आइजैक न्यूटन को उनकी आत्मा की उदारता के लिए नहीं जाना जाता था, और अपने प्रतिद्वंद्वियों के लिए उनका तिरस्कार पौराणिक था। लेकिन अपने प्रतिद्वंद्वी गॉटफ्रीड लाइबनिज़ को एक पत्र में, जिसे अब के नाम से जाना जाता है एपिस्टोला पोस्टीरियर, न्यूटन उदासीन और लगभग मिलनसार के रूप में सामने आता है। इसमें, वह अपने छात्र दिनों की एक कहानी बताता है, जब वह गणित सीखना शुरू ही कर रहा था। वह बताता है कि कैसे उसने अनुमान लगाने और जाँचने की प्रक्रिया द्वारा वक्रों के नीचे के क्षेत्रों को अनंत राशियों से जोड़कर एक बड़ी खोज की। पत्र में उनका तर्क इतना आकर्षक और सुलभ है, यह मुझे पैटर्न-अनुमान लगाने वाले खेल की याद दिलाता है जो छोटे बच्चे खेलना पसंद करते हैं।
यह सब तब शुरू हुआ जब युवा न्यूटन ने जॉन वालिस को पढ़ा। अंकगणित इन्फिनिटोरम, 17वीं शताब्दी के गणित का एक मौलिक कार्य। वालिस ने पाई के मूल्य को निर्धारित करने के लिए एक उपन्यास और आगमनात्मक विधि शामिल की, और न्यूटन कुछ इसी तरह का आविष्कार करना चाहता था। उन्होंने समायोज्य चौड़ाई के "गोलाकार खंड" के क्षेत्र को खोजने की समस्या के साथ शुरुआत की $लेटेक्स x$. यह इकाई सर्कल के अंतर्गत क्षेत्र है, जिसे $latex y=sqrt{1-x^2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जो 0 से क्षैतिज अक्ष के हिस्से के ऊपर स्थित है। $लेटेक्स x$। यहाँ $लेटेक्स x$ 0 से 1 तक कोई भी संख्या हो सकती है और 1 वृत्त की त्रिज्या है। एक इकाई वृत्त का क्षेत्रफल pi होता है, जैसा कि न्यूटन अच्छी तरह से जानता था, इसलिए जब $लेटेक्स x=1$, वक्र के नीचे का क्षेत्र इकाई वृत्त का एक चौथाई है, $latexfrac{π}{4}$। लेकिन के अन्य मूल्यों के लिए $लेटेक्स x$, कुछ पता नहीं चला।
यदि न्यूटन के हर संभव मान के लिए वक्र के नीचे के क्षेत्र को निर्धारित करने का एक तरीका खोज सके $लेटेक्स x$, यह उसे पाई का अनुमान लगाने का एक अभूतपूर्व साधन दे सकता है। वह मूल रूप से उनकी भव्य योजना थी। लेकिन रास्ते में उन्होंने कुछ और भी बेहतर पाया: जटिल वक्रों को अनंत राशियों के साथ सरल बिल्डिंग ब्लॉक्स की शक्तियों से बदलने के लिए एक विधि $लेटेक्स x$.
न्यूटन का पहला कदम सादृश्य द्वारा तर्क करना था। सीधे वृत्ताकार खंड के क्षेत्र के लिए लक्ष्य करने के बजाय, उन्होंने निम्नलिखित वक्रों से घिरे समरूप खंडों के क्षेत्रों की जांच की:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
न्यूटन जानता था कि सूची में वक्रों के नीचे के क्षेत्रों में पूर्ण-संख्या घात (जैसे $latex frac{0}{2}=0$ और $latex frac{2}{2} = 1$) की गणना करना आसान होगा, क्योंकि वे बीजगणितीय रूप से सरल करते हैं। उदाहरण के लिए,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
इसी तरह,
लेकिन सर्कल के समीकरण के लिए ऐसा कोई सरलीकरण उपलब्ध नहीं है - $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$- या आधी शक्तियों वाले अन्य वक्र। उस समय, कोई नहीं जानता था कि उनमें से किसी के अधीन क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए।
सौभाग्य से, पूर्ण-संख्या शक्तियों वाले वक्रों के नीचे के क्षेत्र सीधे थे। वक्र $लेटेक्स y_4=1-2x^2+x^4$ लें। इस तरह के कार्यों के लिए उस समय के एक प्रसिद्ध नियम ने न्यूटन (और किसी और को) को क्षेत्र को जल्दी से खोजने की अनुमति दी: किसी भी पूर्ण-संख्या शक्ति के लिए $latex nge 0$, वक्र के नीचे का क्षेत्र $latex y=x^n$ over से अंतराल $लेटेक्स 0$ सेवा मेरे $लेटेक्स x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ द्वारा दिया जाता है। (वालिस ने अपनी आगमनात्मक विधि से इस नियम का अनुमान लगाया था, और पियरे डी फ़र्मेट ने इसे निर्णायक रूप से सिद्ध किया था।) इस नियम के साथ, न्यूटन को पता था कि वक्र के नीचे का क्षेत्र $latex y_4$ $latex x- frac{2x^3}{3 है। } + फ़्रेक{x^5}{5}$।
उसी नियम ने उसे उपरोक्त सूची में पूर्ण-संख्या शक्तियों वाले अन्य वक्रों के तहत क्षेत्र खोजने की अनुमति दी। आइए $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ वक्र के नीचे के क्षेत्र के लिए $latex A_n$ लिखें, जहां $latex n= 0, 1, 2, …$ । नियम लागू करने से पैदावार होती है
$लेटेक्स A_0=x$
$लेटेक्स A_1 = hspace{.295em}?$
$लेटेक्स A_2 = x -फ्रैक{1}{3}x^3$
$लेटेक्स A_3 = hspace{.295em}?$
$लेटेक्स A_4 = x -फ़्रेक{2}{3}x^3 + फ़्रैक{1}{5}x^5$
$लेटेक्स A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 - frac{1}{7}x^7$
और इसी तरह। न्यूटन का चालाक विचार अंतरालों को भरना था, यह उम्मीद करते हुए कि $latexA_1$ (वृत्ताकार खंड के अज्ञात क्षेत्र के लिए श्रृंखला) का अनुमान लगाया जाएगा, जो वह दूसरी श्रृंखला में देख सकता था। एक बात तुरंत स्पष्ट हो गई: प्रत्येक $latexA_n$ बस $latex x$ से शुरू हुआ। इसने इस तरह के सूत्रों में संशोधन करने का सुझाव दिया:
$लेटेक्स A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$लेटेक्स A_2 = x -फ्रैक{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$लेटेक्स A_4 = x -फ़्रेक{2}{3}x^3 + फ़्रैक{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 - frac{1}{7}x^7$।
फिर, प्रश्न चिह्नों के अगले बैच को बदलने के लिए, न्यूटन ने $latex x^3$ शब्दों को देखा। थोड़े से लाइसेंस के साथ, हम देख सकते हैं कि $latexA_0$ में भी इनमें से एक घन शब्द था, क्योंकि हम इसे $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं। जैसा कि न्यूटन ने लाइबनिज़ को समझाया, उन्होंने देखा कि "दूसरा पद $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ आदि, अंकगणितीय प्रगति में थे” (वह अंशों में 0, 1, 2, 3 की बात कर रहे थे)। यह संदेह करते हुए कि यह अंकगणितीय प्रगति अंतराल में भी विस्तारित हो सकती है, न्यूटन ने अनुमान लगाया कि ज्ञात और अज्ञात अंशों का पूरा क्रम $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 द्वारा अलग की गई संख्याएं होनी चाहिए। }, 1, फ़्रैक{3}{2}, 2, फ़्रैक{5}{2}, 3 ...)$ "और इसलिए श्रृंखला के पहले दो शब्दों" में उनकी रुचि थी - अभी भी अज्ञात $latex A_1$ , $latex A_3$ और $latex A_5$ — “होना चाहिए $latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, आदि।"
इस प्रकार, इस स्तर पर पैटर्न ने न्यूटन को सुझाव दिया कि $latex A_1$ के रूप में शुरू होना चाहिए
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$।
यह एक अच्छी शुरुआत थी, लेकिन उसे और चाहिए था। जैसे ही उन्होंने अन्य पैटर्न की खोज की, न्यूटन ने देखा कि समीकरणों में हर में हमेशा बढ़ते क्रम में विषम संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, $latex A_6$ को देखें, जिसके हर में 1, 3, 5 और 7 हैं। वही पैटर्न $latex A_4$ और $latex A_2$ के लिए काम करता है। काफी सरल। यह पैटर्न स्पष्ट रूप से सभी समीकरणों के सभी भाजक में बना रहा।
अंशों में एक पैटर्न खोजने के लिए क्या बचा था। न्यूटन ने फिर से $latex A_2$, $latex A_4$ और $latex A_6$ की जांच की और कुछ देखा। $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ में उसने एक 1 को $latex x$ से गुणा करते हुए देखा और दूसरे को $latexfrac {1}{1}x^3$ पद में गुणा करते हुए देखा (उसने इसकी उपेक्षा की फिलहाल के लिए नकारात्मक संकेत)। $latex A_3 = x-frac{4}{2}x^3 + frac{3}{1}x^5$ में, उसने 5, 1, 2 के अंश देखे। और $latex में A_1=x-frac{ 6}{3}x^3 + frac{3}{3}x^5 -frac{5}{1}x^7$ , उसने अंक 7, 1, 3, 3 देखे। इन नंबरों से किसी को भी परिचित होना चाहिए। जिसने कभी पास्कल त्रिभुज का अध्ययन किया है, संख्याओं की एक त्रिकोणीय व्यवस्था, जो अपने सरलतम रूप में, इसके ऊपर की संख्याओं को एक साथ जोड़कर बनाई जाती है, जो शीर्ष पर 1 से शुरू होती है।
पास्कल को लागू करने के बजाय, न्यूटन ने इन अंशों को "संख्या 11 की शक्तियों" के रूप में संदर्भित किया। उदाहरण के लिए, 112 = 121, जो त्रिभुज की दूसरी पंक्ति है, और 113 = 1331, जो तीसरा है। आजकल इन संख्याओं को द्विपद गुणांक भी कहा जाता है। वे तब उत्पन्न होते हैं जब आप $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$ जैसे द्विपद की शक्तियों का विस्तार करते हैं जैसे ($latex a +b$)। हाथ में इस पैटर्न के साथ, न्यूटन के पास अब $latex A_2, A_4, A_6$, और अन्य सभी सम-संख्या लिखने का एक आसान तरीका था Aएस
इसके बाद, अपने परिणामों को अर्ध-शक्तियों और विषम-संख्या वाले सबस्क्रिप्ट में एक्सट्रपलेशन करने के लिए (और अंत में वह श्रृंखला प्राप्त करना चाहते थे, $latex A_1$), न्यूटन को पास्कल के त्रिकोण को एक शानदार नए शासन में विस्तारित करने की आवश्यकता थी: पंक्तियों के बीच में आधा। एक्सट्रपलेशन करने के लिए, उन्होंने पास्कल के त्रिभुज की किसी भी पंक्ति में द्विपद गुणांकों के लिए एक सामान्य सूत्र निकाला - पंक्ति $latex m$ - और फिर दुस्साहसिक रूप से $latex m= frac{1}{2}$ में प्लग किया। और आश्चर्यजनक रूप से, इसने काम किया। इसने उन्हें उस श्रृंखला में अंक दिए जो वह एक इकाई वृत्त, $latexA_1$ के लिए चाह रहे थे।
यहाँ, न्यूटन के अपने शब्दों में, लाइबनिज़ के लिए उनका सारांश उन पैटर्नों का है जिन्हें उन्होंने तर्क में इस चरण तक आगमनात्मक रूप से देखा:
मैंने यह सोचना शुरू किया कि हर 1, 3, 5, 7, आदि अंकगणितीय प्रगति में थे, इसलिए केवल अंशों के संख्यात्मक गुणांक अभी भी जांच की आवश्यकता में थे। लेकिन बारी-बारी से दिए गए क्षेत्रों में, ये संख्या 11 की शक्तियों के आंकड़े थे ... यानी पहले '1'; फिर '1, 1'; तीसरा, '1, 2, 1'; चौथा '1, 3, 3, 1'; पाँचवाँ '1, 4, 6, 4, 1' आदि और इसलिए मैंने यह जानना शुरू किया कि श्रृंखला में शेष आंकड़े पहले दो दिए गए आंकड़ों से कैसे निकाले जा सकते हैं, और मैंने पाया कि दूसरे के लिए $latex m$ लगाने पर आंकड़ा, शेष इस श्रृंखला की शर्तों के निरंतर गुणा द्वारा उत्पादित किया जाएगा,
$लेटेक्स फ़्रैक{m-0}{1} बार फ़्रैक{m-1}{2} बार फ़्रैक {m-2}{3} बार फ़्रैक{m-3}{4} गुना फ़्रैक {m-4}{5 }$, आदि
... तद्नुसार मैंने इस नियम को श्रृंखला के बीच श्रृंखला को इंटरपोज करने के लिए लागू किया, और चूंकि, सर्कल के लिए, दूसरा पद $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ था, मैंने $latex रखा m=frac{1}{2}$, और उत्पन्न होने वाले शब्द थे
$latex frac {1}{2} गुना frac{frac{1}{2}-1}{2}$ या $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} गुना frac{frac{1}{2}-2}{3}$ या $latex + frac{1}{16}$,
$लेटेक्स फ़्रैक{1}{16} गुना फ़्रैक{फ़्रैक{1}{2}-3}{4}$ या $लेटेक्स - फ़्रैक {5}{128}$,तो अनंत तक। जहां से मुझे समझ में आया कि वृत्ताकार खण्ड का क्षेत्रफल जो मुझे चाहिए था
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
अंत में, $latex x=1$ में प्लग इन करके, न्यूटन $latexfrac{π}{4}$ के लिए एक अनंत राशि प्राप्त कर सकता है। यह एक महत्वपूर्ण खोज थी, लेकिन यह पता चला कि अनंत राशि के माध्यम से पीआई का अनुमान लगाने के बेहतर तरीके हैं, क्योंकि न्यूटन ने जल्द ही इस प्रारंभिक प्रयास के बाद इस प्रकार की अनंत राशियों में खोज की, जिसे अब पावर सीरीज़ कहा जाता है। अंततः उन्होंने पाई के पहले 15 अंकों की गणना की।
वृत्ताकार खंड की समस्या पर लौटते हुए, न्यूटन ने महसूस किया कि वृत्त के लिए समीकरण (केवल इसके नीचे का क्षेत्र ही नहीं) को भी एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है। उसे बस इतना करना था कि हर को छोड़ दें और ऊपर प्रदर्शित पावर श्रृंखला में $latex x$ की शक्तियों को 1 से कम कर दें। इस प्रकार उन्हें यह अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया गया कि
यह परीक्षण करने के लिए कि क्या यह परिणाम समझ में आता है, न्यूटन ने इसे अपने आप से गुणा किया: "यह $ लेटेक्स 1-x ^ 2 $ बन गया, शेष शब्द श्रृंखला के अनंत तक जारी रहने से गायब हो गए।"
विवरण से थोड़ा पीछे हटते हुए, हम यहां समस्या-समाधान के बारे में कई पाठ देखते हैं। अगर कोई समस्या बहुत कठिन है, तो उसे बदल दें। यदि यह बहुत विशिष्ट लगता है, तो इसे सामान्य करें। न्यूटन ने दोनों किया और मूल रूप से उनकी अपेक्षा से अधिक महत्वपूर्ण और अधिक शक्तिशाली परिणाम प्राप्त किए।
न्यूटन ने एक वृत्त के एक चौथाई हिस्से पर हठपूर्वक निर्धारण नहीं किया। उन्होंने कहीं अधिक सामान्य आकार, चौड़ाई $latex x$ के किसी भी वृत्ताकार खंड को देखा। $latex x=1$ से चिपके रहने के बजाय, उन्होंने $latex x$ को 0 से 1 तक स्वतंत्र रूप से चलने की अनुमति दी। इससे उनकी श्रृंखला में गुणांकों के द्विपद चरित्र का पता चला - पास्कल के त्रिकोण में संख्याओं की अप्रत्याशित उपस्थिति और उनके सामान्यीकरण - जो न्यूटन को ऐसे पैटर्न देखने दें जो वालिस और अन्य लोगों ने याद किए थे। उन पैटर्नों को देखकर न्यूटन को वह अंतर्दृष्टि मिली जो उन्हें शक्ति श्रृंखला के सिद्धांत को और अधिक व्यापक रूप से और आम तौर पर विकसित करने के लिए आवश्यक थी।
अपने बाद के काम में, न्यूटन की शक्ति श्रृंखला ने उन्हें पथरी के लिए स्विस सेना का चाकू दिया। उनके साथ, वह इंटीग्रल कर सकता था, बीजीय समीकरणों की जड़ें ढूंढ सकता था, और साइन, कोसाइन और लॉगरिदम के मूल्यों की गणना कर सकता था। जैसा कि उन्होंने कहा, "उनकी मदद से, विश्लेषण पहुंचता है, मैं लगभग सभी समस्याओं के लिए कह सकता हूं।"
नैतिक: किसी समस्या को बदलना धोखा नहीं है। यह रचनात्मक है। और यह किसी बड़ी चीज की कुंजी हो सकती है।
