रेखीय और अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम

रेखीय और अरैखिक अवकल समीकरणों के लिए बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम

समय टिकट: 2 फरवरी, 2023 11:28 पूर्वाह्न
रैखिक और अरेखीय अंतर समीकरणों के लिए बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम प्लेटोब्लॉकचेन डेटा इंटेलिजेंस। लंबवत खोज. ऐ.

हरि क्रोवी

रिवरलेन रिसर्च, कैम्ब्रिज, एमए

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सार

हम अमानवीय रैखिक और गैर-रेखीय साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के लिए पूर्व कार्य की तुलना में काफी सामान्यीकृत और बेहतर क्वांटम एल्गोरिदम प्रस्तुत करते हैं। विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि कैसे मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल का मानदंड रैखिक ओडीई के लिए क्वांटम एल्गोरिदम के रन टाइम को दर्शाता है, जो रैखिक और गैर-रेखीय ओडीई के व्यापक वर्ग के लिए एक एप्लिकेशन का द्वार खोलता है। बेरी एट अल., (2017) में, रैखिक ओडीई के एक निश्चित वर्ग के लिए एक क्वांटम एल्गोरिदम दिया गया है, जहां शामिल मैट्रिक्स को विकर्ण करने की आवश्यकता है। यहां प्रस्तुत रैखिक ओडीई के लिए क्वांटम एल्गोरिदम गैर-विकर्णीय मैट्रिक्स के कई वर्गों तक फैला हुआ है। यहां एल्गोरिथ्म विकर्णीय मैट्रिक्स के कुछ वर्गों के लिए बेरी एट अल। (2017) में प्राप्त सीमाओं की तुलना में तेजी से तेज है। फिर हमारे रैखिक ODE एल्गोरिथ्म को कार्लेमैन रैखिककरण (लियू एट अल (2021) में हमारे द्वारा हाल ही में लिया गया एक दृष्टिकोण) का उपयोग करके गैर-रेखीय अंतर समीकरणों पर लागू किया जाता है। उस परिणाम में सुधार दो गुना है। सबसे पहले, हम त्रुटि पर तेजी से बेहतर निर्भरता प्राप्त करते हैं। त्रुटि पर इस प्रकार की लघुगणकीय निर्भरता ज़ू एट अल. (2021) द्वारा भी प्राप्त की गई है, लेकिन केवल सजातीय अरेखीय समीकरणों के लिए। दूसरा, वर्तमान एल्गोरिदम किसी भी विरल, उलटे मैट्रिक्स (जो मॉडल अपव्यय) को संभाल सकता है यदि इसमें नकारात्मक लॉग-मानदंड (गैर-विकर्ण मैट्रिक्स सहित) है, जबकि लियू एट अल।, (2021) और ज़ू एट अल।, (2021) ) अतिरिक्त रूप से सामान्यता की आवश्यकता होती है।

लोकप्रिय सारांश

विभेदक समीकरण उच्च-ऊर्जा भौतिकी से लेकर द्रव गतिकी और प्लाज्मा भौतिकी तक कई भौतिकी मॉडल का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। ऐसे कई क्वांटम एल्गोरिदम हैं जो समाधान के आनुपातिक क्वांटम स्थिति का उत्पादन करके अंतर समीकरणों को हल करते हैं। हालाँकि, ये क्वांटम एल्गोरिदम केवल कुछ प्रकार के अंतर समीकरणों पर लागू होते हैं। विशेष रूप से, रैखिक ODE के लिए, वे रैखिक ODE को एन्कोड करने वाले मैट्रिक्स $A$ पर सामान्यता या विकर्णता जैसी शर्तें लगाते हैं। यह कार्य क्वांटम एल्गोरिदम विकसित करता है जिसे रैखिक और गैर-रेखीय सामान्य अंतर समीकरणों के काफी बड़े वर्ग पर लागू किया जा सकता है। हम विकर्णीयता की स्थिति को हटा देते हैं और इसे उस शर्त से बदल देते हैं जिसका अध्ययन विभेदक समीकरणों की स्थिरता के सिद्धांत में किया गया है, अर्थात् मैट्रिक्स $A$ के घातांक का मानदंड। इसके बाद इसका उपयोग एक क्वांटम एल्गोरिदम देने के लिए किया जा सकता है जो गैर-रेखीय अंतर समीकरणों के बड़े वर्ग पर भी लागू होता है।

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द्वारा उद्धृत

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