई या खाट पर चले गए। (हमारे आगमन पर, हमें ढेर से चादरें और तकिए उठाने और उन्हें ऊपर ले जाकर अपना बिस्तर बनाने के लिए कहा गया था।) कुछ वर्षों में, सम्मेलन में जाने वाले लोगों को ठंडे पानी में तैरने का साहस करना पड़ा; अधिकतर, वे जंगलों में भटकते रहते हैं। लेकिन अधिकांश भाग में, गणित के अलावा करने को कुछ नहीं है।

आमतौर पर, उपस्थित लोगों में से एक ने मुझे बताया, कार्यशाला बहुत से युवा गणितज्ञों को आकर्षित करती है। लेकिन इस बार ऐसा नहीं था - शायद इसलिए कि यह सेमेस्टर का मध्य था, या, उन्होंने अनुमान लगाया, क्योंकि विषय वस्तु कितनी कठिन थी। उन्होंने स्वीकार किया कि उस समय, उन्हें क्षेत्र के इतने सारे दिग्गजों के सामने भाषण देने की संभावना से थोड़ा डर लग रहा था।

लेकिन यह देखते हुए कि जटिल विश्लेषण के व्यापक क्षेत्र में अधिकांश गणितज्ञ अब सीधे मैंडेलब्रॉट सेट पर काम नहीं कर रहे हैं, तो एमएलसी को पूरी कार्यशाला क्यों समर्पित करें?

मैंडेलब्रॉट सेट एक फ्रैक्टल से कहीं अधिक है, न कि केवल रूपक अर्थ में। यह गतिशील प्रणालियों के एक प्रकार के मास्टर कैटलॉग के रूप में कार्य करता है - सभी अलग-अलग तरीकों से एक बिंदु एक साधारण नियम के अनुसार अंतरिक्ष में घूम सकता है। इस मास्टर कैटलॉग को समझने के लिए, व्यक्ति को कई अलग-अलग गणितीय परिदृश्यों को पार करना होगा। मैंडेलब्रॉट सेट न केवल गतिशीलता से, बल्कि संख्या सिद्धांत, टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति, समूह सिद्धांत और यहां तक ​​कि भौतिकी से भी गहराई से संबंधित है। "यह बाकी गणित के साथ सुंदर तरीके से इंटरैक्ट करता है," कहा सबासाची मुखर्जी भारत में टाटा इंस्टीट्यूट ऑफ फंडामेंटल रिसर्च के.

एमएलसी पर प्रगति करने के लिए, गणितज्ञों को तकनीकों का एक परिष्कृत सेट विकसित करना पड़ा है - जिसे चेरिटैट "एक शक्तिशाली दर्शन" कहता है। इन उपकरणों ने बहुत अधिक ध्यान आकर्षित किया है। आज, वे अधिक व्यापक रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में एक केंद्रीय स्तंभ का गठन करते हैं। वे कई अन्य समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण साबित हुए हैं - ऐसी समस्याएं जिनका मैंडेलब्रॉट सेट से कोई लेना-देना नहीं है। और उन्होंने एमएलसी को एक विशिष्ट प्रश्न से क्षेत्र के सबसे गहरे और सबसे महत्वपूर्ण खुले अनुमानों में से एक में बदल दिया है।

ल्यूबिच, गणितज्ञ, जो इस "दर्शन" को इसके वर्तमान स्वरूप में ढालने के लिए संभवतः सबसे अधिक जिम्मेदार है, लंबा और सीधा खड़ा है, और चुपचाप बोलता है। जब कार्यशाला में अन्य गणितज्ञ किसी अवधारणा पर चर्चा करने या कोई प्रश्न पूछने के लिए उसके पास आते हैं, तो वह अपनी आँखें बंद कर लेता है और ध्यान से सुनता है, उसकी मोटी भौंहें सिकुड़ जाती हैं। वह रूसी लहजे में सावधानी से जवाब देता है।

लेकिन वह ज़ोर से, गर्मजोशी से हँसने और व्यंग्यात्मक चुटकुले बनाने में भी तेज़ है। वह अपने समय और सलाह के मामले में उदार हैं। ल्यूबिच के पूर्व पोस्टडॉक्स में से एक और लगातार सहयोगी मुखर्जी ने कहा, "उन्होंने वास्तव में गणितज्ञों की कई पीढ़ियों का पोषण किया है।" जैसा कि वह बताते हैं, जटिल गतिशीलता के अध्ययन में रुचि रखने वाला कोई भी व्यक्ति ल्यूबिच से सीखने के लिए स्टोनी ब्रुक में कुछ समय बिताता है। मुखर्जी ने कहा, "मीशा के पास यह दृष्टिकोण है कि हमें एक निश्चित परियोजना के बारे में कैसे आगे बढ़ना चाहिए, या आगे क्या देखना चाहिए।" “उनके दिमाग में यह भव्य तस्वीर है। और वह इसे लोगों के साथ साझा करके खुश हैं।

पहली बार ल्यूबिच को महसूस हुआ कि वह उस भव्य तस्वीर को उसकी संपूर्णता में देख पा रहा है।

पुरस्कार सेनानी

मैंडेलब्रॉट सेट की शुरुआत एक पुरस्कार से हुई।

1915 में, कार्यों के अध्ययन में हालिया प्रगति से प्रेरित होकर, फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज ने एक प्रतियोगिता की घोषणा की: तीन साल के समय में, यह पुनरावृत्ति की प्रक्रिया पर काम के लिए 3,000-फ़्रैंक का भव्य पुरस्कार प्रदान करेगा - वही प्रक्रिया जो बाद में मैंडेलब्रॉट सेट तैयार करें।

पुनरावृत्ति एक नियम का बार-बार लागू होना है। किसी संख्या को किसी फ़ंक्शन में प्लग करें, फिर आउटपुट को अपने अगले इनपुट के रूप में उपयोग करें। ऐसा करते रहें और देखें कि समय के साथ क्या होता है। जैसे-जैसे आप अपने कार्य को दोहराना जारी रखते हैं, आपको मिलने वाली संख्याएँ तेज़ी से अनंत की ओर बढ़ सकती हैं। या उन्हें विशेष रूप से एक संख्या की ओर खींचा जा सकता है, जैसे लोहे का बुरादा चुंबक की ओर बढ़ता है। या अंत में उन्हीं दो संख्याओं, या तीन, या एक हजार के बीच एक स्थिर कक्षा में उछलते-कूदते रहते हैं, जहाँ से वे कभी भी बच नहीं सकते। या किसी अराजक, अप्रत्याशित रास्ते पर चलते हुए, बिना किसी तुक या कारण के एक नंबर से दूसरे नंबर पर कूदें।

फ्रांसीसी अकादमी और मोटे तौर पर गणितज्ञों के पास पुनरावृत्ति में रुचि रखने का एक और कारण था। इस प्रक्रिया ने गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई - सूर्य के चारों ओर ग्रहों के घूमने या अशांत धारा के प्रवाह जैसी प्रणालियाँ, ऐसी प्रणालियाँ जो कुछ निर्दिष्ट नियमों के अनुसार समय के साथ बदलती हैं।

इस पुरस्कार ने दो गणितज्ञों को अध्ययन का एक बिल्कुल नया क्षेत्र विकसित करने के लिए प्रेरित किया।

पहले थे पियरे फतौ, जो किसी अन्य जीवन में एक नौसैनिक (एक पारिवारिक परंपरा) होते, यदि उनका स्वास्थ्य खराब न होता। इसके बजाय उन्होंने गणित और खगोल विज्ञान में अपना करियर बनाया और 1915 तक उन्होंने विश्लेषण में कई प्रमुख परिणाम पहले ही साबित कर दिए थे। उसके बाद फ्रांसीसी कब्जे वाले अल्जीरिया में पैदा हुए एक होनहार युवा गणितज्ञ गैस्टन जूलिया थे, जिनकी पढ़ाई प्रथम विश्व युद्ध और फ्रांसीसी सेना में उनकी भर्ती के कारण बाधित हो गई थी। 22 साल की उम्र में, अपनी सेवा शुरू करने के तुरंत बाद एक गंभीर चोट लगने के बाद - वह अपने पूरे जीवन के लिए अपने चेहरे पर चमड़े का पट्टा पहने रहेंगे, क्योंकि डॉक्टर क्षति की मरम्मत करने में असमर्थ थे - वह गणित में लौट आए, कुछ काम करते हुए वह काम जिसे वह अस्पताल के बिस्तर से अकादमी पुरस्कार के लिए प्रस्तुत करेंगे।

पुरस्कार ने फतौ और जूलिया दोनों को यह अध्ययन करने के लिए प्रेरित किया कि जब आप कार्यों को दोहराते हैं तो क्या होता है। उन्होंने स्वतंत्र रूप से काम किया, लेकिन अंत में बहुत ही समान खोजें हुईं। उनके परिणामों में इतना अधिक ओवरलैप था कि अब भी, यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता कि क्रेडिट कैसे दिया जाए। (जूलिया अधिक मिलनसार थी, और इसलिए उस पर अधिक ध्यान दिया गया। अंत में उसने पुरस्कार जीत लिया; फतौ ने आवेदन भी नहीं किया।) इस काम के कारण, दोनों को अब जटिल गतिशीलता के क्षेत्र का संस्थापक माना जाता है।

"जटिल", क्योंकि फतौ और जूलिया ने जटिल संख्याओं के कार्यों को दोहराया - वे संख्याएँ जो एक परिचित वास्तविक संख्या को एक तथाकथित काल्पनिक संख्या (एक से अधिक) के साथ जोड़ती हैं i, गणितज्ञ −1 के वर्गमूल को दर्शाने के लिए जिस प्रतीक का उपयोग करते हैं)। जबकि वास्तविक संख्याओं को एक रेखा पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है, जटिल संख्याओं को एक समतल पर बिंदुओं के रूप में देखा जा सकता है, जैसे:

फतौ और जूलिया ने पाया कि सरल जटिल कार्यों (गणित के क्षेत्र में विरोधाभास नहीं!) को दोहराने से आपके शुरुआती बिंदु के आधार पर समृद्ध और जटिल व्यवहार हो सकता है। उन्होंने इन व्यवहारों का दस्तावेजीकरण करना और उन्हें ज्यामितीय रूप से प्रस्तुत करना शुरू किया।

लेकिन फिर उनका काम आधी सदी तक गुमनामी में डूबा रहा। “लोगों को यह भी पता नहीं था कि क्या देखना है। वे इस बात पर भी सीमित थे कि क्या प्रश्न पूछा जाए, ”ने कहा अर्तुर अविला, ज्यूरिख विश्वविद्यालय में प्रोफेसर।

1970 के दशक में जब कंप्यूटर ग्राफ़िक्स का युग आया तो इसमें बदलाव आया।

तब तक, गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने एक अकादमिक शौकीन के रूप में ख्याति प्राप्त कर ली थी। न्यूयॉर्क शहर के उत्तर में आईबीएम के अनुसंधान केंद्र में काम करने के दौरान उन्होंने अर्थशास्त्र से लेकर खगोल विज्ञान तक कई अलग-अलग क्षेत्रों में हाथ आजमाया। जब उन्हें 1974 में आईबीएम फेलो नियुक्त किया गया, तो उन्हें स्वतंत्र परियोजनाओं को आगे बढ़ाने की और भी अधिक स्वतंत्रता थी। उन्होंने जटिल गतिशीलता को शीतनिद्रा से बाहर लाने के लिए केंद्र की पर्याप्त कंप्यूटिंग शक्ति को लागू करने का निर्णय लिया।

सबसे पहले, मैंडेलब्रॉट ने कंप्यूटर का उपयोग उन प्रकार की आकृतियों को उत्पन्न करने के लिए किया, जिनका अध्ययन फतौ और जूलिया ने किया था। छवियों ने जानकारी को एन्कोड किया है कि कब एक प्रारंभिक बिंदु, जब पुनरावृत्त किया जाता है, अनंत तक भाग जाएगा, और जब यह किसी अन्य पैटर्न में फंस जाएगा। 60 साल पहले के फतौ और जूलिया के चित्र वृत्तों और त्रिकोणों के समूहों की तरह दिखते थे - लेकिन मंडेलब्रॉट द्वारा बनाई गई कंप्यूटर-जनित छवियां ड्रेगन और तितलियों, खरगोशों और कैथेड्रल और फूलगोभी के सिर की तरह दिखती थीं, कभी-कभी धूल के अलग-अलग बादलों की तरह भी दिखती थीं। तब तक, मैंडेलब्रॉट ने पहले ही विभिन्न पैमानों पर समान दिखने वाली आकृतियों के लिए "फ्रैक्टल" शब्द गढ़ लिया था; इस शब्द ने एक नई तरह की ज्यामिति की धारणा को जन्म दिया - कुछ खंडित, आंशिक या टूटा हुआ।

उनके कंप्यूटर स्क्रीन पर दिखाई देने वाली छवियां - जिन्हें आज जूलिया सेट के नाम से जाना जाता है - फ्रैक्टल के कुछ सबसे सुंदर और जटिल उदाहरण थे जिन्हें मैंडलब्रॉट ने कभी देखा था।

फतौ और जूलिया का काम इनमें से प्रत्येक सेट (और उनके संबंधित कार्यों) की ज्यामिति और गतिशीलता पर व्यक्तिगत रूप से केंद्रित था। लेकिन कंप्यूटर ने मैंडेलब्रॉट को एक साथ कार्यों के पूरे परिवार के बारे में सोचने का एक तरीका दिया। वह उन सभी को उस छवि में कूटबद्ध कर सकता है जो उसके नाम पर आएगी, हालांकि यह बहस का विषय बना हुआ है कि क्या वह वास्तव में इसकी खोज करने वाला पहला व्यक्ति था।

मैंडेलब्रॉट सेट सबसे सरल समीकरणों से संबंधित है जो पुनरावृत्त होने पर भी कुछ दिलचस्प करते हैं। ये रूप के द्विघात फलन हैं f(z) = z² + c. का मान निश्चित करें c - यह कोई भी सम्मिश्र संख्या हो सकती है। यदि आप से शुरू होने वाले समीकरण को दोहराते हैं z = 0 और पता लगाएं कि आपके द्वारा उत्पन्न संख्याएँ छोटी (या परिबद्ध, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं) रहती हैं c मैंडेलब्रॉट सेट में है। दूसरी ओर, यदि आप पुनरावृति करते हैं और पाते हैं कि अंततः आपकी संख्याएँ अनंत की ओर बढ़ने लगती हैं c मैंडेलब्रॉट सेट में नहीं है.

के मूल्यों को दर्शाना सीधा है c सेट में शून्य के करीब हैं। और इसके बड़े मूल्यों को दिखाना भी उतना ही सरल है c नहीं हैं. लेकिन सम्मिश्र संख्याएँ अपने नाम के अनुरूप हैं: सेट की सीमा बहुत जटिल है। परिवर्तन का कोई स्पष्ट कारण नहीं है c छोटी मात्रा में आपको सीमा पार करते रहना चाहिए, लेकिन जैसे ही आप इस पर ज़ूम करते हैं, अंतहीन मात्रा में विवरण दिखाई देते हैं।

इसके अलावा, मैंडेलब्रॉट सेट जूलिया सेट के मानचित्र की तरह काम करता है, जैसा कि नीचे दिए गए इंटरैक्टिव चित्र में देखा जा सकता है। का एक मान चुनें c मैंडेलब्रॉट सेट में। संबंधित जूलिया सेट कनेक्ट किया जाएगा. लेकिन यदि आप मैंडेलब्रॉट सेट छोड़ते हैं, तो संबंधित जूलिया सेट धूल से डिस्कनेक्ट हो जाएगा।